八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 勾股定理～第3章 位置与坐标）

八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简含根号的数，再判断各数是否为无理数． 【详解】解：∵是分数，是有限小数，是整数， ∴，，均为有理数， ∵开方开不尽， ∴是无理数． 2．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第二象限内点的横坐标小于0，为负数，纵坐标大于0，为正数，据此可以选出答案． 【详解】解：第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． 所以选项A、，横、纵坐标均为正，不符合题意． 选项B、，横坐标为负、纵坐标为正，符合题意． 选项C、，横、纵坐标均为负，不符合题意． 选项D、，横坐标为正、纵坐标为负，不符合题意． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【答案】B 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 6．（25-26七年级下·河北雄安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】直线轴，则点和点的纵坐标相等，可得 ． 解方程，得 ． 7．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】先化简原式，再估算的范围． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 10．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，得到，解方程即可； 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得； 13．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 【答案】13 【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AD=BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，再由勾股定理解出AB的长即可解答． 【详解】解：由题意可知，EF垂直平分AB，则AD=BD， CD=AB， BC＝10，AC＝24， ， CD=AB=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 15．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）计算 （1）         （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据幂的乘方、绝对值、算术平方根、立方根的意义逐一计算，再合并即得结果； （2）根据二次根式的乘法计算一、三两项，再合并即得结果. 【详解】解：（1） = = =. （2） = =. 【点睛】本题考查实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值、二次根式等常见知识点的定义和运算法则. 18．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 19．（8分）（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1) ， 另一方面， 即， ； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 20．（8分）（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，将三角形向下平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度得三角形，解答下列问题： (1)写出点，，的坐标； (2)在图中画出三角形； (3)已知轴，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点，，的坐标分别为，， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）观察平面直角坐标系的网格，根据点的位置，对应横、纵坐标的数值，确定A、B、C三点的坐标． （2）依据点的平移规则：横坐标左移减、右移加，纵坐标下移减、上移加，因为原三角形的点要向下平移3个单位、向左平移6个单位，所以分别计算的坐标，再依次连接三点得到平移后的三角形． （3）先算出的坐标，因为平行于y轴，所以P点横坐标与横坐标相同，再结合的长度为3，可知P点纵坐标与纵坐标的差的绝对值为3，分两种情况计算P点的纵坐标． 【详解】（1）解：观察坐标系可得： ，，． （2）解：向左平移6个单位则横坐标减6，向下平移3个单位则纵坐标减3， 计算得平移后顶点坐标： ，，， 在坐标系中描出三个点，顺次连接即可得到． （3）解：∵轴， 与横坐标相同，即的横坐标为； 设， 已知，， 则， ∴， ∴或 解得或， ∴点的坐标为：或． 21．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①如图，点P即为所求作的点； ②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①略 ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 22．（10分）（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 23．（12分）（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 如图： 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为、的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）令等腰三角形的钝角为，则点在边的垂直平分线上，据此即可画图； （3）面积是的正方形的边长为，根据，可以确定正方形的边长是以、为直角边的直角三角形的斜边， 据此画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．（12分）（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【详解】（1）解：依题得：， 故答案为：； （2）解：， ， 而， ， ； （3）解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 勾股定理~第3章 位置与坐标 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·河南开封·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·天津津南·期末）下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北雄安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 8．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 13．（25-26八年级下·湖南怀化·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 14．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 15．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 16．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）计算 （1）         （2） 18．（6分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 19．（8分）（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 20．（8分）（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，将三角形向下平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度得三角形，解答下列问题： (1)写出点，，的坐标； (2)在图中画出三角形； (3)已知轴，且，直接写出点的坐标． 21．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 22．（10分）（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 23．（12分）（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 24．（12分）（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $