九年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 特殊平行四边形～第4章 投影与视图）

九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行判断即可求解． 【详解】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱 ∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形 ∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【详解】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 4．（2026九年级下·全国·专题练习）小明拿一个三角形木框在太阳下玩耍，发现三角形木框在地面上的投影不可能是（    ） A．三角形 B．一条线段 C．四边形 D．三角形或一条线段 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影的性质，解题的关键是理解三角形木框在太阳光（平行光线）下投影的形状规律，三角形的投影只能是三角形或线段，不可能出现四边形． 【详解】解：当木框平面与光线不平行时，投影为三角形；当木框平面与光线平行时，投影为一条线段；三角形的三条边投影后无法形成四条边，因此不可能是四边形． 故选：C． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】设全等直角三角板的短直角边为，长直角边为，斜边为，根据图形特征逐一判断四边形的边长关系及角度即可． 【详解】解：设全等直角三角板的短直角边为，斜边为 ， 长直角边为， 图①，为斜边，为长直角边， ，， ， 四边形不是菱形； 图②，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， 又 对角线长分别为和，不相等， 四边形不是正方形，符合题意； 图③，为斜边，长度为， 由图可知由两段短直角边拼接而成， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形不是正方形，符合题意； 图④，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，不符合题意； 综上所述，是菱形但不是正方形的有②③． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边，边上的动点．下列说法错误的是（     ） A．存在无数个平行四边形 B．存在无数个矩形 C．存在无数个菱形 D．存在无数个正方形 【答案】D 【分析】连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形．菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接，、交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 分别是边，边上的动点． 若过点时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 过点时，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是矩形， 而，是对角线上的动点，即存在无数个矩形， 故说法正确，不符合题意； 只，四边形是菱形， ，是对角线上的动点，即存在无数个菱形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个， 故说法错误，符合题意． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 9．（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，点为上一点，且，，且，则的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点 A 作 交 的延长线于点 G， 证明四边形为正方形， 则，将 绕点 A 顺时针旋转 得到， 则 F 在上，、，求出，证明，则，进而求出，从而求出的周长． 【详解】解：， ， 过点 A 作 交 的延长线于点 G， ， 、， ， 四边形 为矩形， ， 四边形为正方形， ， 将 绕点 A 顺时针旋转 得到， 则 F 在上， 、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 12．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，若，，，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 13．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 15．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 16．（2026·山西阳泉·三模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则由三线合一得到，然后证明，则设，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点 ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 18．（6分）（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）如图，在中，，是边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， 是边上的中线，， ， ， 四边形是平行四边形， 又，是边上的中线， ， 平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，证得，得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）根据题意得出四边形是菱形，得出，证明四边形是菱形，得出，根据三角形的中线的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ，四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴ ∵是边上的中线， ∴． 19．（8分）（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 20．（8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 21．（10分）（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1) 如图： (2)2 【分析】本题考查了三视图． （1）分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图即可； （2）分别找出主视图、左视图不变时可以添加的位置，取公共位置即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 即最多可以再添加2个小立方块． 故答案为：2． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 23．（12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 24．（12分）（2026·山西运城·三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点； (3)或 【分析】（1）由旋转得，，，得，四边形是矩形．由得四边形是正方形． （2）过点B作，交于点M．由四边形是正方形，推导，得，由旋转性质得，得，可证明（）．即得． （3）由正方形边长为4，得，当是等腰三角形时，当时，当时，当时，分三种情况解答，可得的长为或． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如解图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 特殊平行四边形~第4章 投影与视图 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 4．（2026九年级下·全国·专题练习）小明拿一个三角形木框在太阳下玩耍，发现三角形木框在地面上的投影不可能是（    ） A．三角形 B．一条线段 C．四边形 D．三角形或一条线段 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边，边上的动点．下列说法错误的是（     ） A．存在无数个平行四边形 B．存在无数个矩形 C．存在无数个菱形 D．存在无数个正方形 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 9．（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，点为上一点，且，，且，则的周长是（    ）． A． B． C． D． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 12．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，若，，，则________． 13．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 15．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 16．（2026·山西阳泉·三模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）如图，在中，，是边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 19．（8分）（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 20．（8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 21．（10分）（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 23．（12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 24．（12分）（2026·山西运城·三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $