2026-2027学年高二上学期数学10月月考热身练习(人教B版)

2026-2027学年高二上学期数学10月月考热身练习卷（原卷版） 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 5．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 7．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　) A．(－2，2，0) B．(2，－2，0) C． D． 8．已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D．已知，若直线与线段有公共点，则 10．下面四个结论正确的是（   ） A．若三点不共线，平面外任一点O，有，则四点共面 B．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．已知向量，，若，则为钝角 D．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 11．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 14．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 四、解答题 15．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 16．已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 17．如图，在三棱柱中，平面，为的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 18．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点． (1)求证：PC∥平面BDE； (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度； (3)若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学10月月考热身练习卷（解析版） 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】将直观图还原得平行四边形，如下图， 所以，所以平面四边形为菱形，其周长为.故选：B. 3．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点.故选：C 4．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】B 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确.    5．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为.故选：A. 6．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为，所求的水面高为h， 则水的体积，所以. 7．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　) A．(－2，2，0) B．(2，－2，0) C． D． 答案：C 解析：由＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.故选C. 8．已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱台中，，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥为正四面体， 设在底面内的投影为，连接，交平面于点，连接，， 则球心在上，连接，， 则，， ，， 设球的半径为，则， 解得，， 所以球的表面积为． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D．已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】BD 【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，解得或，必要性不成立， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，由直线，得， 所以斜率，设倾斜角为，则， 又，所以，故B正确； 对于C，若直线过原点，则方程为，若直线不过原点，设直线方程为， 代入，得，所以直线方程为， 综上，直线的方程为或，故C错误； 对于D，若直线，得：，所以直线恒过定点，    因为，， 结合图象可知直线的斜率，即，故D正确. 故选：BD. 10．下面四个结论正确的是（   ） A．若三点不共线，平面外任一点O，有，则四点共面 B．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．已知向量，，若，则为钝角 D．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 【答案】AD 【详解】因为，满足，所以四点共面，故A正确； 因为，所以当时，就不可能成为平面的法向量，故B错误； 由，当时，， 假设，此时， 所以当时，，此时不为钝角，故C错误； 若，则l与所成角为，故D正确的. 故选：AD 11．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 三、填空题 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】设，在长方形中，,，，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长，即. 四、解答题 15．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明：依题意可得为圆的一条直径，则． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 所以平面． (2)证明：取线段的中点，连接，． 在中，，． 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． 16．已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. （2）解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又，∴的面积 . 17．如图，在三棱柱中，平面，为的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【答案】(1)证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ⅱ）由（ⅰ）知，所以点到平面的距离. 18．已知直线. (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【详解】(1)证明: 直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点． (1)求证：PC∥平面BDE； (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度； (3)若PA＝2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. 因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥DA. 又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面ADP， 所以CD⊥平面ADP. 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设PA＝a(a＞0)， 则A(0，2，0)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，D(0，0，0)，P(a，2，0)，E， 所以＝(－a，－2，2)，＝(0，2，2)，＝. 设平面BDE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即令y1＝1，则x1＝－，z1＝－1，得n1＝. 因为·n1＝4－2－2＝0，所以⊥n1， 又PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE. (2)由(1)知，＝(0，0，2)，＝(a，2，0)， 设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 令x2＝2，则y2＝－a，z2＝0，得n2＝(2，－a，0)，又＝， 设直线BE与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n2〉|＝＝＝， 解得a＝2或a＝4，所以PA的长度为2或4. (3)存在．理由如下： 因为PA＝a＝2，所以P(2，2，0)，令＝λ(0≤λ≤1)， 所以F(2－2λ，2－2λ，2λ)， 由(1)得平面BDE的一个法向量为n1＝(－2，1，－1)，＝(2－2λ，－2λ，2λ)， 所以＝，解得λ＝， 则F，＝，故PF＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $