专题03 直线与方程14大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 直线与方程14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率公式计算即可. 【解答过程】由题意得，经过两点的直线斜率为. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【解答过程】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 3．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为___________. 【答案】 【解题思路】利用斜率公式求解即可. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率. 故答案为：. 5．（25-26高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【解题思路】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【解答过程】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 故选：B. 7．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【解答过程】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C. 8．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【解答过程】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 9．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【解答过程】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 10．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 题型3 直线方程的求解 11．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B. 12．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 13．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为____________. 【答案】 【解题思路】求出的中点，然后可得中线斜率，再由点斜式整理可得. 【解答过程】因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【解答过程】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （2）根据两直线的位置关系，结合直线的点斜式方程计算即可求解； （3）根据中点坐标公式，两点坐标求直线斜率，结合直线的点斜式方程计算即可求解； 【解答过程】（1）由题意知，， 所以所在直线方程为，即. （2）由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. （3）由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 题型4 直线过定点问题 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【解答过程】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整理直线方程可得：，列出方程即可求解. 【解答过程】整理直线方程可得：，令，解得：，所以当变动时，则直线恒过定点坐标为， 故选：B. 18．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线恒过点，则点的坐标为____________. 【答案】 【解题思路】根据直线恒过定点可得，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 19．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【解答过程】（1）证明：因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 20．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3) 【解题思路】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【解答过程】（1）证明：直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为. （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B. 22．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【解答过程】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：C. 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【解题思路】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【解答过程】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为：. 24．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【解答过程】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 25．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 题型6 两条直线平行、垂直的判定 26．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 27．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 28．（25-26高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是____________. 【答案】⑤ 【解题思路】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【解答过程】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤. 29．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【解题思路】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 30．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 【答案】(1)的斜截式方程为， (2)在轴上的截距； 【解题思路】（1）求出直线的斜率，结合直线过点，可得出直线的点斜式方程，即可得出直线的斜截式方程，再利用斜率关系可判断出直线与的位置关系； （2）在直线的方程中，令，可求出直线在轴上的截距，然后利用斜率关系可得出直线和的位置关系. 【解答过程】（1）直线的斜率，直线过点，直线的点斜式方程为， 故直线的斜截式方程为. 直线的斜率,， 显然点不在直线上，故. （2）在直线的方程中令，得，故直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，所以，故. 题型7 根据两直线平行或垂直求参数 31．（25-26高二上·云南怒江·期中）已知直线和直线平行，则（   ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 【答案】A 【解题思路】由两直线平行建立方程组，即可解得. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：A. 32．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【解答过程】由， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 33．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______________． 【答案】12 【解题思路】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值. 【解答过程】因为直线与垂直， 所以，解得， 故． 故答案为：12. 34．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线平行确定斜率，再利用斜率的坐标运算列方程求解实数m的值； （2）根据直线的方向向量确定直线的斜率，结合直线垂直的斜率关系列方程求解实数m的值. 【解答过程】（1）∵直线l经过点、， ∴其斜率， ∵的斜率为1，且， ∴解得. （2）由题知，直线的斜率， 又直线l的斜率，， ∴，解得. 35．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 题型8 直线的交点问题 36．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 37．（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【解答过程】法1，，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B. 38．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【解题思路】先联立方程得交点，再代入求解即可. 【解答过程】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. 故答案为：. 39．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两直线平行斜率相等即可求解； （2）联立方程求得交点坐标，然后利用第一象限点的坐标特征列不等式求得，然后结合角的范围，利用正切函数的性质求解角的范围. 【解答过程】（1）直线：即，故直线的斜率为. 因为直线：与平行，所以. （2）由，解得， 因为与的交点在第一象限，所以，解得， 即，又，所以， 即的倾斜角的取值范围为. 40．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点， ∵直线的倾斜角为，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 题型9 三线能围成三角形的问题 41．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 42．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形. 【解答过程】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则 ； 若∥，则 的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立： ，直线和交点为; 直线和联立： ，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合 或. 故实数的取值最多有个. 故选：C. 43．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【解题思路】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【解答过程】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且. 44．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【解答过程】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 45．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 题型10 点到直线的距离问题 46．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】直接根据点到直线距离公式进行求解即可. 【解答过程】点到直线的距离为： . 故选：D. 47．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离求解. 【解答过程】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 48．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为____________． 【答案】或 【解题思路】由点到直线的距离公式可得. 【解答过程】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 49．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． (1)求与的交点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）由题设得方程组，， 故. （2）由点到直线的距离公式可得所求距离. 50．（25-26高二上·湖北孝感·期中）直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）先求出直线的交点坐标，然后根据两直线平行设出直线的方程，最后将交点坐标代入求出参数值即可求出直线的方程. （2）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求出符合题意的直线方程. 【解答过程】（1）联立直线方程组为，解得. 所以直线的交点坐标为. 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将交点坐标代入可求得. 所以直线的方程为. （2）由（1）知直线过点， 当直线的斜率不存在时，，此时点到该直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，因为点到该直线的距离为2， 所以，化简得， 等式两边平方化简得，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 题型11 两条平行直线间的距离问题 51．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】先得到，再利用两平行线间距离公式进行求解. 【解答过程】因为，所以直线， 设两条平行线间的距离为d， . 故选：D． 52．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 53．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____________． 【答案】/ 【解题思路】首先将直线化为，再由两平行线间的距离公式计算即可. 【解答过程】由直线，可得：， 所以平行直线与直线的距离. 故答案为：. 54．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知直线：，：. (1)若，求的直线方程（使用斜截式表示）； (2)若，求和的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线方程可得斜率，结合垂直关系求得，即可得方程； （2）根据平行关系可得，将直线方程化为一般式，结合两平行线间距离公式运算求解. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，直线的斜率为， 且直线与直线垂直， 所以，解得， 所以的直线方程为：. （2）因为，所以，即， 所以，即：， 因为：， 所以两直线距离. 55．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)；. 【解题思路】（1）直接联立方程并解方程组可得； （2）由平行可得的值，再由平行线间的距离公式可得. 【解答过程】（1）当时，联立直线与的方程，得解得. 所以直线与的交点坐标为． （2）当时，，，显然，不符合题意，舍去； 当时，，，显然与不平行，不符合题意，舍去， 故直线与的斜率都存在． 因为，所以， 由解得或；由解得且. 所以. 则，，即， 所以此时直线与之间的距离． 题型12 点、线间的对称关系 56．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C. 57．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 58．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为____________．（用一般式表示） 【答案】 【解题思路】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【解答过程】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为：. 59．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，． (1)求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； (2)设点关于直线的对称点为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先联立方程求出交点坐标，然后根据直线平行的关系求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可； （2）首先设，然后通过直线与直线垂直且与的中点在直线上构造方程组，解方程组求解点坐标. 【解答过程】（1）联立直线与的方程得：，解得：， 即直线与交点坐标为. 已知直线，其斜率为， 设所求直线斜率为，由于所求直线与直线平行，可得：. 因此可得所求直线方程为：，即： （2）已知，设，可得：与的中点为， 由于点与点关于直线对称，因此可得：且与的中点在直线上 可得：，整理得：. 解得：，即的坐标为. 60．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【解答过程】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    题型13 与距离有关的最值问题 61．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 62．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【解答过程】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 63．（25-26高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【解答过程】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B. 64．（25-26高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【解答过程】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为：. 65．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【解答过程】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 题型14 光线反射问题 66．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【解答过程】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C. 67．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 68．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为____________. 【答案】 【解题思路】求出关于直线的对称点后可求反射光线所在直线的方程. 【解答过程】设关于直线的对称点为， 则，解得，，则对称点为. 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为. 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 69．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【解题思路】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【解答过程】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 70．（25-26高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【解答过程】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与方程14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为___________. 5．（25-26高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 10．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 题型3 直线方程的求解 11．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 13．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为____________. 14．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 题型4 直线过定点问题 16．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线恒过点，则点的坐标为____________. 19．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 20．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 22．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 24．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 25．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 题型6 两条直线平行、垂直的判定 26．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 27．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 28．（25-26高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是____________. 29．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 30．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 题型7 根据两直线平行或垂直求参数 31．（25-26高二上·云南怒江·期中）已知直线和直线平行，则（   ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 32．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______________． 34．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 35．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 题型8 直线的交点问题 36．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 39．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 40．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 题型9 三线能围成三角形的问题 41．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 42．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 43．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 44．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 45．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 题型10 点到直线的距离问题 46．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．1 47．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 48．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为____________． 49．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． (1)求与的交点的坐标； (2)求点到直线的距离． 50．（25-26高二上·湖北孝感·期中）直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程. 题型11 两条平行直线间的距离问题 51．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知直线与，则与之间的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 52．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____________． 54．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知直线：，：. (1)若，求的直线方程（使用斜截式表示）； (2)若，求和的距离. 55．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 题型12 点、线间的对称关系 56．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为____________．（用一般式表示） 59．（25-26高二上·北京·期中）已知直线，． (1)求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； (2)设点关于直线的对称点为，求的坐标． 60．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 题型13 与距离有关的最值问题 61．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 62．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 64．（25-26高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为___________． 65．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 题型14 光线反射问题 66．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 67．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 68．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为____________. 69．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 70．（25-26高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $