专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【解答过程】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____________．（用，，表示）    【答案】 【解题思路】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【解答过程】是的重心， ， . 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【解题思路】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【解答过程】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 5．（25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【解题思路】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【解答过程】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 题型2 空间共线向量定理的推论及应用 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 7．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【解答过程】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D. 8．（25-26高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 9．（25-26高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【解题思路】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【解答过程】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 10．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【解答过程】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 题型3 空间共面向量定理的推论及应用 11．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【解答过程】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 12．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【解答过程】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A. 13．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 14．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】/ 【解题思路】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【解答过程】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 题型4 求空间向量的数量积 16．（25-26高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【解题思路】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：C. 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【解答过程】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 18．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 【答案】2 【解题思路】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【解答过程】设． ， ， . 故答案为：. 19．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 20．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以 . （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以 . 题型5 求空间向量的夹角与模长 21．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【解答过程】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B. 22．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【解答过程】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 23．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则_____________. 【答案】 【解题思路】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【解答过程】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为：. 24．（25-26高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 25．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【解答过程】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 题型6 空间向量基底概念及辨析 26．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 27．（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【解答过程】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B. 28．（25-26高二上·福建福州·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解题思路】由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理待定系数求解. 【解答过程】由题意，是空间的一个基底， ，所以不共线， 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在使得， 即 所以，解得． 故选：A． 29．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【解答过程】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B. 30．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量_____________. 【答案】 【解题思路】设，然后解方程组即可. 【解答过程】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为：. 题型7 空间向量基本定理及其应用 31．（25-26高二上·广东茂名·期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由P是MN靠近N的三等分点得到，整理得到，又为BC的中点得到，由为OA的中点得到，从而得到． 【解答过程】M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点． 则，即，也即， 则，因，，， 又为BC的中点，则， 为OA的中点，则， 因此，． 故选：C. 32．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【解答过程】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 33．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则___________. 【答案】1 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解答过程】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1. 34．（25-26高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解答过程】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 35．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（25-26高二上·广东韶关·期中）已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量坐标的线性运算可判断AB，根据数量积的坐标运算可判断CD. 【解答过程】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选:D. 37．（25-26高二上·山东济南·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【解题思路】根据对称得出，再根据坐标运算得出数量积. 【解答过程】因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为， 因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则， 则，，故. 故选：D. 38．（25-26高二上·河北唐山·期中）若向量，，则____________. 【答案】46 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】由，， 则，， 所以. 故答案为：46. 39．（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）. （3）. 40．（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得 ，再由数量积得不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 题型9 用坐标法解决平行、垂直问题 41．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】先求得的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果. 【解答过程】因为， 所以，所以， 故选：D. 42．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【解答过程】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C. 43．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为_____________． 【答案】 【解题思路】计算得到，根据计算可得结果. 【解答过程】由题意，， 因为，所以，即， 化简可得，所以. 故答案为：. 44．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【解答过程】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 45．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得； （2）由（1）得，而 ， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 题型10 用坐标法解决模长、夹角问题 46．（25-26高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 47．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【解答过程】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C. 48．（25-26高二上·河南信阳·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则______________． 【答案】 【解题思路】由数量积的定义及坐标运算求出，再由向量模得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得. 【解答过程】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，则，所以， ，， 故答案为：. 49．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【解答过程】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 50．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． （2）由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____________．（用，，表示）    4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 5．（25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 题型2 空间共线向量定理的推论及应用 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 9．（25-26高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 10．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 题型3 空间共面向量定理的推论及应用 11．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 12．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 题型4 求空间向量的数量积 16．（25-26高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 18．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则___________． 19．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 20．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 题型5 求空间向量的夹角与模长 21．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则_____________. 24．（25-26高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 25．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 题型6 空间向量基底概念及辨析 26．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 27．（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·福建福州·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 29．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量_____________. 题型7 空间向量基本定理及其应用 31．（25-26高二上·广东茂名·期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 33．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则___________. 34．（25-26高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 35．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（25-26高二上·广东韶关·期中）已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·山东济南·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 38．（25-26高二上·河北唐山·期中）若向量，，则____________. 39．（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 40．（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 题型9 用坐标法解决平行、垂直问题 41．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 42．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 43．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为_____________． 44．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 45．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 题型10 用坐标法解决模长、夹角问题 46．（25-26高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 48．（25-26高二上·河南信阳·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则______________． 49．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 50．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $