27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册 学科 数学 年级 九年级 课题 27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 课时 1课时 教材 人教版九年级上册 课型 新授课 一、素养目标 目标维度 具体目标 会用数学的眼光观察现实世界 （几何直观、抽象能力） 1. 能观察反比例函数的图象，发现k的几何意义，发展几何直观。 2. 能从图象中获取信息，发展读图能力。 会用数学的思维思考现实世界 （推理能力、运算能力） 1. 能运用反比例函数的性质比较函数值大小，发展推理能力。 2. 能解决反比例函数与一次函数的综合问题，发展运算能力。 会用数学的语言表达现实世界 （符号意识、模型观念） 1. 能用几何语言描述k的几何意义。 2. 能运用反比例函数解决综合问题，发展模型观念。 二、教学重难点 【教学重点】 1. k的几何意义及其应用； 2. 反比例函数性质的综合运用。 【教学难点】 1. 反比例函数与一次函数的综合问题； 2. 比较函数值大小的方法。 三、教学准备 1. 教师准备：多媒体课件、坐标系黑板。 2. 学生准备：预习反比例函数的运用、准备练习本。 四、教学过程 （一）复习导入（约5分钟） 【教师活动】 1. 提问：反比例函数的图象是什么？它有什么性质？ 2. 提问：当k>0和k<0时，图象分别在哪些象限？ 3. 引入：今天我们来学习如何运用反比例函数的图象和性质解决问题。 【学生活动】 1. 回答问题：图象是双曲线。 2. 回答问题：k>0时在一、三象限，k<0时在二、四象限。 【设计意图】 复习反比例函数的图象和性质，为运用做铺垫。 （二）新知探究（约20分钟） 探究1：k的几何意义 【教师活动】 1. 出示问题：如图，点P（x，y）是反比例函数 y = 图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，求矩形OAPB的面积。 2. 引导学生分析： 因为P（x，y）在 y = 上，所以 xy = k； 矩形OAPB的面积 = OA × OB = |x| × |y| = |xy| = |k|。 3. 归纳结论： 过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。 图1 k的几何意义 【学生活动】 1. 分析问题，推导矩形面积。 2. 理解k的几何意义。 【设计意图】 通过推导，让学生理解k的几何意义，发展几何直观。 探究2：比较函数值大小 【教师活动】 1. 出示问题：已知点A（-2，y₁）、B（-1，y₂）、C（3，y₃）都在反比例函数 y = - 的图象上，比较y₁、y₂、y₃的大小。 2. 引导学生分析： 方法一：代入求值法 方法二：图象法 方法三：性质法 3. 用性质法解答： 因为k=-6<0，图象在第二、四象限； 点A（-2，y₁）、B（-1，y₂）在第二象限，所以y₁>0，y₂>0； 因为在第二象限内y随x的增大而增大，且-2<-1，所以y₁<y₂； 点C（3，y₃）在第四象限，所以y₃<0； 综上：y₃ < y₁ < y₂。 图2 比较函数值大小 【学生活动】 1. 学习比较函数值大小的方法。 2. 完成练习。 【设计意图】 通过例题，让学生掌握比较函数值大小的方法，发展推理能力。 探究3：反比例函数与一次函数综合 【教师活动】 1. 出示例题：如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = ax + b 的图象交于M（2，3）、N（-3，m）两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。 2. 解答： （1）将M（2，3）代入 y = ，得 3 = ，k=6，所以 y = ； 将N（-3，m）代入 y = ，得 m = = -2，所以N（-3，-2）； 将M（2，3）、N（-3，-2）代入 y = ax + b，得 2a + b = 3，-3a + b = -2，解得 a=1，b=1，所以 y = x + 1。 （2）观察图象，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是： x < -3 或 0 < x < 2。 图3 反比例函数与一次函数综合 【学生活动】 1. 学习综合题的解法。 2. 理解利用图象比较函数值大小的方法。 【设计意图】 通过综合题，培养学生的综合应用能力。 （三）巩固练习（约10分钟） 【练习1】反比例函数 y = 的图象上有一点P（2，-3），则k=______，矩形面积为______。 答案：k=-6；矩形面积=|k|=6。 【练习2】已知点A（-3，y₁）、B（-2，y₂）在反比例函数 y = 的图象上，则y₁______y₂（填“>”、“<”或“=”）。 答案：因为k=4>0，在每个象限内y随x的增大而减小； 点A、B都在第三象限，且-3<-2，所以y₁>y₂。 【练习3】反比例函数 y = 与一次函数 y = x + 1 的交点坐标是______。 答案：解方程组 y = ，y = x + 1， 得 x² + x - 6 = 0，解得 x=2 或 x=-3； 所以交点坐标为（2，3）和（-3，-2）。 【设计意图】 通过练习巩固反比例函数性质的运用。 （四）课堂小结（约3分钟） 1. k的几何意义： 过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积=|k|。 2. 比较函数值大小的方法： （1）代入求值法；（2）图象法；（3）性质法。 3. 综合应用：反比例函数与一次函数的交点问题。 （五）布置作业（约2分钟） 1. 教材课后习题第1、2、3题； 2. 思考：三角形的面积与k有什么关系？ 五、板书设计 27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 一、k的几何意义 矩形面积 = |k| 二、比较函数值大小 1. 代入求值法 2. 图象法 3. 性质法 三、综合应用 反比例函数 + 一次函数 六、教学反思 本节课通过k的几何意义、比较函数值大小、综合应用等环节，让学生学会了运用反比例函数的图象和性质解决问题。 成功之处： 1. k的几何意义讲解清晰，学生理解较好； 2. 比较函数值大小的方法总结到位； 3. 综合题的选择有代表性。 不足之处： 1. 部分学生对利用图象比较函数值大小还有困难； 2. 综合题的难度还可以适当增加。 改进措施： 1. 增加利用图象解题的练习； 2. 增加不同类型的综合题。 学科网（北京）股份有限公司 $