微专题1 特殊平行四边形中的图形变换问题&微专题2 与正方形有关的四个常考模型-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

∴.△ABE≌△ADF(ASA).∴.BE=DF. 4.,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°， ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. .AB=AD,BC=CD.∠ABD=∠CBD=45. 7.D ∴∠ABC=90°.∴∠A=∠C=∠ABC=90°. 8.如图：连接AC,则AC为正方形 .四边形ABCD是矩形. AECF与菱形ABCD的对角线， AB=AD,.四边形ABCD是正方形. ∴.∠EAC=∠FAC=45°，AB=BC. 5.B6.2 ∠B=46°， 能力在线 ∠BAC=180,∠B=67, 7.D 2 8.(1),四边形ABCD是菱形， .∠BAE=∠BAC-∠EAC=22° .BD⊥AC,OB=OD,OA=OC 能力在线 又AE=CF,.OE=OF 9.C10.34 ∴.四边形BEDF是平行四边形， 11.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ,BDLEF,□BEDF是菱形 ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45° (2)20°.理由如下： 在△ADE和△CBF中， ,四边形ABCD是菱形， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF, ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25 DE=BF, ∠EBA=20°，∴∠EBO=45 .△ADE≌△CBF(SAS): 在菱形BEDF中，∠EBO=∠FBD=45°， (2)连接AC交BD于点O, ∴.∠EBF=90°.∴.菱形BEDF是正方形 四边形ABCD为正方形，BD=10, 9.(1)矩形 (2)四边形EFGH为矩形. ∴.BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 证明：：点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AD, =5. BA,CB,DC的中点， ..AF-CF,AE=CE. .EF,FG,GH,HE分别为△ABD,△BCA,△BDC, 由(1)知，△ADE2△CBF △ACD的中位线： ∴.AE=CF.∴.AF=CF=AE=CE. ∴.EF∥BD,EF= .四边形AECF为菱形. BD,GH∥BD,GH=合BD,FG/ 四边形AECF的周长为4√34， AC,FG-AC. AF=是×4V原=v. ∴.EF∥GH,EF=GH. 四边形EFGH为平行四边形. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3, 'AC⊥BD,EF∥BD,FG∥AC .EF=2OE=6. ∴.EF⊥FG. 即EF的长为6. ∴.平行四边形EFGH为矩形. 12.(1):四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (3)当AC=BD时，四边形EFGH是正方形 正方形， 10.(1)四边形AFHE是正方形.理由如下： ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2. 由旋转知，∠AEB=∠AFD=90°，AE QF=√6-√2 AF,∠FAE=90°， 四边形ABCD是矩形，.四边形PQFD是矩形 ∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90°， ∴.四边形FQPD(阴影部分)的面积为√2×（√6一√2）= .四边形AFHE是矩形 2√3-2. 又：AE=AF,矩形AFHE是正方形. (2)四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (2)连接BD, 正方形， :四边形ABCD是正方形，.BC=CD=13, ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2， 在Rt△BCD中，BD=√CD+BC=13√2. ∠B=∠C=90°. ,四边形AFHE是正方形，.∠EHD=90° ∴.AE=√AB2+BE=2√3，PE=√CE+CP 2 在Rt△DHB中，DH=√BD-B平，又BH=7, (3)如图，取AP的中点K,连接EK, .DH=17. ,四边形ABEF、四边形ECPQ是正方形 拓展在线 ∴∠AEB=45°=∠PEC. 11.C .∠AEP=180°-45°-45°=90° 微专题1特殊平行四边形中的图形变换问题 AE=2√5，PE=2,∴.AP=√AE2+PE2=4. 1.(1)C EK-AP-2. (2)①证明：由题意知，AFDF, ∴四边形AFFD是平行四边形. 拓展在线 'SGABCD =15,AD=5,..AE=3. 13.(1)3(2)35或125 又EF=4,∠E=90°，AF=5. 第2课时正方形的判定 ∴AF=AD=5..四边形AFFD是菱形. 基础在线 ②如图，连接AF,DF, 1.C2.45°3.①②或①③（填写一组即可） 在Rt△AEF中，AE=3,EF=9, 18 一探究在线·九年 .AF=310 .∠FDC+∠CDH=45°，即∠FDH=45°. 在Rt△DFE中，FE=1,DE=AE ∠EDF=∠FDH=45°， =3, 在△EDF和△HDF中， .DF=10, (DE-DH, ∠EDF=∠HDF, .四边形AFFD两条对角线的长分别是3√10和√I0. DF-DF, 2.C .△EDF≌△HDF(SAS).∴.EF=HF. 3.(1)证明：由翻折的性质可得AF=AB,∠F=∠B. HF=CH十CF=AE+CF,∴.EF=AE+CF ,四边形ABCD为矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°. (2)设EF=x,则HF=x. .AF=CD,∠F=∠D=90°. 正方形ABCD的边长为3，.AB=BC=3. 又'∠AEF=∠CED,.△AFE≌△CDE(AAS) AE=1,..BE=2,CH=1...CF=x-1. (2)△AFE≌△CDE,∴.AE=CE,EF=ED. ∴.BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 根据翻折的性质可知FC=BC=8,AF=AB=4, 在Rt△BEF中，：BE+BF2=EF2, 在Rt△AFE中，AE=AF2+EF,即(8-EF)2=42+EF. 解得EF=3,.EC=5. 2+(4--,解得x一昌 ∴阴影部分的面积为7EC·AF=之×5X4=10, EF=8, 4.D5.√6+√2 微专题3特殊平行四边形的性质与判定 微专题2与正方形有关的四个常考模型 1.C 1.,四边形ABCD是正方形， 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∴.AF∥BC,AB∥DC, :∠AOB=180°-∠AOF=90°， ∠AFE=∠FBC,∠FED=∠ABE. .∴.∠BAE+∠OBA=90° BE平分∠ABC,∴.∠FBC=∠ABE, 又'∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF .∠AFE=∠FED,.DE=DF 在△ABE和△BCF中， (2)四边形AEFG是矩形.理由如下： ∠ABE=∠BCF, 四边形ABCD是平行四边形， AB=BC, .AF∥BC,AB∥DC,AD=BC, ∠BAE=∠CBF, .∠AFE=∠FBC. '.△ABE≌△BCF(ASA).∴.BE=CF 又DE=EC,∠DEF=∠BEC, 2 .△DEF≌△CEB,.FD=BC=AD ,DE=DG,∴.四边形AEFG是平行四边形 .(1)证明：如图①，过点P作FG∥DC,分别交AD,BC于 DE=DF,EG=AF,四边形AEFG是矩形. 点F,G.易得∠PFD=∠CGP=90° 3.问题解决： ,BD为正方形ABCD的对角线， (1)证明：如图①，四边形ABCD是 .∠BDF=∠FPD=45.∴.PF=FD. 矩形， 又，FG∥DC,FD∥GC,∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠DAB=90° .四边形FGCD为矩形..FD=CG.'.PF=CG. ∴.∠BAF+∠GAD=90°. .'PE⊥PC,∴.∠FPE+∠GPC=90° DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90° ∠FEP+∠FPE=9O°，∠FEP=∠GPC. ∴.∠BAF=∠ADG. 在△PFE和△CGP中， 又.AF=DE,.△ABF≌△DAE,∴.AB=DA. ∠FEP=∠GPC, ∴矩形ABCD是正方形. ∠PFE=∠CGP, (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： PF=CG, AB=DA,∠ABH=∠DAE=90°，BH=AE, ∴.△PFE≌△CGP(AAS).∴.PE=CP. ∴.△ABH≌△DAE,.AH=DE. (2)补全图形如图②所示.(1)中的结论仍成立. 又，DE=AF,∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形. 理由：过点P作FG∥DC分别交AD,BC于点F,G.同理 类比迁移： 可证△PFE≌△CGP(AAS). 如图②，延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH. ∴.PE=PC 四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠DAE. BH=AE,∴.△ABH≌△DAE. .AH=DE,∠AHB=∠DEA=60° 图② 又DE=AF,AH=AF. 4.(1)证明：延长BC至点H, ∠AHB=60°，.△AHF是等边三角形， 使CH=AE,连接DH, ∴.AH=HF, :四边形ABCD是正方形， .DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8. .AD=CD,∠A=∠DCH=90° 阶段测评1(1.1~1.4) .'.△DAE≌△DCH(SAS) 1.D2.A3.D4.B5.B6.C7.(5,4)8.菱形 .DE=DH,∠ADE=∠CDH 9.√1010.√1011.1312.22.5° :∠ADC=90°，∠EDF=45°，.∠ADE+∠FDC=45° 13.(1)证明：，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， 级数学（上）·BS一微专题1特殊平行四 类型①图形的平移问题 1.(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD= 5,SaA8cn=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE的位 置，拼成四边形AEED,则四边形AEED的 形状为 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 C F E 图① 图② (2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEED 中，在EE上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DEF'的位置，拼成四 边形AFFD, ①求证：四边形AFFD是菱形； ②求四边形AFFD两条对角线的长. 类型21 图形的折叠问题 2.(中考·西藏)如图，在正方形 ABCD中，AB=6,点E是 BC的中点，把△ABE沿AE B 折叠，点B落在点F处，延长 EF交CD于点G,连接AG,则AG的长为 边形中的图形变换问题 A.3√5 B.2 C.2/10 D.4√2 3.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B 落在点F处，FC交AD于点E (1)求证：△AFE≌△CDE; (2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积. 类型③图形的旋转问题 4.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形 OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA'B'C'的 位置，若OB=2√3，∠C=120°，则点B的坐标 为 () A.(3,√3) B.(3,-√3) C.(√6，√3) D.(6,-√6) 0 第4题图 第5题图 5.如图，正方形OABC的边长为2，将正方形 OABC绕点O逆时针旋转角a(0°<a<180)得 到正方形OA'B'C',连接BC,当点A'恰好落在 线段BC上时，线段BC的长度是 第-章14 微专题2与正方形有关的四个常考模型 模型①正方形中相交垂线段问题—教 模型2 正方形中边对角线交点的直角问题 材P21例1的变式与应用 教材P25习题T4的变式与应用 了+模型归纳++++++++++++++ +模型归纳+++++ 分别连接正方形的两组对边上任意两 ①△ABC是等腰直角三角形，O为斜边 点，得到的两条线段（如：图①中的线段A℉ AB的中，点，连接OC,则△DOC≌△EOB 与BE,图②中的线段AF与EG,图③中的线 △ADO≌△CEO 段HF与EG)满足：若垂直，则相等. BG R G ②在正方形ABCD中，O为对角线的交 图① 图② 图③ 点，直角∠EOF绕，点O旋转.若OE,OF分别 1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AGO BC,CD上，AE,BF交于点O,∠AOF=90° ≌△BHO,△OGH是等腰直角三角形. 求证：BE=CF. 十十十4十十十十十十+十十“十十十十十十4十十十十 2.如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，点O是AB的中 D 点，且AC=1,将一块直角三 角尺的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角尺的两直角边分别与 AC,BC相交，交点分别为D,E,则两个三角形 重叠部分的面积为 憊型③正方形中的三垂直全等模型 3.正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD 上，E是线段AD或AD的延长线上的一点， 且PE⊥PC. (1)如图①，点E在线段AD上，求证：PE= PC; (2)如图②，点E在线段AD的延长线上，请补 15探究在线九年级数学（上）·BS 全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立，请 说明理由， 4 ED B 图① 图② 憊型④ 正方形中的半角模型 +模型归纳++++++++++++++ (1)如图①，在正方形ABCD中，若 ∠EAF=45°，则： ①EF=BE+DF;②C△FC=2AB;③FA 平分∠DFE,EA平分∠BEF;④MNP=BM +DN2. B 图① 图② (2)如图②，在正方形ABCD中，若 ∠EAF=45°，则FA平分∠DFE,EF=DF BE. 4.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F分别是 AB,BC边上的点，且∠EDF=45°. (1)求证：EF=AE+CF; (2)当AE=1时，求EF的长， 第-章16