28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

28.2.3 关于原点对称的点的坐标 教学设计 课题 关于原点对称的点的坐标 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时（28.2共3课时；本章共7课时：28.1两课时、28.2三课时、数学活动与小结1课时） 课型 新授课 教学目标 1. 理解两点关于原点对称时坐标之间的关系，掌握点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y)，并能据此求出已知点关于原点的对称点坐标；2. 经历“作图—观察—归纳”的探究过程，体会从轴对称、中心对称到用坐标表示的知识迁移，能利用坐标关系画出一个图形关于原点对称的图形；3. 综合运用平移、轴对称、旋转（中心对称）研究图形变换，体会数形结合思想。 教学重点 两个点关于原点对称时坐标符号相反的规律及其运用。 教学难点 运用原点对称的坐标性质解决作图与综合问题。 教学方法 启发探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸、方格板 课后练习 教材本节课后练习及习题 28.2 中与关于原点对称的点的坐标相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习旧知 铺垫新课 一、复习旧知，铺垫新课 【学生活动】请同学们完成下面三题． （1）已知点 A 和直线 l，如图，请画出点 A 关于 l 对称的点 A′． （2）如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把 △ADC 顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形． （3）如图 △ABO，绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的图形． 参考答案（作图要点）： （1）过点 A 作 AO⊥l，垂足为 O，延长 AO 至 A′，使 OA′＝OA，则点 A′ 即为所求作点 A 关于直线 l 的对称点； （2）连接 AD、AC，并将它们分别绕点 A 顺时针旋转 60°，得到对应点 D′、C′，则 △AD′C′ 即为旋转后的图形； （3）A′、B′ 分别是 A、B 绕点 O 旋转 180° 的对应点（它们的坐标与 A、B 的坐标互为相反数），连接 A′、B′、O，得 △A′B′O. 老师点评：通过巡查，根据学生作图情况进行点评——轴对称作图找对称点，旋转作图定中心、定方向、定角度，旋转 180° 即中心对称，其坐标特征正是本节课要研究的规律． 学生在坐标纸（方格纸）上独立完成三种变换的作图，并口答每类作图的关键步骤；同桌互查对应点标注是否规范。 复习轴对称、旋转（含 180° 特例）的作图方法，为本节课“用坐标刻画关于原点对称”做好知识与方法铺垫。 二、类比探究 学习新知 二、类比探究，学习新知 我们已经学习了关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系，类似地，下面来研究关于原点对称的点的坐标之间的关系．让我们通过坐标系来探究关于原点对称的点的坐标特征． 【探究】如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标： A(4，0)，B(0，−3)，C(2，1)，D(−1，2)，E(−3，−4)． 通过作图可以发现： 点 A(4，0) 的对称点是 A′(−4，0)；点 B(0，−3) 的对称点是 B′(0，3)；点 C(2，1) 的对称点是 C′(−2，−1)；点 D(−1，2) 的对称点是 D′(1，−2)；点 E(−3，−4) 的对称点是 E′(3，4)． 【归纳】任意一点 P(x，y) 关于原点 O 的对称点 P′ 的坐标都是 (−x，−y)．也就是说，关于原点对称的两个点，它们的横坐标与纵坐标都互为相反数． 【师生互动】教师提问：已知点 M(5，−2) 关于原点的对称点是 M′，那么 M′ 的坐标是什么？学生回答：(−5，2)．教师追问：点 N(0，0) 关于原点的对称点是什么？学生思考后回答：仍是 (0，0)——原点关于它自身的对称点就是它自己． 【方法】利用上述规律，可以在坐标系中作出一个图形关于原点对称的图形：先求出已知图形的一些特殊点（如多边形顶点）关于原点对称点的坐标，描出并顺次连接这些点即可． 学生在坐标系中描点、作对称点并写出坐标，观察五组对应坐标的符号关系，归纳“横、纵坐标均互为相反数”的规律；口答 M、N 两点的对称点坐标。 通过“作图—观察—归纳”完整探究坐标规律，经历从几何直观到代数表达的抽象过程；以 M、N 两个即时追问巩固规律，并揭示“原点关于自身对称”的特殊情形。 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与 △ABC 关于原点对称的图形． 题图（左）与所求作图（右） 解：点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y)．△ABC 的三个顶点 A(−4，1)、B(−1，−1)、C(−3，2) 关于原点的对称点分别为 A′(4，−1)、B′(1，1)、C′(3，−2)，依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，就可得到与 △ABC 关于原点对称的 △A′B′C′，如图所示． 【例2】若点 A 的坐标是 (a，b)，且 ，求点 A 关于原点 O 的对称点 A′ 的坐标． 解：∵，∴，即 ． ∵，，∴a−3＝0 且 b+2＝0，即 a＝3，b＝−2．∴点 A 的坐标是 (3，−2)．又点 A 与点 A′ 关于原点 O 对称，所以 A′(−3，2)． 【方法点拨】形如“两个平方项之和为 0”的条件，利用非负性拆成两个完全平方式分别等于 0，是求待定量取值的常用手段． 学生先口述例1 三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描点连线完成作图；例2 独立尝试配方，体会“非负性”条件的用法，两名学生板演. 例1 落实“坐标关系→描点作图”的基本方法；例2 综合配方法与非负性，训练由坐标等式确定点、再由对称规律翻转坐标的完整推理链. 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 （1）下列函数中，图象一定关于原点对称的是（　　） A．　　B．y＝2x+1　　C．y＝−2x+1　　D．以上三种都不可能 解析：反比例函数 的图象是双曲线，关于原点成中心对称；一次函数 y＝2x+1、y＝−2x+1 的图象是一条直线，与 y 轴交于非原点的点，不关于原点对称． 答案：A （2）如图，已知矩形 ABCD 的周长为 56 cm，O 是对角线的交点，点 O 到矩形两条邻边的距离之差等于 8 cm，则矩形边长中较长的一边等于（　　） A．8 cm　　B．22 cm　　C．24 cm　　D．11 cm 解析：设矩形两邻边长分别为 x cm、y cm（x＞y）．由周长 56 得 x+y＝28；O 是矩形中心，O 到两邻边的距离分别为 x/2、y/2，由距离之差为 8 得 x−y＝16．解得 x＝22，y＝6，所以较长的一边为 22 cm． 答案：B （3）如果点 P 的坐标是（−3，1），那么点 P 关于原点的对称点 P′ 的坐标是　　　　　　　　． 答案：(3，−1) （4）如图，在平面直角坐标系中，A(−3，1)，B(−2，3)，C(0，2)，画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A′B′C′，再画出 △A′B′C′ 关于 y 轴对称的 △A″B″C″，那么 △A″B″C″ 与 △ABC 有什么关系？请说明理由． 解：画图略．△A″B″C″ 与 △ABC 关于原点对称．理由：两次轴对称（先关于 x 轴、再关于 y 轴）把点 (x，y) 先变为 (x，−y)，再变为 (−x，−y)，横、纵坐标都变为相反数，这正是关于原点对称的坐标特征． （5）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A(−2，3)、B(−3，2)、C(−1，1)． ①若将 △ABC 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，请画出平移后的 △A1B1C1； ②画出 △A1B1C1 绕原点旋转 180° 后得到的 △A2B2C2； ③△A2B2C2 与 △A1B1C1 关于原点成中心对称吗？若成，请写出对称中心的坐标：　　　　　　； ④顺次连接 C、C1、C2，判断 △CC1C2 是不是轴对称图形，并说明理由． 解：①②如图所示；③成中心对称，对称中心的坐标为 O(0，0)； ④是轴对称图形．理由：C(−1，1)，C1(2，2)，C2(−2，−2)，，，∴，△CC1C2 是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形． （6）如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，且 A(3，0)，B(0，3)．现将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到直线 A1B1． 题图（左）与所求作图（右） ①在图中画出直线 A1B1；②求经过线段 A1B1 中点 P 的反比例函数的解析式；③是否存在另一条与直线 A1B1 平行的直线 y＝kx+b（互相平行的两条直线 k 相等），它与②中的双曲线只有一个公共点？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由． 解：①A(3，0)、B(0，3) 绕点 O 顺时针旋转 90° 后的对应点为 A1(0，−3)、B1(3，0)，连接 A1B1 即为所求（如图右），直线 A1B1 的解析式为 y＝x−3； ②线段 A1B1 的中点 P(1.5，−1.5)，设反比例函数解析式为 ，则 k＝1.5×(−1.5)＝−2.25，∴； ③存在．与直线 A1B1 平行的直线可设为 y＝x+m，与双曲线 联立，消去 y 得 ．只有一个公共点，则判别式 ，解得 m＝±3．当 m＝−3 时，y＝x−3 即直线 A1B1 本身，舍去；当 m＝3 时，y＝x+3，此时公共点为 (−1.5，1.5)．∴所求直线的解析式为 y＝x+3． 学生独立完成（1）～（4）并互评；（5）在方格纸上完成两次变换作图，小组核对顶点坐标；（6）综合题先独立尝试①②，③全班讨论“只有一个公共点”与判别式的关系，教师板书示范完整求解过程. （1）题由函数图象的对称性反向巩固原点对称概念；（2）题用中心对称确定矩形中心位置关系；（3）题落实坐标符号规律；（4）题揭示“两次轴对称＝中心对称”的结构；（5）题综合平移与旋转并改编第④问，训练等腰三角形的判定与距离计算；（6）题把旋转、反比例函数与一元二次方程判别式串联起来，体现数形结合与函数方程思想. 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号有什么变化？（3）你能画出一个图形关于原点对称的图形吗？ 【归纳】①点 P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(−x，−y)，横、纵坐标均互为相反数；对比：关于 x 轴对称 (x，−y)，关于 y 轴对称 (−x，y)；②画图形关于原点对称的图形：先求特殊点的对称点坐标，再描点顺次连接；③两次轴对称（关于 x 轴、y 轴各一次）复合起来就是关于原点的中心对称． 学生复述坐标规律并与关于坐标轴对称的规律对比记忆，交流“两次轴对称＝关于原点对称”的发现。 以坐标规律为核心梳理本课知识主线，帮助学生建立“轴对称—中心对称—坐标表示”的结构化认知。 六、布置作业 六、布置作业 教材本节课后练习及习题 28.2 中与关于原点对称的点的坐标相关的题目． 提示：求对称点坐标时先核对横、纵坐标是否都变为相反数；作图题在坐标系中完成并标注对应点字母． 课后独立完成，先默写坐标规律再动笔，作图题保留描点痕迹。 巩固原点对称的坐标规律与作图方法，检验学习目标达成情况。 板书设计 关于原点对称的点的坐标 一、坐标规律 P(x，y) 关于原点对称 → P′(−x，−y)（横、纵坐标均互为相反数） 二、对比记忆 关于 x 轴：(x，−y)；关于 y 轴：(−x，y)；关于原点：(−x，−y) 三、作图方法 求特殊点的对称点坐标 → 描点 → 顺次连接 四、结构发现 关于 x 轴、y 轴两次轴对称 = 关于原点的中心对称 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $