第三单元 多边形的面积 单元重难与易错考点举一反三-2026-2027学年五年级上册数学重难考点举一反三（苏教版+新教材）

第三单元 多边形的面积 单元重难与易错考点举一反三 重点·难点·易错 八大类 ＋ 综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 1 重点（一）：平行四边形的面积——剪拼转化、底高对应 1 重点（二）：三角形的面积——拼摆转化、勿忘除以2 1 重点（三）：梯形的面积——拼成平行四边形 1 重点（四）：公顷和平方千米——面积单位的进率 1 难点（一）：等底等高与等积变形 1 难点（二）：组合图形的面积——分割求和与补全求差 1 易错考点（一）：忘除以2、邻边当高、拼摆条件 1 易错考点（二）：面积单位进率的混淆 1 综合提升训练 1 一、选择题 1 二、填空题 1 三、计算题 1 四、操作与估计 1 五、解答题 1 知识要点梳理 平行四边形面积沿一条高剪下一部分、平移后拼成长方形，长方形的长等于平行四边形的底、宽等于高，所以 S＝底×高＝ah。底和高必须一一对应，邻边不是高。 三角形面积两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，一个三角形是它的一半，S＝底×高÷2＝ah÷2。最容易漏掉“÷2”。 梯形面积两个完全一样的梯形，把其中一个倒过来可以拼成一个平行四边形，拼成的底等于上底与下底之和、高不变，S＝（上底＋下底）×高÷2＝(a＋b)h÷2。 公顷边长100米的正方形土地，面积是10000平方米，也是1公顷，即 1公顷＝10000平方米（进率是10000）。 平方千米边长1000米的正方形，面积是1000000平方米，也就是1平方千米；1平方千米＝100公顷＝1000000平方米。 组合图形面积把组合图形分割成几个基本图形分别求面积再相加（分割求和），或先补成基本图形再减去补上的部分（补全求差）；两种方法可以互相检验。 不规则图形的估计用数方格的方法估计：先数整格，再数不满整格的（不满整格按半格算），方格越小估计越准确。 等底等高等底等高的三角形面积相等，与形状无关；等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。底相等、面积也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 重点（一）：平行四边形的面积——剪拼转化、底高对应 平行四边形通过“沿高剪、平移拼”转化成长方形，面积不变，由此得到 S＝底×高。使用公式时底和高必须互相垂直、一一对应，邻边再长也不能当高。口诀：沿高剪拼成长方，底乘高来面积当；底高对应是关键，邻边再长也不当。 【典例分析】一块平行四边形菜地，底是6米，高是4米。这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】24平方米 【思路引导】平行四边形面积＝底×高。 【详解】 S ＝a×h ＝6×4 ＝24（平方米） 答：这块菜地的面积是24平方米。 【变式1】一个平行四边形，其中一组底是12厘米、这条底上的高是5厘米；另一条底是10厘米。另一条底边上的高是多少厘米？ 【变式2】计算下面各平行四边形的面积或高。 （1）底8分米、高3分米；（2）底5厘米、高2.4厘米；（3）面积是48平方米、底是12米，求高。 【变式3】一块平行四边形广告牌，底是12米，高是6米。要在广告牌的正反面都刷上油漆，每平方米需要油漆0.6千克，一共需要油漆多少千克？ 重点（二）：三角形的面积——拼摆转化、勿忘除以2 用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，三角形的底和高就是平行四边形的底和高，一个三角形是它的一半，S＝ah÷2。已知面积逆求底或高时，要先把面积乘2还原。口诀：两个三角全一样，拼成平行四边形；求一记得除以2，逆求先把2来乘。 【典例分析】手工课上做一面三角形小旗，底是40厘米，高是30厘米。做这面小旗需要多少平方厘米的布料？ 【答案】600平方厘米 【思路引导】两个完全一样的三角形拼成一个等底等高的平行四边形，一个三角形是它面积的一半，所以用底×高后必须除以2。 【详解】 两个完全一样的三角形拼成平行四边形，一个三角形是它的一半。 S ＝a×h÷2 ＝40×30÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方厘米） 答：做这面小旗需要600平方厘米的布料。 【变式1】计算下面各三角形的面积或高。 （1）底6分米、高5分米；（2）底8厘米、高3.5厘米；（3）面积是24平方米、底是8米，求高。 【变式2】一块三角形菜地，底是25米，高是16米。如果每平方米收白菜8千克，这块菜地一共收白菜多少千克？ 【变式3】一张长120厘米、宽80厘米的长方形红纸，用它做底是40厘米、高是20厘米的三角形小旗，最多可以做多少面这样的小旗？ 重点（三）：梯形的面积——拼成平行四边形 把两个完全一样的梯形中的一个倒过来，能拼成一个平行四边形，拼成的底等于梯形上底与下底之和、高不变，所以 S＝(a＋b)h÷2。堆成梯形的钢管等问题也可以用这个模型。口诀：两个梯形倒一倒，拼成平行四边形；上下底和当作底，照样除以2才行。 【典例分析】一条水渠的横截面是梯形，渠口宽（上底）4米，渠底宽（下底）2米，渠深（高）3米。这条水渠横截面的面积是多少平方米？ 【答案】9平方米 【思路引导】两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的底＝上底＋下底、高不变，一个梯形是它的一半。 【详解】 两个完全一样的梯形，一个倒过来拼成平行四边形，拼成的底＝上底＋下底。 S ＝（a＋b）×h÷2 ＝（4＋2）×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方米） 答：这条水渠横截面的面积是9平方米。 【变式1】计算下面各梯形的面积或高。 （1）上底3厘米、下底5厘米、高4厘米；（2）上底2分米、下底6分米、高5分米；（3）面积是30平方米，上底4米、下底8米，求高。 【变式2】工地上一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有10根，每相邻两层相差1根，一共堆了7层。这堆钢管一共有多少根？ 【变式3】一条水渠的横截面是梯形，渠口宽5米，渠底宽3米，渠深2米。这条水渠长800米，挖成这条水渠一共需要挖土多少立方米？ 重点（四）：公顷和平方千米——面积单位的进率 测量土地面积常用公顷和平方千米。边长100米的正方形面积是1公顷；边长1000米的正方形面积是1平方千米。相邻常用面积单位进率一般是100，但公顷与平方米之间是10000，平方千米与公顷之间是100。口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 【典例分析】想一想，填一填：边长是100米的正方形土地，面积是多少平方米？合多少公顷？边长是1000米的正方形土地呢？ 【答案】边长100米：10000平方米＝1公顷；边长1000米：1000000平方米＝1平方千米＝100公顷 【思路引导】边长100米的正方形面积是10000平方米，规定为1公顷；边长1000米的正方形面积是1000000平方米，即1平方千米，1平方千米里有100个1公顷。 【详解】 边长100米：100×100＝10000（平方米）＝1（公顷） 1公顷＝10000平方米，进率是10000，不是100。 边长1000米：1000×1000＝1000000（平方米） 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 答：边长100米的正方形是1公顷；边长1000米的正方形是1平方千米，合100公顷。 【变式1】填一填。 （1）6公顷＝（ ）平方米；（2）50000平方米＝（ ）公顷；（3）3平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米。 【变式2】一个正方形果园的周长是2400米，这个果园占地多少公顷？ 【变式3】一个长方形湿地公园占地6平方千米，长是3000米，宽是多少米？ 难点（一）：等底等高与等积变形 三角形的面积只由底和高决定，与形状无关。几个三角形有共同的底、顶点都在与底平行的同一条直线上，它们等底等高、面积相等。由此还能推出：等底等高的三角形面积是平行四边形的一半；底相等、面积也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 【典例分析】如图，三个三角形有共同的底AB，三个顶点都在与AB平行的同一条直线上。这三个三角形的面积有什么关系？为什么？ 【答案】三个三角形面积相等，都等于 a×h÷2 【思路引导】三个三角形底相同（都是AB），顶点在与底平行的直线上移动，平行线间的距离处处相等，所以高也相等；等底等高的三角形面积相等，与形状无关。 【详解】 顶点在与底平行的直线上移动，底不变，两平行线间的距离即高也不变。 三个三角形的底都是a、高都是h。 三个三角形的面积都等于 a×h÷2。 答：三个三角形面积相等；三角形的面积只与底和高有关，与形状无关。 【变式1】一个平行四边形的面积是36平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是多少平方厘米？ 【变式2】一个三角形与一个平行四边形的底相等，面积也相等。已知平行四边形的高是6厘米，这个三角形的高是多少厘米？ 【变式3】一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等。已知平行四边形的底是10厘米，这个三角形的底是多少厘米？ 难点（二）：组合图形的面积——分割求和与补全求差 组合图形没有现成公式，基本思路有两条：一是分割成几个学过的基本图形，分别求面积再相加；二是先补成一个基本图形，再减去补上的那部分。两种方法结果应当一致，可以互相检验。口诀：组合图形并不难，分割补全两招鲜；分割求和补全减，两法对照最保险。 【典例分析】一间房子的侧面墙形状如图：上面是底5米、高2米的三角形，下面是长5米、宽4米的长方形。这面墙的面积是多少平方米？ 【答案】25平方米 【思路引导】把这面墙分割成上面的三角形和下面的长方形，分别求出面积后相加。 【详解】 组合图形分割成已学过的基本图形，分别求面积再求和。 三角形面积：5×2÷2＝5（平方米） 长方形面积：5×4＝20（平方米） 总面积：5＋20＝25（平方米） 答：这面墙的面积是25平方米。 【变式1】一面中队旗如图，可以看作在长80厘米、宽60厘米的长方形右侧剪去一个底60厘米、高20厘米的三角形。这面中队旗的面积是多少平方厘米？ 【变式2】一块L形菜地（可看作长12米、宽8米的长方形，缺了一个长4米、宽3米的小长方形）。用两种方法求出这块菜地的面积。 【变式3】一间房子的侧面墙形状如图：下方是长6米、高4米的长方形，上方是底6米、高2米的三角形。砌这面墙每平方米用砖120块，一共需要多少块砖？ 易错考点（一）：忘除以2、邻边当高、拼摆条件 本单元计算最常见的三类错误：三角形、梯形面积忘除以2；平行四边形错把邻边当成高相乘；误以为面积相等的两个三角形就能拼成平行四边形（其实必须完全一样）。口诀：三角梯形莫忘2，底高对应邻边弃；拼摆要找全等形，面积相等不可以。 【典例分析】下面各题的做法对吗？把不对的改正过来。 （1）三角形底10米、高6米，列式：10×6＝60（平方米）。 （2）梯形上底3米、下底5米、高4米，列式：（3＋5）×4＝32（平方米）。 （3）平行四边形两条邻边分别长60米、50米，60米这条边上的高是40米，列式：60×50＝3000（平方米）。 【答案】（1）错，正确是30平方米；（2）错，正确是16平方米；（3）错，正确是2400平方米 【思路引导】（1）三角形面积要除以2；（2）梯形公式也要除以2；（3）平行四边形必须用底和它对应的高相乘，邻边不是高。 【详解】 （1）（亮蓝：三角形面积忘除以2，是最高发的错误） 正解：10×6÷2＝30（平方米） （2）（亮蓝：梯形是两个梯形拼成的，求一个也要除以2） 正解：（3＋5）×4÷2＝8×4÷2＝16（平方米） （3）（亮蓝：邻边不是高，要用底60米和它对应的高40米相乘） 正解：60×40＝2400（平方米） 口诀：三角梯形莫忘2，底高对应邻边弃。 答：三题都错，正确结果依次是30平方米、16平方米、2400平方米。 【变式1】判断：面积相等的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）（对的画“√”，错的画“×”） 【变式2】把一个长方形木框轻轻拉成一个平行四边形，它的周长（ ），面积（ ）。（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式3】一个平行四边形相邻两条边的长分别是8厘米和5厘米，其中一条高是6厘米。这个平行四边形的面积是多少平方厘米？ 易错考点（二）：面积单位进率的混淆 面积单位进率容易记混：常用相邻面积单位（平方米、平方分米、平方厘米）之间进率是100；公顷与平方米之间是10000；平方千米与公顷之间是100、与平方米之间是1000000。比较或换算前先统一单位。口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 【典例分析】下面的换算对吗？把不对的改正过来。 （1）4公顷＝400平方米。 （2）200000平方米＝20公顷。 （3）5平方千米＝50000平方米。 【答案】（1）错，应为40000平方米；（2）对；（3）错，应为5000000平方米（即500公顷） 【思路引导】（1）公顷到平方米进率是10000，不是100；（2）除以10000正好是20公顷；（3）平方千米到平方米进率是1000000，5平方千米＝500公顷。 【详解】 （1）（亮蓝：公顷与平方米的进率是10000，不是100） 4公顷＝4×10000＝40000平方米，原式错。 （2）200000÷10000＝20（公顷），正确（√）。 （3）（亮蓝：1平方千米＝100公顷＝1000000平方米） 5平方千米＝500公顷＝5000000平方米，原式错。 口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 答：（1）错（40000平方米）；（2）对；（3）错（5000000平方米）。 【变式1】在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 （1）3公顷○3000平方米；（2）60000平方米○6公顷；（3）2平方千米○200000平方米。 【变式2】一块长方形麦地，长400米，宽200米，一共收小麦48吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【变式3】把下面的面积按从小到大的顺序排列：8公顷、7000平方米、1平方千米、500000平方分米。 综合提升训练 一、选择题 1. 两个完全一样的梯形一定可以拼成一个（ ）。 长方形 平行四边形 三角形 梯形 二、填空题 5. 填一填：7公顷＝（ ）平方米；90000平方米＝（ ）公顷；4平方千米＝（ ）公顷。 三、计算题 9. 求下面平行四边形的面积：底14分米，高7分米。 四、操作与估计 12. 下面方格图中每个小方格的面积是1平方厘米。用数方格的方法估计这片树叶的面积大约是多少平方厘米。 五、解答题 13. 一块L形菜地如图（单位：米），它可以看作长10米、宽8米的长方形缺了一个长4米、宽3米的小长方形。求这块菜地的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积 单元重难与易错考点举一反三 重点·难点·易错 八大类 ＋ 综合提升训练 考点目录 知识要点梳理 2 重点（一）：平行四边形的面积——剪拼转化、底高对应 3 重点（二）：三角形的面积——拼摆转化、勿忘除以2 5 重点（三）：梯形的面积——拼成平行四边形 7 重点（四）：公顷和平方千米——面积单位的进率 10 难点（一）：等底等高与等积变形 12 难点（二）：组合图形的面积——分割求和与补全求差 13 易错考点（一）：忘除以2、邻边当高、拼摆条件 16 易错考点（二）：面积单位进率的混淆 18 综合提升训练 19 知识要点梳理 平行四边形面积沿一条高剪下一部分、平移后拼成长方形，长方形的长等于平行四边形的底、宽等于高，所以 S＝底×高＝ah。底和高必须一一对应，邻边不是高。 三角形面积两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，一个三角形是它的一半，S＝底×高÷2＝ah÷2。最容易漏掉“÷2”。 梯形面积两个完全一样的梯形，把其中一个倒过来可以拼成一个平行四边形，拼成的底等于上底与下底之和、高不变，S＝（上底＋下底）×高÷2＝(a＋b)h÷2。 公顷边长100米的正方形土地，面积是10000平方米，也是1公顷，即 1公顷＝10000平方米（进率是10000）。 平方千米边长1000米的正方形，面积是1000000平方米，也就是1平方千米；1平方千米＝100公顷＝1000000平方米。 组合图形面积把组合图形分割成几个基本图形分别求面积再相加（分割求和），或先补成基本图形再减去补上的部分（补全求差）；两种方法可以互相检验。 不规则图形的估计用数方格的方法估计：先数整格，再数不满整格的（不满整格按半格算），方格越小估计越准确。 等底等高等底等高的三角形面积相等，与形状无关；等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。底相等、面积也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 重点（一）：平行四边形的面积——剪拼转化、底高对应 平行四边形通过“沿高剪、平移拼”转化成长方形，面积不变，由此得到 S＝底×高。使用公式时底和高必须互相垂直、一一对应，邻边再长也不能当高。口诀：沿高剪拼成长方，底乘高来面积当；底高对应是关键，邻边再长也不当。 【典例分析】一块平行四边形菜地，底是6米，高是4米。这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】24平方米 【思路引导】平行四边形面积＝底×高。 【详解】 S ＝a×h ＝6×4 ＝24（平方米） 答：这块菜地的面积是24平方米。 【变式1】一个平行四边形，其中一组底是12厘米、这条底上的高是5厘米；另一条底是10厘米。另一条底边上的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路引导】同一个平行四边形面积不变。先用第一组对应的底和高算出面积，再用面积除以另一条底，得到与它对应的高。 【详解】 同一平行四边形面积不变，底和高必须一一对应，不能拿邻边相乘。 S ＝12×5 ＝60（平方厘米） 另一条底上的高＝60÷10＝6（厘米） 检验：10×6＝60，与12×5相等。 答：另一条底边上的高是6厘米。 【变式2】计算下面各平行四边形的面积或高。 （1）底8分米、高3分米；（2）底5厘米、高2.4厘米；（3）面积是48平方米、底是12米，求高。 【答案】（1）24平方分米；（2）12平方厘米；（3）4米 【思路引导】（1）（2）直接用底×高；（3）逆用公式，高＝面积÷底。 【详解】 （1）S ＝8×3 ＝24（平方分米） （2）（亮蓝：高是小数时，同样按底×高计算）S＝5×2.4＝12（平方厘米） （3）（亮蓝：逆用公式 h＝S÷a）h＝48÷12＝4（米） 答：（1）24平方分米；（2）12平方厘米；（3）高是4米。 【变式3】一块平行四边形广告牌，底是12米，高是6米。要在广告牌的正反面都刷上油漆，每平方米需要油漆0.6千克，一共需要油漆多少千克？ 【答案】86.4千克 【思路引导】注意是“正反面”都刷，先求一个面的面积，再乘2得到总面积，最后乘每平方米油漆用量。 【详解】一个面的面积：12×6＝72（平方米） 正反面总面积：72×2＝144（平方米） 油漆总量：144×0.6＝86.4（千克） 重点（二）：三角形的面积——拼摆转化、勿忘除以2 用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，三角形的底和高就是平行四边形的底和高，一个三角形是它的一半，S＝ah÷2。已知面积逆求底或高时，要先把面积乘2还原。口诀：两个三角全一样，拼成平行四边形；求一记得除以2，逆求先把2来乘。 【典例分析】手工课上做一面三角形小旗，底是40厘米，高是30厘米。做这面小旗需要多少平方厘米的布料？ 【答案】600平方厘米 【思路引导】两个完全一样的三角形拼成一个等底等高的平行四边形，一个三角形是它面积的一半，所以用底×高后必须除以2。 【详解】 两个完全一样的三角形拼成平行四边形，一个三角形是它的一半。 S ＝a×h÷2 ＝40×30÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方厘米） 答：做这面小旗需要600平方厘米的布料。 【变式1】计算下面各三角形的面积或高。 （1）底6分米、高5分米；（2）底8厘米、高3.5厘米；（3）面积是24平方米、底是8米，求高。 【答案】（1）15平方分米；（2）14平方厘米；（3）6米 【思路引导】（1）（2）用底×高÷2；（3）已知三角形面积逆求高，要先用面积×2还原成与它等底等高的平行四边形，再除以底。 【详解】 （1）S ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（平方分米） （2）S ＝8×3.5÷2 ＝28÷2 ＝14（平方厘米） （3）（亮蓝：三角形逆求高，先把面积×2还原成平行四边形） h ＝24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（米） 答：（1）15平方分米；（2）14平方厘米；（3）高是6米。 【变式2】一块三角形菜地，底是25米，高是16米。如果每平方米收白菜8千克，这块菜地一共收白菜多少千克？ 【答案】1600千克 【思路引导】先用底×高÷2求出菜地面积，再乘每平方米的产量。 【详解】 S ＝25×16÷2 ＝400÷2 ＝200（平方米） 先求面积，再乘单位面积产量。 200×8＝1600（千克） 答：这块菜地一共收白菜1600千克。 【变式3】一张长120厘米、宽80厘米的长方形红纸，用它做底是40厘米、高是20厘米的三角形小旗，最多可以做多少面这样的小旗？ 【答案】24面 【思路引导】先求一面小旗的面积（底×高÷2），再用红纸的总面积除以每面小旗的面积。 【详解】红纸面积：120×80＝9600（平方厘米） 一面小旗面积：40×20÷2＝400（平方厘米） 小旗数量：9600÷400＝24（面） 重点（三）：梯形的面积——拼成平行四边形 把两个完全一样的梯形中的一个倒过来，能拼成一个平行四边形，拼成的底等于梯形上底与下底之和、高不变，所以 S＝(a＋b)h÷2。堆成梯形的钢管等问题也可以用这个模型。口诀：两个梯形倒一倒，拼成平行四边形；上下底和当作底，照样除以2才行。 【典例分析】一条水渠的横截面是梯形，渠口宽（上底）4米，渠底宽（下底）2米，渠深（高）3米。这条水渠横截面的面积是多少平方米？ 【答案】9平方米 【思路引导】两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的底＝上底＋下底、高不变，一个梯形是它的一半。 【详解】 两个完全一样的梯形，一个倒过来拼成平行四边形，拼成的底＝上底＋下底。 S ＝（a＋b）×h÷2 ＝（4＋2）×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方米） 答：这条水渠横截面的面积是9平方米。 【变式1】计算下面各梯形的面积或高。 （1）上底3厘米、下底5厘米、高4厘米；（2）上底2分米、下底6分米、高5分米；（3）面积是30平方米，上底4米、下底8米，求高。 【答案】（1）16平方厘米；（2）20平方分米；（3）5米 【思路引导】（1）（2）用（上底＋下底）×高÷2；（3）逆求高，先×2再除以上下底之和。 【详解】 （1）S ＝（3＋5）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16（平方厘米） （2）S ＝（2＋6）×5÷2 ＝8×5÷2 ＝20（平方分米） （3）（亮蓝：逆求高先×2，再除以上下底之和） h ＝30×2÷（4＋8） ＝60÷12 ＝5（米） 答：（1）16平方厘米；（2）20平方分米；（3）高是5米。 【变式2】工地上一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有10根，每相邻两层相差1根，一共堆了7层。这堆钢管一共有多少根？ 【答案】49根 【思路引导】钢管堆的横截面近似梯形：最上层根数看作上底、最下层根数看作下底、层数看作高，用梯形面积公式计算总根数。 【详解】 钢管堆横截面近似梯形，总根数＝（上层根数＋下层根数）×层数÷2。 （4＋10）×7÷2 ＝14×7÷2 ＝49（根） 答：这堆钢管一共有49根。 【变式3】一条水渠的横截面是梯形，渠口宽5米，渠底宽3米，渠深2米。这条水渠长800米，挖成这条水渠一共需要挖土多少立方米？ 【答案】6400立方米 【思路引导】水渠横截面是梯形，先求横截面面积；水渠土方＝横截面面积×水渠长度。 【详解】横截面面积：（5＋3）×2÷2＝8（平方米） 挖土总量：8×800＝6400（立方米） 重点（四）：公顷和平方千米——面积单位的进率 测量土地面积常用公顷和平方千米。边长100米的正方形面积是1公顷；边长1000米的正方形面积是1平方千米。相邻常用面积单位进率一般是100，但公顷与平方米之间是10000，平方千米与公顷之间是100。口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 【典例分析】想一想，填一填：边长是100米的正方形土地，面积是多少平方米？合多少公顷？边长是1000米的正方形土地呢？ 【答案】边长100米：10000平方米＝1公顷；边长1000米：1000000平方米＝1平方千米＝100公顷 【思路引导】边长100米的正方形面积是10000平方米，规定为1公顷；边长1000米的正方形面积是1000000平方米，即1平方千米，1平方千米里有100个1公顷。 【详解】 边长100米：100×100＝10000（平方米）＝1（公顷） 1公顷＝10000平方米，进率是10000，不是100。 边长1000米：1000×1000＝1000000（平方米） 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 答：边长100米的正方形是1公顷；边长1000米的正方形是1平方千米，合100公顷。 【变式1】填一填。 （1）6公顷＝（ ）平方米；（2）50000平方米＝（ ）公顷；（3）3平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米。 【答案】（1）60000；（2）5；（3）300，3000000 【思路引导】公顷化平方米乘10000，平方米化公顷除以10000；平方千米化公顷乘100、化平方米乘1000000。 【详解】 （1）（亮蓝：公顷→平方米，乘进率10000）6×10000＝60000（平方米） （2）平方米→公顷，除以10000：50000÷10000＝5（公顷） （3）（亮蓝：平方千米→公顷乘100，→平方米乘1000000） 3平方千米＝300公顷＝3000000平方米 【变式2】一个正方形果园的周长是2400米，这个果园占地多少公顷？ 【答案】36公顷 【思路引导】先由周长除以4求出边长，再用边长×边长求出面积（平方米），最后除以10000化成公顷。 【详解】 边长＝2400÷4＝600（米） 面积＝600×600＝360000（平方米） 平方米换公顷，除以进率10000。 360000÷10000＝36（公顷） 答：这个果园占地36公顷。 【变式3】一个长方形湿地公园占地6平方千米，长是3000米，宽是多少米？ 【答案】2000米 【思路引导】先把6平方千米换算成平方米，再用面积÷长＝宽。 【详解】6平方千米＝6000000平方米 宽：6000000÷3000＝2000（米） 难点（一）：等底等高与等积变形 三角形的面积只由底和高决定，与形状无关。几个三角形有共同的底、顶点都在与底平行的同一条直线上，它们等底等高、面积相等。由此还能推出：等底等高的三角形面积是平行四边形的一半；底相等、面积也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 【典例分析】如图，三个三角形有共同的底AB，三个顶点都在与AB平行的同一条直线上。这三个三角形的面积有什么关系？为什么？ 【答案】三个三角形面积相等，都等于 a×h÷2 【思路引导】三个三角形底相同（都是AB），顶点在与底平行的直线上移动，平行线间的距离处处相等，所以高也相等；等底等高的三角形面积相等，与形状无关。 【详解】 顶点在与底平行的直线上移动，底不变，两平行线间的距离即高也不变。 三个三角形的底都是a、高都是h。 三个三角形的面积都等于 a×h÷2。 答：三个三角形面积相等；三角形的面积只与底和高有关，与形状无关。 【变式1】一个平行四边形的面积是36平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】18平方厘米 【思路引导】等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半，直接除以2。 【详解】 等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 36÷2＝18（平方厘米） 答：与它等底等高的三角形面积是18平方厘米。 【变式2】一个三角形与一个平行四边形的底相等，面积也相等。已知平行四边形的高是6厘米，这个三角形的高是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路引导】设共同的底为a。平行四边形面积＝a×6，三角形面积＝a×三角形的高÷2，两者相等可推出三角形的高＝6×2＝12厘米。 【详解】 设底为a，由面积相等：a×6＝a×三角形的高÷2。 底相同、面积相同时，三角形的高必须是平行四边形高的2倍。 三角形的高＝6×2＝12（厘米） 答：这个三角形的高是12厘米。 【变式3】一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等。已知平行四边形的底是10厘米，这个三角形的底是多少厘米？ 【答案】20厘米 【思路引导】高相等、面积也相等时，三角形的底必须是平行四边形底的2倍，因为三角形面积要“÷2”。 【详解】设高为h，三角形底为a：a×h÷2＝10×h a÷2＝10，a＝20（厘米） 难点（二）：组合图形的面积——分割求和与补全求差 组合图形没有现成公式，基本思路有两条：一是分割成几个学过的基本图形，分别求面积再相加；二是先补成一个基本图形，再减去补上的那部分。两种方法结果应当一致，可以互相检验。口诀：组合图形并不难，分割补全两招鲜；分割求和补全减，两法对照最保险。 【典例分析】一间房子的侧面墙形状如图：上面是底5米、高2米的三角形，下面是长5米、宽4米的长方形。这面墙的面积是多少平方米？ 【答案】25平方米 【思路引导】把这面墙分割成上面的三角形和下面的长方形，分别求出面积后相加。 【详解】 组合图形分割成已学过的基本图形，分别求面积再求和。 三角形面积：5×2÷2＝5（平方米） 长方形面积：5×4＝20（平方米） 总面积：5＋20＝25（平方米） 答：这面墙的面积是25平方米。 【变式1】一面中队旗如图，可以看作在长80厘米、宽60厘米的长方形右侧剪去一个底60厘米、高20厘米的三角形。这面中队旗的面积是多少平方厘米？ 【答案】4200平方厘米 【思路引导】用补全求差：先补成完整的长方形求出面积，再减去剪去（补上）的三角形面积。 【详解】 先补成长方形，再减去补上的三角形——补全求差。 长方形面积：80×60＝4800（平方厘米） 剪去的三角形：60×20÷2＝600（平方厘米） 旗面面积：4800−600＝4200（平方厘米） 答：这面中队旗的面积是4200平方厘米。 【变式2】一块L形菜地（可看作长12米、宽8米的长方形，缺了一个长4米、宽3米的小长方形）。用两种方法求出这块菜地的面积。 【答案】84平方米 【思路引导】方法一用补全求差：大长方形减小长方形；方法二用分割求和：竖着分成左右两个长方形。两种方法结果应一致。 【详解】 方法一（补全求差）： 12×8−4×3 ＝96−12 ＝84（平方米） 方法二（分割求和）： 竖分成左右两个长方形，左边宽12−4＝8、高8，右边宽4、高8−3＝5。 8×8＋4×5 ＝64＋20 ＝84（平方米） 答：这块菜地的面积是84平方米，两种方法结果相同。 【变式3】一间房子的侧面墙形状如图：下方是长6米、高4米的长方形，上方是底6米、高2米的三角形。砌这面墙每平方米用砖120块，一共需要多少块砖？ 【答案】3600块 【思路引导】侧面墙＝长方形＋三角形，先分别求面积再相加，最后乘每平方米用砖数。 【详解】长方形面积：6×4＝24（平方米） 三角形面积：6×2÷2＝6（平方米） 侧面墙总面积：24＋6＝30（平方米） 用砖总数：30×120＝3600（块） 易错考点（一）：忘除以2、邻边当高、拼摆条件 本单元计算最常见的三类错误：三角形、梯形面积忘除以2；平行四边形错把邻边当成高相乘；误以为面积相等的两个三角形就能拼成平行四边形（其实必须完全一样）。口诀：三角梯形莫忘2，底高对应邻边弃；拼摆要找全等形，面积相等不可以。 【典例分析】下面各题的做法对吗？把不对的改正过来。 （1）三角形底10米、高6米，列式：10×6＝60（平方米）。 （2）梯形上底3米、下底5米、高4米，列式：（3＋5）×4＝32（平方米）。 （3）平行四边形两条邻边分别长60米、50米，60米这条边上的高是40米，列式：60×50＝3000（平方米）。 【答案】（1）错，正确是30平方米；（2）错，正确是16平方米；（3）错，正确是2400平方米 【思路引导】（1）三角形面积要除以2；（2）梯形公式也要除以2；（3）平行四边形必须用底和它对应的高相乘，邻边不是高。 【详解】 （1）（亮蓝：三角形面积忘除以2，是最高发的错误） 正解：10×6÷2＝30（平方米） （2）（亮蓝：梯形是两个梯形拼成的，求一个也要除以2） 正解：（3＋5）×4÷2＝8×4÷2＝16（平方米） （3）（亮蓝：邻边不是高，要用底60米和它对应的高40米相乘） 正解：60×40＝2400（平方米） 口诀：三角梯形莫忘2，底高对应邻边弃。 答：三题都错，正确结果依次是30平方米、16平方米、2400平方米。 【变式1】判断：面积相等的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）（对的画“√”，错的画“×”） 【答案】× 【思路引导】只有两个完全一样（形状、大小都相同）的三角形才能拼成平行四边形；面积相等但形状不同的三角形拼不成。 【详解】 面积相等不等于完全一样，等底等高但形状不同的两个三角形拼不成平行四边形。 必须是两个完全一样的三角形，所以这句话是错的（×）。 【变式2】把一个长方形木框轻轻拉成一个平行四边形，它的周长（ ），面积（ ）。（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】不变；变小 【思路引导】四条边的长度没有改变，所以周长不变；拉斜之后高变短（小于原来的宽），底不变，底×高变小，所以面积变小。 【详解】 四条边长度不变→周长不变；拉斜后高比原来的宽短→底×高变小。 周长不变，面积变小。 【变式3】一个平行四边形相邻两条边的长分别是8厘米和5厘米，其中一条高是6厘米。这个平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】30平方厘米 【思路引导】高一定比与它相邻的另一条边短（高是垂线段，最短）。高6厘米不可能对应8厘米的底（此时另一条边只有5厘米，高不能超过5厘米），所以6厘米的高对应5厘米的底。 【详解】判断：6＞5，高6厘米只能对应5厘米的底 面积：5×6＝30（平方厘米） 易错考点（二）：面积单位进率的混淆 面积单位进率容易记混：常用相邻面积单位（平方米、平方分米、平方厘米）之间进率是100；公顷与平方米之间是10000；平方千米与公顷之间是100、与平方米之间是1000000。比较或换算前先统一单位。口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 【典例分析】下面的换算对吗？把不对的改正过来。 （1）4公顷＝400平方米。 （2）200000平方米＝20公顷。 （3）5平方千米＝50000平方米。 【答案】（1）错，应为40000平方米；（2）对；（3）错，应为5000000平方米（即500公顷） 【思路引导】（1）公顷到平方米进率是10000，不是100；（2）除以10000正好是20公顷；（3）平方千米到平方米进率是1000000，5平方千米＝500公顷。 【详解】 （1）（亮蓝：公顷与平方米的进率是10000，不是100） 4公顷＝4×10000＝40000平方米，原式错。 （2）200000÷10000＝20（公顷），正确（√）。 （3）（亮蓝：1平方千米＝100公顷＝1000000平方米） 5平方千米＝500公顷＝5000000平方米，原式错。 口诀：平常用百要记牢，公顷一万别混淆，千米一百公顷到。 答：（1）错（40000平方米）；（2）对；（3）错（5000000平方米）。 【变式1】在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 （1）3公顷○3000平方米；（2）60000平方米○6公顷；（3）2平方千米○200000平方米。 【答案】（1）＞；（2）＝；（3）＞ 【思路引导】先把两边统一成相同单位再比较大小。 【详解】 （1）3公顷＝30000平方米，30000＞3000，填＞。 （2）（亮蓝：统一单位再比较）60000平方米＝6公顷，填＝。 （3）2平方千米＝2000000平方米，2000000＞200000，填＞。 【变式2】一块长方形麦地，长400米，宽200米，一共收小麦48吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】6吨 【思路引导】先用长×宽求出面积（平方米），再除以10000化成公顷，最后用总产量除以公顷数。 【详解】 麦地面积：400×200＝80000（平方米）＝8（公顷） 先把平方米换成公顷，再用总产量÷公顷数。 48÷8＝6（吨） 答：平均每公顷收小麦6吨。 综合提升训练 一、选择题 1. 两个完全一样的梯形一定可以拼成一个（ ）。 长方形 平行四边形 三角形 梯形 【答案】B 【思路引导】把其中一个梯形倒过来，就能拼成平行四边形，拼成的底等于上底加下底；只有两个是直角梯形等特殊情况时才可能拼成长方形。 【详解】 两个完全一样的梯形，一个倒过来拼成平行四边形。 一般情况下拼成的是平行四边形，选B。 2. 把一个长方形木框拉成一个平行四边形，它的面积（ ）。 变大 变小 不变 无法确定 【答案】B 【思路引导】拉斜后底不变，但高比原来的宽短，底×高变小，所以面积变小。 【详解】 四条边不变、周长不变，但高变短。 底不变、高变短，面积变小，选B。 3. 一个三角形的底不变，高扩大到原来的3倍，它的面积（ ）。 扩大到原来的3倍 扩大到原来的6倍 不变 缩小到原来的三分之一 【答案】A 【思路引导】三角形面积＝底×高÷2，底不变时面积随高同步变化，高扩大3倍，面积也扩大3倍。 【详解】 S＝a×h÷2，底a不变，高h乘3，积也乘3。 ÷2是固定的，不影响扩大的倍数。 面积扩大到原来的3倍，选A。 4. 1平方千米＝（ ）公顷。 10 100 1000 10000 【答案】B 【思路引导】1平方千米是边长1000米的正方形，1公顷是边长100米的正方形，一排能摆10个、摆10排，共100个。 【详解】 平方千米与公顷之间的进率是100。 1平方千米＝100公顷，选B。 二、填空题 5. 填一填：7公顷＝（ ）平方米；90000平方米＝（ ）公顷；4平方千米＝（ ）公顷。 【答案】 70000；9；400 【思路引导】公顷化平方米乘10000，平方米化公顷除以10000，平方千米化公顷乘100。 【详解】 7公顷＝7×10000＝70000平方米； 90000平方米＝90000÷10000＝9公顷； 4平方千米＝4×100＝400公顷。 6. 一个平行四边形和一个与它等底等高的三角形，平行四边形的面积比三角形大18平方厘米。平行四边形的面积是（ ）平方厘米，三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 36；18 【思路引导】等底等高时三角形面积是平行四边形的一半，平行四边形比三角形多出的部分正好等于三角形本身的面积。 【详解】 平行四边形比三角形多的那一份，正好就是三角形的面积。 三角形面积＝18平方厘米； 平行四边形面积＝18×2＝36平方厘米。 7. 一个梯形的上底与下底之和是20厘米，高是6厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 60 【思路引导】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，题目直接给出了上下底之和，代入即可。 【详解】 上下底之和已知是20，直接乘高再除以2。 20×6÷2＝60（平方厘米）。 8. 一个三角形和一个平行四边形的底相等、面积也相等。平行四边形的高是5厘米，三角形的高是（ ）厘米。 【答案】 10 【思路引导】底相等、面积相等时，三角形的高必须是平行四边形高的2倍，才能补上“÷2”。 【详解】 等底、等面积，三角形的高＝平行四边形高×2。 5×2＝10（厘米）。 三、计算题 9. 求下面平行四边形的面积：底14分米，高7分米。 【答案】98平方分米 【思路引导】平行四边形面积＝底×高。 【详解】 S ＝a×h ＝14×7 ＝98（平方分米） 10. 求下面三角形的面积：底18米，高12米。 【答案】108平方米 【思路引导】三角形面积＝底×高÷2，不要漏除以2。 【详解】 S ＝a×h÷2 ＝18×12÷2 ＝216÷2 ＝108（平方米） 11. 求下面梯形的面积：上底6米，下底14米，高8米。 【答案】80平方米 【思路引导】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】 S ＝（a＋b）×h÷2 ＝（6＋14）×8÷2 ＝20×8÷2 ＝80（平方米） 四、操作与估计 12. 下面方格图中每个小方格的面积是1平方厘米。用数方格的方法估计这片树叶的面积大约是多少平方厘米。 【答案】大约27平方厘米 【思路引导】先数整格的，再数不满整格的（不满整格按半格算），两部分相加；数得整格14格、不满整格约26格。 【详解】 整格按1格算，不满整格按半格算，方格越小估计越准。 整格有14格；不满整格约26格，折合 26÷2＝13（格）。 面积≈14＋26÷2＝14＋13＝27（平方厘米） 答：这片树叶的面积大约是27平方厘米。 五、解答题 13. 一块L形菜地如图（单位：米），它可以看作长10米、宽8米的长方形缺了一个长4米、宽3米的小长方形。求这块菜地的面积。 【答案】68平方米 【思路引导】用补全求差：大长方形减小长方形；也可以分割成两个长方形求和检验。 【详解】 方法一（补全求差）： 10×8−4×3 ＝80−12 ＝68（平方米） 方法二（分割求和，检验）： 竖分成两个长方形，左边宽10−4＝6、高8，右边宽4、高8−3＝5。 6×8＋4×5 ＝48＋20 ＝68（平方米） 答：这块菜地的面积是68平方米。 14. 一块梯形广告牌，上底8米，下底12米，高4米。粉刷这块广告牌（只刷一面），每平方米需要60元，一共需要多少元？ 【答案】2400元 【思路引导】先用梯形公式求出广告牌面积，再乘每平方米的费用。 【详解】 S ＝（8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝40（平方米） 先求面积，再乘单位面积费用。 40×60＝2400（元） 答：一共需要2400元。 15. 一块三角形的油菜地，底是200米，高是120米。如果每公顷收油菜籽2500千克，这块地一共收油菜籽多少吨？ 【答案】3吨 【思路引导】先求三角形面积并化成公顷，再乘每公顷产量得到千克数，最后除以1000化成吨。 【详解】 S ＝200×120÷2 ＝24000÷2 ＝12000（平方米） 12000平方米＝1.2公顷 三角形面积别忘了÷2，平方米化公顷除以10000。 1.2×2500 ＝3000（千克） ＝3（吨） 答：这块地一共收油菜籽3吨。 16. 一种三角形交通警示牌，底是9分米，高是7.8分米。做100面这样的警示牌，至少需要多少平方分米的铁皮？合多少平方米？ 【答案】3510平方分米，合35.1平方米 【思路引导】先求一面警示牌的面积（三角形，除以2），再乘100；平方分米化平方米除以进率100。 【详解】 一面的面积：9×7.8÷2＝70.2÷2＝35.1（平方分米） 100面：35.1×100＝3510（平方分米） 平方分米与平方米之间的进率是100。 3510平方分米＝35.1平方米 答：至少需要3510平方分米的铁皮，合35.1平方米。 【变式3】把下面的面积按从小到大的顺序排列：8公顷、7000平方米、1平方千米、500000平方分米。 【答案】7000平方米＜500000平方分米＜8公顷＜1平方千米 【思路引导】先统一成平方米再比较：1公顷＝10000平方米，1平方千米＝1000000平方米，1平方米＝100平方分米。 【详解】8公顷＝80000平方米 500000平方分米＝50000平方米 1平方千米＝1000000平方米 7000＜50000＜80000＜1000000 学科网（北京）股份有限公司 $