第3章 不等式（复习讲义）数学苏教版必修第一册

第3章 不等式 复习要点 掌握不等式基本性质与作差比较法； 理解三个 “二次” 的内在关联，熟练求解一元二次不等式， 掌握含参不等式分类讨论思路； 掌握基本不等式的适用条件与最值求解， 熟悉凑项、“1” 的代换等变形技巧 复习重难点 重点：不等式核心性质、一元二次不等式解法、基本不等式求最值 难点：含参一元二次不等式分类讨论；基本不等式的变形构造与等号验证 知识点 实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）作商法①或②③或 要点速测 设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 知识点 不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 要点速测 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 知识点 基本不等式 （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 要点速测 已知，且，则的最大值为________． 知识点 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 要点速测 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________. 知识点 分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 要点速测 不等式的解集为__________． 题型1：比较两个数（式子）大小 【典例1】已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式1-1】（2026·高二·山东·学业考试模拟）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1-2】已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式1-3】设，，则（    ）． A． B． C． D． 题型2：利用不等式性质判断正误 【典例2】（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3：利用不等式性质求取值范围 【典例3】（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知实数，满足，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4：利用基本不等式求最值 【典例4】（2026·高一·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【变式4-1】（2026·高三·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（江苏省百校大联考2026届高三9月学情检测数学试题）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 【变式4-3】（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 题型5：“1”的妙用 【典例5】（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式5-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．15 D．25 【变式5-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 题型6：条件等式求最值 【典例6】（2026·高三·天津武清·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为_______ 【变式6-1】（2026·高三·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【变式6-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 题型7：二次与二次（一次）的商式最值 【典例7】（2026·高三·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【变式7-1】（2026·高三·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【变式7-2】（2026·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【变式7-3】（2026·高三·上海·阶段检测）若正数，满足，则的最大值为_______. 题型8：解不含参数的一元二次不等式 【典例8】（2026·高一·山西大同·阶段检测）不等式的解集为________． 【变式8-1】（2026·陕西汉中·模拟预测）不等式的解集为______． 【变式8-2】不等式的解集是________． 【变式8-3】不等式的解集为____________． 题型9：由一元二次不等式的解确定参数 【典例9】（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则______ 【变式9-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【变式9-2】若关于的不等式的非空解集为，则________． 【变式9-3】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 题型10：解含参数的一元二次不等式 【典例10】（2026·高三·天津西青·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3)已知不等式的解集为或. ①求实数的值； ②解关于的不等式. 【变式10-1】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【变式10-2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【变式10-3】解关于x的不等式. 难点一 一元二次不等式恒成立（能成立）问题 恒成立问题：（1）全体实数域：恒成立需且；恒成立需且，须单独验证的一次函数情形．（2）给定区间：优先分离参数，转化为或；不便分离时，结合二次函数对称轴与区间位置求最值，令最值满足不等关系． 能成立问题：转化为函数最值反向判断，能成立等价于；分离参数后，只需即可．核心是转化为函数最值，优先分离参数减少分类讨论，注意二次项系数为0的边界情况． 难点精练 1．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 2．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 4．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 基础达标 1．用一段长为的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：）的最大值为（   ） A．64 B．16 C．8 D．4 2．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知，均为正实数，则的最小值为（     ） A．3 B．7 C．8 D．9 3．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·高三·辽宁锦州·阶段检测）若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·高三·广西河池·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 7．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·全国·期中）若非负实数，满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为2 C．有最小值为2 D． 有最小值为 12．（2026·高一·北京·期中）已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是______. 13．若关于的不等式的解集为，则_________，_________． 14．（2026·高三·重庆·阶段检测）设 ，则的最小值为_____． 15．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 16．（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 能力进阶 1．（2026·高一·广西玉林·期中），，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 8．（多选题）（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足，，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 9．（多选题）（2026·高二·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 10．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）若，则的最小值为_________． 12．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 13．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 14．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 15．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式 复习要点 掌握不等式基本性质与作差比较法； 理解三个 “二次” 的内在关联，熟练求解一元二次不等式， 掌握含参不等式分类讨论思路； 掌握基本不等式的适用条件与最值求解， 熟悉凑项、“1” 的代换等变形技巧 复习重难点 重点：不等式核心性质、一元二次不等式解法、基本不等式求最值 难点：含参一元二次不等式分类讨论；基本不等式的变形构造与等号验证 知识点 实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）作商法①或②③或 要点速测 设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 知识点 不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 要点速测 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 知识点 基本不等式 （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 要点速测 已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 知识点 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 要点速测 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】因为不等式对任意恒成立， 所以即， 解得， 所以实数的取值范围是. 知识点 分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 要点速测 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】由不等式移项得，，化简得， 要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集， 解得，因此该不等式的解集为. 题型1：比较两个数（式子）大小 【典例1】已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【解析】作差，即； ①当，时，，即； ②当，时，，即； ③当，中一个小于1，另一个大于1时，，即； ④当，中有一个等于时，，即； 综上，当，或，时，，当，中一个小于1，另一个大于1时，；当，中有一个等于时，. 【变式1-1】（2026·高二·山东·学业考试模拟）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】依题意，， 则，而， 因此，所以. 【变式1-2】已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【解析】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 【变式1-3】设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 题型2：利用不等式性质判断正误 【典例2】（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且可得，且 因为，所以 又因为，所以， 所以 【变式2-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】当时，，故A项错误； 不等式两边同乘正数 2，不等号方向不变，若，则，故B项正确； 当时，，故C项错误； 当，时，，，，，故D项错误. 【变式2-2】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知条件为，逐一分析选项： 选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立； 选项B：取，，， 此时，不等式不恒成立； 选项C：作差：， 由条件得， 因此差值为正，即，该不等式不成立； 选项D：先拆分变形：， 由条件：故；，因此， 两个正数相加结果必大于，即恒成立. 【变式2-3】若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由不等式的性质可得： ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 题型3：利用不等式性质求取值范围 【典例3】（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知实数，满足，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 【变式3-1】若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 【变式3-2】（2026·高一·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（2026·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 题型4：利用基本不等式求最值 【典例4】（2026·高一·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【解析】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 【变式4-1】（2026·高三·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【变式4-2】（江苏省百校大联考2026届高三9月学情检测数学试题）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【解析】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是. 【变式4-3】（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 题型5：“1”的妙用 【典例5】（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】将等式两边同时除以，可得：， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即， 结合，可得时取等号， 故的最小值为4. 【变式5-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．15 D．25 【答案】D 【解析】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 【变式5-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【变式5-3】（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 题型6：条件等式求最值 【典例6】（2026·高三·天津武清·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为_______ 【答案】 / 【解析】已知正实数，满足，所以，且，， 因为 ， ， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 将代入，解得，，均满足正实数条件， 所以， 即所求最小值为. 【变式6-1】（2026·高三·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【解析】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 【变式6-3】（2026·高三·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 题型7：二次与二次（一次）的商式最值 【典例7】（2026·高三·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【解析】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式7-1】（2026·高三·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式7-2】（2026·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【变式7-3】（2026·高三·上海·阶段检测）若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 题型8：解不含参数的一元二次不等式 【典例8】（2026·高一·山西大同·阶段检测）不等式的解集为________． 【答案】（或） 【解析】结合二次函数图象可得的解集为 【变式8-1】（2026·陕西汉中·模拟预测）不等式的解集为______． 【答案】/ 【解析】由，得， 则，解得， 故不等式的解集为． 【变式8-2】不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 【变式8-3】不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 题型9：由一元二次不等式的解确定参数 【典例9】（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则______ 【答案】0 【解析】已知不等式：的解集为， 由此可知：一元二次方程的两个根为，，且， 由韦达定理得，解得， 所以. 【变式9-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】由的解集为可得，且时，， 根据韦达定理可得即，即， 代入可得化简得，解得. 【变式9-2】若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【解析】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 【变式9-3】（2026·高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 题型10：解含参数的一元二次不等式 【典例10】（2026·高三·天津西青·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3)已知不等式的解集为或. ①求实数的值； ②解关于的不等式. 【解析】（1）因为，所以，即， 即，解得. （2）因为，所以，当时，，解得； 当时，或，解得或， 综上，解得或. （3）①由不等式的解集为或， 所以，且的两根为 所以，所以. ②不等式为，即， 当时，此时，则不等式的解集为； 当时，此时，则不等式无解； 当时，此时，则不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为. 【变式10-1】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【解析】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式10-2】（2026·高一·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【解析】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 【变式10-3】解关于x的不等式. 【解析】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 难点一 一元二次不等式恒成立（能成立）问题 恒成立问题：（1）全体实数域：恒成立需且；恒成立需且，须单独验证的一次函数情形．（2）给定区间：优先分离参数，转化为或；不便分离时，结合二次函数对称轴与区间位置求最值，令最值满足不等关系． 能成立问题：转化为函数最值反向判断，能成立等价于；分离参数后，只需即可．核心是转化为函数最值，优先分离参数减少分类讨论，注意二次项系数为0的边界情况． 难点精练 1．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【解析】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 2．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. （2）设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 3．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由已知，不等式的解集不是， 即不等式在上有解， 则，即. 所以实数m的取值范围是. （2）依题意，在区间上恒成立， 的对称轴为， 因为，， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 4．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 基础达标 1．用一段长为的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：）的最大值为（   ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【解析】设矩形长x、宽y，则，． 该矩形面积，当且仅当等号成立． 故该矩形面积（单位：）的最大值为16． 2．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知，均为正实数，则的最小值为（     ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由题意得， 而，均为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，即时取等， 此时可得的最小值为，故D正确. 3．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由二次根式有意义，得，即. 当时，，不等式左边等于，满足不等式，所以是不等式的解. 当时，，不等式等价于，即. 所以不等式的解集为，即解集中的满足或. 4．（2026·高三·辽宁锦州·阶段检测）若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为不等式的解集为， 所以与是方程的两个根，且， 所以，， 则不等式可化为，解得， 所以成立的充要条件是. 5．（2026·高三·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】不等式，即，解得， 当为整数时解集为， 所以满足的整数的个数是6. 6．（2026·高三·广西河池·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 7．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 8．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为； 且； 因为，故． 9．（多选题）（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】已知， 判断A选项：由不能推出，例如取，，取，满足，但，故A错误； 判断B选项：由，得，又，所以，由不等式性质，两边平方得：，故B正确； 判断C选项：由B知，但的符号不确定，若，则； 若，则；若，则，所以不一定成立，故C错误； 判断D选项：由，得，故D正确. 10．（多选题）（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】对于A，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C，因为，， 所以，即，C正确； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 而，所以，符合该式，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·全国·期中）若非负实数，满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为2 C．有最小值为2 D． 有最小值为 【答案】ABD 【解析】由基本不等式得，代入，得， 当且仅当时取等号，故有最大值为1，故A正确； 由 ，结合，得 ， 当且仅当时取等号，故有最小值为2，故B正确； ， 由得 ，当且仅当时取等号， 故有最大值为2，故C错误； 由得，则 , 因为非负实数且 ，故 设，则， 函数 在单调递增， 故当，即时，取得最小值， 即 有最小值为，故D正确. 12．（2026·高一·北京·期中）已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由不等式，即， 要使，因为，则，故只需，即， 若取，显然成立，且， 此时，“若，则”是假命题. 故整数，的值依次可取（答案不唯一）. 13．若关于的不等式的解集为，则_________，_________． 【答案】 5 4 【解析】等价于，由不等式的解集是， 可知对应一元二次方程的两个实根为和， 即的取值为或， 故，. 14．（2026·高三·重庆·阶段检测）设 ，则的最小值为_____． 【答案】6 【解析】由，，得， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为 15．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：． 【解析】（1）， 故； （2）证明：且，即，故， 所以. 16．（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，. 能力进阶 1．（2026·高一·广西玉林·期中），，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 2．（2026·高二·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 3．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 4．（2026·高二·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即. 等价为，解得. 故解集为. 5．（2026·高二·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，， 当且仅当取等号，故A错误； 对于B，当时，满足，但是，B选项错误； 对于CD，利用乘“1”法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确. 6．（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 所以对于，可以看作， 因为，当且仅当时成立，所以， 解得. 7．（2026·高二·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 8．（多选题）（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数，满足，，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 【答案】BCD 【解析】令. ,A不正确. ,B正确. ,C正确. ，考虑极端情况，假设，则.则令，找到了一组满足条件的 存在唯一一组对应的，使得，D正确. 9．（多选题）（2026·高二·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 10．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 11．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）若，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】， 因为，所以 所以. 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 【答案】30 【解析】记热带风暴中心t小时后到达点B处，如图，自B向x轴作垂线，垂足为C. 由题意，知km，则km，km. 若在点B处受到热带风暴的影响，则km，即， 可得，解得， 所以该码头将受到热带风暴影响的时长为. 13．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】由可得； 设，则； 则，即，即； 由可得，， 因为，，故； 则，； 则；由可得； 故有；当且仅当，即时，等号成立； 此时，即． 14．（云南省部分校联考联考2025-2026学年高一9月阶段检测数学试题）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 【解析】（1）由题意，设，，其中． 当时，，，所以，．因此，． 当时，（万元），（万元）． （2）由小问1得，当时，． 当且仅当，即时取等号；又，故． 因此，仓库应建在距离车站千米处，总费用的最小值为万元． 15．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $