第二章、第三章综合测试卷（成都专用）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年九年级数学上学期第 2-3 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第2-3章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，判断即可． 解：A、未说明，不一定是一元二次方程， B、不是整式方程，不符合， C、为整式方程，只含一个未知数，且最高次数为2，二次项系数非零，符合要求， D、未知数最高次数为3，不符合． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量，根据总产量列方程． 解：∵四月份产量为50万吨，五、六月份平均月增长率为， ∴五月份产量为万吨，六月份产量为万吨， ∵第二季度总产量为182万吨， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 7．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）若是方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 10．（2026·四川成都·二模）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解． 解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 11．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，即可得出有两个相等的实数根，利用根的判别式求出的值，进而求出的长，最后根据矩形对角线相等即可求出的长． 解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∵，的长是关于的方程的两个根， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得，即， ∴． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【答案】10 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 13．（2025·湖南常德·二模）如图，已知四边形是平行四边形，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，过E，F两点作直线恰好经过点D，交对角线于点O，若，则的长为__________． 【答案】3 【分析】如图所示，设与交于点G，首先得出，然后证明出，得到，然后结合求解即可． 解：如图所示，设与交于点G 由作图得，是的垂直平分线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：3． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，尺规作垂直平分线等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）（天津市红桥区2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学试题）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． （1）解：， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（满分10分）（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 解：（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． 16．（满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， ． 对任意实数，，即， 方程总有两个实数根． （2）或 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根； （2）通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为的条件列绝对值方程，求解得到的值． 解：（1）略 （2）解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为， ，即， 化简得， 或， 解得或. 17．（满分10分）（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 18．（满分10分）（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知直线交轴、轴分别为点、． （1）点在直线上，，求点的坐标． （2）点，在的延长线上，且，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），先求出点A，B的坐标，再设点，作轴，然后根据相似三角形的性质求出，进而得出答案； 对于（2），先求出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案. （1）解：当时，；当时，， ∴点， ∴. 当P在线段上时，过点P作轴，于点D，设点， 则. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点； 当P在射线上时，作轴，于点，设点， 则. 同理可得， ∴， 即， 解得， ∴点. 所以点或； （2）解：根据勾股定理，得，, ∵， ∴， ∴， 即. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．（26-27九年级上·全国·单元测试）若关于的一元二次方程的两根为相邻偶数，则的值为________． 【答案】 【分析】设方程两根为相邻偶数，利用根与系数的关系得两根乘积为48，列方程求出两根，再根据两根和计算的值． 解：设方程的两个相邻偶数根分别为和，其中为偶数． ∵ 对于一元二次方程，两根之积等于常数项与二次项系数的比， ∴ ． 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或 ． 当时，两根为和， ∵ 两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数， ∴ ， 解得 ． 当时，两根为和， ∴ ， 解得 ． 综上，的值为． 20．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则___________ 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，解一元二次方程，根据题意设，则，进而根据勾股定理，即可求解． 解：如图，作交的延长线于点，连接 设，则，依题意得 解得：或（舍去） 故答案为：． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在菱形中，点M是对角线上的点，将沿折叠，若点A的对应点恰好落在边上（点不与点B，C重合），设与交于点N，且，，则__________． 【答案】 【分析】连接，设，证明，求得，求得，，，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：连接，设， 由折叠的性质得，，，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 22．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容． （1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，证即可得解； （2）连接，，则，所以点在点在线段的垂直平分线上，从而发现当时，点在上运动，求出长度即可． 解：（1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，，的中点，过作轴于点，则，， ，的中点为， ， 点在线段的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线交轴于点，则， ∵中，， ∴， 解得， 当时，与原点重合，此时，得到， 此时点与的中点重合， ， ∴， 当时，，此时， ∴，， ∴， ∴，即此时点与原点重合，与重合， ∴当时，点在上运动，点所走过的路线为线段，， 即在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）元或元；（3） 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． （1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 25．（满分10分）（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，矩形中，，E是边上的点，，连接，P是边上的动点，过点P作交边于点Q （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点H是线段上的点，P是的中点，连接，若平分，求证：； （3）如图3，当点P在边上运动时，设，若点H在直线的下方，线段经过点E，那么，是否存在实数x，使以P，Q，H为顶点的三角形与全等？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明、相似三角形的判定于性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据矩形的性质、平行线的性质即可证明结论； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义可得，则，再说明，最后运用即可证明结论； （3）先说明，再分和两种情况分别运用全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点解得即可． 解：（1）略 （2）略 （3）解：∵是直角三角形，要使以 P，Q，H 为顶点的三角形与全等，则是公共的对应边，与是对应角， ∴， ①当时， 对应，对应， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 在 中， ， ∴，解得：； ②当时， 对应，对应，则， ∴.， ∴四边形是矩形， ∵线段经过点E， ∴点Q与点B 重合，此时，， ∴． 综上所述，当或4时，以 P，Q，H 为顶点的三角形与全等． 26．（满分12分）（2025·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： （1）问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． （2）拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①1；②；（2），，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （3）或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结果； （2）先证明，得出，再证明，得出，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点作于点，分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． （1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②由①可得； （2）略； （3）解：过点作于点，当点在上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在的延长线上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第 2-3 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第2-3章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）若是方程的一个根，则___________． 10．（2026·四川成都·二模）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 11．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【13．（2025·湖南常德·二模）如图，已知四边形是平行四边形，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，过E，F两点作直线恰好经过点D，交对角线于点O，若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）（天津市红桥区2026-2027学年九年级上学期九月学情自测数学试题）解下列方程： （1）； （2）． 15．（满分10分）（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长；（2）若，求的长． 16．（满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 17．（满分10分）（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 18．（满分10分）（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知直线交轴、轴分别为点、． （1）点在直线上，，求点的坐标． （2）点，在的延长线上，且，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．（26-27九年级上·全国·单元测试）若关于的一元二次方程的两根为相邻偶数，则的值为________． 20．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则___________ 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在菱形中，点M是对角线上的点，将沿折叠，若点A的对应点恰好落在边上（点不与点B，C重合），设与交于点N，且，，则__________． 22．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 25．（满分10分）（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，矩形中，，E是边上的点，，连接，P是边上的动点，过点P作交边于点Q （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点H是线段上的点，P是的中点，连接，若平分，求证：； （3）如图3，当点P在边上运动时，设，若点H在直线的下方，线段经过点E，那么，是否存在实数x，使以P，Q，H为顶点的三角形与全等？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由． 26．（满分12分）（2025·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： （1）问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． （2）拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $