第9章 第3节 二项式定理（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以二项式定理为核心，通过通项公式法、赋值法及性质应用构建解题体系，逻辑覆盖概念生成、性质推导至综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|通项公式求特定项系数、赋值法求系数和|二项式定理→通项公式→系数计算| |综合提升|9-12题|二项式系数性质（对称性、最大项）、整除问题转化|性质推导→实际应用→数学思维| |拓展探究|13-14题|参数系数符号判断、开放条件问题|知识迁移→创新应用→模型观念|

课时冲关68　二项式定理 学生用书　P389 [基础训练组] 1．(2024·韶关市模拟)在(x－2)8的展开式中，x7的系数为(　　) A．16　 B．－16　　 C．24　　 D．－24 解析：B　[(x－2)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·(－2)r，令8－r＝7，得r＝1. ∴在(x－2)8的展开式中，x7的系数为－2×C＝－16.] 2．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：A　[由题意得x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.] 3．已知n的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i为虚数单位，则展开式中常数项为(　　) A．45 B．－45 C．90 D．－90 解析：A　[由二项展开式的通项公式可得，n的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)n－rr＝， 易得展开式中的第五项的系数为C(－i)4＝C，第七项的系数为C(－i)6＝－C.由第五项与第七项的系数之和为0，可得C－C＝0，解得n＝10. 令2n－r＝20－r＝0，解得r＝8. 故所求的常数项为C(－i)8＝45.] 4．已知(3－)2 023，则下列结论正确的是(　　) A．该二项展开式中各项的二项式系数的和与各项的系数的和相等 B．该二项展开式中的常数项为32 023 C．该二项展开式中含x1 011的项的系数是－6 069 D．该二项展开式中的有理项的二项式系数的和为22 022 解析：ABD　[A项，展开式的二项式系数和为22 023，令x＝1，则展开式的各项系数和为(3－1)2 023＝22 023，故A正确；B项，展开式的通项公式为Tr＋1＝C·32 023－r(－)r＝C(－1)r·32 023rx，r＝0,1，…，2 023，令r＝0，则展开式的常数项为32 023，故B正确；C项，令＝1 011，则r＝2 022，所以x1 011的系数为C·(－1)2 022·3＝6 069，故C错误；D项，令为整数，则r＝0,2,4,6,8，…，2 022，即展开式的奇数项，所以有理项的二项式系数和为＝22 022，故D正确．] 5．已知(x＋1)5的展开式中常数项为－40，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．4 解析：C　[5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)5－r·r＝(－1)r·a5－r·C·x5－2r. 取5－2r＝－1，得r＝3，取5－2r＝0，得r＝(舍)． ∴(x＋1)5的展开式中常数项为－a2×C＝－40，得a＝±2.] 6．在(1－x)2 024的展开式中，则(　　) A．第1 000项和第1 024项的系数相同 B．第1 013项的系数最大 C．所有项的系数和为22 024 D．72 024被6除的余数为1 解析：BD　[对于A项，(1－x)2 024的展开式的通项为Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，则第1 000项和第1 024项的系数分别为(－1)999C，(－1)1 023C，由于C＝C≠C，则第1 000项和第1 024项的系数不相同，故A错误；对于B项，由通项公式可知，展开式项的系数为正的有：C，C，C，…，C，C，其中C最大，则第1 013项的系数最大，故B正确；对于C项，令x＝1，可得(1－1)2 024＝0，则所有项的系数和为0，故C错误；对于D项，72 024＝(6＋1)2 024＝C·62 024＋C·62 023＋…＋C·6＋C，其中C·62 024，C·62 023，…，C·6都是6的倍数，C＝1，则72 024被6除的余数为1，故D正确．] 7．(2024·龙岩市模拟)(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________． 解析：二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4－r·(－y)r＝，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6. 答案：6 8．(2024·江苏扬州统考模拟)若(x＋5)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，T＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，则T被5除所得的余数为________． 解析：由题知x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝62 023＝(5＋1)2 023, 故 T＝C52 023＋C52 022＋…＋C51＋1， ＝(C52 023＋C52 022＋…＋C51＋1)＝(C52 023＋C52 022＋…＋C51)＋，所以被5除得的余数是1. 答案：1 9．已知(2x＋1)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，记S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2 023，S2＝a0＋a2＋a4＋…＋a2 022，则S－S的值为______． 解析：不妨设f(x)＝(2x＋1)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，一方面注意到S2＋S1＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 022)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝f(1)，另一方面注意到S2－S1＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 022)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝f(－1)，所以S－S＝f(1)·f(－1)＝(2×1＋1)2 023×[2×(－1)＋1]2 023＝－32 023. 答案：－32 023 10．(2024·重庆质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值． 解：(1)选择条件①： 若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5，所以n＝10. 选择条件②： 若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，C＝C， 所以n＝10. 选择条件③： 若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.所以n＝10. (2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 令x＝0，则a0＝1， 令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1. [能力提升组] 11．“n＝5”是“n(n∈N＋)的展开式中含有常数项”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为n(n∈N＋)展开式的通项Tr＋1＝的展开式中含有常数项时满足－＝0，当n＝5时，＝0，解得r＝3，此时含有常数项；反之，当n＝10时，r＝6，也有常数项，但是不满足n＝5.故“n＝5”是“n(n∈N＋)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件．] 12．(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是(　　) 第0行　　　　　　　1 第1行　　　　　　1　 1 第2行　　　　　1　2 　1 第3行　　　　1　3　3 　 1 第4行　　　1　4　6　4 　 1 第5行　　1　5　10　10　5　1 第6行　1　6　15　20　15　6　1 ……　　　　　　…… A．C＋C＋C＋…＋C＝C B．111＝11,112＝121，…，115＝15 101 051 C．从左往右逐行数，第2 023项在第63行第7个 D．第5行到第10行的所有数字之和为2 024 解析：AC　[对于A选项，由组合数的计算性质C＋C＝C(m，n∈N*，m<n)，所以，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C，A正确；对于B选项，115＝(1＋10)5＝15＋C·10＋C·102＋C·103＋C·104＋105＝1＋50＋1 000＋10 000＋50 000＋100 000＝161 051，B错误；对于C选项，第n(n∈N)行共有n＋1项，从左往右逐行数，第n行最后一项对应的项数为1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝，因为＝2 016，且2 023＝2 016＋7，所以，从左往右逐行数，第2 023项在第63行第7个，C正确；对于D选项，第n(n∈N)行所有项之和为C＋C＋…＋C＝2n，所以，第5行到第10行的所有数字之和为25＋26＋…＋210＝＝2 016，D错误．] 13．已知(1＋2 024x)50＋(2 024－x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak<0，k∈{0,1,2，…，50}，则实数k的最大值为______． 解析：因为(1＋2 024x)50展开式中xk的系数为C·2 024k，(2 024－x)50展开式中xk的系数为C(2 024)50－k(－1)k， 所以(1＋2 024x)50＋(2 024－x)50展开式中xk的系数为C(2 024)k＋C(2 024)50－k(－1)k＝C2 024k[1＋2 02450－2k(－1)k]，k＝0,1,2，…，50. 要使ak<0，则k为奇数，且2 02450－2k>1， 所以50－2k>0，则k<25，则k的最大值为23. 答案：23 14．(2024·沈阳测试)在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由． 设二项式n，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 解：若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；若选填表条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.二项式14展开式的通项： 由21－7k＝0，得k＝3. 即存在整数k＝3，使得T3是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数项之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15. 二项式15展开式的通项： 由22－7k＝0，得k＝∉Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项． 5 学科网（北京）股份有限公司 $