精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2026-2027学年高一上学期9月阶段考试数学试题

惠来一中2026~2027学年度第一学期高一级第一次阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ） A. 本校学习好的学生 B. 在数轴上与原点非常近的点 C. 很小的实数 D. 倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 由，，， 则，， 所以，，故①正确，④错误. 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 6. “方程有实根”的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，方程为一元一次方程，解得，存在实根； 当时，方程为一元二次方程， 若该方程存在实根，即，解得， 所以方程有实根的充要条件为，对应的集合为， 对于A，，是充要条件，不符合条件； 对于B， ，是充分不必要条件，符合条件； 对于C，，是既不充分也不必要条件，不符合条件； 对于D，⫌，是必要不充分条件，不符合条件． 7. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 命题“，”为假命题. ∴ 方程无实数解. 当时，方程化为，解得，存在实根，不符合题意，舍去. 当时，方程为一元二次方程，无实根等价于判别式. 所以 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为6. 14. 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______ 【答案】 【解析】 【分析】从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数. 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，分别求，的取值范围； （3）设，为实数，比较与的值的大小. 【答案】（1）9； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）利用1的代换化简式子，然后利用基本不等式进行求解； （2）利用不等式的性质求解； （3）作差法求解. 【详解】（1）由，，，得： ， 当且仅当，即，时取等号，因此最小值为. （2）由，得，又， 不等式同向相加得：，即； 由，得，又， 不等式同向相乘得，即. （3）作差得：， 当且仅当，时取等号，因此. 16. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）． 【答案】（1） （2）年平均盈利额的最大值为万元 【解析】 【分析】（1）根据盈利总额等于总收入减去设备购置费和总维修保养费，建立关于的二次函数关系式，并注明定义域. （2）先表示年平均盈利额，再利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件符合题意. 【小问1详解】 由题意，设备使用年后，总收入为万元，总维修保养费用为万元，购进设备花费万元，所以盈利总额. 化简得，其中. 【小问2详解】 年平均盈利额为. 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 于是，所以该设备的年平均盈利额的最大值为万元. 18. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用并集的概念求解； （2）根据题意得到是的真子集，再利用小范围能推大范围求解； （3）分类讨论，注意等号的取舍. 【小问1详解】 若，则，所以，. 【小问2详解】 由题可知，是的真子集，所以，且不能同时取等号， 解得：，即：. 【小问3详解】 因为，所以， 若，则，解得：； 若，则，此时有，无解； 综上所述，若．则实数a的取值范围是. 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 由上述分析可知，2元“完美集”（），则， 因为，则， 即，且，可得， 所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）3 【解析】 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“完美集”； （2）根据“复活集”的定义可得，利用基本不等式证得结论成立； （3）利用反证法可证，再举例说明成立，即可得结果. 【小问1详解】 设一个2元“完美集”为（），则， 例如，则， 所以一个2元“完美集”可为（答案不唯一）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设元“完美集”为，其中，不妨设， 则，可得， 假设，可知， 所以假设不成立，即， 又因为，所以存在元素均为正整数的元“完美集”， 所以的最大值为3. 【点睛】关键点点睛:在第（3）小问中的求解过程中，先必要性探路，利用反证法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2026~2027学年度第一学期高一级第一次阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ） A. 本校学习好的学生 B. 在数轴上与原点非常近的点 C. 很小的实数 D. 倒数等于本身的数 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “方程有实根”的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 11. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______． 13. 已知，则的最小值为________． 14. 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，分别求，的取值范围； （3）设，为实数，比较与的值的大小. 16. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）． 18. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $