1.4 用一元二次方程解决问题 教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版 九上 数学 第一章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 教学设计 教学基本信息 课题 1.4 用一元二次方程解决问题 巩固提升 年级 九年级上册 教材版本 苏科版 课型 习题巩固课 课时 1课时（45分钟） 教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握用一元二次方程解决实际问题的一般步骤，能准确分析面积、增长率、利润三类常见问题中的等量关系，正确列出一元二次方程并求解，能检验结果的实际合理性。 2. 过程与方法：通过分类训练、错题剖析、变式探究，提升学生分析问题、转化问题的逻辑思维能力，体会数学建模思想在解决实际问题中的应用。 3. 情感态度与价值观：在解决贴近生活的实际问题过程中，感受一元二次方程的应用价值，增强用数学解决实际问题的意识。 教学重难点 教学重点：准确分析实际问题中的等量关系，规范列一元二次方程解决问题。 教学难点：复杂情境中等量关系的梳理，检验方程解的实际意义。 教学过程 一、知识回顾，梳理框架（5分钟） 教师活动：提问引导学生回顾旧知：请同学们回忆，用一元二次方程解决实际问题的基本步骤是什么？每一步需要注意哪些问题？ 学生活动：同桌互相交流，举手回答，梳理出“审、设、列、解、验、答”六个步骤。 教师总结板书，强调易错点：“审”要找准等量关系，“验”必须检验解是否符合实际情境，比如长度、增长率不能为负，人数、长度取正整数等。常见的实际问题类型有面积问题、增长率问题、销售利润问题，今天我们就针对这三类问题进行巩固提升。 二、分类巩固，突破易错（25分钟） （一）面积类问题（8分钟） 教师出示例题： 学校计划利用一块长20米、宽12米的矩形空地，修建一个四周宽度相等的十字形步道，剩余部分种植草坪，要求草坪面积为140平方米，求步道的宽度。 学生活动：独立思考，尝试设未知数并列方程，完成后同桌互相检查。 教师选取两份不同解法的作业展示，引导学生辨析： 错解：设步道宽度为x米，列方程： 正解：设步道宽度为x米，平移草坪后得到新矩形，列方程： 师生共同解方程：展开得， 解得，因为，不符合实际，舍去，所以步道宽度为2米。 教师小结：面积类问题中，涉及道路、边框问题时，通过平移法将剩余面积转化为新矩形，简化计算，最后一定要检验解的合理性。 （二）增长率问题（8分钟） 教师出示例题： 某超市2025年一月份的销售额为20万元，三月份的销售额为24.2万元，假设每月销售额的增长率相同，求该超市销售额的月平均增长率。 学生活动：独立完成，指名学生板演解题过程。 师生共同评析板演：设月平均增长率为x，根据题意列方程，解得，，得，，增长率不能为负，舍去负根，所以月平均增长率为10%。 教师变式提问：如果题目改为“三个月总销售额为66.2万元”，方程会发生什么变化？组织学生集体回答，得出方程：，强调“累计增长”和“增长到某一月份”的区别。 小结：增长率问题的基本模型是，其中a是初始量，x是增长率，n是增长次数，b是终止量，注意负根一定不符合增长率问题的实际意义。 （三）利润类问题（9分钟） 教师出示例题： 某服装店购进一款T恤，进价为每件16元，当售价为每件60元时，平均每天可售出20件，每件盈利44元。为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经调查发现，每件T恤每降价1元，平均每天可多售出5件。若想要平均每天销售这款T恤获利1600元，请问每件T恤应降价多少元？ 学生活动：小组讨论，梳理“总利润、单件利润、销售量”之间的关系，设未知数并列方程。 教师引导分析：设每件降价x元，则每件利润为元，每天销售量为件，根据“总利润=单件利润×销售量”列方程： 整理得，解得。两个解都是正数，都符合盈利要求，题目要求“尽快减少库存”，降价越多销售量越大，所以选择x=36，即每件应降价36元。 小结：利润问题要抓住三个量的关系，注意题目中的“尽快减少库存”“尽可能让利给顾客”这类要求，会对解进行取舍。 三、综合拓展，提升能力（10分钟） 教师出示拓展题： 如图，有一块长30cm、宽20cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的长方体盒子，盒子的底面积为原来铁皮面积的一半，求盒子的高。 学生活动：独立思考完成，教师巡视指导，最后集体订正。 解答过程：设盒子的高为x cm，那么底面矩形的长为cm，宽为cm，根据题意： 整理得，解得，，因为2x<20，所以x<10，舍去x1，所以盒子的高约为3.5cm。 引导学生总结：本题是面积问题结合立体图形展开，关键是找到底边长和宽与小正方形边长的关系，注意四个角都截去正方形，所以长和宽都要减去两个边长。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课内容： 1. 用一元二次方程解决实际问题的步骤中，最关键的是哪一步？（审题找等量关系） 2. 解方程后为什么一定要检验？（要符合实际意义） 3. 三类常见问题的解题模型分别是什么？ 学生集体回答，教师梳理总结，强化建模思想。 五、布置作业（2分钟） 基础作业（必做）：教材习题1.4中选取3道不同类型的实际问题，规范写出完整解题过程。 拓展作业（选做）：调查自家附近超市某一款商品近两个月的销售额，假设月增长率不变，计算月增长率，并预测下一个月的销售额。 板书设计 1.4 用一元二次方程解决问题 巩固提升 解题步骤：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 常见类型： 1. 面积问题：平移转化，找新图形边长 2. 增长率问题： 3. 利润问题：总利润=单件利润×销售量 1 学科网（北京）股份有限公司 $