4.3用一元一次方程解决问题（分层作业，18大题型）数学新教材苏科版七年级上册

分层作业 4.3 用一元一次方程解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 行程问题 题型04 比赛积分问题 题型05 销售盈亏 题型06 分段计费问题 题型07 数字问题 题型08 几何问题 题型09 和差倍分问题 题型10 比例分配问题 题型11 古代问题 B组 能力进阶 题型01 方案选择 题型02 利息问题 题型03 年龄问题 题型04 日历问题 题型05 其他问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 一元一次方程的新定义应用 配套问题题型01 1．（24-25七年级上·山西大同·期末）风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般分布在山顶、海上、草原等地．如图，一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，据了解，1吨碳纤维材料可以制作2个风机塔筒或4个风机叶片．现有75吨碳纤维材料，则用______吨碳纤维材料制作风机塔筒，才能使制作的风机塔筒和风机叶片刚好配套． 2．（25-26七年级·陕西咸阳·期末）某工艺品车间有22名工人，每人每天可制作5个大花瓶或35个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，且每名工人每天只制作大花瓶和小饰品中的一种，则需安排制作大花瓶的工人有（   ） A．14名 B．12名 C．10名 D．8名 3．（25-26七年级·期末）“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 工程问题题型02 1．一件工程甲单独完成需要20小时，乙单独完成需要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做直到完成，共需合做（    ） A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．7.5小时 2．（25-26七年级·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 3．（25-26七年级上·陕西延安·月考）某装修公司承接了一项高端住宅的紧急翻新工程，公司派出了甲、乙、丙三名技术工人：甲单独完成整个工程需要10天；乙单独完成需要15天；丙单独完成需要20天．施工期间，甲因家中突发急事临时请假，未全程参与，乙和丙均全程参与施工，最终工程共用了6天顺利完工，则甲实际参与施工了_______天． 4．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ (2)如果先让甲乙工程队合作先施工天，余下的工程再由甲工程队施工天，恰好完成该工程，求甲工程队一共参与了多少天？ 行程问题题型03 1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时．已知水流的速度是3km/h，船在静水中的速度是（    ） A．30 B．27 C．3 D．24 2．某城举行自行车环城赛，最快的人在开始后遇到最慢的人，已知最慢的人的速度是，是最快的人的速度的，环城一周是，由此可知最慢的人的速度是（    ）． A．20 B．25 C．28 D．15 3．（24-25八年级下·山西运城·月考）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为，此时他要去A公交站乘车，假设小明距A公交站．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明步行的速度至少是公交车速度的______倍． 4．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑． (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？ 比赛积分问题题型04 1．某电视台举行知识竞赛，共设25个选择题，每题必答，答对一题得4分，答错一题得分．下列判断不正确的是（    ） A．可能会有参赛者低于0分 B．参赛者得60分，他答对了17道题 C．答对24个题的得分是答对12个题得分的2倍 D．每个参赛者的得分都是5的倍数 2．某班全体学生进行了一次投篮练习，每人投球10个，每投进1个球得1分．得分的部分情况如下表所示： 得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 1 已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有________人． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3名参赛同学的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)每答对一道题得 分，答错一道题扣 分． (2)参赛者D得了88分，他答对了多少道题？ 销售盈亏题型05 1．（25-26七年级上·河南许昌·月考）某商店卖出一件衣服，售价为120元，盈利20%，则这件衣服的成本是（　　） A．80元 B．100元 C．120元 D．144元 2．（24-25下·山东威海·期末）根据右边两人的对话，求出哥哥买手机的预算为（    ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：这台手机正在打8折促销耶！ 哥哥：这样比我的预算还要少200元呢！ A．3800元 B．4800元 C．5800元 D．6800元 3．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 4．新华书店举行购书优惠活动 ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元以上一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____元． 分段计费问题题型06 1．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过10吨，每吨水收费2元；如果每户每月用水超过10吨，则超过部分每吨水收费2.5元，小红家10月的水费为45元．则该月她家用水量是（    ） A．20吨 B．22吨 C．24吨 D．25吨 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 3．为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 数字问题题型07 1．（25-26七年级上·广东珠海·期中）将1，3，5，7，9，11，13，15，17九个数填入三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图，若小明已填入的13和15两个数字是正确的解答，那么请你帮他把剩余的数字填上并利用字母所代表的数字，计算：________． 15 a 13 b 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如下，数学课代表将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中的一个数，则的值为（    ） 1 A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 几何问题题型08 1．（24-25八年级·期中）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，有一根小棍，M在N的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当N移动到与其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，当N移动到线段的中点时，点M所对应的数为 ____________． 3．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 和差倍分问题题型09 1．“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 2．（25-26七年级·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为_________． 3．（25-26七年级·江苏宿迁·期末）某校七年级（1）班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人．设女生有人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 比例分配问题题型10 1．美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 2．某公司门口有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定:边空宽:字宽:字距，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为个，求字距是多少？ 3．（25-26七年级上·上海·月考）齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有一个齿数为35的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3600圈/分降为1000圈/分，则大齿轮的齿数为___________． 古代问题题型11 1．  中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何．”其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少．设人数为x，则可列方程为________________． 2．<<九章算术>>中有这样一个问题，原文如下。今有共买物,人出入，盈三，人出七，不是四，问人数，物价各几何？大意为：几个人一起去购买某物品？如果每人出八钱，则多了3钱，如果每人出7钱则少了4钱？问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）请解答上述问题。 3．（2025·山西长治·模拟）《九章算术》的“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”，即“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为50单位的粟可换得30单位的粝米．按此方法，若有6斗（1斗＝10升）的粟，则可换粝米（   ） A．3.6升 B．10升 C．15升 D．36升 方案选择题型01 1．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 2．一家三口准备外出旅游，甲乙两家的旅行社的报价相同，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其它人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”，由此可以判断(　　) A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．甲乙收费相同 D．以上都有可能 3．周末，小康一家和姑姑一家(共6人)相约一起去观看电影《长津湖》．小康用手机查到家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价(元) 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 小康利用网络给所有人都购了票，他发现在两家影城购票的总费用相同，则购票的总费用是_____元，两家共有学生______． 4．（24-25七年级上·期末）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 利息问题题型02 1．某套公寓成本价60万元，房产商以75万元出售，则盈利率为__________． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为__________元． 3．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 年龄问题题型03 1．（2026·陕西西安·模拟）小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 2．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 3．古希腊数学家丢番图的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图．他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了孩子，但可惜孩子的寿命只有父亲的一半，孩子死后，老人再活了四年就结束了余生．你知道丢番图去世时的年龄是多少岁吗？ 日历问题题型04 1．把个正整数1，2，3，4，5，6，…，2024按如图方式填写在的表格中（图中所示是表格的一部分），用图中阴影所示方式框住表中任意6个数，则这6个数的和不可能是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是__________． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 其他问题题型05 1．（25-26七年级上·期末）为了节约木材某造纸厂生产再生纸．去年4月份的再生纸生产量比计划每月的再生纸生产量少100吨，技术改进后，该厂去年8月份的再生纸产量比计划每 月的再生纸生产量的2倍还多150吨，已知该厂去年4月份和8月份再生纸产量总和为2150吨，求该厂去年计划每月生产再生纸多少吨？ 2．（2026·陕西渭南·模拟）秦岭山脉有着“国家中央公园”“国之绿肺”之称，是重要的生态安全屏障．为保护秦岭的生态环境，某校组织师生前往秦岭进行植树活动，已知本次活动种植侧柏和油松的总数量为270棵，且侧柏的数量是油松数量的，则本次活动种植侧柏______棵． 3．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 动点问题题型01 1．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（    ） A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣4 2．在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是2和，动点P从B点出发，以每秒4个单位长度的速度匀速向右移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右移动，设移动时间为t秒，当动点Q到点A的距离等于动点P到点A的距离时，t的值为_________． 4．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 一元一次方程的新定义应用题型02 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，，，我们称，，这三个数为“智慧数”，下面4个数中为“智慧数”的是（    ） A．56 B．64 C．80 D．84 2．（25-26七年级上·重庆·期中）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”，则最小的“顺利数”是____；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为____． 3．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则_____． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 用一元一次方程解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 配套问题 题型02 工程问题 题型03 行程问题 题型04 比赛积分问题 题型05 销售盈亏 题型06 分段计费问题 题型07 数字问题 题型08 几何问题 题型09 和差倍分问题 题型10 比例分配问题 题型11 古代问题 B组 能力进阶 题型01 方案选择 题型02 利息问题 题型03 年龄问题 题型04 日历问题 题型05 其他问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 一元一次方程的新定义应用 配套问题题型01 1．（24-25七年级上·山西大同·期末）风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般分布在山顶、海上、草原等地．如图，一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，据了解，1吨碳纤维材料可以制作2个风机塔筒或4个风机叶片．现有75吨碳纤维材料，则用______吨碳纤维材料制作风机塔筒，才能使制作的风机塔筒和风机叶片刚好配套． 【答案】30 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设用吨碳纤维材料制作风机塔筒，则用吨碳纤维材料制作风机叶片，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设用吨碳纤维材料制作风机塔筒，则用吨碳纤维材料制作风机叶片， 根据题意，得， 解方程，得． 所以用30吨碳纤维材料制作风机塔筒，才能使制作的风机塔筒和风机叶片刚好配套． 故答案为：30． 2．（25-26七年级·陕西咸阳·期末）某工艺品车间有22名工人，每人每天可制作5个大花瓶或35个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，且每名工人每天只制作大花瓶和小饰品中的一种，则需安排制作大花瓶的工人有（   ） A．14名 B．12名 C．10名 D．8名 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排x名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设应安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品， 根据题意可得 解得， 答：应安排14名工人制作大花瓶． 故选：A． 3．（25-26七年级·期末）“黄元米果竹笼蒸，千年手艺代代传”，兴国客家制作黄元米果需用竹篾蒸笼，每个蒸笼由1个“笼身”(竹编圆筒)和2个“笼底”(竹篾方格)配套．篾匠师傅用本地毛竹加工配件1根毛竹可做3个笼身或8个笼底．现有28根毛竹，如何分配才能使笼身和笼底恰好配套？ 【答案】分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 通过设未知数，根据配套关系列出方程，即一个笼身配两个笼底，建立等式并求解． 【详解】解：设有x根毛竹制作笼身，则有根毛竹制作笼底， 由题意，得，解得，则， 答：分配根毛竹制作笼身，根毛竹制作笼底才能使笼身和笼底恰好配套． 工程问题题型02 1．一件工程甲单独完成需要20小时，乙单独完成需要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做直到完成，共需合做（    ） A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．7.5小时 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出甲乙的工作效率，对于工程类题目，一般我们设工作量为单位1． 甲的工作效率为，乙的工作效率为，设一共需合做x小时，根据工作总量为1，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设一共需合做x小时，由题意得，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， ， 解得：． 答：共需合作6小时． 故答案为：A． 2．（25-26七年级·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 3．（25-26七年级上·陕西延安·月考）某装修公司承接了一项高端住宅的紧急翻新工程，公司派出了甲、乙、丙三名技术工人：甲单独完成整个工程需要10天；乙单独完成需要15天；丙单独完成需要20天．施工期间，甲因家中突发急事临时请假，未全程参与，乙和丙均全程参与施工，最终工程共用了6天顺利完工，则甲实际参与施工了_______天． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程即可．设甲实际参与施工天数为x，根据三人的工作效率和工作时间，列出方程求解． 【详解】解：由题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为． 设甲参与x天， 则完成的总工作量为，即， 解得． 故答案为：3． 4．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ (2)如果先让甲乙工程队合作先施工天，余下的工程再由甲工程队施工天，恰好完成该工程，求甲工程队一共参与了多少天？ 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）设这两个工程队从两端同时施工x天可以铺好这条管线，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可； （2）根据工作效率×工作时间＝工作总量列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出两工程队各自需要的天数，即可做出判断． 【详解】（1）解：设这两个工程队从两端同时施工x天可以铺好这条管线，根据题意，得x+x＝1， 解得：． 故要8天可以铺设好这条管线． （2）根据题意得：， 解得：， 甲工程队一共参与（天）． 答：甲工程队一共参与了10天 【点睛】本题考查了一元一次方程中的工程问题的数量关系及运用，工作总量＝工作效率×工作时间的运用，解答时甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝总工作量建立方程是关键． 行程问题题型03 1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时．已知水流的速度是3km/h，船在静水中的速度是（    ） A．30 B．27 C．3 D．24 【答案】B 【分析】设船在静水中的速度是x，则顺流时的速度为，逆流时的速度为，根据往返的路程相等，可得出方程，求解即可； 【详解】设船在静水中的速度是x，则顺流时的速度为，逆流时的速度为， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确列方程求解是解题的关键． 2．某城举行自行车环城赛，最快的人在开始后遇到最慢的人，已知最慢的人的速度是，是最快的人的速度的，环城一周是，由此可知最慢的人的速度是（    ）． A．20 B．25 C．28 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设最慢的人的速度是，则最快的人的速度为，根据“最快的人比最慢的人多骑行一周”列方程求解即可． 【详解】解：设最慢的人的速度是，则最快的人的速度为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山西运城·月考）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为，此时他要去A公交站乘车，假设小明距A公交站．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明步行的速度至少是公交车速度的______倍． 【答案】## 【分析】本题考查了解一元一次方程的实际应用，根据题意列方程是解题的关键． 设小明步行的速度至少是公交车速度的x倍，再根据题意列方程，解方程即可解答． 【详解】设小明步行的速度至少是公交车速度的x倍， ∵公交车与小明的距离为，小明距A公交站． ∴公交车距A公交站的距离为， 小明步行的速度至少是公交车速度： 解得：． 故答案为：． 4．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑． (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？ 【答案】(1)10秒后两人相遇； (2)5秒后小强追上小彬． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：行程问题中的相遇与追及问题，找到等量关系并列出方程是关键． （1）设x秒后两人相遇，根据：两人路程之和为100，列出方程并求解即可； （2）设y秒后小强追上小彬，根据：两人路程差为10，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设x秒后两人相遇，则小强跑了米，小彬跑了米， 根据题意得：， 解得； 答：10秒后两人相遇； （2）解：设y秒后小强追上小彬，则小强跑了米，小彬跑了米， 根据题意得：， 解得； 答：两人同时同向起跑，5秒后小强追上小彬． 比赛积分问题题型04 1．某电视台举行知识竞赛，共设25个选择题，每题必答，答对一题得4分，答错一题得分．下列判断不正确的是（    ） A．可能会有参赛者低于0分 B．参赛者得60分，他答对了17道题 C．答对24个题的得分是答对12个题得分的2倍 D．每个参赛者的得分都是5的倍数 【答案】C 【分析】设参赛者答对了道题，则答错了道题，则得分为，根据选项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， ∴得分为， 若，则低于0分，故A选项正确，不符合题意； 若参赛者得60分，即， 解得：， 故B选项正确，不符合题意； 答对24题得分为（分）， 答对12题得分为（分） 故C选项错误，符合题意， ∵得分为能被整除， ∴每个参赛者的得分都是5的倍数， 故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 2．某班全体学生进行了一次投篮练习，每人投球10个，每投进1个球得1分．得分的部分情况如下表所示： 得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 1 已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有________人． 【答案】43 【分析】本题考查的一元一次方程实际应用的球赛积分问题，解题的关键是找准等量关系． 通过设未知数，根据两种不同的计算投中总球数的方式列出方程，进而求出总人数． 【详解】解：设有人参加测验， 由上表看出，至少投进个球的有人，投进不到个球的有人，投中的总球数， 即等于进球数不到个的人的进球数加上至少投进个球的人的进球数， 为； 也等于进球数不到个的人的进球数加上至少投进个球的人的进球数， 为 由此可得方程， 解得 故共有人参加测验． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3名参赛同学的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)每答对一道题得 分，答错一道题扣 分． (2)参赛者D得了88分，他答对了多少道题？ 【答案】(1)5，1 (2)18道 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）答对一道题的得分参赛者A的总得分参赛者A答对题目数，答错一道题扣的分答对一道题的得分参赛者B答对题目数参赛者B的总得分，即可求解； （2）设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题，等量关系式：参赛者D的总得分参赛者D答对题目数答错题目数，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每答对一道题得（分）， 答错一道题扣（分）． 故答案为：5，1； （2）解：设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者D答对了18道题． 销售盈亏题型05 1．（25-26七年级上·河南许昌·月考）某商店卖出一件衣服，售价为120元，盈利20%，则这件衣服的成本是（　　） A．80元 B．100元 C．120元 D．144元 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题，题目中的等量关系为：售价成本成本利润率． 根据题意列方程求解即可 【详解】解：设成本为元， 根据题意，得， 解得， 所以成本为元． 故选：B． 2．（24-25下·山东威海·期末）根据右边两人的对话，求出哥哥买手机的预算为（    ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：这台手机正在打8折促销耶！ 哥哥：这样比我的预算还要少200元呢！ A．3800元 B．4800元 C．5800元 D．6800元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设预算为元，则原售价为元，打8折后价格为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设预算为元，则原售价为元，打8折后价格为， 根据题意得：， 解得， 故预算为元， 故选：C． 3．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 4．新华书店举行购书优惠活动 ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元以上一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____元． 【答案】260.4或310.8 【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元， 根据题意得：当,即时，   解得：x=60.2175(舍去)； 当,即时，x+0.9×3x=240.87， 解得：x=65.1， ∴x+3x=260.4； 当3x>200且,即时，x+0.7×3x=240.87， 解得：x=77.7， ∴x+3x=310.8； 当x>100时，0.9x+0.7×3x=240.87， 解得：x=80.29(舍去). 故答案为260.4或310.8 【点睛】考查一元一次方程的应用，注意分类讨论思想在解题中的应用. 分段计费问题题型06 1．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过10吨，每吨水收费2元；如果每户每月用水超过10吨，则超过部分每吨水收费2.5元，小红家10月的水费为45元．则该月她家用水量是（    ） A．20吨 B．22吨 C．24吨 D．25吨 【答案】A 【分析】设10月份用水x吨，列方程求解即可； 【详解】设10月份用水x吨， ∵， ∴， 根据题意可得：， 解得：， 答：用水20吨． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 3．为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费 (2)马老师家5月份一共用水22吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为元，可列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）解：设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得， 解得， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 数字问题题型07 1．（25-26七年级上·广东珠海·期中）将1，3，5，7，9，11，13，15，17九个数填入三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图，若小明已填入的13和15两个数字是正确的解答，那么请你帮他把剩余的数字填上并利用字母所代表的数字，计算：________． 15 a 13 b 【答案】2 【分析】本题考查三阶幻方，一元一次方程的应用，根据已知条件求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，再确定中心位置的数，进而列一元一次方程求出a和b的值，代入求值即可． 【详解】解：九个数1，3，5，7，9，11，13，15，17之和为81， 幻和为， 9个数的平均数为：，根据三阶幻方特点可知，中心位置的数为9， 由左上至右下对角线之和为27，得，解得； 由第二行之和为27，得，解得； 因此． 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如下，数学课代表将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中的一个数，则的值为（    ） 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算、代数式求值，根据题目要求求得字母的值是解决本题的关键. 根据题意可列出式子，，，可解得、、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和相等， ，，， 解得：，，， ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． 【详解】（1）解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； （2）解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 几何问题题型08 1．（24-25八年级·期中）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和、外角和性质，掌握多边形内角和的计算公式（是多边形的边数），多边形的外角和为，正确列式并解方程是解题的关键． 根据多边形的内角和为（是多边形的边数），多边形的外角和为，结合题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数是6， 故选：D ． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，有一根小棍，M在N的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当N移动到与其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，当N移动到线段的中点时，点M所对应的数为 ____________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，理解的移动方向和距离相同是解题的关键． 根据题意，由的移动方向和距离相同即可得出M所对应法数． 【详解】设的长度为m， 如图所示，当点N与点A重合时， 此时点M对应的数是8，则点N对应的数为， 当点N到的中点时，点N此时对应的数为：， 则点M对应的数为：； 如图所示，当点N与点B重合时， 此时点M对应的数是8，则点N对应的数为， 当点N到的中点时，点N此时对应的数为：， 则点M对应的数为：； 故答案为：或． 3．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【详解】解:设长方形的宽为x公分,抽出隔板后之水面高度为h公分,长方形的长为130+70=200（公分），由题意得， , 计算得出:h=44, 所以B选项是正确的. 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 【答案】(1)米 (2)长为33米，宽为25米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． （1）根据图象，五彩石的面积为长方形空地的面积减去两个四分之一圆的面积，作差法求解即可； （2）根据题意，长方体底面长方形的周长为米，根据长与宽之间的数量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，铺五彩石的空地的面积是米； （2）解：设此长方体的宽为x米，则此长方体的长为米， 根据题意得：， 解得， ∴（米）． 答：此长方体的长为33米，宽为25米． 和差倍分问题题型09 1．“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】22毫克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，根据三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克列方程求解即可． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克． 由题意，得， 解得． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 2．（25-26七年级·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 3．（25-26七年级·江苏宿迁·期末）某校七年级（1）班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人．设女生有人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确根据题意得出等式是解题的关键． 设女生人数为，则男生人数为，根据总人数列方程． 【详解】解：∵男生人数比女生人数的倍少人， ∴男生人数为人， ∵总人数为人， ∴， 即， 故选：A． 比例分配问题题型10 1．美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 2．某公司门口有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定:边空宽:字宽:字距，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为个，求字距是多少？ 【答案】字数为17个，字距是10cm 【分析】根据总长度=16个字距宽+2个边距宽+17个字宽,由边空宽:字宽:字距，列方程求解. 【详解】解:设字距为，则边空宽为，字宽为， 根据题意得， 解得. 经检验，符合题意. 答:这次活动的字数为个，字距是. 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，图形长度问题，找到长度和边空宽、字宽和字距之间的关系，即等量关系是列方程的关键. 3．（25-26七年级上·上海·月考）齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有一个齿数为35的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3600圈/分降为1000圈/分，则大齿轮的齿数为___________． 【答案】126 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设大齿轮有x齿，根据转动的路程等于齿数乘以转数建立方程求解即可． 【详解】解：设大齿轮有x齿， 由题意得， ， 解得， ∴大齿轮有126齿， 故答案为：126． 古代问题题型11 1．  中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何．”其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少．设人数为x，则可列方程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据总的钱数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设人数为， 每人出钱，会多出钱，那么总的钱数为； 每人出钱，又差了钱，那么总的钱数为； 根据总的钱数不变，可得，． 故答案为：． 2．<<九章算术>>中有这样一个问题，原文如下。今有共买物,人出入，盈三，人出七，不是四，问人数，物价各几何？大意为：几个人一起去购买某物品？如果每人出八钱，则多了3钱，如果每人出7钱则少了4钱？问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）请解答上述问题。 【答案】7人，53钱. 【分析】假设人数为人，根据在两种出钱方式下，物品的价格不变列出等式方程即可. 【详解】设人数为人 由题意得： 解得：（人） 则物品的价格为：（钱） 答：一起购买物品的人数为7人，该物品的价格是53钱. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，依题意列出方程是解题关键. 3．（2025·山西长治·模拟）《九章算术》的“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”，即“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为50单位的粟可换得30单位的粝米．按此方法，若有6斗（1斗＝10升）的粟，则可换粝米（   ） A．3.6升 B．10升 C．15升 D．36升 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的实际应用，合理列出式子是解题的关键． 先统一单位，再根据比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵斗升， 设可换粝米升， ∴， 解得：， 故选：D． 方案选择题型01 1．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 【答案】5 【分析】设计划租用x条船，根据两种租船方式的人数相同列出方程求解即可． 【详解】解：设计划租用x条船， 由题意得， ∴， 解得， ∴计划租用5条船， 故答案为；5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 2．一家三口准备外出旅游，甲乙两家的旅行社的报价相同，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其它人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”，由此可以判断(　　) A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．甲乙收费相同 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】可以设每人的原票价为a元，然后按照旅行社的要求代入数据进行计算即可． 【详解】设每人的原票价为a元， 如果选择甲，则所需要费用为a+0.6a×2=2.2a(元)， 如果选择乙，则所需费用为：×3×a=2.4a(元)， ∵2.2a<2.4a， ∴甲比乙优惠. 故选A. 【点睛】本题考查列代数式. 3．周末，小康一家和姑姑一家(共6人)相约一起去观看电影《长津湖》．小康用手机查到家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价(元) 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 小康利用网络给所有人都购了票，他发现在两家影城购票的总费用相同，则购票的总费用是_____元，两家共有学生______． 【答案】 240 2人 【分析】先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设6人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出方程求解即可得． 【详解】解：共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： （元）， ∴购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得：， 解得：， ∴两家共有学生2人； 故答案为：①240；②2人． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 4．（24-25七年级上·期末）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 【答案】共有700人秋游 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 先设租45座的客车辆，再根据“若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位”这个等量关系列方程即可． 【详解】解：设租45座的客车辆，则60座的客车为辆， ， 解得， ， 答：共有700人秋游． 利息问题题型02 1．某套公寓成本价60万元，房产商以75万元出售，则盈利率为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查百分率问题，熟记公式是解题的关键．根据公式：盈利率利润成本价，代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为__________元． 【答案】50 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 3．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 【答案】(1)每套运动服的进价为125元 (2)小明的爸爸共购进1200套运动服 (3)3年后取出的本息和为15134元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每套运动服的进价为元，根据打折后每套运动服的售价为140元建立方程，解方程即可得； （2）设小明的爸爸共购进套运动服，根据后一半促销获利5000元建立方程，解方程即可得； （3）根据本息和利润（年利率年限）求解即可得． 【详解】（1）解：设每套运动服的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每套运动服的进价为125元． （2）解：设小明的爸爸共购进套运动服， 由题意得：， 解得， 答：小明的爸爸共购进1200套运动服． （3）解：利润为（元）， 则（元）， 答：3年后取出的本息和为15134元． 年龄问题题型03 1．（2026·陕西西安·模拟）小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 【答案】16 【分析】根据“经过x年后小川的年龄是他祖父年龄的”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 2．今年儿子8岁，父亲40岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁，然后再根据题意：a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁， ∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程． 3．古希腊数学家丢番图的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图．他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了孩子，但可惜孩子的寿命只有父亲的一半，孩子死后，老人再活了四年就结束了余生．你知道丢番图去世时的年龄是多少岁吗？ 【答案】丢番图去世时是84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 设丢番图去世时的年龄是岁，则根据题中的描述他的年龄=童年的岁数+生命的+生命的+5年+孩子的年龄+4年，可列出方程，即可求解． 【详解】解：设丢番图去世时的年龄是岁， 由题意得： 解得： 答：丢番图去世时是岁． 日历问题题型04 1．把个正整数1，2，3，4，5，6，…，2024按如图方式填写在的表格中（图中所示是表格的一部分），用图中阴影所示方式框住表中任意6个数，则这6个数的和不可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设左上角的数为，则剩余五个数分别为：，可得这6个数的和为，据此即可求解． 【详解】解：设左上角的数为，则剩余五个数分别为：， ∴这6个数的和为：， 若，则，故A不符合题意； 若，则，故B不符合题意； 若，则，不是整数，故C符合题意； 若，则，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是__________． 【答案】5或1 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是列出表示式． 先分别表示出M与N的表示，再由，表示出由此可求． 【详解】解：设“”型阴影覆盖的最小数字为， 则其他三个数字为， ∴， “”型阴影覆盖的最小数字为， ∴， ∵， ∴，可得， ∴的值是5或1． 故答案为：5或1 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列代数式及找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和； （2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，， “”型框中的5个数的和为； （2）解：能，理由如下 根据题意得：， 解得：， ，， 在第6列，符合题意， “”型框中的5个数的和能等于758，的值为140． 其他问题题型05 1．（25-26七年级上·期末）为了节约木材某造纸厂生产再生纸．去年4月份的再生纸生产量比计划每月的再生纸生产量少100吨，技术改进后，该厂去年8月份的再生纸产量比计划每 月的再生纸生产量的2倍还多150吨，已知该厂去年4月份和8月份再生纸产量总和为2150吨，求该厂去年计划每月生产再生纸多少吨？ 【答案】700吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设计划每月生产再生纸吨，然后表示出4月份的再生纸生产量和去年8月份的再生纸产量，然后根据总和为2150吨建立方程求解即可． 【详解】解：设计划每月生产再生纸吨，列方程得 解得 答：该厂去年计划每月生产再生纸700吨． 2．（2026·陕西渭南·模拟）秦岭山脉有着“国家中央公园”“国之绿肺”之称，是重要的生态安全屏障．为保护秦岭的生态环境，某校组织师生前往秦岭进行植树活动，已知本次活动种植侧柏和油松的总数量为270棵，且侧柏的数量是油松数量的，则本次活动种植侧柏______棵． 【答案】120 【详解】设本次活动种植油松棵， 则种植侧柏棵． 根据题意列方程，得： 解得： 则侧柏的数量为：（棵）． 3．张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 动点问题题型01 1．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（    ） A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据数轴上的点平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，利用有理数加减法法则计算即可． 【详解】解：根据题意，得0+3-7=-4． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上点的平移和数的大小变化规律． 2．在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设运动的时间为秒，表示出点、点在数轴上所表示的数，进而求出线段，、、、，即可作出选择． 【详解】解：设运动的时间为秒， 运动后点所表示的数为，点所表示的数为， ， 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度始终是的整数倍，本选项符合题意． 故选：． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和数轴上两点之间距离的计算方法是正确得出答案的关键． 3．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是2和，动点P从B点出发，以每秒4个单位长度的速度匀速向右移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右移动，设移动时间为t秒，当动点Q到点A的距离等于动点P到点A的距离时，t的值为_________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列方程解答即可． 【详解】解：设移动时间为t秒，则点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点P在点A左侧时，， ∴ 解得； 当点P在点A右侧时，， ∴， 解得， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键． 4．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 一元一次方程的新定义应用题型02 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，，，我们称，，这三个数为“智慧数”，下面4个数中为“智慧数”的是（    ） A．56 B．64 C．80 D．84 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，设两个连续的偶数是和（其中取正整数），结合题意可得，结合选项，分别列出一元一次方程，计算即可得解． 【详解】解：设两个连续的偶数是和（其中取正整数）， ∴， A、当时，解得，不是正整数，不符合题意； B、当时，解得，不是正整数，不符合题意； C、当时，解得，不是正整数，不符合题意； D、当时，解得，是正整数，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”，则最小的“顺利数”是____；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为____． 【答案】 105 353 【分析】本题主要考查了整数的性质、列代数式求解等知识，理解“顺利数”的定义，掌握代数式的计算方法是关键． 对于最小的顺利数，百位数字最小为1，个位数字为5，十位数字最小为0，即可求解；对于M，设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据条件得，且由所得两位数之和能被11整除，得是11的倍数，即是11的倍数，结合数字范围得，故． 【详解】解：对于最小顺利数，百位数字取最小1，个位数字为5，十位数字取最小0，故为105；由于百位和个位数字之和为6，且百位数字不能为0，故百位数字最大为6，此时个位数字为0，十位数字最大为9， 因此最大的顺利数为690， 设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴， M去掉个位数字后所得的两位数为，M去掉百位数字后所得的两位数为， ∴它们的和为， ∵这个和能被11整除， ∴是11的倍数， ∵由于是11的倍数， ∴也是11的倍数，即是11的倍数， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：①；②． 3．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则_____． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：方程与方程互为“反对方程”， ， 故答案为：4； （2）解：将写成的形式， 将写成的形式， 与方程互为“反对方程”， ， ， ； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $