第六章 数学活动 制作纸魔方和绘制五角星（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

数学活动 　制作纸魔方 与绘制五角星 第6章 几何图形初步 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 通过制作纸魔方，培养学生的空间想象能力和动手实践能力，增强对立体图形的认知. 在绘制五角星和六角星过程中，提升学生的几何绘图技能，体会图形变换中的数学原理. 引导学生利用星形进行图案设计，激发学生的创新思维和审美意识，提高数学应用能力. 1.掌握纸魔方的制作方法，理解其展开图与立体图形的关系. 2.学会绘制五角星和六角星，明确折纸法制作五角星的原理. 重点 1.探究纸魔方变换出多种不同形状的规律和方法. 2.理解绘制星形图案背后的几何原理，并能灵活创新设计相关图案. 难点 重 难 点 第一类，1-4-1型，共六种 第二类，2-3-1型，共三种 第三类，2-2-2型，只有一种。 第四类，3-3型，只有一种。 正方体展开图的多种形式 知识回顾 常见几何体的展开图 圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱 三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱 知识回顾 知识回顾 1. 下列图形分别是哪种几何体表面的展开图? ①________；②_______；③________；④_ _ ________． 圆柱 圆锥 六棱柱 长方体（四棱柱） 练一练 (1) 这个三棱柱有 条棱，有 个面； (2) 图 2 方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全； 2. 图 1 所示的三棱柱，高为 7 cm，底面是一个边长为 5 cm 的等边三角形。 9 5 31 5 图 1 知识回顾 练一练 (3) 要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 cm。 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 观察如图所示的图形，把图①与图②分别沿图中的虚线折叠，能折叠成立体图形吗？若能，请简单描述所折叠成的立体图形的形状和特征；若不能，请说明理由. 思考 图①能折叠成一个正方体，正方体每条棱长都相等， 图②能折叠成一个长方体， 长方体的长约是宽的2倍， 宽约是高的2倍； 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 观察如图所示的图形. 把图③与图④分别沿图中的虚线折叠，能折叠成棱柱吗？若能，请说出折叠成的棱柱的名称、面数及各面的形状、棱数、侧棱数、顶点数. 思考 因为棱柱的两个底面是相对的，所以棱柱的两个底面肯定不能位于其侧面展开图的同侧，图③能折叠成一个六棱柱， 图④不能折叠成棱柱. 六棱柱共有8个面，2个底面是相同的正六边形，6个侧面都是相同的长方形，有18条棱，有6条侧棱，有12个顶点. 三棱柱 展开 常见图：三个长方形并排：上下各一个三角形 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 三棱柱沿棱展开有几种形式？试一试 讨论 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 （１）观察图１中的展开图，想象折叠后得到的立体图形的形状． 活动 三个长方形并排，上下各一个三角形， 折叠后得到的立体图形是三棱柱 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 活动 （2）在彩 色卡纸上，按照图中标注的尺寸绘制展开图，并制作成立体图形． 1 准备工具：彩色卡纸、直尺、铅笔、剪刀 2 先画左侧 6×6 cm 正方形，上下各补一个高 6 cm 的等腰三角形 3 向右接着画第二个 6×6 cm 正方形，再向右画长 8.5 cm 的长方形 4 在中间正方形和右边长方形边沿画出边沿轮廓，沿线剪下，留出折叠边用指甲压出折痕 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 （3）按照图中的方式，用透明胶带将这些立体图形 “连接”在一起， 得到一个纸魔方．翻转纸魔方，观察它能变化出哪些不同形状． 活动 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 （4）用透明胶带将小组成员制作的纸魔方连接起来，像图中这样， 记录纸魔方变化出的不同形状．比一比，看谁的纸魔方变化出的形状更 多，更有趣． 活动 （４）你能否创作一个不同的纸魔方？与同学分享你的创意． 新知讲授 探究点1 制作纸魔方 活动 几何的灵活性： 几个简单的立体单元通过可活动的连接组合在一起，就能变化出无穷多种形状——这就是组合几何的魅力。 新知讲授 探究点2 绘制五角星 （1）如下图所示，利用圆规、量角器、直尺，可以画出一个标准的五角星，你能画出来吗？试一试 O ①任意画一个圆； ②以圆心为顶点，连续画72°（即360°÷5）的角，与圆相交于五个点； ③连接每隔一点的两个点，就得到五角星. ④擦去多余的线，就能得到五角星. 72° 讨论 （2）为什么隔一个点相连，就能画出标准五角星？能说出这种画法的道理吗？ 理由： 1. 五个点把圆周五等分，每段弧都是 72°。 2. 隔一个点相连，跨两段弧，对应的弦长相等。 3. 五条线等长、对称交织，就形成了均匀的五角星。 新知讲授 探究点2 绘制五角星 O 72° 思考 （3）五角星每个尖角是多少度？ 因为五个尖角之和 = 180°， 所以每个角 = 180° ÷ 5 = 36° 新知讲授 探究点2 绘制五角星 类似地，你能画 出一个六角星吗？ 思考 O 60° 方法： （1）计算 360° ÷ 6 = 60°， （2）以圆心为顶点，连续画60°的角，与圆相交于六个点； （3）六角星由两个重叠的等边三角形组成： 一个正立三角形，一个倒立三角形。 两个三角形重叠，就是六角星。 新知讲授 探究点2 绘制五角星 通过折纸 ，你能制作一个五角星吗？试一试 （1）取一张长方形纸两端对折 （2）在折痕上任取一点作角的顶点，以折痕为角的一边折出36º角 36° 活动 新知讲授 探究点2 绘制五角星 （4）将36º角反方向折叠，将重复叠在一起的五个36º角在其一边上任选一点剪出 角，打开折叠的纸，则五角星剪成. （3）将折出的72º角通过折叠二等分 通过折纸 ，你能制作一个五角星吗？试一试 活动 新知讲授 探究点2 绘制五角星 折纸步骤 新知讲授 探究点2 绘制五角星 沿不同的∠α剪开，得 到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的∠α试一试！ 活动 沿不同的∠α剪开，得 到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的∠α试一试！ 活动 新知讲授 探究点2 绘制五角星 α偏小 α太小，五角星又尖又瘦；α太大，五角星又钝又扁； 只有角度适中时，五角星才匀称美观 α偏大 α适中 新知讲授 探究点2 绘制五角星 若想得到一个标准的五角星，∠α的度数是多少？ 思考 36° α ∠α=54° 新知讲授 探究点2 绘制五角星 许多艺术设计和图案设计都与星形有关，在你画出的五角星或六角星 上着色，可得到如图的艺术图案． 活动 新知讲授 探究点2 绘制五角星 你能在此基础上再设计一些图案吗？ 活动 新知讲授 探究点2 绘制五角星 你能在此基础上再设计一些图案吗？ 活动 典例评析 例1.补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星. 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画　　度的角，与圆相交于　　个点； 步骤3：用线段连接相间的点，即得八角星. 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形.（保留画图痕迹，不写画图过程） 解：画出图形如图所示. 45 8 O 典例评析 例2 .如图①是两个立体图形的表面展开图，如图②是正方体的表面展开图. （1）写出图①中对应立体图形的名称：①　 　；②　 　. （2）将图②的展开图还原成正方体，若相对两个面上的数互为相反数，求｜x＋y｜的值. 解：由题意，得12与x是相对面，y与－2是相对面，4与－4是相对面， 因为相对两个面上的数互为相反数， 所以x＝－12，y＝2. 所以｜x＋y｜＝｜－12＋2｜＝10. 三棱柱 圆柱 新知巩固 1.说出下列图形的名称. 长方体 六棱柱 三棱柱 圆柱 圆锥 四棱锥 五棱锥 球 复习题 课本p185页 6 新知巩固 2.如图，从上往下看A，B，C，D，E五个物体，分别能得到a，b，c，d，e哪个图形？把上下两行中对应的物体与图形用线连起来. 复习题 课本p186页 6 A． B． C． D． 检测反馈 1．（2025•无锡）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（　　） 解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件， D 检测反馈 2．（2025•吉林）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（　　） A．我 B．中 C．国 D．梦 解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“国”与“的”是对面， C 检测反馈 3．（2025•河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　） A． B． C． D． 解：由圆锥的展开图可知，这个几何体是圆锥． D 检测反馈 4．（2025•宜宾）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 解： A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； D 检测反馈 5．（2025•德阳）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 解： A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意； B．有“田”字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意． A 拓展提升 1.（2025•南京模拟）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化 南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动． 任务1 平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格： 长（分米） 36 18 12 9 6 宽（分米） 1 2 3 4 5 周长（分米） 74 40 30 26 24 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，　 时周长最小． 长和宽相等 拓展提升 为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为n2（n＞0），设两邻边长分别为n﹣s和n+t（s，t均为非负数），则（n﹣s）（n+t）＝n2，经化简可得，请表示出周长并补全后续的证明过程． 解：由条件可知矩形的周长为2（n﹣s+n+t）＝4n+2（t﹣s）， ∵， ∴矩形的周长为， ∵n为定值， ∴当st有最小值时，矩形的周长有最小值， ∴当s＝t＝0时，矩形的周长有最小值， ∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小 拓展提升 任务2 立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取3.14，结果精确到0.1平方厘米） （2）合理，理由如下： 长方体的表面积为： 2×（10×8+10×6+8×6）＝376平方厘米， 圆柱的表面积为： 2×3.14×4×4+2×3.14×4×6＝251.2平方厘米， ∴这样的改进合理． 真题感知 1.（2025•麻栗坡县期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为　　 ． 解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面， ∴2x﹣3＝﹣5，y＝﹣x， 解得x＝﹣1，y＝1， ∴2x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3． ﹣3 课堂小结 小结 标准五角星的关键： 把圆周五等分，每隔一个点相连。 平面展开图 ↔ 立体图形： 同一种立体图形可以有不同的展开图，反过来，同一个展开图折起来的立体形状也是唯一确定的。 3.如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？ 解：第一个图形 复习题 课本p186页 6 课后练习 从 前面看 从 左面看 从 上面看 3.如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？ 第二个图形 复习题 课本p186页 6 课后练习 从 前面看 从 左面看 从 上面看 . 3.如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？ 第三个图形 复习题 课本p186页 6 课后练习 从 前面看 从左面看 从 上面看 9.如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） A 复习题 课本p187页 6 课后练习 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $