第二十六章二次函数期中核心知识清单-数学新教材人教版九年级上册

第二十六章 二次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・重点） 1. 概念定义 1.1 二次函数的定义 一般地，形如 （，， 是常数，）的函数，叫作二次函数。其中 是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 示例：（，，）是二次函数； 展开后为 ，也是二次函数； 的最高次数是 ，不是二次函数。 注意：判断一个函数是否为二次函数，要先整理成一般形式，再看两点：未知数的最高次数是 ，且二次项系数 。两个条件缺一不可。 1.2 抛物线、对称轴与顶点 我们把二次函数 的图象叫作抛物线。每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。 示例： 的图象是开口向上的抛物线，对称轴是 轴，顶点是 ，顶点是它的最低点。 2. 核心性质 2.1 二次函数 的图象和性质 一般地，抛物线 的对称轴是 轴，顶点是原点。当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 越大，抛物线的开口越小。 从二次函数 的图象可以看出：如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。 开口方向 向上 向下 顶点 原点，最低点 原点，最高点 增减性 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小 示例： 开口向上， 开口向下，两图象关于 轴对称。 图1：二次函数 的图象 2.2 二次函数 的图象和性质 一般地，抛物线 与 形状相同，位置不同。把抛物线 向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 。平移的方向、距离要根据 ， 的值来决定。 把抛物线 向上（）或向下（）平移 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 向左（）或向右（）平移 个单位长度，就得到抛物线 。 图2：抛物线 与 的位置关系（上下平移） 图3：抛物线 与 的位置关系（左右平移） 抛物线 有如下特点：(1) 当 时，开口向上；当 时，开口向下。(2) 对称轴是直线 。(3) 顶点是 。 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 取最小值，最小值为 ；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 取最大值，最大值为 。 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 ，最低点 ，最高点 最值 时，最小值为 时，最大值为 增减性 时递减； 时递增 时递增； 时递减 示例：把抛物线 向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度，所得抛物线为 ，即 。 2.3 二次函数 的图象和性质 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是直线 ，顶点是 。 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。 当 （或 ）时，抛物线的顶点是最低点（或最高点）。也就是说，当 时，二次函数 有最小值（或最大值）。 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 ，最低点 ，最高点 最值 时，最小值 时，最大值 示例： 配方得 ，对称轴是直线 ，顶点是 ；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 取最小值，最小值是 。 图4：抛物线 的图象（ 与 ） 2.4 二次函数与一元二次方程的联系 一般地，从二次函数 的图象，可得如下结论： 1. 如果抛物线 与 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数值是 ，因此 是一元二次方程 的一个根。 1. 二次函数 的图象与 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。它们分别对应着一元二次方程 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。 抛物线与 轴的公共点 方程 的根 有两个公共点，横坐标为 ， 有两个不相等的实数根 ， 只有一个公共点，横坐标为 有两个相等的实数根 没有公共点 没有实数根 示例：抛物线 与 轴交于点 ，，则方程 有两个不相等的实数根 ，。 3. 运算法则 / 解题方法 3.1 配方法化顶点式 通过配方，可以将”“转化为”“的形式，即将二次函数 转化为 的形式。 示例：。 注意：配方时先提出二次项系数 ，括号内加上”一次项系数一半的平方”，再在式子末尾减去 乘这个平方数，保证恒等变形。 3.2 待定系数法求二次函数的解析式 已知抛物线的顶点 时，可设函数解析式为 ；抛物线顶点为原点时，可设 ；已知抛物线上三个点的坐标时，可设一般式 ，代入坐标求出待定系数。 示例：抛物线以 为顶点且经过点 ，可设 ，代入 得 ，解得 。 3.3 描点法画二次函数的图象 根据表中 ， 的值在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到二次函数的图象。画一般抛物线时，可先由配方的结果确定顶点和对称轴，再利用图象的对称性列表。 示例：画 的图象：配方得 ，对称轴是直线 ，顶点是 ；取 ，，，，，得 ，，，，，描点连线。 图5：用描点法画 的图象（描点后用平滑曲线连接） 4. 数学模型与实际应用 4.1 增长率 / 下降率模型（二次函数形式） 某种产品现在的年产量是 ，每年都比上一年增加 倍，则两年后的产量 ，即 ；年销售量 万件、年平均下降率为 ，则两年后的年销售量 ，即 。 示例：一月份销售额 万元，二、三月份每月平均增长率为 ，则三月份销售额 。 4.2 面积最值模型（篱笆围矩形） 利用一面墙，用 长的篱笆围成一个矩形菜园：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，矩形菜园的面积 ，即 （）；当 时， 有最大值 。 注意：在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义。如菜园的边长应为正数，即 ，且 ，于是自变量 的取值范围是 。求最值时必须结合取值范围。 4.3 抛物线形实际问题（飞行高度、拱桥、利润） 以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出，飞行高度 （单位：）与飞行时间 （单位：）的关系近似为 ；跳水中重心高度 ，当 时取最大值 ；抛物线形拱桥可以顶点为原点、对称轴为 轴建立坐标系，设解析式 求解；涨价销售利润 。 示例：跳水过程中重心高度 （ 单位：， 单位：）：当 时重心达到最高点，最大高度约为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 与图象和 轴的交点 时 ，故抛物线 与 轴交点为 ； 交点在原点上方， 在下方， 抛物线过原点。 1.2 对称轴的两种速算 抛物线 的对称轴 ；若抛物线上两点 ， 纵坐标相等，则它们关于对称轴对称，对称轴为 。特别地，图象与 轴两交点 ， 的对称轴为 。如与 轴交于 ， 的抛物线，对称轴是直线 。 1.3 由图象判断 、、 的符号 开口向上则 ，向下则 ；对称轴在 轴左侧则 、 同号，在右侧则异号（“左同右异”）；与 轴交点位置定 的符号； 与 处的函数值分别定 与 的符号。如开口向上、对称轴 、过原点的抛物线：，，。 1.4 平移法则：“左加右减、上加下减” 向上（）或向下（）平移 个单位得 ；向左（）或向右（）平移 个单位得 。平移只改变位置，不改变 （形状与开口不变）。如 向左平移 、向上平移 个单位长度，得 。 1.5 抛物线与 轴交点个数 令 得 ： 时有两个交点， 时有一个交点（顶点落在 轴上）， 时无交点；反过来由交点情况也可定 的符号，进而求参数范围。如抛物线 与 轴有两个交点，则 ，。 1.6 比较函数值大小：看离对称轴的远近 开口向上时，点离对称轴越远函数值越大；开口向下时相反。如 （对称轴 ）中，比较 ，，：三点到对称轴的距离依次为 ，，，故 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求解析式的选式 已知三个点的坐标，设一般式 ；已知顶点、对称轴或最值，设顶点式 ；已知与 轴的两个交点 ，，设 。如顶点为 且过点 ：设 ，代 得 。 2.2 限定自变量范围求最值 先配方求顶点：顶点横坐标在给定范围内，最值就是顶点纵坐标；不在范围内，最值在范围端点处取得。实际问题（面积、利润）必须先写出自变量取值范围再求最值。如 （）：顶点 在范围内，最大值为 ；若范围为 ，顶点不在范围内，最大值在端点 处取得，为 。 2.3 利用图象解一元二次不等式 的解集是图象在 轴上方部分对应的 的范围， 则是下方部分：先求与 轴交点，再按开口方向写解集。如 与 轴交于 ，，开口向上，则 的解集为 或 。 2.4 平移前后解析式互求 先化顶点式，平移时顶点 按方向移动、 不变，直接写出新解析式；由新解析式反推旧解析式同理。如把 向下平移 、向右平移 个单位，得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 3.1 配方速记 ：先提出 ，括号内加”一次项系数一半的平方”，末尾减 该平方数。如 ；。 3.2 抛物线上点的对称点 抛物线上一点 关于对称轴的对称点为 （两对称点横坐标之和等于 ）。如 上点 的对称点是 。 3.3 利用对称性求最短路径（将军饮马型） 求抛物线上一动点到两个定点距离之和的最小值：作一个定点关于抛物线对称轴的对称点，连线与对称轴的交点即为所求。依据是抛物线的对称轴是对称点的连线段垂直平分线所在直线。 3.4 交点个数与参数范围一步到位 “抛物线与 轴有（两个）公共点”翻译成 （或 ），直接解不等式求参数；注意二次项系数含参数时先保证系数 。如 与 轴有两个交点： 且 ，得 且 。 4. 常见模型 4.1 营销利润模型 利润 （售价 进价） 销量：设每件涨价 元，则 ；每件降价 元，则 。配方求最大利润，注意售价高于进价、销量非负，以及”单价为整数”时在顶点附近取整。如进价 元、售价 元、每星期卖 件、每涨 元少卖 件：（， 为整数）。 4.2 面积最值模型（靠墙 + 隔栏） 一面靠墙、篱笆长 ：设垂直于墙的边为 ，；中间每多一道隔栏，平行边就多减一段，如中间隔一道篱笆则 。先由”各边为正”写出自变量范围，再求最大面积。如墙长 、篱笆 、中间隔一道篱笆：，且 。 4.3 抛物线形实物模型（拱桥 / 投球 / 喷水） 建系：顶点在原点设 ，顶点 已知设 ，代另一个已知点求 ；水面宽、落地点距离就是令 解方程后两根之间的距离。如拱顶离水面 、水面宽 ：顶点为原点设 ，由点 得 ；水面上升 后令 ，得 ，水面宽 。 4.4 竖直上抛 / 飞行高度模型 高度 型（如 ，）：最高点在 处，最大高度 ；落回原高度或落地的时间是令 取该值解方程所得的正根。如 中 得 ，；令 得落地时间 。 三、高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：根据定义求参数，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若函数 是二次函数，求 的值。 错解：由 得 ，解得 或 。 正解：由题意得 且 。由 得 或 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。二次函数的定义要求”最高次数是 “和”二次项系数 “同时成立，学生只把”次数等于 “翻译成方程，把”系数 “当成自动满足，没有回代检验。凡由定义反求参数，解出后必须代回系数处排查使系数为 的值。 易错点 2：平移方向记反，“左加右减”用错 典例：将抛物线 向右平移 个单位长度，求所得抛物线的解析式。 错解：向右平移 个单位， 变成 ，所得解析式为 。 正解：向右平移 个单位长度，得 。（验证： 的顶点是 ，恰在原顶点 右侧 个单位处。） 原因：记忆性错误——“左加右减”是对自变量 而言的：向右平移 个单位，解析式中 换成 。学生把”向右”与”加”直观对应，记反了方向。防止出错的经验是：平移后用顶点位置检验，向右平移顶点横坐标应增大。 易错点 3：限定范围求最值，直接套顶点坐标 典例：利用一面长为 的墙，用 长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，如何围使菜园面积最大？最大面积是多少？ 错解：设垂直于墙的边长为 ，则 ，当 时， 有最大值 。 正解：，由平行于墙的边长不超过墙长且为正，得 且 ，即 。顶点 不在范围内，，当 时 随 的增大而增大，故在 处取最大值 ，即垂直于墙的边长为 时面积最大，最大面积 。 原因：忽略隐含条件。顶点公式给出的是自变量取一切实数时的最值，学生背熟了”“就直接下结论，忘了题目里”墙长 “这个约束使顶点横坐标取不到。求实际问题的最值必须先确定自变量取值范围，再判断顶点是否落在范围内：在内用顶点，在外用端点。 易错点 4：判断 的符号，“左同右异”记反 典例：抛物线 的图象开口向上，对称轴在 轴左侧，试判断 的符号。 错解：对称轴在左侧，。 正解：对称轴 ，又 ，则 ，故 ，即 、 同号（“左同右异”）。 原因：记忆错误与推理脱节。学生背口诀时只记了”左、右”与符号的表面联系，没有掌握推导：对称轴 的符号由 与 共同决定。建议记推导过程： 时若对称轴在左侧，，两边同乘 变号，得 ——与 同号。 易错点 5：“与 轴有公共点”漏掉相切的情形 典例：若抛物线 与 轴有公共点，求 的取值范围。 错解：令 ，方程 有两个不相等的实数根，则 ，解得 。 正解：抛物线与 轴有公共点，包括一个公共点（相切）和两个公共点两种情形，则 ，解得 。 原因：漏分类讨论。“有公共点”包含”一个”和”两个”两种情况，学生受”判别式大于零”的思维定势影响，默认了有两个交点，把 （只有一个公共点，此时方程有两个相等的实数根）漏掉了。“有两个公共点”用 ，“有公共点”用 ，审题时要把”有”和”有两个”区分清楚。 易错点 6：谈增减性不分区间，全盘而论 典例：说出二次函数 中 随 的增大而变化的情况。 错解：因为 ，开口向上，所以 随 的增大而增大。 正解：对称轴是直线 ：当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。 原因：概念理解不完整。二次函数在整个定义域上不是单调函数，增减性必须以对称轴为界分两段叙述，学生把一次函数” 时 随 的增大而增大（对全体 成立）“的经验直接迁移过来，漏掉了”先确定对称轴、再分 与 两段”这一步。开口方向只决定每一段的增减趋势，不决定整体。 学科网（北京）股份有限公司 $