期中复习知识清单（第二十五至二十七章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五至二十七章 期中复习 课时同步练习 期中复习知识清单（第二十五至二十七章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年九年级上册数学人教版 一元二次方程·二次函数·反比例函数·反比例函数　纯知识清单：27 张知识点卡＋10 张方法卡，逐条配图配公式，期中前 15 分钟过一遍 知识点卡 27 张 · 方法卡 10 张　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．一元二次方程：一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）及二次项系数、一次项系数、常数项；直接开平方法、配方法、公式法x＝、因式分解法；判别式 Δ＝b²－4ac判根；x₁＋x₂＝、x₁x₂＝；增长率、面积、利润等实际问题列方程 2．二次函数：y＝ax²＋bx＋c（a≠0）；顶点式y＝a(x－h)²＋k的开口、对称轴x＝h、顶点 (h,k)、增减性与最值；平移规律；待定系数法；抛物线与x轴公共点个数与 Δ 的对应；利润与面积最值问题 3．反比例函数：y＝（k≠0）及xy＝k；k＞0图象在第一、三象限、每一象限内y随x增大而减小，k＜0在第二、四象限、每一象限内y随x增大而增大；|k| 的面积意义；与一次函数图象交点；实际问题建模 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　一元二次方程的概念：定义 3 知识点 02　一元二次方程的概念：一般形式 3 知识点 03　一元二次方程的概念：方程的根 4 知识点 04　降次：直接开平方法 4 知识点 05　降次：配方法 4 知识点 06　降次：公式法 4 知识点 07　降次：因式分解法 5 知识点 08　降次：根的判别式 5 知识点 09　降次：根与系数的关系 6 知识点 10　实际问题与一元二次方程：列方程步骤 6 知识点 11　二次函数的概念 6 知识点 12　顶点在原点：y＝ax²的形状与开口 7 知识点 13　顶点式y＝a(x－h)²＋k：顶点与对称轴 7 知识点 14　图象平移：左加右减、上加下减 8 知识点 15　配方法把一般式化成顶点式 8 知识点 16　对称轴两侧的增减性规律 9 知识点 17　待定系数法：三种条件对应三种设法 9 知识点 18　二次函数与一元二次方程 10 知识点 19　实际问题与二次函数 11 知识点 20　反比例函数的概念 11 知识点 21　反比例函数的概念：求解析式 12 知识点 22　双曲线的形状：两支关于原点对称 12 知识点 23　k的正负决定双曲线所在象限 12 知识点 24　比较函数值：先分象限再用增减性 14 知识点 25　|k|的几何意义：矩形与三角形面积 14 知识点 26　双曲线与直线交点的求法 15 知识点 27　实际问题与反比例函数 15 方法清单 16 方法 01　选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 16 方法 02　配方法适用场景与易错点 16 方法 03　判别式定参数时先写 a≠0，再列 Δ 的条件 16 方法 04　两根对称式整体代入：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 16 方法 05　实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 17 方法 06　求抛物线顶点：配方或用公式 x＝－b/(2a) 17 方法 07　抛物线比大小的易错点：不能直接比横坐标 17 方法 08　区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 17 方法 09　反比例函数比大小的易错点：不看象限就套增减性 17 方法 10　函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 17 　知识梳理 知识点梳理　01　一元二次方程的概念：定义 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。判断时要先把方程化简整理，去掉括号、合并同类项后再看未知数的个数与最高次数；含分式的方程（如未知数出现在分母）不是整式方程，不算一元二次方程。例如x²－2x－3＝0是一元二次方程，它的两个根x₁＝－1，x₂＝3标在下面的数轴上。 判定一元二次方程：只含一个未知数＋ 整式方程＋ 化简后最高次数为2 知识点梳理　02　一元二次方程的概念：一般形式 任何一元二次方程都可以先移项、合并同类项，化成ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，这叫作一元二次方程的一般形式。其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，读系数时要连同它前面的符号一起读，漏读符号是最常见的失分点。数轴上标出的是表中第二个方程x²＋x－6＝0的两根x₁＝－3，x₂＝2。 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），系数a、b、c都含符号 方程（化简前） 移项/整理后 a b c 3x²＝5x－1 3x²－5x＋1＝0 3 －5 1 (x＋2)(x－1)＝4 x²＋x－6＝0 1 1 －6 知识点梳理　03　一元二次方程的概念：方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，一元二次方程的解也叫作方程的根。已知某个数是方程的一个根，就可以把这个数代入方程，得到一个关于系数或其他字母的等式，再利用这个等式整体代入求代数式的值，不必先解出方程。例如把2代入x²－x－2＝0，左边4－2－2＝0＝右边，所以2是它的一个根（见数轴）。 根的定义：把根代入原方程，两边的值相等（等式恒成立） 知识点梳理　04　降次：直接开平方法 形如(mx＋n)²＝p（p≥0）的方程，两边直接开平方，得到mx＋n＝±，从而化成两个一元一次方程分别求解；如果p＜0，因为完全平方式不能取负值，所以这个方程没有实数根。开平方时正负两个符号都要写，漏写会丢掉一个根。例如x²＝4，x＝±2，即x₁＝－2，x₂＝2（见数轴）。 (mx＋n)²＝p（p≥0）⇒ mx＋n＝±，两个一元一次方程 知识点梳理　05　降次：配方法 配方法解一元二次方程分三步：先把二次项系数化成1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式(x＋m)²，最后两边开平方求解。二次项系数不是1时忘记先化1，或只在方程一边加常数，都会使配方失败。例如x²＋2x－3＝0，配方得(x＋1)²＝4，x＋1＝±2，x₁＝－3，x₂＝1（见数轴）。 配方三步：化1 → 加一次项系数一半的平方 → 写成(x＋m)²＝n再开方 知识点梳理　06　降次：公式法 把一元二次方程化成一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）后，当b²－4ac≥0时，可以直接代入求根公式x＝求出根；代入前必须先准确确定a、b、c的值（连同符号），这一步出错会导致后面全错。例如2x²－5x＋2＝0，a＝2，b＝－5，c＝2，Δ＝25－16＝9，x＝，x₁＝2，x₂＝0.5（见数轴）。 求根公式：x＝，前提b²－4ac≥0 知识点梳理　07　降次：因式分解法 因式分解法先把方程右边化为0，再把左边分解成两个一次因式的积，令每个因式分别等于0，就得到两个一元一次方程。使用这种方法时，两边绝不能同时除以一个含未知数的式子（可能等于0），只能移项后统一分解，否则会漏掉一个根。例如(x－2)(x－5)＝0，得x₁＝2，x₂＝5（见数轴）。 两个一次因式之积为0 ⇒ 至少一个因式为0，分别令其为0求解 知识点梳理　08　降次：根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式记作Δ＝b²－4ac，据此可不解方程直接判断根的情况：Δ大于0对应两个不相等的实数根；Δ等于0对应两个相等的实数根（按教材口径写“有两个相等的实数根”，不要写成“只有一个实数根”）；Δ小于0则方程不存在实数根。例如x²－x－2＝0，Δ＝1＋8＝9＞0，两根x₁＝－1，x₂＝2（见数轴）。 Δ＝b²－4ac：Δ＞0两个不等实根，Δ＝0两个相等实根，Δ＜0无实数根 判别式Δ＝b²－4ac 根的情况 Δ＞0 两个不相等的实数根 Δ＝0 两个相等的实数根 Δ＜0 没有实数根 知识点梳理　09　降次：根与系数的关系 当a≠0且Δ≥0时，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＋x₂＝，x₁x₂＝。利用这两个关系式，不必解出方程就能求两根的对称式（如两根之和、两根之积、两根平方和等）的值，运算更简便。例如x²－5x＋6＝0，x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝6，与数轴上的两根2、3一致。 x₁＋x₂＝，x₁x₂＝（前提a≠0，Δ≥0） 知识点梳理　10　实际问题与一元二次方程：列方程步骤 列方程解应用题按“审、设、列、解、验、答”六步进行：审清题意、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验根是否符合实际意义（如必须是正数、整数，或不超过给定范围）、最后写出答案。不检验就直接把两个根都当答案是常见错误。 六步法：审→设→列→解→验（是否符合实际意义）→答 知识点梳理　11　二次函数的概念 一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫作二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。判断一个函数是否为二次函数，要先把式子化简整理，再检查自变量的最高次数是否为2，且二次项系数是否不为0；实际问题中自变量的取值范围还要由问题的实际意义确定。 二次函数一般式：y＝ax²＋bx＋c，a≠0；b、c可以为0 知识点梳理　12　顶点在原点：y＝ax²的形状与开口 二次函数y＝ax²的图象是一条抛物线，顶点在原点，对称轴是y轴。当a＞0时开口向上，顶点是图象的最低点；当a＜0时开口向下，顶点是图象的最高点；|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大，开口大小只由|a|决定，与a的正负无关。 y＝ax²：顶点(0，0)，对称轴为y轴；a＞0开口向上，a＜0开口向下，|a|定开口大小 知识点梳理　13　顶点式y＝a(x－h)²＋k：顶点与对称轴 二次函数y＝a(x－h)²＋k叫作顶点式，它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)。当a＞0时，图象开口向上，x＝h时函数取最小值k；当a＜0时，图象开口向下，x＝h时函数取最大值k。顶点式能直接读出对称轴、顶点与最值，不必再配方。 顶点式y＝a(x－h)²＋k：对称轴x＝h，顶点(h，k)；a＞0最小值k，a＜0最大值k 条件 对称轴 顶点 最值 a＞0 x＝h (h，k) 最小值k a＜0 x＝h (h，k) 最大值k 知识点梳理　14　图象平移：左加右减、上加下减 抛物线平移时a的值始终不变：向上（下）平移m个单位长度，把解析式右边整体加上（减去）m，即k变成k＋m（k－m）；向左（右）平移m个单位长度，把括号里的x换成x＋m（x－m），即h变成h－m（h＋m）。“左加右减”加减的是括号里的x，不是h本身。平移前应先把一般式配方化成顶点式y＝a(x－h)²＋k，平移的先后顺序不影响最终结果。 平移不改a：上加下减加在整个式子后面，左加右减加在括号里的x上（向左平移h变小） 知识点梳理　15　配方法把一般式化成顶点式 把一般式y＝ax²＋bx＋c通过配方化成顶点式，可以得到两条公式：对称轴是直线x＝，顶点的纵坐标是。实际计算时更省事的做法是先用公式求出对称轴的横坐标，再把这个横坐标代回原解析式求出纵坐标。 对称轴x＝；顶点纵坐标可代公式，也可把横坐标代回原式求 知识点梳理　16　对称轴两侧的增减性规律 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当a＜0时正好相反。比较抛物线上两点的函数值大小，要先看两点到对称轴的距离，再结合开口方向判断：a＞0时离对称轴越远函数值越大，a＜0时越远越小。 增减性以对称轴分界，a＞0先减后增（谷底在顶点），a＜0先增后减（峰顶在顶点） 知识点梳理　17　待定系数法：三种条件对应三种设法 求二次函数解析式常用待定系数法：已知图象上三个一般点，设一般式y＝ax²＋bx＋c；已知顶点，设顶点式y＝a(x－h)²＋k；已知与x轴的两个交点，设交点式y＝a(x－x₁)(x－x₂)。设法要与已知条件匹配，才能用最少的计算求出待定系数。 三点设一般式，顶点设顶点式，与x轴两交点设交点式y＝a(x－x₁)(x－x₂) 已知条件 设法 图象上三个一般点 y＝ax²＋bx＋c 顶点坐标 y＝a(x－h)²＋k 与x轴两交点 y＝a(x－x₁)(x－x₂) 知识点梳理　18　二次函数与一元二次方程 抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴公共点的横坐标，就是方程ax²＋bx＋c＝0的实数根：Δ＞0时有两个公共点，Δ＝0时只有一个公共点（此时是顶点），Δ＜0时没有公共点。由图象还能直接读出函数值大于0或小于0对应的x取值范围。 公共点个数看Δ：Δ＞0两个、Δ＝0一个、Δ＜0没有，横坐标即方程的根 Δ的符号 公共点个数 Δ＞0 2个 Δ＝0 1个 Δ＜0 0个 知识点梳理　19　实际问题与二次函数 解利润、面积等最值问题时，先根据数量关系列出函数关系式，再配方化成顶点式求最值。求出的顶点处自变量如果落在实际允许的取值范围之外，就不能取到这个最值，要改成比较区间端点处的函数值来确定最值。 先列函数关系式，配方求顶点；顶点处自变量超出实际范围时改比端点值 知识点梳理　20　反比例函数的概念 一般地，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，也可以写成xy＝k或y＝kx⁻¹的形式，其中自变量x的取值范围是x≠0。判断一个函数是否为反比例函数，关键看两个变量的积是不是一个不为0的常数。 反比例函数：y＝（k≠0），x≠0；等价形式xy＝k 知识点梳理　21　反比例函数的概念：求解析式 反比例函数y＝只有一个待定系数k，所以只需要图象上的一对对应值（x，y），代入k＝xy就能求出k，从而确定这个反比例函数的解析式；求出解析式后，就能求出自变量取任意非零值时对应的函数值。 由一对对应值(x0，y0)求k：k＝x0y0，再写出y＝ 知识点梳理　22　双曲线的形状：两支关于原点对称 反比例函数y＝（k≠0）的图象是由两条曲线组成的双曲线，这两支分别位于两个相对的象限内，关于原点对称。由于x≠0且y≠0，双曲线的两支都不与坐标轴相交，也不经过原点。 图象是双曲线，两支关于原点对称，都不与坐标轴相交 知识点梳理　23　k的正负决定双曲线所在象限 当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、第三象限，并且在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，两支分别在第二、第四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大。“每一象限内”这个限定语必须写清楚，不能跨象限比较。 k＞0：一、三象限，每象限内y随x增大而减小；k＜0：二、四象限，每象限内y随x增大而增大 k的符号 两支所在象限 同一象限内的增减性 k＞0 第一、第三象限 y随x增大而减小 k＜0 第二、第四象限 y随x增大而增大 知识点梳理　24　比较函数值：先分象限再用增减性 比较反比例函数上两点函数值的大小，先看两个点的横坐标是否在同一象限（即同号）：在同一象限内，可以直接用增减性判断；如果分别在不同象限，要先根据象限判断函数值的正负，再比较大小，不能直接套用增减性。 同象限用增减性比较；跨象限先判正负，再比大小 知识点梳理　25　|k|的几何意义：矩形与三角形面积 反比例函数y＝图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线，垂足与原点、该点围成的矩形面积恒等于|k|；如果连接这一点与原点，所得直角三角形的面积恒等于|k|/2。这两个面积值都与点的位置无关，只由|k|决定。 矩形面积＝|k|，直角三角形面积＝|k|/2，与点的位置无关 知识点梳理　26　双曲线与直线交点的求法 求反比例函数与一次函数图象的交点，把两个解析式联立成方程即可求解：消去y后一般得到一个一元二次方程，解出的x值就是交点的横坐标。如果两函数都是正比例与反比例的组合，两个交点关于原点对称；由图象还能直接读出一个函数值大于另一个时对应的x取值范围。 联立两解析式消元得方程，解出交点横坐标，再代回求纵坐标 知识点梳理　27　实际问题与反比例函数 如果两个变量的乘积始终是一个不为0的常数，就可以用反比例函数y＝建立数学模型：先由一对已知的对应数据求出k，再根据实际中自变量的取值范围，求出对应的函数值的范围；结果要检验是否符合实际意义。 积一定型问题：先由一组数据定k，再代入自变量范围求函数值范围 　方法清单 方法　01　选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 选方法先看方程的结构：如果方程里没有一次项（形如ax²＝c或(mx＋n)²＝p），直接用开平方法最快；如果方程的左边能一眼看出公因式或能凑成两个一次因式的积，优先用因式分解法；剩下结构不规则、不好分解的，统一用公式法，一定能求出结果（前提是Δ≥0）。 选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 方法　02　配方法适用场景与易错点 当二次项系数是1且一次项系数是偶数时（如x²＋6x－7＝0），用配方法最省事；方程不能直接开平方、又不容易分解时，也可以用配方法。操作中最容易出错的不是最后开方那一步，而是二次项系数没有先化成1，或只在方程一边加了常数，导致两边不再相等。配方的终点是把方程化成(x＋m)²＝n的形式，剩下的交给直接开平方法。 口诀：二次项系数先化1，一次项系数折半再平方，两边同时加上它，左边凑成完全平方式，右边开方定两根 方法　03　判别式定参数时先写 a≠0，再列 Δ 的条件 含参数的方程要判断“有两个不等实根/两个相等实根/无实数根”，第一步永远是先写出二次项系数不为0的条件，确认这确实是一元二次方程；第二步才去列Δ＞0、Δ＝0或Δ＜0的不等式，两个条件要同时满足才能确定参数范围。 判别式定参数时先写a≠0，再列 Δ 的条件 方法　04　两根对称式整体代入：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 两根的对称式（交换x₁、x₂的位置后值不变的式子，如x₁²＋x₂²、x₁³＋x₂³、(x₁－x₂)²等）都可以化成只含x₁＋x₂与x₁x₂的形式，再代入根与系数的关系整体求值，不必先解出两个根，计算量更小、也更不容易出错。 两根对称式用x₁＋x₂、x₁x₂ 整体代入，如x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 方法　05　实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 列方程解决实际问题时，方程可能有两个数学上都成立的根，但实际情境往往只允许其中一个：例如长度、数量、增长率一般要求是正数，有时还要求是整数或不超过某个范围。解完方程后必须逐一把两个根代回题意检验，舍去不符合实际意义的根，只保留合理的那个。 实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 方法　06　求抛物线顶点：配方或用公式 x＝ 求抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点，两条路都可以：把一般式配方化成顶点式y＝a(x－h)²＋k直接读出顶点(h，k)；或者先用公式x＝求出对称轴的横坐标，再把这个横坐标代回原解析式算出纵坐标，后一种方法通常计算更快。 求抛物线顶点：配方或用公式x＝ 方法　07　抛物线比大小的易错点：不能直接比横坐标 比较抛物线上多个点函数值大小时最容易犯的错误，是直接比较几个点横坐标本身的大小；正确做法是把每个横坐标都换算成到对称轴的距离后再比，开口向上时距离大的函数值大，开口向下则相反，距离相等的两点函数值必然相等。 抛物线比大小：先换算成到对称轴的距离，禁止直接比横坐标 方法　08　区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 求二次函数在给定区间上的最值，第一步先算出对称轴，判断它是否落在这个区间内。如果对称轴在区间内，a＞0时顶点处取最小值，a＜0时顶点处取最大值，另一个最值在离对称轴较远的那个端点取得；如果对称轴不在区间内，函数在整段区间上y随x的增大而一直增大（或一直减小），最值只在两个端点取得。 区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 方法　09　反比例函数比大小的易错点：不看象限就套增减性 比较反比例函数上多个点函数值大小时最容易犯的错误，是不看点所在的象限就直接套用“y随x增大而减小/增大”的结论；正确做法是先看各点横坐标的符号是否一致（是否同一象限），同象限才能直接用增减性，不同象限必须先由k的符号确定各点函数值的正负再比较。 反比例函数比大小：先判同不同象限，再决定能不能直接用增减性 方法　10　函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 求两个函数图象的交点，把两个解析式联立、消去一个未知数，得到一个方程（联立二次函数或反比例函数通常得到一元二次方程）。方程有几个不同的实数根，两图象就有几个交点；交点个数还能通过判别式Δ的符号直接判断，不必解出具体的根。 函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五至二十七章 期中复习 课时同步练习 期中复习知识清单（第二十五至二十七章：27 个知识点+10 条方法口诀，逐条配图配公式）-2026-2027学年九年级上册数学人教版 一元二次方程·二次函数·反比例函数·反比例函数　纯知识清单：27 张知识点卡＋10 张方法卡，逐条配图配公式，期中前 15 分钟过一遍 知识点卡 27 张 · 方法卡 10 张　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．一元二次方程：一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）及二次项系数、一次项系数、常数项；直接开平方法、配方法、公式法x＝、因式分解法；判别式 Δ＝b²－4ac判根；x₁＋x₂＝、x₁x₂＝；增长率、面积、利润等实际问题列方程 2．二次函数：y＝ax²＋bx＋c（a≠0）；顶点式y＝a(x－h)²＋k的开口、对称轴x＝h、顶点 (h,k)、增减性与最值；平移规律；待定系数法；抛物线与x轴公共点个数与 Δ 的对应；利润与面积最值问题 3．反比例函数：y＝（k≠0）及xy＝k；k＞0图象在第一、三象限、每一象限内y随x增大而减小，k＜0在第二、四象限、每一象限内y随x增大而增大；|k| 的面积意义；与一次函数图象交点；实际问题建模 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　一元二次方程的概念：定义 3 知识点 02　一元二次方程的概念：一般形式 3 知识点 03　一元二次方程的概念：方程的根 4 知识点 04　降次：直接开平方法 4 知识点 05　降次：配方法 4 知识点 06　降次：公式法 4 知识点 07　降次：因式分解法 5 知识点 08　降次：根的判别式 5 知识点 09　降次：根与系数的关系 6 知识点 10　实际问题与一元二次方程：列方程步骤 6 知识点 11　二次函数的概念 6 知识点 12　顶点在原点：y＝ax²的形状与开口 7 知识点 13　顶点式y＝a(x－h)²＋k：顶点与对称轴 7 知识点 14　图象平移：左加右减、上加下减 8 知识点 15　配方法把一般式化成顶点式 8 知识点 16　对称轴两侧的增减性规律 9 知识点 17　待定系数法：三种条件对应三种设法 9 知识点 18　二次函数与一元二次方程 10 知识点 19　实际问题与二次函数 11 知识点 20　反比例函数的概念 11 知识点 21　反比例函数的概念：求解析式 12 知识点 22　双曲线的形状：两支关于原点对称 12 知识点 23　k的正负决定双曲线所在象限 12 知识点 24　比较函数值：先分象限再用增减性 14 知识点 25　|k|的几何意义：矩形与三角形面积 14 知识点 26　双曲线与直线交点的求法 15 知识点 27　实际问题与反比例函数 15 方法清单 16 方法 01　选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 16 方法 02　配方法适用场景与易错点 16 方法 03　判别式定参数时先写 a≠0，再列 Δ 的条件 16 方法 04　两根对称式整体代入：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 16 方法 05　实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 17 方法 06　求抛物线顶点：配方或用公式 x＝－b/(2a) 17 方法 07　抛物线比大小的易错点：不能直接比横坐标 17 方法 08　区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 17 方法 09　反比例函数比大小的易错点：不看象限就套增减性 17 方法 10　函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 17 　知识梳理 知识点梳理　01　一元二次方程的概念：定义 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。判断时要先把方程化简整理，去掉括号、合并同类项后再看未知数的个数与最高次数；含分式的方程（如未知数出现在分母）不是整式方程，不算一元二次方程。例如x²－2x－3＝0是一元二次方程，它的两个根x₁＝－1，x₂＝3标在下面的数轴上。 判定一元二次方程：只含一个未知数＋ 整式方程＋ 化简后最高次数为2 知识点梳理　02　一元二次方程的概念：一般形式 任何一元二次方程都可以先移项、合并同类项，化成ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，这叫作一元二次方程的一般形式。其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，读系数时要连同它前面的符号一起读，漏读符号是最常见的失分点。数轴上标出的是表中第二个方程x²＋x－6＝0的两根x₁＝－3，x₂＝2。 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），系数a、b、c都含符号 方程（化简前） 移项/整理后 a b c 3x²＝5x－1 3x²－5x＋1＝0 3 －5 1 (x＋2)(x－1)＝4 x²＋x－6＝0 1 1 －6 知识点梳理　03　一元二次方程的概念：方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，一元二次方程的解也叫作方程的根。已知某个数是方程的一个根，就可以把这个数代入方程，得到一个关于系数或其他字母的等式，再利用这个等式整体代入求代数式的值，不必先解出方程。例如把2代入x²－x－2＝0，左边4－2－2＝0＝右边，所以2是它的一个根（见数轴）。 根的定义：把根代入原方程，两边的值相等（等式恒成立） 知识点梳理　04　降次：直接开平方法 形如(mx＋n)²＝p（p≥0）的方程，两边直接开平方，得到mx＋n＝±，从而化成两个一元一次方程分别求解；如果p＜0，因为完全平方式不能取负值，所以这个方程没有实数根。开平方时正负两个符号都要写，漏写会丢掉一个根。例如x²＝4，x＝±2，即x₁＝－2，x₂＝2（见数轴）。 (mx＋n)²＝p（p≥0）⇒ mx＋n＝±，两个一元一次方程 知识点梳理　05　降次：配方法 配方法解一元二次方程分三步：先把二次项系数化成1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式(x＋m)²，最后两边开平方求解。二次项系数不是1时忘记先化1，或只在方程一边加常数，都会使配方失败。例如x²＋2x－3＝0，配方得(x＋1)²＝4，x＋1＝±2，x₁＝－3，x₂＝1（见数轴）。 配方三步：化1 → 加一次项系数一半的平方 → 写成(x＋m)²＝n再开方 知识点梳理　06　降次：公式法 把一元二次方程化成一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）后，当b²－4ac≥0时，可以直接代入求根公式x＝求出根；代入前必须先准确确定a、b、c的值（连同符号），这一步出错会导致后面全错。例如2x²－5x＋2＝0，a＝2，b＝－5，c＝2，Δ＝25－16＝9，x＝，x₁＝2，x₂＝0.5（见数轴）。 求根公式：x＝，前提b²－4ac≥0 知识点梳理　07　降次：因式分解法 因式分解法先把方程右边化为0，再把左边分解成两个一次因式的积，令每个因式分别等于0，就得到两个一元一次方程。使用这种方法时，两边绝不能同时除以一个含未知数的式子（可能等于0），只能移项后统一分解，否则会漏掉一个根。例如(x－2)(x－5)＝0，得x₁＝2，x₂＝5（见数轴）。 两个一次因式之积为0 ⇒ 至少一个因式为0，分别令其为0求解 知识点梳理　08　降次：根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式记作Δ＝b²－4ac，据此可不解方程直接判断根的情况：Δ大于0对应两个不相等的实数根；Δ等于0对应两个相等的实数根（按教材口径写“有两个相等的实数根”，不要写成“只有一个实数根”）；Δ小于0则方程不存在实数根。例如x²－x－2＝0，Δ＝1＋8＝9＞0，两根x₁＝－1，x₂＝2（见数轴）。 Δ＝b²－4ac：Δ＞0两个不等实根，Δ＝0两个相等实根，Δ＜0无实数根 判别式Δ＝b²－4ac 根的情况 Δ＞0 两个不相等的实数根 Δ＝0 两个相等的实数根 Δ＜0 没有实数根 知识点梳理　09　降次：根与系数的关系 当a≠0且Δ≥0时，一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两个根x₁，x₂满足x₁＋x₂＝，x₁x₂＝。利用这两个关系式，不必解出方程就能求两根的对称式（如两根之和、两根之积、两根平方和等）的值，运算更简便。例如x²－5x＋6＝0，x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝6，与数轴上的两根2、3一致。 x₁＋x₂＝，x₁x₂＝（前提a≠0，Δ≥0） 知识点梳理　10　实际问题与一元二次方程：列方程步骤 列方程解应用题按“审、设、列、解、验、答”六步进行：审清题意、设未知数、根据等量关系列方程、解方程、检验根是否符合实际意义（如必须是正数、整数，或不超过给定范围）、最后写出答案。不检验就直接把两个根都当答案是常见错误。 六步法：审→设→列→解→验（是否符合实际意义）→答 知识点梳理　11　二次函数的概念 一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫作二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。判断一个函数是否为二次函数，要先把式子化简整理，再检查自变量的最高次数是否为2，且二次项系数是否不为0；实际问题中自变量的取值范围还要由问题的实际意义确定。 二次函数一般式：y＝ax²＋bx＋c，a≠0；b、c可以为0 知识点梳理　12　顶点在原点：y＝ax²的形状与开口 二次函数y＝ax²的图象是一条抛物线，顶点在原点，对称轴是y轴。当a＞0时开口向上，顶点是图象的最低点；当a＜0时开口向下，顶点是图象的最高点；|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大，开口大小只由|a|决定，与a的正负无关。 y＝ax²：顶点(0，0)，对称轴为y轴；a＞0开口向上，a＜0开口向下，|a|定开口大小 知识点梳理　13　顶点式y＝a(x－h)²＋k：顶点与对称轴 二次函数y＝a(x－h)²＋k叫作顶点式，它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)。当a＞0时，图象开口向上，x＝h时函数取最小值k；当a＜0时，图象开口向下，x＝h时函数取最大值k。顶点式能直接读出对称轴、顶点与最值，不必再配方。 顶点式y＝a(x－h)²＋k：对称轴x＝h，顶点(h，k)；a＞0最小值k，a＜0最大值k 条件 对称轴 顶点 最值 a＞0 x＝h (h，k) 最小值k a＜0 x＝h (h，k) 最大值k 知识点梳理　14　图象平移：左加右减、上加下减 抛物线平移时a的值始终不变：向上（下）平移m个单位长度，把解析式右边整体加上（减去）m，即k变成k＋m（k－m）；向左（右）平移m个单位长度，把括号里的x换成x＋m（x－m），即h变成h－m（h＋m）。“左加右减”加减的是括号里的x，不是h本身。平移前应先把一般式配方化成顶点式y＝a(x－h)²＋k，平移的先后顺序不影响最终结果。 平移不改a：上加下减加在整个式子后面，左加右减加在括号里的x上（向左平移h变小） 知识点梳理　15　配方法把一般式化成顶点式 把一般式y＝ax²＋bx＋c通过配方化成顶点式，可以得到两条公式：对称轴是直线x＝，顶点的纵坐标是。实际计算时更省事的做法是先用公式求出对称轴的横坐标，再把这个横坐标代回原解析式求出纵坐标。 对称轴x＝；顶点纵坐标可代公式，也可把横坐标代回原式求 知识点梳理　16　对称轴两侧的增减性规律 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当a＜0时正好相反。比较抛物线上两点的函数值大小，要先看两点到对称轴的距离，再结合开口方向判断：a＞0时离对称轴越远函数值越大，a＜0时越远越小。 增减性以对称轴分界，a＞0先减后增（谷底在顶点），a＜0先增后减（峰顶在顶点） 知识点梳理　17　待定系数法：三种条件对应三种设法 求二次函数解析式常用待定系数法：已知图象上三个一般点，设一般式y＝ax²＋bx＋c；已知顶点，设顶点式y＝a(x－h)²＋k；已知与x轴的两个交点，设交点式y＝a(x－x₁)(x－x₂)。设法要与已知条件匹配，才能用最少的计算求出待定系数。 三点设一般式，顶点设顶点式，与x轴两交点设交点式y＝a(x－x₁)(x－x₂) 已知条件 设法 图象上三个一般点 y＝ax²＋bx＋c 顶点坐标 y＝a(x－h)²＋k 与x轴两交点 y＝a(x－x₁)(x－x₂) 知识点梳理　18　二次函数与一元二次方程 抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴公共点的横坐标，就是方程ax²＋bx＋c＝0的实数根：Δ＞0时有两个公共点，Δ＝0时只有一个公共点（此时是顶点），Δ＜0时没有公共点。由图象还能直接读出函数值大于0或小于0对应的x取值范围。 公共点个数看Δ：Δ＞0两个、Δ＝0一个、Δ＜0没有，横坐标即方程的根 Δ的符号 公共点个数 Δ＞0 2个 Δ＝0 1个 Δ＜0 0个 知识点梳理　19　实际问题与二次函数 解利润、面积等最值问题时，先根据数量关系列出函数关系式，再配方化成顶点式求最值。求出的顶点处自变量如果落在实际允许的取值范围之外，就不能取到这个最值，要改成比较区间端点处的函数值来确定最值。 先列函数关系式，配方求顶点；顶点处自变量超出实际范围时改比端点值 知识点梳理　20　反比例函数的概念 一般地，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，也可以写成xy＝k或y＝kx⁻¹的形式，其中自变量x的取值范围是x≠0。判断一个函数是否为反比例函数，关键看两个变量的积是不是一个不为0的常数。 反比例函数：y＝（k≠0），x≠0；等价形式xy＝k 知识点梳理　21　反比例函数的概念：求解析式 反比例函数y＝只有一个待定系数k，所以只需要图象上的一对对应值（x，y），代入k＝xy就能求出k，从而确定这个反比例函数的解析式；求出解析式后，就能求出自变量取任意非零值时对应的函数值。 由一对对应值(x0，y0)求k：k＝x0y0，再写出y＝ 知识点梳理　22　双曲线的形状：两支关于原点对称 反比例函数y＝（k≠0）的图象是由两条曲线组成的双曲线，这两支分别位于两个相对的象限内，关于原点对称。由于x≠0且y≠0，双曲线的两支都不与坐标轴相交，也不经过原点。 图象是双曲线，两支关于原点对称，都不与坐标轴相交 知识点梳理　23　k的正负决定双曲线所在象限 当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、第三象限，并且在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，两支分别在第二、第四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大。“每一象限内”这个限定语必须写清楚，不能跨象限比较。 k＞0：一、三象限，每象限内y随x增大而减小；k＜0：二、四象限，每象限内y随x增大而增大 k的符号 两支所在象限 同一象限内的增减性 k＞0 第一、第三象限 y随x增大而减小 k＜0 第二、第四象限 y随x增大而增大 知识点梳理　24　比较函数值：先分象限再用增减性 比较反比例函数上两点函数值的大小，先看两个点的横坐标是否在同一象限（即同号）：在同一象限内，可以直接用增减性判断；如果分别在不同象限，要先根据象限判断函数值的正负，再比较大小，不能直接套用增减性。 同象限用增减性比较；跨象限先判正负，再比大小 知识点梳理　25　|k|的几何意义：矩形与三角形面积 反比例函数y＝图象上任意一点向x轴、y轴分别作垂线，垂足与原点、该点围成的矩形面积恒等于|k|；如果连接这一点与原点，所得直角三角形的面积恒等于|k|/2。这两个面积值都与点的位置无关，只由|k|决定。 矩形面积＝|k|，直角三角形面积＝|k|/2，与点的位置无关 知识点梳理　26　双曲线与直线交点的求法 求反比例函数与一次函数图象的交点，把两个解析式联立成方程即可求解：消去y后一般得到一个一元二次方程，解出的x值就是交点的横坐标。如果两函数都是正比例与反比例的组合，两个交点关于原点对称；由图象还能直接读出一个函数值大于另一个时对应的x取值范围。 联立两解析式消元得方程，解出交点横坐标，再代回求纵坐标 知识点梳理　27　实际问题与反比例函数 如果两个变量的乘积始终是一个不为0的常数，就可以用反比例函数y＝建立数学模型：先由一对已知的对应数据求出k，再根据实际中自变量的取值范围，求出对应的函数值的范围；结果要检验是否符合实际意义。 积一定型问题：先由一组数据定k，再代入自变量范围求函数值范围 　方法清单 方法　01　选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 选方法先看方程的结构：如果方程里没有一次项（形如ax²＝c或(mx＋n)²＝p），直接用开平方法最快；如果方程的左边能一眼看出公因式或能凑成两个一次因式的积，优先用因式分解法；剩下结构不规则、不好分解的，统一用公式法，一定能求出结果（前提是Δ≥0）。 选解法看结构：缺一次项开平方，能分解先分解，其余用公式法 方法　02　配方法适用场景与易错点 当二次项系数是1且一次项系数是偶数时（如x²＋6x－7＝0），用配方法最省事；方程不能直接开平方、又不容易分解时，也可以用配方法。操作中最容易出错的不是最后开方那一步，而是二次项系数没有先化成1，或只在方程一边加了常数，导致两边不再相等。配方的终点是把方程化成(x＋m)²＝n的形式，剩下的交给直接开平方法。 口诀：二次项系数先化1，一次项系数折半再平方，两边同时加上它，左边凑成完全平方式，右边开方定两根 方法　03　判别式定参数时先写 a≠0，再列 Δ 的条件 含参数的方程要判断“有两个不等实根/两个相等实根/无实数根”，第一步永远是先写出二次项系数不为0的条件，确认这确实是一元二次方程；第二步才去列Δ＞0、Δ＝0或Δ＜0的不等式，两个条件要同时满足才能确定参数范围。 判别式定参数时先写a≠0，再列 Δ 的条件 方法　04　两根对称式整体代入：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 两根的对称式（交换x₁、x₂的位置后值不变的式子，如x₁²＋x₂²、x₁³＋x₂³、(x₁－x₂)²等）都可以化成只含x₁＋x₂与x₁x₂的形式，再代入根与系数的关系整体求值，不必先解出两个根，计算量更小、也更不容易出错。 两根对称式用x₁＋x₂、x₁x₂ 整体代入，如x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂ 方法　05　实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 列方程解决实际问题时，方程可能有两个数学上都成立的根，但实际情境往往只允许其中一个：例如长度、数量、增长率一般要求是正数，有时还要求是整数或不超过某个范围。解完方程后必须逐一把两个根代回题意检验，舍去不符合实际意义的根，只保留合理的那个。 实际问题解出两根必检验，舍去不合题意的根 方法　06　求抛物线顶点：配方或用公式 x＝ 求抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点，两条路都可以：把一般式配方化成顶点式y＝a(x－h)²＋k直接读出顶点(h，k)；或者先用公式x＝求出对称轴的横坐标，再把这个横坐标代回原解析式算出纵坐标，后一种方法通常计算更快。 求抛物线顶点：配方或用公式x＝ 方法　07　抛物线比大小的易错点：不能直接比横坐标 比较抛物线上多个点函数值大小时最容易犯的错误，是直接比较几个点横坐标本身的大小；正确做法是把每个横坐标都换算成到对称轴的距离后再比，开口向上时距离大的函数值大，开口向下则相反，距离相等的两点函数值必然相等。 抛物线比大小：先换算成到对称轴的距离，禁止直接比横坐标 方法　08　区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 求二次函数在给定区间上的最值，第一步先算出对称轴，判断它是否落在这个区间内。如果对称轴在区间内，a＞0时顶点处取最小值，a＜0时顶点处取最大值，另一个最值在离对称轴较远的那个端点取得；如果对称轴不在区间内，函数在整段区间上y随x的增大而一直增大（或一直减小），最值只在两个端点取得。 区间最值：先看对称轴是否在范围内，再比端点 方法　09　反比例函数比大小的易错点：不看象限就套增减性 比较反比例函数上多个点函数值大小时最容易犯的错误，是不看点所在的象限就直接套用“y随x增大而减小/增大”的结论；正确做法是先看各点横坐标的符号是否一致（是否同一象限），同象限才能直接用增减性，不同象限必须先由k的符号确定各点函数值的正负再比较。 反比例函数比大小：先判同不同象限，再决定能不能直接用增减性 方法　10　函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 求两个函数图象的交点，把两个解析式联立、消去一个未知数，得到一个方程（联立二次函数或反比例函数通常得到一元二次方程）。方程有几个不同的实数根，两图象就有几个交点；交点个数还能通过判别式Δ的符号直接判断，不必解出具体的根。 函数图象交点问题：联立方程，用判别式或求根判断交点个数 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $