专题05 一元一次方程（期中真题汇编，内蒙古专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．A 2．D 3．B 考点02 等式的性质 1．A 2．【答案】小明 【分析】 本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】 解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故答案为：小明． 考点03 解一元一次方程 1．【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程可得，解方程求出的值即可． 【详解】 解：代入得，， 解得：． 故答案为：3． 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案． (1) 小问详解： 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．【答案】（1）数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；     （2）1     （3）6或0      【分析】 本题考查数轴、绝对值的相关知识，利用数轴上绝对值的几何意义以及绝对值方程的解法来求解是解题的关键． （1）根据数轴上绝对值的几何意义解答即可； （2）根据题意得到，，得到，计算求解即可； （3）根据题意，得或，计算即可． (1) 小问详解： 解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； ， 数轴上表示x和的两点之间的距离表示． 故答案为：数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；． (2) 小问详解： 解：，， 根据题意，得， 即(无解）或， 解得． 故答案为：1． (3) 小问详解： 解：根据题意，得或， 解得或， ∴x的值为6或0． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查了幻方问题． 根据题意求出的值，进而计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3．【答案】（1）；（2）；（3）用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）先求出无盖的长方体纸盒的长、宽、高，再利用长方体的体积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出无盖的长方体纸盒的底面小长方形的长与宽，再利用长方形的周长公式建立方程，解方程即可得； （3）先求出制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为，再设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板，总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板，然后得出制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：（1）由题意得：， 解得：， 答：大长方形的宽是． （2）由题意得：， 解得， 答：大长方形的宽是． （3）由题意可知，每张硬纸板的宽为， 则制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为， 设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板， 所以总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板， ∵横式无盖长方体纸盒的底面是长方形，且长方体底面长方形的长大于长方体的高， ∴制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，每个完整的横式无盖长方体纸盒的体积为，符合题意， 则可列方程为， 解得， ∴， 答：用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板． 4．【答案】知识应用1.3或6；2.3或0；问题解决3．或．4：或 【分析】 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． 知识应用1∶根据倍分点的定义分情况求解即可． 2∶根据数轴上两点之间的距离得出，再根据倍分点的定义分情况求解即可． 问题解决3：根据数轴上两点之间的距离得出，运动t秒后，M表示的数：，点N表示的数为：，再根据数轴上两点之间的距离得出，解绝对值方程即可得出答案． 4：根据倍分点的定义，分两种情况得出，进而求出点N，点M所表示的数，再根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】 解：知识应用1．当点是的倍分点，， 当时，则 当时，则 故答案为：3或6． 2．∵数轴上点表示，点表示6， ∴， 点是的倍分点， 由1可知或， 当时，则点P表示为3． 当时，则点P表示为0． 故答案为：3或0． 问题解决3：∵点表示数，点表示数16， ∴， 运动t秒后，M表示的数：，点N表示的数为：， 则两点之间的距离为：， 令时， 解得：或． 4．∵点恰好是线段的倍分点时， 当时，， 则N表示的数为：， 运动的时间为：， 表示的数为：， ∴． 当时，， 则N表示的数为：， 运动的时间为：， 表示的数为：， ∴． 综上：的值为：或． 5．【答案】（1）7     （2）     （3）有最小值9      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，一元一次方程，有理数加减法． （1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为 3 段进行计算，最后确定的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． (1) 小问详解： 解：． 故答案为：7； (2) 小问详解： 解：令或时，则或， 当时， ， ， 解得：（范围内不成立）； 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， 解得：（范围内不成立）， 显然当及时符合题意， ∴综上所述，符合条件的整数有：． 故答案为：、、、、、、、； (3) 小问详解： 解：有最小值9． 表示数轴上有理数x所对应的点到和3所对应的两点距离之和， 当有理数所对应的点在之间的线段上的点时，有最小值，最小值是． 6．【答案】（1）或     （2）C所表示的数是5或；     （3）2s或4s或6s或10s或12s或14s．      【分析】 （1）根据幸福点的定义解答即可； （2）分点C在点M的右侧，在之间，在点N的左侧时，根据幸福中心的定义解答即可； （3）分点P在B右侧，在线段上，在A的左侧三种情况，结合幸福中心的定义列出方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解：设点C表示的数是x，根据题意，得 ，即， 解得或． (2) 小问详解： 设C所表示的数是x，有三种情况： ① 当C在N右侧时： ∴， 即， 解得：； ② 当C在M、N之间时： ∴， 此种情况不成立； ③ 当C在M左侧时： ∴， 即， 解得：． 综上所述，C所表示的数是5或； (3) 小问详解： 经过x秒点A，B，P在运动中对应的数分别为，，， 当点P在B的右侧； 当B是点A，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点P是点A，点B的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 点P在线段上，与点B或点A重合时； 设经过x秒点A是点B，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点B是点A，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 点P在A的左侧时； 设经过x秒点P是点A，点B的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点A是点B，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 综上：当运动时间为：2s或4s或6s或10s或12s或14s，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的“幸福中心”． 【点睛】 本题主要考查了动点问题在数轴上的应用，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键，同时注意多种情况讨论． 7．【答案】（1）；；     （2）；     （3）不变，； 相遇前值变化， 理由：秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ，， ， ，值不会改变； 相遇后值不改变，．      【分析】 本题主要考查了用数轴上的点表示数、数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是用含的代数式表示运动后的点表示的数． 根据绝对值的非负性、平方的非负性、最大的负整数，得到、、表示的数，再求代数式 的值； 根据折叠的性质求出折痕位置的点表示的数，设与点对称的点表示的数为，列方程求解； 用含的代数式表示出点、、表示的数，根据整式的加减求出的值； 用含的代数式表示出点、、表示的数，分当在的右侧和当在的左侧两种情况求解． (1) 小问详解： 解：与互为相反数， ，， 解得：，， 是最大的负整数， ， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由可知，， 折痕位置的点表示的数是， 设与点对称的点表示的数为， 可得：， 解得：， 点与表示数的点重合， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 解：在点与点相遇前的值随的变化而变化，相遇后的值不会改变， 理由如下： 秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ， 当在的右侧时，， ， 当在的左侧时，， ， 点与点相遇前，的值随的变化而变化，相遇后的值不改变，是． 8．【答案】（1）     （2），4，或     （3）      【分析】 （1）根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可； （2）先判断出点和点到表示数的点的距离为6，即可得出结论； （3）分别找出正半轴和负半轴在点上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和． (1) 小问详解： 已知图① ，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为， 则两点的距离可以表示为， 应用这个知识，有最小值为， 此时满足条件． 故答案为：； (2) 小问详解： 两点沿着点折叠后重合， 点和点关于表示数的点对称， 两点之间距离为12， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 两点之间距离为4， ① 当点在点左侧时，点表示的数为， ② 当点在点右边时，点表示的数为， 点表示的数为或． 故答案为：，4，或； (3) 小问详解： ① 如果正半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 负半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 则绕在点上的所有数字之和为：． 【点睛】 此题考查了列代数式，绝对值的应用，数轴上两点间的距离的计算方法以及整式加减的应用，综合性比较强，难度比较大． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（     ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】 解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知是关于x的方程的解，那么a的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入方程中，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】 解：已知是关于x的方程的解， 则 解得． 故选：D． 3．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）下列各式中，一元一次方程的个数有（     ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】 解：①不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意； ②符合一元一次方程定义，符合题意； ③中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④符合一元一次方程定义，符合题意； ⑤中未知数最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意， 因此是一元一次方程的是② ，④ ，一共2个． 故选：B． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列说法正确的个数有（     ） ①若，则；②一定是负数；③若，则是负数；④若，则；⑤若，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 根据等式的性质，绝对值的意义，有理数乘方等对各个说法判断即可． 【详解】 解：① 若，则，原说法错误； ② 当时，，原说法错误； ③ 若，则是负数，原说法正确； ④ 当时，，但，原说法错误； ⑤ 当时，，但不一定，原说法错误； 故正确的说法只有③ ，共个， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等式的性质，绝对值的意义以及乘方的运算，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是　　　　　　　　　　　． 【答案】小明 【分析】 本题考查了解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法和等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质和解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】 解：根据题意可知，等号两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的数，无法得到条件中方程的变形结果，所以算理错误的同学是小明． 故答案为：小明． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程可得，解方程求出的值即可． 【详解】 解：代入得，， 解得：． 故答案为：3． 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案． (1) 小问详解： 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． （2）已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； （3）当时，求的值？ 【答案】（1）数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；     （2）1     （3）6或0      【分析】 本题考查数轴、绝对值的相关知识，利用数轴上绝对值的几何意义以及绝对值方程的解法来求解是解题的关键． （1）根据数轴上绝对值的几何意义解答即可； （2）根据题意得到，，得到，计算求解即可； （3）根据题意，得或，计算即可． (1) 小问详解： 解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； ， 数轴上表示x和的两点之间的距离表示． 故答案为：数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；． (2) 小问详解： 解：，， 根据题意，得， 即(无解）或， 解得． 故答案为：1． (3) 小问详解： 解：根据题意，得或， 解得或， ∴x的值为6或0． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上或者横行上相邻的三个数，请你运用整体思想来研究，发现这三个数的和不可能是（       ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. 40 B. 60 C. 72 D. 27 【答案】A 【分析】 设框出的三个数中间的数为x，则另外两个数分别为，或，，进而可得出三个数之和为3x，分别代入各选项中的数，求出x的值，取x值不为整数的选项即可．本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：设框出的三个数中间的数为x， 则另外两个数分别为，或，， ∴三个数之和为或． A．根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， ∴这三个数的和不可能是40，选项A符合题意； B．根据题意得：， 解得：， ∴这三个数的和可能是60，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∴这三个数的和可能是72，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：， ∴这三个数的和可能是27，选项D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了幻方问题． 根据题意求出的值，进而计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）某中学七年级学生在数学课上用所学的数学知识，分小组提出问题，请你解决下面3个小组提出的问题．（列一元一次方程解答） 制作横式无盖长方体纸盒 小组1 如图1，长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的体积是． 问题1 （1）求大长方形的宽x是多少； 小组2 如图1．长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的底面小长方形的周长是． 问题2 （2）求大长方形的宽x是多少； 小组3 如图2，现有20张长为的硬纸板，用每张硬纸板恰好制作3张长方形纸板，或者恰好制作6张正方形纸板． 问题3 （3）若20张长为的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）． 【答案】（1）；（2）；（3）用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）先求出无盖的长方体纸盒的长、宽、高，再利用长方体的体积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出无盖的长方体纸盒的底面小长方形的长与宽，再利用长方形的周长公式建立方程，解方程即可得； （3）先求出制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为，再设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板，总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板，然后得出制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：（1）由题意得：， 解得：， 答：大长方形的宽是． （2）由题意得：， 解得， 答：大长方形的宽是． （3）由题意可知，每张硬纸板的宽为， 则制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为， 设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板， 所以总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板， ∵横式无盖长方体纸盒的底面是长方形，且长方体底面长方形的长大于长方体的高， ∴制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，每个完整的横式无盖长方体纸盒的体积为，符合题意， 则可列方程为， 解得， ∴， 答：用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板． 4．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）阅读下列材料，解答下列问题． 一、阅读材料：线段的“倍分点”定义 教材中，线段的中点将线段分成相等的两部分，我们拓展定义：若点在线段上，且其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点是线段的“倍分点”． 例如：若，当时，，点是的倍分点；当时，，，点也是的倍分点． 二、知识应用 1．若线段，点是的倍分点，则的长为__________； 2．数轴上点表示，点表示6，点是的倍分点，则点表示的数为__________； 三、问题解决 在数轴上，点表示数，点表示数16，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动时间为秒． 3．几秒后、两点相距2个单位长度？ 4．当点恰好是线段的倍分点时，此时线段的长度是多少？ 【答案】知识应用1.3或6；2.3或0；问题解决3．或．4：或 【分析】 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． 知识应用1∶根据倍分点的定义分情况求解即可． 2∶根据数轴上两点之间的距离得出，再根据倍分点的定义分情况求解即可． 问题解决3：根据数轴上两点之间的距离得出，运动t秒后，M表示的数：，点N表示的数为：，再根据数轴上两点之间的距离得出，解绝对值方程即可得出答案． 4：根据倍分点的定义，分两种情况得出，进而求出点N，点M所表示的数，再根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】 解：知识应用1．当点是的倍分点，， 当时，则 当时，则 故答案为：3或6． 2．∵数轴上点表示，点表示6， ∴， 点是的倍分点， 由1可知或， 当时，则点P表示为3． 当时，则点P表示为0． 故答案为：3或0． 问题解决3：∵点表示数，点表示数16， ∴， 运动t秒后，M表示的数：，点N表示的数为：， 则两点之间的距离为：， 令时， 解得：或． 4．∵点恰好是线段的倍分点时， 当时，， 则N表示的数为：， 运动的时间为：， 表示的数为：， ∴． 当时，， 则N表示的数为：， 运动的时间为：， 表示的数为：， ∴． 综上：的值为：或． 5．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义，若在数抽上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： 表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）＝          ． （2）同理表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你求出所有符合条件的整数x，使得． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）7     （2）     （3）有最小值9      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，一元一次方程，有理数加减法． （1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为 3 段进行计算，最后确定的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． (1) 小问详解： 解：． 故答案为：7； (2) 小问详解： 解：令或时，则或， 当时， ， ， 解得：（范围内不成立）； 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， 解得：（范围内不成立）， 显然当及时符合题意， ∴综上所述，符合条件的整数有：． 故答案为：、、、、、、、； (3) 小问详解： 解：有最小值9． 表示数轴上有理数x所对应的点到和3所对应的两点距离之和， 当有理数所对应的点在之间的线段上的点时，有最小值，最小值是． 6．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是3，则C点叫做A点的“幸福点”，若C点到A、B两点的距离之和为8，则C点叫做A、B两点的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为，则 A 的幸福点 C 所表示的数应该是_________； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，点C是M、N的幸福中心，则C所表示的数是多少？ （3）如图3，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的“幸福中心”． 【答案】（1）或     （2）C所表示的数是5或；     （3）2s或4s或6s或10s或12s或14s．      【分析】 （1）根据幸福点的定义解答即可； （2）分点C在点M的右侧，在之间，在点N的左侧时，根据幸福中心的定义解答即可； （3）分点P在B右侧，在线段上，在A的左侧三种情况，结合幸福中心的定义列出方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解：设点C表示的数是x，根据题意，得 ，即， 解得或． (2) 小问详解： 设C所表示的数是x，有三种情况： ① 当C在N右侧时： ∴， 即， 解得：； ② 当C在M、N之间时： ∴， 此种情况不成立； ③ 当C在M左侧时： ∴， 即， 解得：． 综上所述，C所表示的数是5或； (3) 小问详解： 经过x秒点A，B，P在运动中对应的数分别为，，， 当点P在B的右侧； 当B是点A，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点P是点A，点B的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 点P在线段上，与点B或点A重合时； 设经过x秒点A是点B，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点B是点A，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 点P在A的左侧时； 设经过x秒点P是点A，点B的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 设经过x秒点A是点B，点P的“幸福中心”，根据题意，得 ， 解得； 综上：当运动时间为：2s或4s或6s或10s或12s或14s，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的“幸福中心”． 【点睛】 本题主要考查了动点问题在数轴上的应用，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键，同时注意多种情况讨论． 7．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点与点之间的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足与互为相反数． （1）________，_____． （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； （3）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后． ①请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点，向右运动，点向左运动，速度均保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）；；     （2）；     （3）不变，； 相遇前值变化， 理由：秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ，， ， ，值不会改变； 相遇后值不改变，．      【分析】 本题主要考查了用数轴上的点表示数、数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是用含的代数式表示运动后的点表示的数． 根据绝对值的非负性、平方的非负性、最大的负整数，得到、、表示的数，再求代数式 的值； 根据折叠的性质求出折痕位置的点表示的数，设与点对称的点表示的数为，列方程求解； 用含的代数式表示出点、、表示的数，根据整式的加减求出的值； 用含的代数式表示出点、、表示的数，分当在的右侧和当在的左侧两种情况求解． (1) 小问详解： 解：与互为相反数， ，， 解得：，， 是最大的负整数， ， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由可知，， 折痕位置的点表示的数是， 设与点对称的点表示的数为， 可得：， 解得：， 点与表示数的点重合， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 解：在点与点相遇前的值随的变化而变化，相遇后的值不会改变， 理由如下： 秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ， 当在的右侧时，， ， 当在的左侧时，， ， 点与点相遇前，的值随的变化而变化，相遇后的值不改变，是． 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    （1）应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． （2）应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． （3）应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 【答案】（1）     （2），4，或     （3）      【分析】 （1）根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可； （2）先判断出点和点到表示数的点的距离为6，即可得出结论； （3）分别找出正半轴和负半轴在点上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和． (1) 小问详解： 已知图① ，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为， 则两点的距离可以表示为， 应用这个知识，有最小值为， 此时满足条件． 故答案为：； (2) 小问详解： 两点沿着点折叠后重合， 点和点关于表示数的点对称， 两点之间距离为12， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 两点之间距离为4， ① 当点在点左侧时，点表示的数为， ② 当点在点右边时，点表示的数为， 点表示的数为或． 故答案为：，4，或； (3) 小问详解： ① 如果正半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 负半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 则绕在点上的所有数字之和为：． 【点睛】 此题考查了列代数式，绝对值的应用，数轴上两点间的距离的计算方法以及整式加减的应用，综合性比较强，难度比较大． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（     ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）已知是关于x的方程的解，那么a的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）下列各式中，一元一次方程的个数有（     ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列说法正确的个数有（     ） ①若，则；②一定是负数；③若，则是负数；④若，则；⑤若，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）小胖、小丽、小明、小帅在解方程“”时都得到“”，小胖依据的是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等号两边同时乘以或除以同一个数”，小帅依据的是“移项法则”，算理错误的同学是　　　　　　　　　　　． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）解方程： （1）； （2）． 3．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． （2）已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； （3）当时，求的值？ 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）在如图的月历表中，任意框出表中竖列上或者横行上相邻的三个数，请你运用整体思想来研究，发现这三个数的和不可能是（       ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. 40 B. 60 C. 72 D. 27 2．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为　　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）某中学七年级学生在数学课上用所学的数学知识，分小组提出问题，请你解决下面3个小组提出的问题．（列一元一次方程解答） 制作横式无盖长方体纸盒 小组1 如图1，长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的体积是． 问题1 （1）求大长方形的宽x是多少； 小组2 如图1．长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的底面小长方形的周长是． 问题2 （2）求大长方形的宽x是多少； 小组3 如图2，现有20张长为的硬纸板，用每张硬纸板恰好制作3张长方形纸板，或者恰好制作6张正方形纸板． 问题3 （3）若20张长为的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）． 4．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）阅读下列材料，解答下列问题． 一、阅读材料：线段的“倍分点”定义 教材中，线段的中点将线段分成相等的两部分，我们拓展定义：若点在线段上，且其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点是线段的“倍分点”． 例如：若，当时，，点是的倍分点；当时，，，点也是的倍分点． 二、知识应用 1．若线段，点是的倍分点，则的长为__________； 2．数轴上点表示，点表示6，点是的倍分点，则点表示的数为__________； 三、问题解决 在数轴上，点表示数，点表示数16，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动时间为秒． 3．几秒后、两点相距2个单位长度？ 4．当点恰好是线段的倍分点时，此时线段的长度是多少？ 5．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义，若在数抽上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： 表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）＝          ． （2）同理表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你求出所有符合条件的整数x，使得． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 6．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是3，则C点叫做A点的“幸福点”，若C点到A、B两点的距离之和为8，则C点叫做A、B两点的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为，则 A 的幸福点 C 所表示的数应该是_________； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，点C是M、N的幸福中心，则C所表示的数是多少？ （3）如图3，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的“幸福中心”． 7．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点与点之间的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足与互为相反数． （1）________，_____． （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； （3）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后． ①请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点，向右运动，点向左运动，速度均保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    （1）应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． （2）应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． （3）应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $