专题02 有理数的运算（期中真题汇编，内蒙古专用）七年级数学上学期

专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，a、b、c三个数的和为（   ） A.  B. 0 C. 1 D. 不存在 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）在九章算术注中用不同颜色的算筹小棍形状的记数工具分别表示正数和负数白色为正，黑色为负，如图表示的是的计算过程，则图表示的计算过程是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A. 收入15元 B. 支出2元 C. 支出17元 D. 支出9元 5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）绝对值大于1小于4的整数的和是（　　） A. 0 B. 5 C. ﹣5 D. 10 7．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）若，，且，则的值等于　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． （1）从点D到点C记为______； （2）若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； （3）在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 9．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）小明家院子里的桃树今年共收了8筐桃，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称得质量记录如下：-5，+4，-3，+1，+2，-3，-2，+5，请你用简便方法帮助小明算出这8筐桃的总质量． 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（       ） A. 支出18元 B. 支出32元 C. 收入32元 D. 收入50元 2．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）下列式子可读作：“负1，负3，正6，负8的和”的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）计算的结果是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）比-1小2的数（       ） A. 1 B. -1 C. -3 D. 3 5．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）手机移动支付给生活带来便捷．下图是张老师2023年9月10日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是　　　　　．    微信红包-来自逐流                      滴滴出行                                    扫二维码付款-给老范草楚        7．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）在2025赛季蒙超联赛组的小组赛中，呼和浩特队负集宁队，呼和浩特队胜阿拉善队，呼和浩特队胜乌海队．如果进球数记为正，失球数记为负，则小组赛中呼和浩特队的净胜球为　　　　　个． 9．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，正好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）若小明家汽车这七天行驶的路程总量为（2）中计算结果，用（单位：）表示每次充电能行驶的路程，（单位：次）表示充电的次数，用式子表示与的关系，并回答与成什么比例关系? 10．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） （1）10月3日的人数为__________万人． （2）八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． （3）请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 11．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 12．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）下面是小明和小乐在学习有理数的运算后的一段对话． 小明：在小学，只有当a大于等于b的时候，才能做，例如：，． 小乐：在中学，学习了有理数，当a小于b的时候，也能做，例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： （依据：                                 ） （依据：                                 ） ． 13．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）数轴上到表示数的点距离为3的数是　　　　　　． 14．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉， 例如：． 观察上述式子的特征，解决下列问题． （1）尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①___________； ②___________； （2）当时，___________； （3）探究：计算． 15．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为　　　　　　　． 16．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：千克)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出_____千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为元，那么安某本周共计收入多少元？(总收入总销售额总运费) 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）算式的值最小时，中填入的运算符号是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）下列说法正确的是（　　） A. 0既不是正数也不是负数 B. 最小的正数0 C. 绝对值等于3的数是3 D. 任何有理数都有倒数 4．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）一座内、外两环道路的数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为．内环两个路口的数字分别为．要想进入迷宫中心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是（       ） A. 8 B. 15 C.  D. 20 5．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）﹣0.5的倒数是　　　　　． 6．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）式子中运用的运算律是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）的绝对值是　　　　　；的相反数是　　　　　；倒数是　　　　　　． 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　　　　　． 9．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）罕茶来源于蒙古语，意味“黑色”的茶叶，与普洱茶、安化黑茶并称为中国三大黑茶．某茶叶专卖店购进一批罕茶，并对茶叶的质量检验规定装茶叶实际重量与标明重量允许误差为．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表： 茶叶的袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的克数 0 −2 （1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率； （2）求这10袋茶叶的总重量． 10．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）如图，数轴上有①②③④四部分，已知，且，则原点所在的部分为　　　　　　　　． 11．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）在5，，7，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　　　　　　　　　． 12．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）已知是6的相反数，是的倒数． （1）直接写出          ，          ； （2）求的值． 13．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 14．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件　　　　　　　　　　件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 15．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，则这天下午小张共需支付多少油钱？ 16．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）养护小组最后到达的B地在出发点A的哪个方向？距出发点多远？ （2）若汽车行驶平均耗油升，则这次养护共耗油多少升？ 17．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯；②计算订购方案的总费用． 18．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）出租车司机小李某天下午的营运全是在东莞大道的路上，如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，，，，，，，，，． （1）当小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离多少千米？此时，小李的位置是在出车地点的南面还是北面？ （2）若出租车每100千米耗油5升，每升油需要6元，问小李这天下午的行程需要花费多少油钱？ 19．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米)： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ （2）在第       次记录时快递小哥距公司P地最远； （3）如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 20．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中八次行驶记录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 （1）求收工时距A地多远？在A地的什么方向？ （2）在第______次记录时距A地最远； （3）若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 考点04 有理数的除法 1．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中），，是三个有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）请在Ο中填入最小的正整数，在△中填入最小的非负数，在中填入大于－5且小于－3的整数，并将结果填在横线上.Ο＋(△＋)＝_________ A. 3 B. –4 C. –3 D. 4 4．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在1到2之间的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）小明在计算时，误将“”看成“”，得到的结论是，则的正确结果为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式结果为负的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（       ） ；；；． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）数轴上a，b两数如图所示，则下列各式结果为负的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）如图，数轴上A，B两点表示的实数分别为m，n，则下列结论中，正确的个数为（       ） ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）计算（–）÷（–7）的结果为（       ） A. 1 B. –1 C.  D. – 12．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 13．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）2020 年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； （2）与原计划产量比较，这一周产量超产或减产多少个? （3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元? 14．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）若“！”是一种数学运算符号，并且，…，则的值为　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长，反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到，这时这种金属丝比原来伸长了　　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）计算 （1）                          （2） 17．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． （1）若，，请你分别求出m、n的值； （2）试计算的值． 18．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）跑步是一种全身性的有氧运动，可以有效增强体质，提高身体的健康水平．小宇选择通过跑步锻炼身体，为了统计自己的跑步里程，他以作为每日目标，并以此作为基数，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．小宇某周七天的跑步记录（单位：）如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录 （1）已知周三的跑步里程为，周五的跑步里程为，请补全表格． （2）小宇本周跑步的平均里程是否达到目标？请通过计算说明理由． （3）若跑步可消耗50千卡热量，则小宇这一周的跑步共消耗了多少千卡的热量？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录 19．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送___________单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单但不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥星期四当天的工资收入是多少元？ 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）开学之际，小王在实体店上销售作业本，计划每天销售100个，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周作业本的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 作业本销售超过或不足计划量情况（单位：个） （1）小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售多少个？ （2）小王第一周实际销售作业本的总量是多少个？ （3）若作业本售价为3元/个，进价为元/个，则小王这一周销售作业本一共盈利多少元？ 22．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）开鲁县是中国最大的县域红干椒生产基地，享有“中国红干椒之都”之美誉．张亮把开鲁红干椒放到网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤开鲁红干椒，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据，可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； （2）通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划数量； （3）若开鲁红干椒每斤按元出售，每斤开鲁红干椒需支付的平均运费是元，那么本周销售开鲁红干椒实际共得多少元？ 23．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）气象资料表明，高度每增加1000米，气温就降低大约6℃．吞特尔峰是通辽市第一高峰，海拔高度为1444米，位于通辽市北部的大兴安岭南麓余脉地区．某天小亮在吞特尔峰山顶测得的温度为℃，同时小颖在吞特尔峰某位置测得的温度为℃，求小颖所在位置的海拔高度． 24．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 25．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 26．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）洗衣粉厂生产某种规格的洗衣粉，每袋标准质量为450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，超过或不足标准质量的部分分别用“＋”和“－”表示，记录如下： 超过或不足（克） 0 袋数 1 1 1 6 5 2 4 （1）这20袋洗衣粉的平均质量是多少克？ （2）厂家规定每袋质量超过或不足的部分大于5克时为不合格，不能出厂销售．若每袋洗衣粉的定价为5.6元，则抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为多少元？ 27．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为单，送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了_______单；最少的一天送了_______单； 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 28．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩； （2）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 29．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）十一黄金周期间，龙之梦景区7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月30日多的人数，负数表示比9月30日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 （1）请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ （2）如果9月30日旅游人数为2万人，平均每人消费300元，请问该景区在此7天内总收入为多少万元？ 30．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路_____________． （2）请选择一种正确的思路计算： 考点05 乘方 1．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）定义一种新运算“”，，则的值为（     ） A. 1 B. 1 C. 7 D. 7 3．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（       ） A. 21 B. 35 C. 7 D. 16 4．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）按如图所示的运算程序进行运算，输入，则输出结果为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数、三进制数，那么的大小关系是（       ）． A.  B.  C.  D. 不能确定 7．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）下列各式运算结果为正数的是（       ）．    A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）定义新运算“⊗”，规定：，则的运算结果为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 9．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）下列各组数中，两数不相等的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）若，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，，在数轴上对应的两点的距离是，则的值是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 11．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）下列各组数中，相等的一组（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 12．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0或1），它们两者之间可以互相换算，例如： ； ． 按此方式，将二进制数换算成十进制数的结果为：（       ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 21 13．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）计算的结果等于（     ） A.  B.  C. 6 D. 9 14．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 15．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成　　　　　　个． 17．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为　　　　　． 18．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则　　　　　　　　． 19．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）用“※”定义一种新运算：对任意的有理数和，，如，则　　　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数3751换算成十进制数是　　　　　　（注：）． 23．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 24．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）计算： （1）； （2）； （3） （4） 25．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）已知：m与n互为相反数，p与q互为倒数，h是最大的负整数．求：的值． 26．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，摇身一变，就变成了2个孙悟空：这2个孙悟空摇身一变，又各变成2个，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，又变成了8个孙悟空：…假设孙悟空一连变了8次，那么此时一共有　　　　　　　　　　　　个孙悟空． 27．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）计算题 （1）； （2）． 28．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）计算 （1） （2） 29．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2025正好是你进入初中的年份，请将十进制数2025换算成八进制数是　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 31．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）解决问题： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数．记作1024：八进制数．记作：五进制数．记作：二进制数．记作：（且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：                                 解决问题 任务1 将二进制数转化为十进制数，写出转化过程； 任务2 十进制数21转二进制数得_____； 任务3 现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，并写出过程． 32．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）将十进制数转成八进制数是　　　　　　　　． 33．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）计算： （1）； （2）． 34．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）计算下面各题． （1） （2） （3） （4） 35．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 36．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）计算： （1） （2） 37．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 38．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）下列算式中，①﹣(﹣2)2＝4，②﹣5÷×5＝﹣5，③，④(﹣3)2×(﹣)＝3，⑤﹣3﹣6＝﹣9．计算错误的是　　　　　．(填序号) 39．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 40．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制数，记作：八进制数，记作：二进制数，记作：且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n 进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数（10010）2转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 （1）十进制数，转二进制数得             ；（2）十进制数89，转八进制数得             ；（3）二进制数转十进制数得              任务2 二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算．                         （结果用二进制表示）． 41．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）规定一种新运算：，例如． （1）___________，___________； （2）求的值． 42．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当 的值为， 的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当 的值为， 的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是　　　　　　． 43．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． （5）； （6）先化简，再代入求值．，． 44．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）计算： （1） （2） （3） 45．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）计算： （1） （2） 考点06 科学记数法 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）中国信息通信研究院测算年，中国商用直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）2025年7月15日，长征七号遥十运载火箭托举着天舟九号货运飞船划破云霞，直冲云霄，将6500千克“太空快递”精准送达中国空间站，创下3小时18分的“宇宙速递”新纪录．数据6500用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）2025年五一假期，国内出游人数达到314000000人次，总消费金额为1802.69亿元，分别同比增长和．其中国内出游人数可用科学记数法表示为：（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（     ） A. 亿 B. 亿 C. 亿 D. 亿 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）在太阳系的天体运动研究中，科学家观测到火星与地球因绕太阳公转，二者间的空间距离始终处于动态变化中，当火星运行至近地轨道时，与地球的最近距离约为5500万千米“5500万”用科学记数法可表示为(       ) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，2750000000000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）“国迎国庆节，秋赏中秋月”，通辽市推出许多文旅活动，优惠政策，在中秋国庆小长假第一天迎来“开门红”，共接待游客17.17万人次．数据17.17万用科学记数法可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）年月日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空成功落月，月球距离地球约千米，将用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）今年的“十一”假期恰逢国庆与中秋双节叠加，市文旅体局根据大数据监测初步统计，国庆中秋假期乌兰察布累计接待游客万人，同比增长．数据万用科学记数法可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）根据民航局发布的消息，2025年国庆、中秋假期期间，我国民航客运累计发送旅客1913.8万次，把1913.8万用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（       ）千米. A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）238万元用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A. 4.995×1011 B. 49.95×1010 C. 0.4995×1011 D. 4.995×1010 19．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近40000000．将40000000用科学记数法表示为　　　　　　． 20．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　　　　　　　　． 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）杭州亚运会赛会志愿者招募自启动以来，得到了社会群体和高校学生的积极响应，注册总人数超人．其中用科学记数法可表示为　　　　　　． 22．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）我国作为亚太经济合作组织（）的重要成员，始终以实际行动为亚太伙伴创造更多发展机遇．数据显示，2024年前10个月，我国与其他经济体的进出口总额为元人民币，创历史同期新高．数据用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　． 考点07 近似数 1．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）根据通辽市统计局及国家统计局发布，年第一季度通辽市第一产业增加值为亿元，同比增长，亿这个数精确到（       ） A. 亿位 B. 千万位 C. 百万位 D. 十分位 2．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）用四舍五入法对0.10099取近似值，其中正确的是（     ） A. 0.2（精确到0.1） B. 0.1（精确到百分位） C. 0.100（精确到千分位） D. 0.1010（精确到0.0001） 3．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 158200000000用科学记数法表示为 B. 由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 C. 1.399用四舍五入法保留两位小数后，取近似数后为1.4 D. 近似数2.1和2.10精确度相同 4．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）有理数1.3429精确到千分位的近似数为　　　　　　． 5．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803398……，将它用四舍五入法精确到百分位的近似数是　　　　　　． 6．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到　　　　　　　位． 7．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）对于近似数，精确到表示为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．A 7．【答案】或 【分析】 本题主要考查了绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据绝对值的定义，确定和的可能值，再结合条件筛选满足条件的值，最后计算． 【详解】 ，， 或，或， ， ， 当，时，； 当，时，． 故答案为或． 8．【答案】（1）     （2） 如图，点即为所求．      （3）16米      【分析】 本题考查了正负数在生活中的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题干向右为正，向上为正，则点D到点C为先向左格再向上格； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，计算出最终在左右方向上和上下方向上移动的格数，即可解答； （3）把所有的绝对值相加就是总路线． (1) 小问详解： 解：根据题意：从点D到点C记为； (2) 小问详解： 解：，， 则扫地机器人最终向右移动2格，向上移动2格． (3) 小问详解： 解：（米）． 答：扫地机器人在此次运动过程中共走了16米． 9．【答案】239千克. 【分析】根据题意，可先求出这8筐苹果与标准差值的和，再根据标准30千克，求得8框的总质量，再加上上述的结果即可解答. 【详解】解：[-5+4+（-3）+1+2+（-3）+（-2）+5]+30×8 =-1+240=239（千克） 答：这八筐桃总质量为239千克. 【点睛】本题是有关有理数加法实际应用的题目，解题的关键是掌握有理数加法的计算法则. 相加时可运用加法的结合律和交换律把所有的负数和正数分别相加，再把结果相加. 考点02 有理数的减法 1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．【答案】支出元 【分析】 本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算．根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】 解：（元）， 故答案为：支出元． 7．【答案】（1）     （2）这七天一共行驶了千米     （3）这天的行驶费用比原来节省了大约元      【分析】 本题主要考查了正负数，有理数混合运算的实际运用，理解正负数的实际意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”，从表格中确定最多一天的路程，最少一天的路程，运用有理数的减法运算即可求解； （2）用7天的平均量之和与7天的超出或不足的量求和即可； （3）计算出7天的总路程，分别算出汽油的费用，电费进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：根据表格信息可得，最多的一天为多于标准，最少的一天为少于标准， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ∴这七天一共行驶了千米； (3) 小问详解： 解：由（2）可知这七天一共行驶了千米， ∴油费为（元）， 电费为（元）， ∵（元）， ∴这天的行驶费用比原来节省了大约元． 8．【答案】2 【分析】 本题主要考查了有理数的加法和减法运算，根据净胜球等于进球总数减去失球总数求解即可． 【详解】 解：进球总数为， 失球总数为， 因此净胜球为， 故答案为：2． 9．【答案】（1）49     （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了     （3），n与成反比例关系      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用及反比例关系的意义，熟练掌握有理数运算的应用及反比例关系的意义是解题的关键； （1）由表格可直接进行求解即可； （2）先得出表格中的数据之和，然后问题可求解； （3）根据反比例关系的意义可进行求解． (1) 小问详解： 解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； (2) 小问详解： 解：由题意得：， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3) 小问详解： 解：由（2）可知，小明家的新能源汽车这七天一共行驶了， ， 与的乘积一定， 与成反比例关系． 10．【答案】（1）     （2），，，     （3）万人      【分析】 本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用． （1）根据题意列式将9月30日的游客人数为万人依次加上10月1日到10月3日变化人数即可； （2）分别计算出10月1日到10月7日每天的人数，继而得到本题答案； （3）根据（2）的结论列式，再计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意列式：（万人）， ∴10月3日的人数为万人． (2) 小问详解： 解：10月1日人数：（万人）， 10月2日人数：（万人）， 10月3日人数：（万人）， 10月4日人数：（万人）， 10月5日人数：（万人）， 10月6日人数：（万人）， 10月7日人数：（万人）， ∴游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数最少的是10月7日，达到万人． (3) 小问详解： 解：（万人）， ∴黄山风景区在这八天内一共接待了万人游客． 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （3）原式根据有理数加减法法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： . 12．【答案】；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值； 【分析】 本题考查有理数加减法，根据有理数的减法法则和加法法则进行解答便可． 【详解】 解： （依据：减去一个数等于加上这个数的相反数） （依据：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值） ． 故答案为：；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；． 13．【答案】或 【分析】 本题考查数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，注意分类讨论是解题的关键． 分该点在的左边和的右边两种情况，分别求解． 【详解】 解：当该点在的左边时，则有； 当该点在的右边时，则有． 故答案为：或． 14．【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了去绝对值，有理数的加减计算，熟知去绝对值的方法是解题的关键． （1）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （2）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （3）先根据（2）的方法去绝对值，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解：①；②； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴； 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 15．【答案】 【分析】 根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】 解：把正方形看作单位“1”，由图可得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 16．【答案】（1）598     （2）26千克     （3）5985元      【分析】 本题考查了正负数的实际应用及有理数的混合运算，解题的关键是理解超额记正、不足记负的含义，准确计算总销量及相关数值． （1）先计算前三天计划总销量，再加上前三天与计划量的差值和，得到实际总销量； （2）找出每日与计划量的最大差值和最小差值，两者相减得出结果； （3）先求本周总销量（计划周销量加所有差值和），再按“每千克实际收入×总销量”计算总收入． (1) 小问详解： 解：， 即前三天共卖出598千克. (2) 小问详解： 解：销售量最多的一天差值为，销售量最少的一天差值为， ， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； (3) 小问详解： 解：本周总销量为千克， 每千克实际收入为元， 总收入为元， 答：安某本周共计收入5985元． 考点03 有理数的乘法 1．A 2．B 3．A 4．B 5．【答案】-2 【分析】 根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-0.5×（-2）=1即可解答． 【详解】 解：根据倒数的定义得： -0.5×（-2）=1， 因此倒数是-2． 故答案为-2． 【点睛】 题目主要考查倒数的定义，理解倒数的定义是解题关键． 6．【答案】乘法结合律和乘法分配律 【分析】 本题考查了乘法运算律． 式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 【详解】 解：式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 故答案为：乘法结合律和乘法分配律． 7．【答案】① 3    ② 3    ③ 【分析】 本题考查绝对值、相反数和倒数的概念．绝对值表示数到原点的距离，总是非负；相反数是符号相反的数；倒数是乘积为1的数，据此求解即可． 【详解】 解：的绝对值是它在数轴上到原点的距离，因此为3； 的相反数是只有符号不同的数，因此为3； 的倒数是乘积为1的数，计算得． 故答案为，，． 8．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，因为同号得正，异号得负，正数大于负数．比较正数乘积和负数乘积的大小即可． 【详解】 解：要使所得的积最大，两个数必定同号， ，， ， 任意取两个数相乘，所得的积最大是． 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）这10袋茶叶质量为克      【分析】 本题考查有理数的混合运算的应用，根据表格中数据列算式计算是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以得到这10袋茶叶中，合格的数量； （2）根据题意和表格中的数据可以计算出这10袋茶叶的总重量． (1) 小问详解： 解：，，，，， 合格产品有9袋，合格率为； (2) 小问详解： 解：（克） （克） 答：这10袋茶叶质量为克． 10．【答案】② 【分析】 本题考查的是有理数的乘法运算的符号确定，数轴的理解，掌握“有理数的乘法法则”是解本题的关键． 由，且，可得，结合 可得，从而可得原点的位置． 【详解】 解：∵，且，可得结合可得 ∴ ∵， ∴， ∴原点所在的部分为② ， 故答案为：② ． 11．【答案】48 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算法则，以及有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据同号得正，且正数大于负数，推出要使积最大，应选择同号的两个数相乘．再比较两个正数相乘和两个负数相乘的积，取较大者，即可解题． 【详解】 解：因为同号得正，且正数大于负数， 又因为同号相乘的情况有：，，且， 因所得的积最大是48． 故答案为：48． 12．【答案】（1）；     （2）9      【分析】 本题考查了相反数，倒数，绝对值等知识点的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，即可求解； （2）把，代入计算，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是6的相反数，是的倒数， ∴，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当，时，． 13．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）正数与正数相加，负数与负数相加即可． （2）把小数转换成分数，把分母相同的分数相加求解即可． （3）先算乘方，再算乘除法，最后再计算加减法即可． （4）把转化成，然后利用乘法分配律计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 14．【答案】120 【分析】 本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 【详解】 解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 15．【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点千米     （2）这天下午小张共需支付元油钱      【分析】 本题考查了有理数加法在生活中的应用，有理数乘法的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）先求小张所走路程的和，再计算油钱． (1) 小问详解： 解：（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点千米： (2) 小问详解： ∵这天下午小张所走路程 （千米）， ∴这天下午共需付钱 （元）， 答：这天下午小张共需支付元油钱． 16．【答案】（1）B地在A地正南方向，距出发点     （2）这次养护共耗油升      【分析】 本题主要考查正负数的意义，有理数加减乘除的混合运算，掌握正负数表示的意义，有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的意义，运用有理数的加减运算计算即可； （2）根据题意求出行程，再用有理数的乘法计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 地在地的正南方向，距出发点； (2) 小问详解： 解： ， 答：这次养护共耗油升． 17．【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；② 订购方案的总费用为元（答案不唯一） 【分析】 本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答； （2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答； （3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答． 【详解】 解：问题1： 通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元）， 答：需花费630元． 问题2： 刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元）， 答：需花费667元． 问题3： 根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯， 此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 18．【答案】（1）2千米，北面     （2）36元      【分析】 本题主要考查了有理数的加减混合运算的实际应用，绝对值意义，有理数乘法运算的应用，解题的关键是掌握正数和负数表示意义相反的量． （1）根据题意列式计算，并结合向南为正，向北为负进行判断，即可解题； （2）将小李这天下午的行车里程的绝对值相加可得今天的总里程，再列式计算油费即可． (1) 小问详解： 解：（千米）， 因为，向南为正，向北为负， 所以小李距下午出车地点的距离为2千米，小李的位置是在出车地点北面； (2) 小问详解： 解： （千米）， （元）， 答：小李这天下午的行程需要花费36元． 19．【答案】（1）最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米     （2）五     （3）快递小哥工作一天需要花汽油费元      【分析】 本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法． （1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）分别计算出每一次记录后快递小哥距离公司P的距离，再比较大小，距离最大的即为最远距离； （3）首先算出行驶的路程，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． (1) 小问详解： 解：（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米． (2) 小问详解： 解：（千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， ∴第五次快递小哥距公司P最远． (3) 小问详解： 解：（千米）， ∴（升），（元）， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费元． 20．【答案】（1）收工时距A地，在A地的西边；     （2）五；     （3）共耗油升．      【分析】 本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （）所有记录数字的和为收工时的最终位置，其绝对值是距地的距离，正负号表示方向； （）分别计算每次距地的距离，进行比较即可； （）所有记录数的绝对值的和升，就是共耗油数． (1) 小问详解： ， 答：收工时距A地，在A地的西边； (2) 小问详解： 由题意得，第一次距地（千米）； 第二次距地（千米）； 第三次距地（千米）； 第四次距地（千米）； 第五次距地（千米）； 第六次距地（千米）； 第七次距地（千米）； 第八次距地（千米）； 所以在第五次记时距地最远， 故答案为：五； (3) 小问详解： （升）．        答：共耗油升． 考点04 有理数的除法 1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．C 12．【答案】（1）     （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了．     （3）小明家这7天的行驶费用是元．      【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； (2) 小问详解： 解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3) 小问详解： 解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 13．【答案】（1）500；（2）500；（3）8500． 【分析】 （1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （2）将记录表中的所有数据相加即可得出结论； （3）根据记录表，求出本周共生产的口罩总数，再乘以0.2即可求出． 【详解】 （1）（个） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）（个） 则：这一周产量超产500个； （3）（元） 答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元． 【点睛】 本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确建立各运算式子是解题关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算． 由题目中的规定可知，，然后计算的值． 【详解】 解：，， ∴． 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数混合运算的应用． 根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 16．【答案】（1）-1（2）10 【分析】（1）根据乘法的分配律计算即可；（2）先算乘法，再算加法即可求解. 【详解】原式 原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则及运算顺序是解决问题的关键. 17．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ，， 解得：； (2) 小问详解： 解：，， ． 18．【答案】（1），     （2） 不达标，理由如下： 因为， 所以不达标     （3）小宇这一周的跑步共消耗了1725千卡的热量      【分析】 本题主要考查了正负数的实际应用，有理数运算的实际应用等知识． （1）用实际的跑步里程减去即可补全表格． （2）把表格中的数据相加，然后和0比较即可得出答案． （3）用总里程数乘以每千米消耗的热量求解即可． (1) 小问详解： 解：，． 故补全表格如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： 答：小宇这一周的跑步共消耗了1725千卡的热量 19．【答案】 【分析】 本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】 解：由题意得： ， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）求出表格数据中的平均数加上50即可； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（单）； 故答案为：； (2) 小问详解： （单）； 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐52单； (3) 小问详解： （元）； 答：该外卖小哥星期四当天的工资收入是元． 21．【答案】（1）20     （2）718     （3）1077      【分析】 本题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． （1）根据表格中的数据，列出算式进行计算即可． （2）根据第一周实际销售作业本的数量相加计算即可； （3）将总数量乘以每个作业本的利润解答即可； (1) 小问详解： 解：小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售：（个） 答：小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售个； (2) 小问详解： 解：（个） 答：小王第一周实际销售作业本的总量是个； (3) 小问详解： 解：（元） 答：小王这一周作业本销售的利润为1077元． 22．【答案】（1）；     （2）本周实际销售总量达到了计划数量；     （3）本周销售开鲁红干椒实际共得元．      【分析】 本题考查正数和负数的应用、有理数的混合运算． （1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）把天的数量全部相加，结果是正数，则本周实际销售总量达到了计划数量； （3）将总数量乘以价格差，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由表格可知销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期五， 销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 本周实际销售总量达到了计划数量； (3) 小问详解： 解：由（2）知张亮一共出售了斤开鲁红干椒， ， 即本周销售开鲁红干椒实际共得元． 23．【答案】小颖所在的位置的海拔高度为444米 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解题的关键．先根据温度差求出高度差，再结合山顶海拔计算小颖所在位置的海拔． 【详解】 解： ， 即小颖所在的位置的海拔高度为444米． 24．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）从左到右依次计算即可． （2）把除法转化成乘法计算即可． （3）利用乘法分配律计算即可． （4）先算乘方，再算乘除法，最后再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 25．【答案】（1） 小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ② 的正确计算过程如下： ；     （2）小华的思路正确     （3）      【分析】 本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴① 、② 这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出① 式的结果，即可得到② 式的结果， ∴小华的思路正确； (3) 小问详解： 解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 26．【答案】（1）这20袋洗衣粉的平均质量是克     （2）抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元      【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用， （1）根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量； （2）先求出合格的袋数，再根据销售金额=单价×数量即可得出答案． (1) 小问详解： 解： （克） 答：这20袋洗衣粉的平均质量是克； (2) 小问详解： 解：根据题意知，合格的袋数为袋 （元） 答：抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元． 27．【答案】（1），；该外卖小哥这一周平均每天送餐单．     （2）该外卖小哥这一周工资收入元      【分析】 本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格中的数值判断出最大值，最小值，与相加减即可；求出表中数据的平均数，再加上标准数即可； （2）根据题意可列该外卖小哥这一周工资收入的式子，计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了：（单）， 最多的一天送了：（单）， 故答案为：，． 由题意可得：， ， （单）． ∴该外卖小哥这一周平均每天送餐单． (2) 小问详解： 解：根据题意可列，小哥这一周工资收入：， ， ． 故该外卖小哥这一周工资收入元． 28．【答案】（1）15300个     （2）7120元      【分析】 本题考查的是正负数的应用，有理数的四则混合运算的实际应用． （1）先把前面3天记录的数据相加得到超过或不足的总量，再加上前面3天的计划数据可得总量； （2）把所有记录数据相加得到超过或不足的总量，再加上计划数据可得总量，再把总量乘以单价每生产一个口罩元，从而可得工资总额． (1) 小问详解： 解：（个）， 前三天共生产：（个）， 答：前三天共生产个口罩． (2) 小问详解： （个），（元）， 答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是元． 29．【答案】（1）最多的是3日，最少的是5日，相差1.4万人；（2）4530万元 【分析】 （1）分别算出每天的人数，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，以及它们相差多少万人； （2）算出黄金周期间的总人数，再乘以300就是总收入． 【详解】 解：（1）设9月30日人数为a，则 10月1日：a+0.5万人， 10月2日：a+0.7万人， 10月3日：a+0.8万人， 10月4日：a-0.4万人， 10月5日：a-0.6万人， 10月6日：a+0.2万人， 10月7日：a-0.1万人， a+0.8-（a-0.6）=1.4万人， ∴游客人数量最多的是3日，最少的是5日，相差1.4万人； （2）0.5+0.7+0.8-0.4-0.6+0.2-0.1=1.1（万人）， 300×（7×2+1.1）=4530（万元）． 即风景区在此7天内总收入为4530万元． 【点睛】 本题考查了正数和负数，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列式计算，注意单位的统一． 【详解】 30．【答案】（1）思路1     （2）1      【分析】 本题考查了有理数的除法法则、分配律的适用范围及倒数的应用，解题的关键是明确“除法不满足分配律（即）”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法（），除法不满足此规律，故思路1错误；思路2（先算括号内和再除）、思路3（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确；    （2）解法1：先计算括号内，然后计算除法即可； 解法2：先计算括号内的式子除以（即乘，利用分配律简化分数运算），再求结果的倒数即可． (1) 小问详解： 解：∵有理数除法不满足分配律，即；    思路1将拆分为，违背除法法则；    思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确．    思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确．    故答案为：1； (2) 小问详解： 解法1： =1； 解法2： ， ． 考点05 乘方 1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 9．A 10．D 11．D 12．D 13．B 14．C 15．D 16．【答案】32 【分析】 本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】 解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2 个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 17．【答案】8 【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将代入题目中的运算程序，计算出相应的结果，观察结果，直到计算出的结果大于5，输出结果即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：． 18．【答案】8 【分析】 根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】 根据定义，得， 故答案为：8． 19．【答案】（1）10     （2）     （3）26     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算法则进行计算，计算时注意运算顺序； 根据有理数的运算法则进行计算，计算时可以运用乘法分配律进行简便计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： . 21．【答案】 【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．先根据新运算的定义列出运算式子，再计算乘法与乘方运算，然后计算加减法即可得． 【详解】 解：由题意得： ． 故答案为：． 22．【答案】2025 【分析】 本题考查有理数的混合运算，根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子，找到规律列式计算即可． 【详解】 解：根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子可得： ， ∴八进制数23751换算成十进制数是2025， 故答案为：2025． 23．【答案】（1）2     （2）     （3）     （4）3      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加、减法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后计算加法即可； （3）先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后计算加减即可； （4）根据乘法的分配律计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 24．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减； (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式； (4) 小问详解： 原式； 25．【答案】 【分析】 本题考查了相反数、倒数的定义及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相反数之和为0、倒数之积为1及最大的负整数为的性质． 根据相反数的性质得；根据倒数的性质得；确定最大的负整数；将上述值代入代数式，结合有理数乘方运算求出结果． 【详解】 解：与互为相反数， ； 与互为倒数， ； 是最大的负整数， ； 则． 26．【答案】256 【分析】 本题考查有理数乘方的应用．根据题目意思，推导出变化的规律，是解题在关键 可以知道：经过第一次变化，变成2个，再经过第二次变化，变成个，再经过第三次变化，变成个，……，于是可找出规律，第几次变化就变成2的几次方个．孙悟空的数量随变化次数呈指数增长，变了8次后数量为2的8次方． 【详解】 解：悟空变1次变成个悟空； 悟空变2次变成个悟空； 悟空变3次变成个悟空； …… ； 以此类推，悟空变n次变成个悟空． ∴悟空一连变8次，变了8次后孙悟空的数量为 个． 故答案为：256． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可． （2）按运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，依次计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 29．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算. 根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】 解：∵， 十进制数2025换算成八进制数是． 故答案为：． 30．【答案】（1）3；     （2）；     （3）；     （4）0；     （5）．      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用加法交换律与结合律进行简便运算即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减即可； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式； (5) 小问详解： 解：原式． 31．【答案】（1）13， ； （2）； （3），理由如下： ， ， 因为， 所以． 【分析】 本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，理解不同进位制的数之间的转换是解题关键． （1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材2进行转换即可； （3）将三进制数和二进制数都转化为十进制数，即可比较a，b的大小． 【详解】 解：（1）略 （2）； （3）略 32．【答案】 【分析】 本题考查了十进制数转八进制数的方法，采用除以取余法进行转换． 【详解】 解：， ， ， 将余数从下往上排列，得到八进制数． 故答案为：． 33．【答案】（1）40     （2）2      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算等知识点，熟练掌握其运算顺序是解决此题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 34．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算绝对值，括号里的减法，乘方，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）根据“倒数法”结合乘法分配律计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：原式的倒数为 ， ； (4) 小问详解： 解： ． 35．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算即可求得； （2）根据有理数混合运算即可求得； （3）根据有理数的混合运算即可求得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 36．【答案】（1）41     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘除法，再计算加减法即可． （2）先算乘方，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 37．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，合理运用运算律简化计算． （1）先计算乘方、绝对值，再依次进行乘除运算，最后进行加减运算； （2）利用乘法分配律将括号内各项分别与相乘，再计算和； （3）先算乘方与括号内的除法、加法，再算乘法，最后算减法． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 38．【答案】① ② ③ ④ 【分析】根据有理数的乘方法则、乘除混合运算法则、减法法则逐一进行计算即可作出判断． 【详解】① ﹣（﹣2）2＝﹣4，故错误； ② ﹣5÷×5＝﹣5×5×5=-125，故错误； ③，故错误； ④ （﹣3）2×（﹣）＝9×（﹣）＝﹣3，故错误； ⑤ ﹣3﹣6＝﹣9，正确， 则计算错误的是① ② ③ ④ ， 故答案为① ② ③ ④. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 39．【答案】（1）2.7     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的加减混合运算，乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）先判定符号为正，再将除法转化为乘法，最后利用乘法分配律计算即可； （3）利用乘除法法则，从左往右依次计算即可； （4）有理数混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算小括号里面的． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ； (4) 小问详解： 解： ， ， ， ． 40．【答案】任务一：①；②；③23．任务二： 【分析】 本题主要考查了数的进制、含乘方的有理数的混合运算等知识点，理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键． 任务一：①按照材料2解答即可；②按照材料2解答即可；③根据材料1解答即可． 任务二：根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】 解：任务一：① 所以； ② 所以； ③． 任务二： 所以． 41．【答案】（1）3；10     （2）240      【分析】 此题考查新定义计算，熟练掌握有理数混合运算法则及理解新定义是解题的关键： （1）根据题意，按照新运算的定义进行相关运算化简即可； （2）先根据新运算的定义，化简和，再运用，建立关于x的方程，解方程即可求得x的值． 【详解】 解：（1）， 故答案为：3，10； （2）， ． 42．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算与流程图，理解流程图的含义，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题意，分别代入列式，结合有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】 解：当 的值为， 的值为6， ∴第一次计算： ， ∵， ∴第二次计算： ， 故答案为： ． 43．【答案】（1）     （2）     （3）78     （4）     （5）     （6），      【分析】 本题考查含乘方的有理数的混合运算，绝对值，整式的加减求值，去括号，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则计算即可； （2）先算括号内，再进行有理数的乘除计算即可； （3）先算乘方与绝对值，再进行有理数的乘除计算，最后加减即可； （4）先算乘方，再进行有理数的乘除计算，最后加减即可； （5）根据整式的加减进行合并即可； （6）先去括号，再根据整式的加减进行合并，最后代值计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ； (5) 小问详解： ； (6) 小问详解： ， ， 当时， 原式 ． 44．【答案】（1）8     （2）     （3）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，注意运算顺序及符号是解题的关键． （1）先改写成省略加号的形式，再进行加法运算即可； （2）先将除法转化为乘法的形式，再进行乘法运算即可； （3）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数乘法分配律，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减，即可解题； （2）先计算乘方，再结合乘法分配律进行计算，即可解题． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点06 科学记数法 1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 11．B 12．B 13．C 14．B 15．B 16．B 17．C 18．D 19．【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】 解：； 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点07 近似数 1．B 2．D 3．A 4．【答案】1.343 【分析】 本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的常用表示形式．找到千分位所在的数，将它的下一位数进行“四舍五入”． 【详解】 解：1.3429精确到千分位的近似数为1.343． 故答案为：1.343． 5．【答案】 【分析】 本题考查了近似数的求解，根据四舍五入的方法进行求解即可． 【详解】 解：精确到百分位的近似数为． 故答案为：． 6．【答案】百 【分析】 本题主要考查了近似数，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式是解题的关键． 根据近似数的精确度求解即可． 【详解】 解：，故由四舍五入法得到的近似数精确到百位． 故答案为：百． 7．【答案】 【分析】 本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．把千位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】 解：近似数，精确到表示为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，a、b、c三个数的和为（   ） A.  B. 0 C. 1 D. 不存在 【答案】A 【分析】 本题考查了有理数的分类，有理数的加法运算，根据题意可得，，，再求和即可． 【详解】 解：设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数， 则，，， 则a、b、c三个数的和为， 故选：A． 2．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查古代数学问题，理解题意是解决问题的关键． 根据图1中表示的是计算的过程，黑色表示正数、白色表示负数，再根据数量即可得到答案． 【详解】 解：由题意可知，图2表示的过程应是在计算， 故选：B． 3．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）在九章算术注中用不同颜色的算筹小棍形状的记数工具分别表示正数和负数白色为正，黑色为负，如图表示的是的计算过程，则图表示的计算过程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的加减运算，正数和负数，由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】 解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， ∴图中表示的计算过程为． 故选：D． 4．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A. 收入15元 B. 支出2元 C. 支出17元 D. 支出9元 【答案】B 【分析】 根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】 解：（元）， 即张老师当天微信收支的最终结果是支出2元． 故选：B． 【点睛】 本题考查了正数和负数，以及有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】 解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 6．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）绝对值大于1小于4的整数的和是（　　） A. 0 B. 5 C. ﹣5 D. 10 【答案】A 【详解】试题解析：绝对值大于1小于4的整数有：±2；±3． -2+2+3+（3）=0． 故选A． 7．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）若，，且，则的值等于　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据绝对值的定义，确定和的可能值，再结合条件筛选满足条件的值，最后计算． 【详解】 ，， 或，或， ， ， 当，时，； 当，时，． 故答案为或． 8．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． （1）从点D到点C记为______； （2）若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； （3）在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【答案】（1）     （2） 如图，点即为所求．      （3）16米      【分析】 本题考查了正负数在生活中的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题干向右为正，向上为正，则点D到点C为先向左格再向上格； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，计算出最终在左右方向上和上下方向上移动的格数，即可解答； （3）把所有的绝对值相加就是总路线． (1) 小问详解： 解：根据题意：从点D到点C记为； (2) 小问详解： 解：，， 则扫地机器人最终向右移动2格，向上移动2格． (3) 小问详解： 解：（米）． 答：扫地机器人在此次运动过程中共走了16米． 9．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）小明家院子里的桃树今年共收了8筐桃，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称得质量记录如下：-5，+4，-3，+1，+2，-3，-2，+5，请你用简便方法帮助小明算出这8筐桃的总质量． 【答案】239千克. 【分析】根据题意，可先求出这8筐苹果与标准差值的和，再根据标准30千克，求得8框的总质量，再加上上述的结果即可解答. 【详解】解：[-5+4+（-3）+1+2+（-3）+（-2）+5]+30×8 =-1+240=239（千克） 答：这八筐桃总质量为239千克. 【点睛】本题是有关有理数加法实际应用的题目，解题的关键是掌握有理数加法的计算法则. 相加时可运用加法的结合律和交换律把所有的负数和正数分别相加，再把结果相加. 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（       ） A. 支出18元 B. 支出32元 C. 收入32元 D. 收入50元 【答案】C 【分析】 本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用，熟练掌握正负数的应用是解题关键．将与相加，得出结果即可得． 【详解】 解： （元）， 所以小陈当天微信收支的最终结果是收入32元， 故选：C． 2．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）下列式子可读作：“负1，负3，正6，负8的和”的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查有理数的加法和减法计算；理解有理数加减法的定义和法则是解题的关键． 【详解】 解：A、，可以读作“负1，负3，正6，正8的和”，不符合题意； B、，可以读作“负1，负3，正6，负8的和”，符合题意； C、，可以读作“负1，正3，正6，正8的和”，不符合题意； D、，可以读作“负1，正3，负6，正8的和”，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）计算的结果是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据有理数的减法法则直接得出结果； 【详解】 解：； 故选：A． 【点睛】 本题考查实数的基本运算，属于基础题，解题关键掌握有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数． 4．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）比-1小2的数（       ） A. 1 B. -1 C. -3 D. 3 【答案】C 【分析】 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【详解】 解： 故选C 【点睛】 本题考查了有理数的减法，掌握了有理数的减法法则是解答本题的关键． 5．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了数轴上的点对应的数的大小特点以及有理数的加法和减法法则，理解掌握数轴上的数的大小特点是解题的关键．由数轴直观得出，且，然后根据有理数的加减及比较大小的方法判断即可． 【详解】 解： ，A错误，故不符合题意； ，B正确，故符合题意； ，C错误，故不符合题意； ，D错误，故不符合题意； 故答案为：B． 6．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）手机移动支付给生活带来便捷．下图是张老师2023年9月10日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是　　　　　．    微信红包-来自逐流                      滴滴出行                                    扫二维码付款-给老范草楚        【答案】支出元 【分析】 本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算．根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】 解：（元）， 故答案为：支出元． 7．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】（1）     （2）这七天一共行驶了千米     （3）这天的行驶费用比原来节省了大约元      【分析】 本题主要考查了正负数，有理数混合运算的实际运用，理解正负数的实际意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”，从表格中确定最多一天的路程，最少一天的路程，运用有理数的减法运算即可求解； （2）用7天的平均量之和与7天的超出或不足的量求和即可； （3）计算出7天的总路程，分别算出汽油的费用，电费进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：根据表格信息可得，最多的一天为多于标准，最少的一天为少于标准， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ∴这七天一共行驶了千米； (3) 小问详解： 解：由（2）可知这七天一共行驶了千米， ∴油费为（元）， 电费为（元）， ∵（元）， ∴这天的行驶费用比原来节省了大约元． 8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）在2025赛季蒙超联赛组的小组赛中，呼和浩特队负集宁队，呼和浩特队胜阿拉善队，呼和浩特队胜乌海队．如果进球数记为正，失球数记为负，则小组赛中呼和浩特队的净胜球为　　　　　个． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了有理数的加法和减法运算，根据净胜球等于进球总数减去失球总数求解即可． 【详解】 解：进球总数为， 失球总数为， 因此净胜球为， 故答案为：2． 9．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，正好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）若小明家汽车这七天行驶的路程总量为（2）中计算结果，用（单位：）表示每次充电能行驶的路程，（单位：次）表示充电的次数，用式子表示与的关系，并回答与成什么比例关系? 【答案】（1）49     （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了     （3），n与成反比例关系      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用及反比例关系的意义，熟练掌握有理数运算的应用及反比例关系的意义是解题的关键； （1）由表格可直接进行求解即可； （2）先得出表格中的数据之和，然后问题可求解； （3）根据反比例关系的意义可进行求解． (1) 小问详解： 解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； (2) 小问详解： 解：由题意得：， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3) 小问详解： 解：由（2）可知，小明家的新能源汽车这七天一共行驶了， ， 与的乘积一定， 与成反比例关系． 10．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） （1）10月3日的人数为__________万人． （2）八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． （3）请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【答案】（1）     （2），，，     （3）万人      【分析】 本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用． （1）根据题意列式将9月30日的游客人数为万人依次加上10月1日到10月3日变化人数即可； （2）分别计算出10月1日到10月7日每天的人数，继而得到本题答案； （3）根据（2）的结论列式，再计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意列式：（万人）， ∴10月3日的人数为万人． (2) 小问详解： 解：10月1日人数：（万人）， 10月2日人数：（万人）， 10月3日人数：（万人）， 10月4日人数：（万人）， 10月5日人数：（万人）， 10月6日人数：（万人）， 10月7日人数：（万人）， ∴游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数最少的是10月7日，达到万人． (3) 小问详解： 解：（万人）， ∴黄山风景区在这八天内一共接待了万人游客． 11．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （3）原式根据有理数加减法法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： . 12．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）下面是小明和小乐在学习有理数的运算后的一段对话． 小明：在小学，只有当a大于等于b的时候，才能做，例如：，． 小乐：在中学，学习了有理数，当a小于b的时候，也能做，例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： （依据：                                 ） （依据：                                 ） ． 【答案】；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值； 【分析】 本题考查有理数加减法，根据有理数的减法法则和加法法则进行解答便可． 【详解】 解： （依据：减去一个数等于加上这个数的相反数） （依据：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值） ． 故答案为：；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；． 13．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）数轴上到表示数的点距离为3的数是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，注意分类讨论是解题的关键． 分该点在的左边和的右边两种情况，分别求解． 【详解】 解：当该点在的左边时，则有； 当该点在的右边时，则有． 故答案为：或． 14．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉， 例如：． 观察上述式子的特征，解决下列问题． （1）尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①___________； ②___________； （2）当时，___________； （3）探究：计算． 【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了去绝对值，有理数的加减计算，熟知去绝对值的方法是解题的关键． （1）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （2）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （3）先根据（2）的方法去绝对值，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解：①；②； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴； 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 15．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】 解：把正方形看作单位“1”，由图可得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 16．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：千克)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出_____千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为元，那么安某本周共计收入多少元？(总收入总销售额总运费) 【答案】（1）598     （2）26千克     （3）5985元      【分析】 本题考查了正负数的实际应用及有理数的混合运算，解题的关键是理解超额记正、不足记负的含义，准确计算总销量及相关数值． （1）先计算前三天计划总销量，再加上前三天与计划量的差值和，得到实际总销量； （2）找出每日与计划量的最大差值和最小差值，两者相减得出结果； （3）先求本周总销量（计划周销量加所有差值和），再按“每千克实际收入×总销量”计算总收入． (1) 小问详解： 解：， 即前三天共卖出598千克. (2) 小问详解： 解：销售量最多的一天差值为，销售量最少的一天差值为， ， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； (3) 小问详解： 解：本周总销量为千克， 每千克实际收入为元， 总收入为元， 答：安某本周共计收入5985元． 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据倒数的概念求解即可． 【详解】 根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）算式的值最小时，中填入的运算符号是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了有理数的加、减、乘、除运算，有理数的大小比较，分别将各运算符号代入算式求值，再比较即可． 【详解】 解：， ， ， ， ∵ ∴当时的值为最小， 故选：B． 3．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）下列说法正确的是（　　） A. 0既不是正数也不是负数 B. 最小的正数0 C. 绝对值等于3的数是3 D. 任何有理数都有倒数 【答案】A 【分析】根据有理数的分类和绝对值的非负性进行分析即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，故A正确． 没有最小的正数，故B错误． 绝对值等于3的数是3和﹣3，故C错误． 0是有理数，但是0没有倒数，故D错误． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的定义及相关的基本性质，解题的关键是掌握有理数的分类及相关的基本性质． 4．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）一座内、外两环道路的数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为．内环两个路口的数字分别为．要想进入迷宫中心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是（       ） A. 8 B. 15 C.  D. 20 【答案】B 【分析】 本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．先根据有理数乘法计算可能的结果，再取最大值即可． 【详解】 解：，，，， 则， 则乘积最大的值是15． 故选：B． 5．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）﹣0.5的倒数是　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-0.5×（-2）=1即可解答． 【详解】 解：根据倒数的定义得： -0.5×（-2）=1， 因此倒数是-2． 故答案为-2． 【点睛】 题目主要考查倒数的定义，理解倒数的定义是解题关键． 6．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）式子中运用的运算律是　　　　　　　　　　　． 【答案】乘法结合律和乘法分配律 【分析】 本题考查了乘法运算律． 式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 【详解】 解：式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 故答案为：乘法结合律和乘法分配律． 7．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）的绝对值是　　　　　；的相反数是　　　　　；倒数是　　　　　　． 【答案】① 3    ② 3    ③ 【分析】 本题考查绝对值、相反数和倒数的概念．绝对值表示数到原点的距离，总是非负；相反数是符号相反的数；倒数是乘积为1的数，据此求解即可． 【详解】 解：的绝对值是它在数轴上到原点的距离，因此为3； 的相反数是只有符号不同的数，因此为3； 的倒数是乘积为1的数，计算得． 故答案为，，． 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，因为同号得正，异号得负，正数大于负数．比较正数乘积和负数乘积的大小即可． 【详解】 解：要使所得的积最大，两个数必定同号， ，， ， 任意取两个数相乘，所得的积最大是． 故答案为：． 9．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）罕茶来源于蒙古语，意味“黑色”的茶叶，与普洱茶、安化黑茶并称为中国三大黑茶．某茶叶专卖店购进一批罕茶，并对茶叶的质量检验规定装茶叶实际重量与标明重量允许误差为．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表： 茶叶的袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的克数 0 −2 （1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率； （2）求这10袋茶叶的总重量． 【答案】（1）     （2）这10袋茶叶质量为克      【分析】 本题考查有理数的混合运算的应用，根据表格中数据列算式计算是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以得到这10袋茶叶中，合格的数量； （2）根据题意和表格中的数据可以计算出这10袋茶叶的总重量． (1) 小问详解： 解：，，，，， 合格产品有9袋，合格率为； (2) 小问详解： 解：（克） （克） 答：这10袋茶叶质量为克． 10．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）如图，数轴上有①②③④四部分，已知，且，则原点所在的部分为　　　　　　　　． 【答案】② 【分析】 本题考查的是有理数的乘法运算的符号确定，数轴的理解，掌握“有理数的乘法法则”是解本题的关键． 由，且，可得，结合 可得，从而可得原点的位置． 【详解】 解：∵，且，可得结合可得 ∴ ∵， ∴， ∴原点所在的部分为② ， 故答案为：② ． 11．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）在5，，7，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　　　　　　　　　． 【答案】48 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算法则，以及有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据同号得正，且正数大于负数，推出要使积最大，应选择同号的两个数相乘．再比较两个正数相乘和两个负数相乘的积，取较大者，即可解题． 【详解】 解：因为同号得正，且正数大于负数， 又因为同号相乘的情况有：，，且， 因所得的积最大是48． 故答案为：48． 12．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）已知是6的相反数，是的倒数． （1）直接写出          ，          ； （2）求的值． 【答案】（1）；     （2）9      【分析】 本题考查了相反数，倒数，绝对值等知识点的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，即可求解； （2）把，代入计算，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是6的相反数，是的倒数， ∴，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当，时，． 13．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）正数与正数相加，负数与负数相加即可． （2）把小数转换成分数，把分母相同的分数相加求解即可． （3）先算乘方，再算乘除法，最后再计算加减法即可． （4）把转化成，然后利用乘法分配律计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 14．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件　　　　　　　　　　件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【分析】 本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 【详解】 解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 15．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，则这天下午小张共需支付多少油钱？ 【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点千米     （2）这天下午小张共需支付元油钱      【分析】 本题考查了有理数加法在生活中的应用，有理数乘法的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）先求小张所走路程的和，再计算油钱． (1) 小问详解： 解：（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点千米： (2) 小问详解： ∵这天下午小张所走路程 （千米）， ∴这天下午共需付钱 （元）， 答：这天下午小张共需支付元油钱． 16．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）养护小组最后到达的B地在出发点A的哪个方向？距出发点多远？ （2）若汽车行驶平均耗油升，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】（1）B地在A地正南方向，距出发点     （2）这次养护共耗油升      【分析】 本题主要考查正负数的意义，有理数加减乘除的混合运算，掌握正负数表示的意义，有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的意义，运用有理数的加减运算计算即可； （2）根据题意求出行程，再用有理数的乘法计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 地在地的正南方向，距出发点； (2) 小问详解： 解： ， 答：这次养护共耗油升． 17．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯；②计算订购方案的总费用． 【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；② 订购方案的总费用为元（答案不唯一） 【分析】 本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答； （2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答； （3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答． 【详解】 解：问题1： 通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元）， 答：需花费630元． 问题2： 刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元）， 答：需花费667元． 问题3： 根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯， 此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 18．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）出租车司机小李某天下午的营运全是在东莞大道的路上，如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，，，，，，，，，． （1）当小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离多少千米？此时，小李的位置是在出车地点的南面还是北面？ （2）若出租车每100千米耗油5升，每升油需要6元，问小李这天下午的行程需要花费多少油钱？ 【答案】（1）2千米，北面     （2）36元      【分析】 本题主要考查了有理数的加减混合运算的实际应用，绝对值意义，有理数乘法运算的应用，解题的关键是掌握正数和负数表示意义相反的量． （1）根据题意列式计算，并结合向南为正，向北为负进行判断，即可解题； （2）将小李这天下午的行车里程的绝对值相加可得今天的总里程，再列式计算油费即可． (1) 小问详解： 解：（千米）， 因为，向南为正，向北为负， 所以小李距下午出车地点的距离为2千米，小李的位置是在出车地点北面； (2) 小问详解： 解： （千米）， （元）， 答：小李这天下午的行程需要花费36元． 19．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米)： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ （2）在第       次记录时快递小哥距公司P地最远； （3）如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【答案】（1）最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米     （2）五     （3）快递小哥工作一天需要花汽油费元      【分析】 本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法． （1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）分别计算出每一次记录后快递小哥距离公司P的距离，再比较大小，距离最大的即为最远距离； （3）首先算出行驶的路程，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． (1) 小问详解： 解：（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米． (2) 小问详解： 解：（千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， ∴第五次快递小哥距公司P最远． (3) 小问详解： 解：（千米）， ∴（升），（元）， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费元． 20．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中八次行驶记录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 （1）求收工时距A地多远？在A地的什么方向？ （2）在第______次记录时距A地最远； （3）若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 【答案】（1）收工时距A地，在A地的西边；     （2）五；     （3）共耗油升．      【分析】 本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （）所有记录数字的和为收工时的最终位置，其绝对值是距地的距离，正负号表示方向； （）分别计算每次距地的距离，进行比较即可； （）所有记录数的绝对值的和升，就是共耗油数． (1) 小问详解： ， 答：收工时距A地，在A地的西边； (2) 小问详解： 由题意得，第一次距地（千米）； 第二次距地（千米）； 第三次距地（千米）； 第四次距地（千米）； 第五次距地（千米）； 第六次距地（千米）； 第七次距地（千米）； 第八次距地（千米）； 所以在第五次记时距地最远， 故答案为：五； (3) 小问详解： （升）．        答：共耗油升． 考点04 有理数的除法 1．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了绝对值和数轴，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．由数轴图可知，利用数轴知识和绝对值的定义逐项分析即可解答． 【详解】 解：由数轴图可知， ，，，， 选项、、正确，不符合题意，选项错误，符合题意， 故选：． 2．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中），，是三个有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据数a、b、c对应的点的位置，找到数a、b、c的取值范围，根据有理数的运算法则可得出答案． 【详解】 由数轴可知：，且， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了数轴，有理数的加减和乘法，根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断是解题的关键． 3．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）请在Ο中填入最小的正整数，在△中填入最小的非负数，在中填入大于－5且小于－3的整数，并将结果填在横线上.Ο＋(△＋)＝_________ A. 3 B. –4 C. –3 D. 4 【答案】C 【分析】因为最小的正整数为1，最小的非负数为0，大于-5且小于3的整数为-4，所以把以上三个数按要求填入再计算即可． 【详解】∵最小的正整数为1，最小的非负数为0，大于-5且小于3的整数为-4， ∴〇中填1，△中填0，填7； ∴Ο＋(△＋)＝=1+0-4， =-3， 故选C． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握特殊的数是解题关键． 4．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在1到2之间的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查数轴、绝对值相关内容，通过数轴先读取a的取值范围，再根据绝对值，相反数的性质求出对应选项的取值范围．解题的关键是对数轴上点对应取值范围的熟练掌握，及对绝对值相反数性质的灵活运用．通过数轴图可以确定a的取值范围是：，进而可以求出，，，的取值范围是否在1到2之间． 【详解】 解：通过数轴图可以确定a的取值范围是：， ， ，故选项A不符合题意； ， ，故选项B不符合题意； ， ，故选项C符合题意； ， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】 ∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴选项A：，故错误，不符合题意； 选项B：，正确，符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了数轴，利用有理数的运算是解题关键． 6．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）小明在计算时，误将“”看成“”，得到的结论是，则的正确结果为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的加法运算和有理数的除法运算．通过错误运算求出的值，再代入正确运算求解即可解答． 【详解】 解：误将“”看成“”， ， ， ， 故选：． 7．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式结果为负的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查点在数轴的位置判断式子的正负，先根据点在数轴上的位置，结合选项判断出其符号及绝对值与0大小． 【详解】 解：根据数轴可知，，， ∴，，， 故选：D． 8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（       ） ；；；． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了数轴上表示数，有理数大小比较，根据数轴上点的特征可得，且，可判定，，再根据数轴比较有理数大小可判定，，理解数轴并灵活对式子进行变形是解题的关键． 【详解】 由数轴可知：，且，故正确；错误； ∴，故错误； ，， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 9．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）数轴上a，b两数如图所示，则下列各式结果为负的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了有理数与数轴，绝对值性质，有理数加、减、乘法的运算法则，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴得到，再结合有理数的相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】 解：由图知，， ，，，， 即的结果为负，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）如图，数轴上A，B两点表示的实数分别为m，n，则下列结论中，正确的个数为（       ） ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了数轴，利用数轴得出，且，进而逐个分析得出即可． 【详解】 解：由数轴可得，，且， ∴，，，， 故① 错误，② ③ ④ 正确， 故选：C． 11．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）计算（–）÷（–7）的结果为（       ） A. 1 B. –1 C.  D. – 【答案】C 【分析】根据有理数的除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得答案． 【详解】（-）÷（-7）=（-）×（-）=， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，利用有理数的除法是解题关键． 12．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】（1）     （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了．     （3）小明家这7天的行驶费用是元．      【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； (2) 小问详解： 解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3) 小问详解： 解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 13．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）2020 年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； （2）与原计划产量比较，这一周产量超产或减产多少个? （3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元? 【答案】（1）500；（2）500；（3）8500． 【分析】 （1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （2）将记录表中的所有数据相加即可得出结论； （3）根据记录表，求出本周共生产的口罩总数，再乘以0.2即可求出． 【详解】 （1）（个） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）（个） 则：这一周产量超产500个； （3）（元） 答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元． 【点睛】 本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确建立各运算式子是解题关键． 14．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）若“！”是一种数学运算符号，并且，…，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算． 由题目中的规定可知，，然后计算的值． 【详解】 解：，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长，反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到，这时这种金属丝比原来伸长了　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数混合运算的应用． 根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 16．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）计算 （1）                          （2） 【答案】（1）-1（2）10 【分析】（1）根据乘法的分配律计算即可；（2）先算乘法，再算加法即可求解. 【详解】原式 原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则及运算顺序是解决问题的关键. 17．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． （1）若，，请你分别求出m、n的值； （2）试计算的值． 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ，， 解得：； (2) 小问详解： 解：，， ． 18．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）跑步是一种全身性的有氧运动，可以有效增强体质，提高身体的健康水平．小宇选择通过跑步锻炼身体，为了统计自己的跑步里程，他以作为每日目标，并以此作为基数，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．小宇某周七天的跑步记录（单位：）如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录 （1）已知周三的跑步里程为，周五的跑步里程为，请补全表格． （2）小宇本周跑步的平均里程是否达到目标？请通过计算说明理由． （3）若跑步可消耗50千卡热量，则小宇这一周的跑步共消耗了多少千卡的热量？ 【答案】（1），     （2） 不达标，理由如下： 因为， 所以不达标     （3）小宇这一周的跑步共消耗了1725千卡的热量      【分析】 本题主要考查了正负数的实际应用，有理数运算的实际应用等知识． （1）用实际的跑步里程减去即可补全表格． （2）把表格中的数据相加，然后和0比较即可得出答案． （3）用总里程数乘以每千米消耗的热量求解即可． (1) 小问详解： 解：，． 故补全表格如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 记录 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： 答：小宇这一周的跑步共消耗了1725千卡的热量 19．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】 解：由题意得： ， 故答案为：． 20．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送___________单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单但不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥星期四当天的工资收入是多少元？ 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）求出表格数据中的平均数加上50即可； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（单）； 故答案为：； (2) 小问详解： （单）； 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐52单； (3) 小问详解： （元）； 答：该外卖小哥星期四当天的工资收入是元． 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）开学之际，小王在实体店上销售作业本，计划每天销售100个，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周作业本的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 作业本销售超过或不足计划量情况（单位：个） （1）小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售多少个？ （2）小王第一周实际销售作业本的总量是多少个？ （3）若作业本售价为3元/个，进价为元/个，则小王这一周销售作业本一共盈利多少元？ 【答案】（1）20     （2）718     （3）1077      【分析】 本题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． （1）根据表格中的数据，列出算式进行计算即可． （2）根据第一周实际销售作业本的数量相加计算即可； （3）将总数量乘以每个作业本的利润解答即可； (1) 小问详解： 解：小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售：（个） 答：小王第一周销售作业本最多的一天比最少的一天多销售个； (2) 小问详解： 解：（个） 答：小王第一周实际销售作业本的总量是个； (3) 小问详解： 解：（元） 答：小王这一周作业本销售的利润为1077元． 22．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）开鲁县是中国最大的县域红干椒生产基地，享有“中国红干椒之都”之美誉．张亮把开鲁红干椒放到网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤开鲁红干椒，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据，可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； （2）通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划数量； （3）若开鲁红干椒每斤按元出售，每斤开鲁红干椒需支付的平均运费是元，那么本周销售开鲁红干椒实际共得多少元？ 【答案】（1）；     （2）本周实际销售总量达到了计划数量；     （3）本周销售开鲁红干椒实际共得元．      【分析】 本题考查正数和负数的应用、有理数的混合运算． （1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）把天的数量全部相加，结果是正数，则本周实际销售总量达到了计划数量； （3）将总数量乘以价格差，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由表格可知销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期五， 销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 本周实际销售总量达到了计划数量； (3) 小问详解： 解：由（2）知张亮一共出售了斤开鲁红干椒， ， 即本周销售开鲁红干椒实际共得元． 23．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）气象资料表明，高度每增加1000米，气温就降低大约6℃．吞特尔峰是通辽市第一高峰，海拔高度为1444米，位于通辽市北部的大兴安岭南麓余脉地区．某天小亮在吞特尔峰山顶测得的温度为℃，同时小颖在吞特尔峰某位置测得的温度为℃，求小颖所在位置的海拔高度． 【答案】小颖所在的位置的海拔高度为444米 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解题的关键．先根据温度差求出高度差，再结合山顶海拔计算小颖所在位置的海拔． 【详解】 解： ， 即小颖所在的位置的海拔高度为444米． 24．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）从左到右依次计算即可． （2）把除法转化成乘法计算即可． （3）利用乘法分配律计算即可． （4）先算乘方，再算乘除法，最后再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 25．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： （1）小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； （2）小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ （3）如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】（1） 小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ② 的正确计算过程如下： ；     （2）小华的思路正确     （3）      【分析】 本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴① 、② 这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出① 式的结果，即可得到② 式的结果， ∴小华的思路正确； (3) 小问详解： 解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 26．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）洗衣粉厂生产某种规格的洗衣粉，每袋标准质量为450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，超过或不足标准质量的部分分别用“＋”和“－”表示，记录如下： 超过或不足（克） 0 袋数 1 1 1 6 5 2 4 （1）这20袋洗衣粉的平均质量是多少克？ （2）厂家规定每袋质量超过或不足的部分大于5克时为不合格，不能出厂销售．若每袋洗衣粉的定价为5.6元，则抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为多少元？ 【答案】（1）这20袋洗衣粉的平均质量是克     （2）抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元      【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用， （1）根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量； （2）先求出合格的袋数，再根据销售金额=单价×数量即可得出答案． (1) 小问详解： 解： （克） 答：这20袋洗衣粉的平均质量是克； (2) 小问详解： 解：根据题意知，合格的袋数为袋 （元） 答：抽取的20袋洗衣粉中合格品的销售金额为元． 27．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为单，送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了_______单；最少的一天送了_______单； 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】（1），；该外卖小哥这一周平均每天送餐单．     （2）该外卖小哥这一周工资收入元      【分析】 本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格中的数值判断出最大值，最小值，与相加减即可；求出表中数据的平均数，再加上标准数即可； （2）根据题意可列该外卖小哥这一周工资收入的式子，计算即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了：（单）， 最多的一天送了：（单）， 故答案为：，． 由题意可得：， ， （单）． ∴该外卖小哥这一周平均每天送餐单． (2) 小问详解： 解：根据题意可列，小哥这一周工资收入：， ， ． 故该外卖小哥这一周工资收入元． 28．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩； （2）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】（1）15300个     （2）7120元      【分析】 本题考查的是正负数的应用，有理数的四则混合运算的实际应用． （1）先把前面3天记录的数据相加得到超过或不足的总量，再加上前面3天的计划数据可得总量； （2）把所有记录数据相加得到超过或不足的总量，再加上计划数据可得总量，再把总量乘以单价每生产一个口罩元，从而可得工资总额． (1) 小问详解： 解：（个）， 前三天共生产：（个）， 答：前三天共生产个口罩． (2) 小问详解： （个），（元）， 答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是元． 29．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）十一黄金周期间，龙之梦景区7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月30日多的人数，负数表示比9月30日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 （1）请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ （2）如果9月30日旅游人数为2万人，平均每人消费300元，请问该景区在此7天内总收入为多少万元？ 【答案】（1）最多的是3日，最少的是5日，相差1.4万人；（2）4530万元 【分析】 （1）分别算出每天的人数，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，以及它们相差多少万人； （2）算出黄金周期间的总人数，再乘以300就是总收入． 【详解】 解：（1）设9月30日人数为a，则 10月1日：a+0.5万人， 10月2日：a+0.7万人， 10月3日：a+0.8万人， 10月4日：a-0.4万人， 10月5日：a-0.6万人， 10月6日：a+0.2万人， 10月7日：a-0.1万人， a+0.8-（a-0.6）=1.4万人， ∴游客人数量最多的是3日，最少的是5日，相差1.4万人； （2）0.5+0.7+0.8-0.4-0.6+0.2-0.1=1.1（万人）， 300×（7×2+1.1）=4530（万元）． 即风景区在此7天内总收入为4530万元． 【点睛】 本题考查了正数和负数，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列式计算，注意单位的统一． 【详解】 30．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，再把所得结果相加． 思路2：先求出，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路_____________． （2）请选择一种正确的思路计算： 【答案】（1）思路1     （2）1      【分析】 本题考查了有理数的除法法则、分配律的适用范围及倒数的应用，解题的关键是明确“除法不满足分配律（即）”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法（），除法不满足此规律，故思路1错误；思路2（先算括号内和再除）、思路3（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确；    （2）解法1：先计算括号内，然后计算除法即可； 解法2：先计算括号内的式子除以（即乘，利用分配律简化分数运算），再求结果的倒数即可． (1) 小问详解： 解：∵有理数除法不满足分配律，即；    思路1将拆分为，违背除法法则；    思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确．    思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确．    故答案为：1； (2) 小问详解： 解法1： =1； 解法2： ， ． 考点05 乘方 1．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了有理数的加减法运算，除法运算，乘方．根据有理数的加减法运算，除法运算，乘方，逐项判断，即可求解． 【详解】 ∵ A：，∴ A错误； ∵ B：，∴ B错误； ∵ C：，∴ C错误； ∵ D：，∴ D正确. 2．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）定义一种新运算“”，，则的值为（     ） A. 1 B. 1 C. 7 D. 7 【答案】A 【分析】 此题考查了新定义问题，熟练掌握有理数的混合运算法则是解本题的关键． 利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】 解：按新运算规则， 故选 A． 3．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（       ） A. 21 B. 35 C. 7 D. 16 【答案】A 【分析】 根据题意列出算式进行计算，再判断即可． 本题主要考查代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 4．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）按如图所示的运算程序进行运算，输入，则输出结果为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查流程图．将代入即可求解． 【详解】 解：输入，则， 故输出结果为7， 故选：C． 5．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据绝对值的性质、有理数减法法则、有理数除法法则、有理数乘方法则依次计算并判断． 【详解】 解：A、，故不符合题意； B、（-3）-2=-5，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】 此题考查了有理数的计算，正确掌握绝对值的性质、有理数减法法则、有理数除法法则、有理数乘方法则是解题的关键． 6．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数、三进制数，那么的大小关系是（       ）． A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，本题是一个基础题．括号里的数字从左开始，按照题目给的计算法则计算，以此类推，进行计算即可． 【详解】 用十进制表示为， 用十进制表示为， ， 故选：A． 7．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）下列各式运算结果为正数的是（       ）．    A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了有理数的运算，根据有理数乘方、乘法和加法运算法则，绝对值的意义，求出结果，进行判断即可．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键． 【详解】 解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 8．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）定义新运算“⊗”，规定：，则的运算结果为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．根据题意得出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】 解：， ． 故选：C． 9．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）下列各组数中，两数不相等的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【分析】 本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】 解：A. 与，两数不相等，故此选项符合题意；        B. 与，两数相等，故此选项不符合题意； C. 与，两数相等，故此选项不符合题意；        D. 与，两数相等，故此选项不符合题意； 故选：A． 10．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）若，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，，在数轴上对应的两点的距离是，则的值是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，相反数，绝对值，倒数的定义．根据相反数，倒数，数轴上两点的距离分别表示出，，，或，求出q，然后代入求解即可． 【详解】 解：由题意得：，，， ，在数轴上对应的两点的距离是， 或， 即：或， 或， 原式或原式． 故选：D． 11．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）下列各组数中，相等的一组（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 本题考查有理数的乘方、符号运算及绝对值的计算，解题的关键是明确乘方与符号的运算顺序（乘方优先于负号，括号改变运算顺序）． 分别计算四个选项中两组数的值，对比判断是否相等． 【详解】 解：A、因为，所以，两组数不相等； B、因为，， 所以，两组数不相等； C、因为，所以，两组数不相等； D、因为，所以，两组数相等． 故选：D． 12．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0或1），它们两者之间可以互相换算，例如： ； ． 按此方式，将二进制数换算成十进制数的结果为：（       ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 21 【答案】D 【分析】 本题考查二进制与十进制的转换，掌握位权原理和基本计算即可求解．将二进制数转换为十进制数，需根据位权原理，将每一位数字乘以2的相应次幂（从右向左，次幂从0开始），再求和． 【详解】 解：由题可知 ∴换算结果为21． 13．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）计算的结果等于（     ） A.  B.  C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 根据有理数的乘方计算即可． 【详解】 解：． 14．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 15．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的加法运算和乘方运算，根据有理数的加法和乘方运算法则分别运算即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 16．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成　　　　　　个． 【答案】32 【分析】 本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】 解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2 个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 17．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将代入题目中的运算程序，计算出相应的结果，观察结果，直到计算出的结果大于5，输出结果即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：． 18．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】 根据定义，得， 故答案为：8． 19．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）10     （2）     （3）26     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 20．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算法则进行计算，计算时注意运算顺序； 根据有理数的运算法则进行计算，计算时可以运用乘法分配律进行简便计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： . 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）用“※”定义一种新运算：对任意的有理数和，，如，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．先根据新运算的定义列出运算式子，再计算乘法与乘方运算，然后计算加减法即可得． 【详解】 解：由题意得： ． 故答案为：． 22．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数3751换算成十进制数是　　　　　　（注：）． 【答案】2025 【分析】 本题考查有理数的混合运算，根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子，找到规律列式计算即可． 【详解】 解：根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子可得： ， ∴八进制数23751换算成十进制数是2025， 故答案为：2025． 23．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）2     （2）     （3）     （4）3      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加、减法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后计算加法即可； （3）先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后计算加减即可； （4）根据乘法的分配律计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 24．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减； (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式； (4) 小问详解： 原式； 25．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）已知：m与n互为相反数，p与q互为倒数，h是最大的负整数．求：的值． 【答案】 【分析】 本题考查了相反数、倒数的定义及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相反数之和为0、倒数之积为1及最大的负整数为的性质． 根据相反数的性质得；根据倒数的性质得；确定最大的负整数；将上述值代入代数式，结合有理数乘方运算求出结果． 【详解】 解：与互为相反数， ； 与互为倒数， ； 是最大的负整数， ； 则． 26．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，摇身一变，就变成了2个孙悟空：这2个孙悟空摇身一变，又各变成2个，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，又变成了8个孙悟空：…假设孙悟空一连变了8次，那么此时一共有　　　　　　　　　　　　个孙悟空． 【答案】256 【分析】 本题考查有理数乘方的应用．根据题目意思，推导出变化的规律，是解题在关键 可以知道：经过第一次变化，变成2个，再经过第二次变化，变成个，再经过第三次变化，变成个，……，于是可找出规律，第几次变化就变成2的几次方个．孙悟空的数量随变化次数呈指数增长，变了8次后数量为2的8次方． 【详解】 解：悟空变1次变成个悟空； 悟空变2次变成个悟空； 悟空变3次变成个悟空； …… ； 以此类推，悟空变n次变成个悟空． ∴悟空一连变8次，变了8次后孙悟空的数量为 个． 故答案为：256． 27．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可． （2）按运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，依次计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 29．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2025正好是你进入初中的年份，请将十进制数2025换算成八进制数是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算. 根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】 解：∵， 十进制数2025换算成八进制数是． 故答案为：． 30．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）3；     （2）；     （3）；     （4）0；     （5）．      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用加法交换律与结合律进行简便运算即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减即可； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式； (5) 小问详解： 解：原式． 31．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）解决问题： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一． 素材1 十进制数．记作1024：八进制数．记作：五进制数．记作：二进制数．记作：（且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：                                 解决问题 任务1 将二进制数转化为十进制数，写出转化过程； 任务2 十进制数21转二进制数得_____； 任务3 现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，并写出过程． 【答案】（1）13， ； （2）； （3），理由如下： ， ， 因为， 所以． 【分析】 本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，理解不同进位制的数之间的转换是解题关键． （1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材2进行转换即可； （3）将三进制数和二进制数都转化为十进制数，即可比较a，b的大小． 【详解】 解：（1）略 （2）； （3）略 32．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）将十进制数转成八进制数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了十进制数转八进制数的方法，采用除以取余法进行转换． 【详解】 解：， ， ， 将余数从下往上排列，得到八进制数． 故答案为：． 33．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）40     （2）2      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算等知识点，熟练掌握其运算顺序是解决此题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 34．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）计算下面各题． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算绝对值，括号里的减法，乘方，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）根据“倒数法”结合乘法分配律计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：原式的倒数为 ， ； (4) 小问详解： 解： ． 35．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算即可求得； （2）根据有理数混合运算即可求得； （3）根据有理数的混合运算即可求得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 36．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）41     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘除法，再计算加减法即可． （2）先算乘方，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 37．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，合理运用运算律简化计算． （1）先计算乘方、绝对值，再依次进行乘除运算，最后进行加减运算； （2）利用乘法分配律将括号内各项分别与相乘，再计算和； （3）先算乘方与括号内的除法、加法，再算乘法，最后算减法． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 38．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）下列算式中，①﹣(﹣2)2＝4，②﹣5÷×5＝﹣5，③，④(﹣3)2×(﹣)＝3，⑤﹣3﹣6＝﹣9．计算错误的是　　　　　．(填序号) 【答案】① ② ③ ④ 【分析】根据有理数的乘方法则、乘除混合运算法则、减法法则逐一进行计算即可作出判断． 【详解】① ﹣（﹣2）2＝﹣4，故错误； ② ﹣5÷×5＝﹣5×5×5=-125，故错误； ③，故错误； ④ （﹣3）2×（﹣）＝9×（﹣）＝﹣3，故错误； ⑤ ﹣3﹣6＝﹣9，正确， 则计算错误的是① ② ③ ④ ， 故答案为① ② ③ ④. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 39．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）2.7     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的加减混合运算，乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）先判定符号为正，再将除法转化为乘法，最后利用乘法分配律计算即可； （3）利用乘除法法则，从左往右依次计算即可； （4）有理数混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算小括号里面的． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ； (4) 小问详解： 解： ， ， ， ． 40．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制数，记作：八进制数，记作：二进制数，记作：且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n 进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数（10010）2转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 （1）十进制数，转二进制数得             ；（2）十进制数89，转八进制数得             ；（3）二进制数转十进制数得              任务2 二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算．                         （结果用二进制表示）． 【答案】任务一：①；②；③23．任务二： 【分析】 本题主要考查了数的进制、含乘方的有理数的混合运算等知识点，理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键． 任务一：①按照材料2解答即可；②按照材料2解答即可；③根据材料1解答即可． 任务二：根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】 解：任务一：① 所以； ② 所以； ③． 任务二： 所以． 41．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）规定一种新运算：，例如． （1）___________，___________； （2）求的值． 【答案】（1）3；10     （2）240      【分析】 此题考查新定义计算，熟练掌握有理数混合运算法则及理解新定义是解题的关键： （1）根据题意，按照新运算的定义进行相关运算化简即可； （2）先根据新运算的定义，化简和，再运用，建立关于x的方程，解方程即可求得x的值． 【详解】 解：（1）， 故答案为：3，10； （2）， ． 42．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当 的值为， 的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当 的值为， 的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算与流程图，理解流程图的含义，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题意，分别代入列式，结合有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】 解：当 的值为， 的值为6， ∴第一次计算： ， ∵， ∴第二次计算： ， 故答案为： ． 43．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． （5）； （6）先化简，再代入求值．，． 【答案】（1）     （2）     （3）78     （4）     （5）     （6），      【分析】 本题考查含乘方的有理数的混合运算，绝对值，整式的加减求值，去括号，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则计算即可； （2）先算括号内，再进行有理数的乘除计算即可； （3）先算乘方与绝对值，再进行有理数的乘除计算，最后加减即可； （4）先算乘方，再进行有理数的乘除计算，最后加减即可； （5）根据整式的加减进行合并即可； （6）先去括号，再根据整式的加减进行合并，最后代值计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ； (5) 小问详解： ； (6) 小问详解： ， ， 当时， 原式 ． 44．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）8     （2）     （3）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，注意运算顺序及符号是解题的关键． （1）先改写成省略加号的形式，再进行加法运算即可； （2）先将除法转化为乘法的形式，再进行乘法运算即可； （3）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 45．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数乘法分配律，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减，即可解题； （2）先计算乘方，再结合乘法分配律进行计算，即可解题． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点06 科学记数法 1．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）中国信息通信研究院测算年，中国商用直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】 解：万亿． 2．（25-26学年七上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：． 3．（25-26学年七上·内蒙古包头东河区·期中）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】 解：依题意，2000万， 即数据“2000万”用科学记数法表示为， 故选：C 4．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中）2025年7月15日，长征七号遥十运载火箭托举着天舟九号货运飞船划破云霞，直冲云霄，将6500千克“太空快递”精准送达中国空间站，创下3小时18分的“宇宙速递”新纪录．数据6500用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将6500写成（其中，n为整数）的形式即可． 【详解】 解：． 故选：C． 5．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特部分学校·期中）新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，其中，n为整数，是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】 故选：A． 6．（25-26学年七上·内蒙古自治区赤峰松山区·期中）2025年五一假期，国内出游人数达到314000000人次，总消费金额为1802.69亿元，分别同比增长和．其中国内出游人数可用科学记数法表示为：（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，314000000用科学记数法表示为， 故选：C． 7．（25-26学年七上·内蒙古区呼和浩特新城区·期中）自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（     ） A. 亿 B. 亿 C. 亿 D. 亿 【答案】D 【分析】 此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 将科学记数法转换为原数，再改写成以亿为单位的数即可． 【详解】 解：∵1亿=， ∴元 亿． 故选：D． 8．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头青山区·期中）在太阳系的天体运动研究中，科学家观测到火星与地球因绕太阳公转，二者间的空间距离始终处于动态变化中，当火星运行至近地轨道时，与地球的最近距离约为5500万千米“5500万”用科学记数法可表示为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法．将“万”转换为数字，科学记数法要求系数满足，为整数 【详解】 解：∵万， 故选：B． 9．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，2750000000000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：， 故选C． 10．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）“国迎国庆节，秋赏中秋月”，通辽市推出许多文旅活动，优惠政策，在中秋国庆小长假第一天迎来“开门红”，共接待游客17.17万人次．数据17.17万用科学记数法可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 将“17.17万”转换为具体数值，再根据科学记数法的定义（数字部分在1到10之间）进行表示． 【详解】 解：万， ． 故选：B． 11．（25-26学年七上·内蒙古自治区包头·期中）年月日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空成功落月，月球距离地球约千米，将用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】 解：， 故选：． 12．（25-26学年七上·内蒙古乌兰察布联·期中）今年的“十一”假期恰逢国庆与中秋双节叠加，市文旅体局根据大数据监测初步统计，国庆中秋假期乌兰察布累计接待游客万人，同比增长．数据万用科学记数法可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 将“万”转换为具体数值，再根据科学记数法的定义进行表示即可． 【详解】 万． 故选：B． 13．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）根据民航局发布的消息，2025年国庆、中秋假期期间，我国民航客运累计发送旅客1913.8万次，把1913.8万用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】 ∵ 1万 ， ∴ 1913.8万 ． 故选C． 14．（25-26学年七上·内蒙古包头昆都仑区第三中学·期中）据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（       ）千米. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】 解：， 故选：． 15．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）238万元用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．        科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】 解：238万． 故选：B． 16．（25-26学年七上·内蒙古包头第三十五中学·期中）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此即可解答． 【详解】 解：数据384000用科学记数法表示为． 故选：B． 17．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示关键要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】 解：根据题意，得； 故选：C 18．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A. 4.995×1011 B. 49.95×1010 C. 0.4995×1011 D. 4.995×1010 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010． 故选：D． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 19．（25-26学年七上·内蒙古通辽开鲁县部分学校·期中）2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近40000000．将40000000用科学记数法表示为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：． 故答案为：． 20．（25-26学年七上·内蒙古区巴彦淖尔临河区·期中）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】 解：； 故答案为：． 21．（25-26学年七上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）杭州亚运会赛会志愿者招募自启动以来，得到了社会群体和高校学生的积极响应，注册总人数超人．其中用科学记数法可表示为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 22．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）我国作为亚太经济合作组织（）的重要成员，始终以实际行动为亚太伙伴创造更多发展机遇．数据显示，2024年前10个月，我国与其他经济体的进出口总额为元人民币，创历史同期新高．数据用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点07 近似数 1．（25-26学年七上·内蒙古通辽·期中）根据通辽市统计局及国家统计局发布，年第一季度通辽市第一产业增加值为亿元，同比增长，亿这个数精确到（       ） A. 亿位 B. 千万位 C. 百万位 D. 十分位 【答案】B 【分析】 本题考查了近似数的精确度，解题的关键是清楚这个近似数的最后一位有效数字所在的数位．亿表示精确到亿，而亿对应千万位． 【详解】 解：亿中，小数点后一位表示精确到十分之一亿， 十分之一亿， 亿精确到千万位． 2．（25-26学年七上·内蒙古自治区呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）用四舍五入法对0.10099取近似值，其中正确的是（     ） A. 0.2（精确到0.1） B. 0.1（精确到百分位） C. 0.100（精确到千分位） D. 0.1010（精确到0.0001） 【答案】D 【分析】 本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】 解：A．（精确到0.1），所以A选项不符合题意； B．（精确到十分位），所以B选项不符合题意； C．（精确到千分位），所以C选项不符合题意； D．（精确到0.0001），所以D选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年七上·内蒙古自治区乌兰察布集宁区集宁亿利东方学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 158200000000用科学记数法表示为 B. 由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 C. 1.399用四舍五入法保留两位小数后，取近似数后为1.4 D. 近似数2.1和2.10精确度相同 【答案】A 【分析】 本题考查科学记数法和近似数的精确度概念．选项A正确表示了大数的科学记数法；选项B混淆了精确度的位置；选项C错误理解了四舍五入保留小数的结果；选项D忽略了近似数末尾零对精确度的影响． 【详解】 解：∵158200000000是12位数，科学记数法表示为，选项A正确． ∵最后一位3对应百位， ∴精确到百位，不是百分位，选项B错误． ∵1.399保留两位小数，第三位，向前进位， ∴结果为1.40，不是1.4（1.4表示保留一位小数），选项C错误． ∵ 2.1精确到十分位，2.10精确到百分位， ∴ 精确度不同，选项D错误． 故选A 4．（2026·内蒙古区巴彦淖尔·调研）有理数1.3429精确到千分位的近似数为　　　　　　． 【答案】1.343 【分析】 本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的常用表示形式．找到千分位所在的数，将它的下一位数进行“四舍五入”． 【详解】 解：1.3429精确到千分位的近似数为1.343． 故答案为：1.343． 5．（25-26学年七上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803398……，将它用四舍五入法精确到百分位的近似数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了近似数的求解，根据四舍五入的方法进行求解即可． 【详解】 解：精确到百分位的近似数为． 故答案为：． 6．（25-26学年七上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到　　　　　　　位． 【答案】百 【分析】 本题主要考查了近似数，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式是解题的关键． 根据近似数的精确度求解即可． 【详解】 解：，故由四舍五入法得到的近似数精确到百位． 故答案为：百． 7．（25-26学年七上·内蒙古奈曼旗第四中学·期中）对于近似数，精确到表示为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．把千位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】 解：近似数，精确到表示为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $