专题02 全等三角形（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．B 3．D 4．C 5．【答案】d度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】 解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 6．【答案】�度 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，根据全等三角形的对应角相等，得到，根据外角的性质推出，再用平角的定义，求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，坐标与图形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由点，的坐标得到，，由全等三角形的性质推出，，，即可得到点的坐标． 【详解】 解：点，的坐标分别为，， ，， ， ，，， 点的坐标为． 故答案为：． 8．【答案】（1）96；     （2），理由见解析．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． (1) 小问详解： 解：， ． 又， ． 又， ． ． (2) 小问详解： 解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 9．【答案】（1）厘米，（厘米）     （2），或，      【分析】 本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． (1) 小问详解： 解：由题意得，（厘米）， （厘米）． (2) 小问详解： 解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 10．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 11．【答案】 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，根据线段的和差则可得出答案． 【详解】 解：在上取一点，使，连接，     ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．B 3．D 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．C 13．B 14．B 15．D 16．D 17．C 18．D 19．B 20．B 21．C 22．【答案】证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 略 23．【答案】（1）稳定     （2） 解：是和的中点， ， 又， ， ．      【分析】 本题考查了三角形的稳定性，全等三角形的判定和性质． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． (1) 小问详解： 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； (2) 小问详解： 略 24．【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】 本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】 解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 25．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据证明，得出，然后根据三角形外角的性质并结合角的和差关系可得出，即可求解． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 26．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 27．【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 28．【答案】1或 【分析】 本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】 解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 29．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴；     （2）125°      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“SSS”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 30．【答案】，理由如下： ∵，， ∴． ∵E、C、A三点在同一条直线上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得，，又因为，证明，即可作答． 【详解】 略 31．【答案】证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】 略 32．【答案】（或或） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】 解：， ， 即， ， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可． 故答案为：（或或） 33．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先根据等式的性质得到，再由平行线的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】 略 34．【答案】30 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．证明，则，利用割补法可得阴影部分面积． 【详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， 图中阴影部分面积． 故答案为：30． 35．【答案】；；；； 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，延长到，使，连接，先证明得出，，从而得出，由平行线的性质可得，再证明得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 证明：延长到G，使，连接． 是中点， ． 又，， ， ，（全等三角形的性质） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 为的中点， ． （等量代换） 由，以及， ， （全等三角形性质） ． 36．【答案】证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'， ∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的BC和B′C′边上的中线， ∴BD＝B'D'， 在△ABD与△A′B′D′， ， ∴△ABD≌△A′B′D′， ∴AD＝A'D'． 【分析】 根据全等三角形的性质得出对应边和对应角相等，再利用全等三角形的判定证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 37．【答案】（1） 证明：， ， 在△和△中， ， △△；     （2）78°      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ． 38．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴≌；     （2）      【分析】 （1）根据，得出，即可根据证明≌； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的外角定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：≌， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；全等三角形的判定方法有，全等三角形对应角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 40．【答案】（1） 解：选择② 或③ 或④ ； 证明：∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：② 或③ 或④ ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵， ∴． 41．【答案】问题1：； 问题2：的度数为； 问题3：，证明：在线段 上截取，连接， 由问题2可知 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 问题1：由对顶角相等，结合等角的余角相等，即可得与的大小关系； 问题2：在线段上截取，连接，由对顶角相等，结合等角的余角相等，可得，证明，可得，，可得，即可得的度数； 问题3：在线段上截取，连接，由问题2可知，可得，证明，可得，可得，即可得线段和线段的数量关系． 【详解】 问题1： 解：∵，相交于点， ∴， ∵， ∴． 问题2： 解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 问题3：略 【点睛】 本题考查对顶角相等，等角的余角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． 42．【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质． 由，可得，结合已知可证明，可得，可得，即可证得结论． 【详解】 略 43．【答案】已知：如图，在和中，，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，且， 求证：．    证明：CM、FN分别是AB、DE边上的中线， 点M、N分别是AB、DE边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 先画出图形（见解析），写出已知、求证，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 44．【答案】（1） 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 45．【答案】（1） ； （2），理由是： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即． （3） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据余角的性质易得，进而可根据证明，可得，，再利用线段的和差即得结论； （2）同（1）可证明，于是可得，，再利用线段的和差即可进行判断并推出结论； （3）证明，则，即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3），理由如下： ， ， ，    在和中， ， ，                ，        ． 46．【答案】5或8 【分析】 本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分两种情况：当运动到时，证明，得到，当运动到与重合时，证明，得到，从而得到答案． 【详解】 解：当运动到时， 在和中， ， ， ； 当运动到与重合时， 在和中， ， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 47．【答案】（1） ① 如图， ②；     （2）．      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形中位线的性质： （1）① 根据题意画图即可；② 延长至G，使，延长至H，使，连接，证明，推出与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G，G，C，B在同一直线上，由此得到，即可得到； （2）证明，得到，即点C为中点，由此推出是的中位线，进而推出． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 延长至G，使，延长至H，使，连接， ∵， ∴ ∴与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G， ∴G，C，B在同一直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为； (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， ∴，即点C为中点， 又∵M为中点， ∴是的中位线， ∴， 即． 48．【答案】3秒或8秒或26秒 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，长方形的特征，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．分三种情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】 解：在长方形中，，， ①当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或8秒或26秒时，是等腰三角形． 故答案为：3秒或8秒或26秒． 49．【答案】（1）；；；     （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）       【分析】 （1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 50．【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【分析】 本题考查了三角形的综合应用，图形与坐标，掌握全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得结论； （2）过点作轴垂线，垂足为，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点的坐标即可； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． （4）分，，三种情况，根据A和B的坐标，结合等腰直角三角形的性质，通过全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：（1），， 又， ， 在和中， ， ∴， ，； 故答案为：，； （2）过点作轴垂线，垂足为， 由题意知：，，，， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故点坐标为； （3）如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． （4）当时，过点A作y轴的垂线，过点B，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E，与x轴交于点F， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴，， ∴； 当时，过点B作x轴的垂线，过点A，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∴； 当时，过点C作y轴的垂线，过点A，B作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由可得：， ∴， ∴， ∴； 综上：点C的坐标为或或． 51．【答案】（1）B． （2）C． （3）证明：如图2 延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 (1) 是中线， ， 在和中， ． 故选B． (2)由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C． (3) 略 52．【答案】（1），证明： 延长至点E，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：延长至G，使得，连接    在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， 在中，两边之和大于第三边，    ∴ 又∵， ∴ （3），证明： ① 点E在点A右侧时 延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ② 点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 综上， 【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．D 8．【答案】（1） 证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分．     （3）      【分析】 （1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 9．【答案】|度 【分析】 此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．过点作于点，于点，于点，依题意得，由此得点是和平分线的交点，则，在△中，由三角形内角和定理得，则，然后在△中，由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】 解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是△内一点，且到三边的距离相等， ， 点是和平分线的交点， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，． 故答案为：． 10．【答案】（1） 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】（1） 如图：即为所求；         （2）两直线平行，同旁内角互补；；30；两直线平行，内错角相等．      【分析】 （1）根据作角平分线的基本作法作图； （2）根据平行线的选择求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；30；两直线平行，内错角相等． 【点睛】 本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．【答案】（1） 证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上；     （2） 证明：， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】，理由如下， ∵， ∴， ∵分别是及的平分线， ∴， 又， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查四边形的内角和，角平分线的定义，互余和互补的性质，平行线的判定，掌握四边形的内角和，平行线的判定和性质是关键． 由四边形的内角和推出与互补，由角平分线推出与互余，再由与互余推出，即可证得结论． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等．据此解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴（米）， ∴，之间的距离为M，N之间的距离为米． 故选：A． 2．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）图中是两个全等的三角形，其中的字母表示三角形的边长，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，由，，根据三角形内角和定理求得，由全等三角形的性质得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：如图，    ∵， ∴， ∵，且，，， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（   ）                               A. 54° B. 60° C. 66° D. 76° 【答案】C 【详解】 试题解析：根据三角形内角和可得 因为两个全等三角形， 所以 故选C. 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 【答案】d度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】 解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 6．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，，点D在边上，若，则　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，根据全等三角形的对应角相等，得到，根据外角的性质推出，再用平角的定义，求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）△和△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，的坐标分别为，，点在轴上，且，则点的坐标为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，坐标与图形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由点，的坐标得到，，由全等三角形的性质推出，，，即可得到点的坐标． 【详解】 解：点，的坐标分别为，， ，， ， ，，， 点的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）96；     （2），理由见解析．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． (1) 小问详解： 解：， ． 又， ． 又， ． ． (2) 小问详解： 解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】（1）厘米，（厘米）     （2），或，      【分析】 本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． (1) 小问详解： 解：由题意得，（厘米）， （厘米）． (2) 小问详解： 解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 10．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图在四边形中，对角线平分，，点是上一点，．若，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，根据线段的和差则可得出答案． 【详解】 解：在上取一点，使，连接，     ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A. △ABC与△ABD不全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断； 【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 2．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③ 块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】 因为第③ 块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在中，点在边上，，，添加下列条件能判断的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定对各选项判断作答即可． 【详解】 解：在中，点在边上，， A. ，不是对应角，不能判断，故该选项不符合题意；        B. ，不是对应边，不能判断，故该选项不符合题意；              C. ，不能判断，故该选项不符合题意；        D. ，根据，能判断，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（     ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】 解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误； B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误； D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知判定全等三角形的依据．根据题意得，，当添加条件时，可利用判定；当添加 时，结合，，不能判定；当添加条件时，结合，，可利用判定；当添加条件时，可利用判定． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴ 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项A中的条件时可以判定，选项A不符合题意； ∵，， 因此当添加 时，不能判定， 因此添加选项B中的条件时无法判定，选项B符合题意； 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项C中的条件时可以判定，选项C不符合题意； 当添加条件时， 则 在和中， ， ∴， 因此添加选项D中的条件时可以判定，选项D不符合题意． 故选：B． 8．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】 解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 9．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（     ） A. 线段与交于点 B.  C.  D. 是线段的中点 【答案】C 【分析】 本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据证明，再由全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】 解：在和中， ， ∴ ∴， 故选：C． 11．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】 解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 12．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ） A. AC∥DF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠ACB=∠F 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定定理，即可得出． 【详解】 ∵AB=DE，∠B=∠DEF， ∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确； 添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确； 添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确． 故选C． 13．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，关键是掌握：、、、、定理． 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】 解：∵甲图有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； ∵乙图与三角形有两角及其夹边相等，二者全等． ∵丙图与三角形有两角及一边相等，二者全等． ∴乙与全等（）；丙与全等（）． 故选：B． 14．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图所示，，，，，，则（   ） A.  B.  C.  D. 无法计算 【答案】B 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】 解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 15．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在和中，，若证，还需补充一个条件，错误的补充方法是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查三角形全等的判定的应用．根据全等三角形的判定定理即，直角三角形可用定理，判断求解即可． 【详解】 解：∵， A、补充，则，故A正确，不符合题意； B、补充，则，故B正确，不符合题意； C、补充，则，故C正确，不符合题意； D、补充，不能证明，故D符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A. AB＝DE B. ∠ACB＝∠DCE C. ∠ACD＝∠BCE D. ∠B＝∠E 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：∵AC＝DC，BC＝EC， ∴AB=DE,满足SSS，故可保证△ABC≌△DEC； ∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； ∵∠ACD＝∠BCE ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD,即∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； 由∠B＝∠E，AC＝DC，BC＝EC，满足的是SSA，不能判定△ABC≌△DEC． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定法则是解答本题的关键，SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键． 17．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，a，b，c分别表示的三边长，下面三角形中与一定全等的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 根据图形逐一判断即可． 【详解】 解：由图可知， A． ，b为邻边而非对边，不可能全等； B． ，b为邻边而非对边，不可能全等； C． ，a、b夹角为，与题干一致，可用证明全等； D． ，为a对角而非c对角，不可能全等； 故选：C． 18．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作的垂线，垂足为，则下列结论不正确的是（     ） A. 为等腰三角形 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积；根据的坐标，分别求得的长，即可判断A，B选项，根据等面积法求得，进而判断是否成立，即可判断C，D选项，即可求解． 【详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，故B正确 ∴，则为等腰三角形，故A正确 ∵ ∴，故D不正确， 在中 ∴，故C正确 故选：D． 19．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．过点作于点，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 20．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B与地面距离为， ， ， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 故选：B． 21．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可． 【详解】 解：A．，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意， 故选：C． 22．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 【答案】（1）稳定     （2） 解：是和的中点， ， 又， ， ．      【分析】 本题考查了三角形的稳定性，全等三角形的判定和性质． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． (1) 小问详解： 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴          ， ∴          +          （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴                                      （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】 本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】 解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 25．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图所示，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据证明，得出，然后根据三角形外角的性质并结合角的和差关系可得出，即可求解． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 26．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 28．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为　　　　　　时，与有可能全等． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】 解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 29．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴；     （2）125°      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“SSS”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 30．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，要测量池塘两岸的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长与有何关系？为什么？ 【答案】，理由如下： ∵，， ∴． ∵E、C、A三点在同一条直线上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得，，又因为，证明，即可作答． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是　　　　　　　　　　　　． 【答案】（或或） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】 解：， ， 即， ， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可， 根据只要添加即可． 故答案为：（或或） 33．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先根据等式的性质得到，再由平行线的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．证明，则，利用割补法可得阴影部分面积． 【详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， 图中阴影部分面积． 故答案为：30． 35．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）完成下列填空． 已知：如图，在中，E、F分别为、的中点． 求证：； 证明：延长到G，使，连接． 是中点， ． 又，， ， ________，（全等三角形的性质） ________（内错角相等，两直线平行） ________（两直线平行，内错角相等） 为的中点， ． （等量代换） 由，以及， ， ________（全等三角形性质） ________． 【答案】；；；； 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，延长到，使，连接，先证明得出，，从而得出，由平行线的性质可得，再证明得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 证明：延长到G，使，连接． 是中点， ． 又，， ， ，（全等三角形的性质） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 为的中点， ． （等量代换） 由，以及， ， （全等三角形性质） ． 36．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）（多选）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的BC和B′C′边上的中线． 求证：AD＝A′D′． 【答案】证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'， ∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的BC和B′C′边上的中线， ∴BD＝B'D'， 在△ABD与△A′B′D′， ， ∴△ABD≌△A′B′D′， ∴AD＝A'D'． 【分析】 根据全等三角形的性质得出对应边和对应角相等，再利用全等三角形的判定证明即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 37．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在△和△中， ， △△；     （2）78°      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ． 38．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，点在同一直线上，，，．    （1）求证：≌ （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴≌；     （2）      【分析】 （1）根据，得出，即可根据证明≌； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的外角定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：≌， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；全等三角形的判定方法有，全等三角形对应角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 40．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 解：选择② 或③ 或④ ； 证明：∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：② 或③ 或④ ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵， ∴． 41．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 【答案】问题1：； 问题2：的度数为； 问题3：，证明：在线段 上截取，连接， 由问题2可知 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 问题1：由对顶角相等，结合等角的余角相等，即可得与的大小关系； 问题2：在线段上截取，连接，由对顶角相等，结合等角的余角相等，可得，证明，可得，，可得，即可得的度数； 问题3：在线段上截取，连接，由问题2可知，可得，证明，可得，可得，即可得线段和线段的数量关系． 【详解】 问题1： 解：∵，相交于点， ∴， ∵， ∴． 问题2： 解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 问题3：略 【点睛】 本题考查对顶角相等，等角的余角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． 42．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，点、、、在一条直线上，． 求证：． 【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质． 由，可得，结合已知可证明，可得，可得，即可证得结论． 【详解】 略 43．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【答案】已知：如图，在和中，，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，且， 求证：．    证明：CM、FN分别是AB、DE边上的中线， 点M、N分别是AB、DE边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 先画出图形（见解析），写出已知、求证，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 44．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 45．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）综合探究： 特例探究：已知在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线处在图1的位置时，直接写出线段、、的数量关系为_____． （2）当直线处在图2的位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 拓展延伸： （3）在直线上依次取互不重合的三个点E，C，D，在直线上方有，且，直接写出线段，，之间的数量关系_____． 【答案】（1） ； （2），理由是： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即． （3） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据余角的性质易得，进而可根据证明，可得，，再利用线段的和差即得结论； （2）同（1）可证明，于是可得，，再利用线段的和差即可进行判断并推出结论； （3）证明，则，即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3），理由如下： ， ， ，    在和中， ， ，                ，        ． 46．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在直角三角形中，，，，P、Q两点分别在和的垂线上移动，且线段，则当　　　　　　时，才能使与A、P、Q三点构成的三角形全等． 【答案】5或8 【分析】 本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分两种情况：当运动到时，证明，得到，当运动到与重合时，证明，得到，从而得到答案． 【详解】 解：当运动到时， 在和中， ， ， ； 当运动到与重合时， 在和中， ， ， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 47．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）等腰直角中，，，为线段上的点且．在边上截取，过点作交于，连接． （1）①依题意补全图形； ②直接写出与的数量关系：_____； （2）点是线段的中点，连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ① 如图， ②；     （2）．      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形中位线的性质： （1）① 根据题意画图即可；② 延长至G，使，延长至H，使，连接，证明，推出与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G，G，C，B在同一直线上，由此得到，即可得到； （2）证明，得到，即点C为中点，由此推出是的中位线，进而推出． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 延长至G，使，延长至H，使，连接， ∵， ∴ ∴与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G， ∴G，C，B在同一直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为； (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， ∴，即点C为中点， 又∵M为中点， ∴是的中位线， ∴， 即． 48．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发以的速度，沿长方形的边运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为　　　　　　． 【答案】3秒或8秒或26秒 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，长方形的特征，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．分三种情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】 解：在长方形中，，， ①当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或8秒或26秒时，是等腰三角形． 故答案为：3秒或8秒或26秒． 49．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）；；；     （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）       【分析】 （1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）综合与实践 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如图1，在中，，线段经过点，且于点，于点.求证：”这个问题时，只要证明____________________，即可得到解决.（填空，不需证明） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A、C分别在轴和轴上，点坐标为，点，若是等腰直角三角形，，求点的坐标. （3）【类比应用】如图3，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标. （4）【拓展提升】如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标. 【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【分析】 本题考查了三角形的综合应用，图形与坐标，掌握全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得结论； （2）过点作轴垂线，垂足为，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点的坐标即可； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． （4）分，，三种情况，根据A和B的坐标，结合等腰直角三角形的性质，通过全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：（1），， 又， ， 在和中， ， ∴， ，； 故答案为：，； （2）过点作轴垂线，垂足为， 由题意知：，，，， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故点坐标为； （3）如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． （4）当时，过点A作y轴的垂线，过点B，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E，与x轴交于点F， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴，， ∴； 当时，过点B作x轴的垂线，过点A，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∴； 当时，过点C作y轴的垂线，过点A，B作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由可得：， ∴， ∴， ∴； 综上：点C的坐标为或或． 51．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．SSS                           B．SAS                                 C．AAS                           D．HL （2）求得AD的取值范围是______； A．             B．                    C．             D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且．求证：． 【答案】（1）B． （2）C． （3）证明：如图2 延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 (1) 是中线， ， 在和中， ． 故选B． (2)由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C． (3) 略 52．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【答案】（1），证明： 延长至点E，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：延长至G，使得，连接    在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， 在中，两边之和大于第三边，    ∴ 又∵， ∴ （3），证明： ① 点E在点A右侧时 延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ② 点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，    ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 综上， 【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边BC于点G，，则的面积是（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为1，然后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】 解：由作法得平分， ∴G点到的距离等于的长，即G点到的距离为1， 所以的面积． 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】 解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积； 故选：A． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（     ） A.  B. 5 C. 7 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】 解：作于， 平分， ， ， ， 解得，， 故选：D． 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题主要考查了坐标与图形性质，角平分线作图，熟知第四象限平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据题意，得出点在第四象限的平分线上，再结合第四象限平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 点在第四象限的平分线上． 因为第四象限的平分线上点的横纵坐标互为相反数， 所以， 解得． 故选：． 6．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，且．在线段上有一动点，连接，则的最小值为（     ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短． 由作图过程可知，平分，作于点，由角平分线的性质，可得，由垂线段最短，可得，即可得的最小值． 【详解】 解：由作图过程可知，平分， 作于点，则， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 7．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（       ） A. 7 B. 9 C. 9或12 D. 5或13 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 8．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求证：平分： （3）如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分．     （3）      【分析】 （1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则　　　　　　． 【答案】|度 【分析】 此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．过点作于点，于点，于点，依题意得，由此得点是和平分线的交点，则，在△中，由三角形内角和定理得，则，然后在△中，由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】 解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是△内一点，且到三边的距离相等， ， 点是和平分线的交点， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在四边形中，，．    （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数（补全下列推理过程）． 解：（已知） （________________） （已知） 平分（已知） ______（角平分线的定义） （已知） ______°（________________） 【答案】（1） 如图：即为所求；         （2）两直线平行，同旁内角互补；；30；两直线平行，内错角相等．      【分析】 （1）根据作角平分线的基本作法作图； （2）根据平行线的选择求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；30；两直线平行，内错角相等． 【点睛】 本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． （1）求证：在的角平分线上； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上；     （2） 证明：， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，已知在四边形中，，分别是及的平分线．则与有什么关系？请说明理由． 【答案】，理由如下， ∵， ∴， ∵分别是及的平分线， ∴， 又， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查四边形的内角和，角平分线的定义，互余和互补的性质，平行线的判定，掌握四边形的内角和，平行线的判定和性质是关键． 由四边形的内角和推出与互补，由角平分线推出与互余，再由与互余推出，即可证得结论． 【详解】 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）图中是两个全等的三角形，其中的字母表示三角形的边长，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（   ）                               A. 54° B. 60° C. 66° D. 76° 5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 6．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，，点D在边上，若，则　　　　　． 7．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）△和△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，的坐标分别为，，点在轴上，且，则点的坐标为　　　　． 8．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． （1）若，，求的面积； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 9．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 10．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图在四边形中，对角线平分，，点是上一点，．若，，则的长为　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A. △ABC与△ABD不全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 2．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在中，点在边上，，，添加下列条件能判断的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（     ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 6．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（     ） A. 线段与交于点 B.  C.  D. 是线段的中点 10．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ） A. AC∥DF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠ACB=∠F 13．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（       ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 14．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图所示，，，，，，则（   ） A.  B.  C.  D. 无法计算 15．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）在和中，，若证，还需补充一个条件，错误的补充方法是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A. AB＝DE B. ∠ACB＝∠DCE C. ∠ACD＝∠BCE D. ∠B＝∠E 17．（25-26学年八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区·期中）如图，a，b，c分别表示的三边长，下面三角形中与一定全等的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·内蒙古自治区包头九原区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作的垂线，垂足为，则下列结论不正确的是（     ） A. 为等腰三角形 B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 20．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 23．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）9月3日，灌南县中小学纷纷组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．观看完阅兵仪式，同学们倍感震撼、自豪，纷纷表示要铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来． 生活中的数学：某校计划为七年级学生开学初军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的___________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明． 24．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴          ， ∴          +          （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴                                      （等量代换）． 25．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图所示，在中，，，，求的度数． 26．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为　　　　　． 27．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 28．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为　　　　　　时，与有可能全等． 29．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    （1）求证：． （2）若，求的度数． 30．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，要测量池塘两岸的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长与有何关系？为什么？ 31．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 32．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）如图所示，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是　　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，，，．求证：． 34．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）完成下列填空． 已知：如图，在中，E、F分别为、的中点． 求证：； 证明：延长到G，使，连接． 是中点， ． 又，， ， ________，（全等三角形的性质） ________（内错角相等，两直线平行） ________（两直线平行，内错角相等） 为的中点， ． （等量代换） 由，以及， ， ________（全等三角形性质） ________． 36．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）（多选）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的BC和B′C′边上的中线． 求证：AD＝A′D′． 37．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 38．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 39．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，点在同一直线上，，，．    （1）求证：≌ （2）若，，求的度数． 40．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 41．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）【综合与实践】 【教材再现】 问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小． 请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】 问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数． 根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】 问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 42．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，点、、、在一条直线上，． 求证：． 43．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 44．（25-26学年八上·内蒙古乌兰察布·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 45．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）综合探究： 特例探究：已知在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线处在图1的位置时，直接写出线段、、的数量关系为_____． （2）当直线处在图2的位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 拓展延伸： （3）在直线上依次取互不重合的三个点E，C，D，在直线上方有，且，直接写出线段，，之间的数量关系_____． 46．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）如图，在直角三角形中，，，，P、Q两点分别在和的垂线上移动，且线段，则当　　　　　　时，才能使与A、P、Q三点构成的三角形全等． 47．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）等腰直角中，，，为线段上的点且．在边上截取，过点作交于，连接． （1）①依题意补全图形； ②直接写出与的数量关系：_____； （2）点是线段的中点，连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 48．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发以的速度，沿长方形的边运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）解决下列问题： （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； （2）问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 50．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）综合与实践 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如图1，在中，，线段经过点，且于点，于点.求证：”这个问题时，只要证明____________________，即可得到解决.（填空，不需证明） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A、C分别在轴和轴上，点坐标为，点，若是等腰直角三角形，，求点的坐标. （3）【类比应用】如图3，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标. （4）【拓展提升】如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标. 51．（25-26学年八上·内蒙古赤峰松山区·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．SSS                           B．SAS                                 C．AAS                           D．HL （2）求得AD的取值范围是______； A．             B．                    C．             D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且．求证：． 52．（25-26学年八上·内蒙古自治区锡林郭勒盟三县·期中）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边BC于点G，，则的面积是（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（     ） A.  B. 5 C. 7 D.  5．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（     ） A.  B.  C.  D. 4 6．（八上·内蒙古区呼和浩特赛罕区·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，且．在线段上有一动点，连接，则的最小值为（     ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 7．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（       ） A. 7 B. 9 C. 9或12 D. 5或13 8．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中）在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求证：平分： （3）如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 9．（25-26学年八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则　　　　　　． 10．（25-26学年八上·内蒙古期中学·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 11．（25-26学年八上·内蒙古自治区赤峰·期中）如图，在四边形中，，．    （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数（补全下列推理过程）． 解：（已知） （________________） （已知） 平分（已知） ______（角平分线的定义） （已知） ______°（________________） 12．（25-26学年八上·内蒙古区鄂尔多斯·期中）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． （1）求证：在的角平分线上； （2）求证：． 13．（25-26学年八上·内蒙古区巴彦淖尔·期中）如图，已知在四边形中，，分别是及的平分线．则与有什么关系？请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $