专题01 勾股定理（期中真题汇编，江西专用）八年级数学上学期

专题01 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 11．D 12．D 13．B 14．B 15．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 17．【答案】16 【分析】 本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理；过点A作于点D，由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，再由勾股定理求得，即可求解． 【详解】 解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：16． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方． 先根据面积公式求，再利用勾股定理求出，据此求解． 【详解】 ∵，， ∴， ∴ 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．【答案】5或 【分析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】 解：① 长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ② 长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 20．【答案】6 【分析】 本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1）10米     （2）船向岸边移动了米      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． （1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解； （2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可． (1) 小问详解： 解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， (2) 小问详解： 解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． 22．【答案】（1）△ABC即为所求； （2）正方形ABCD如图所示： ． 【分析】 （1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段AB=5，然后根据勾股定理找出点C的位置； （2）作出边长为的正方形即可． 【详解】 解：（1）如图所示，AB=，BC=，AC=， ∴△ABC即为所求； （2）AB=， ∴正方形的面积为AB2= ()2=10． ∴面积为10的正方形ABCD如图所示： 【点睛】 本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 23．【答案】 【分析】 本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，， 则 ∴米， ∴米/秒 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，掌握定理内容并熟练运用是关键；由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】 解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 26．【答案】（1）     （2）5      【分析】 （1）利用勾股定理求解即可． （2）根据轴对称的性质作图，利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：． 线段的长度为． (2) 小问详解： 如图，△即为所求． △的面积为． 【点睛】 本题考查作图轴对称变换、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解答本题的关键． 27．【答案】 【分析】 设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 设，由题意得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 28．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 29．【答案】10 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 30．【答案】（1），，     （2）5     （3）13      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中线段长度的计算、两点间距离公式的应用以及利用两点之间线段最短求最值问题，体现了数形结合思想． （1）根据坐标特点及平行关系确定线段长度； （2）直接运用两点间距离公式； （3）连接，则，由此可得是最小值． (1) 小问详解： 解：∵点轴，轴， ∴点，，， (2) 小问详解： (3) 小问详解： 解：如图， ∴， ∵，， ∴， ∴当是与轴交点时，最小，最小值为13． 31．【答案】【解决问题】； 【拓展探究】解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； 【推广应用】30 【分析】 本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】 [解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]略 [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 32．【答案】（1）（2）少走米 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，以及化简绝对值，再把除法化为乘法，运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先运算出路线的长度，以及沿路线的长度，再列式计算，即可作答． 【详解】 解：（1） ； （2）依题意，（米）， 则（米）， ∴（米）， 即沿路线比沿路线少走米． 33．【答案】 【分析】 本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】 解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 34．【答案】或或 【分析】 过点A作直线，交y轴于点，交x轴于点，过点A作直线于点C，过点O作射线交延长线于点，证明，，是等腰三角形，根据勾股定理即可求出点B坐标． 【详解】 解：如图，过点A作直线，交y轴于点，交x轴于点，过点A作直线于点C，过点O作射线交延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，即是等腰三角形， ∴， ∴若是以OA为直角边的等腰直角三角形，则点B的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，点的坐标，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 35．【答案】（1）     （2）2     （3）D     （4） 解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边．      【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； (2) 小问详解： 解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． (3) 小问详解： 解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； (4) 小问详解： 略 36．【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】 解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 37．【答案】最短为 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 38．【答案】（1）     （2）0或2     （3）或      【分析】 本题考查两点间的距离，利用平方根解方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）设，根据两点间的距离公式列出方程进行计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， 即， ∴， ∴或； (3) 小问详解： 设， 由题意，， 解得或， ∴或． 39．【答案】 【分析】 连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长． 【详解】 连接AD， ∵以点A为圆心，AB长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键． 40．【答案】（1）①；② 边上的高为     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）① 由勾股定理求出AB的长即可； ② 根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． (1) 小问详解： ① 根据勾股定理可得，； 故答案为：； ② 设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； (2) 小问详解： 设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 【点睛】 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)根据二次根式有意义的条件，即可求得a的值； (2)首先根据，可得，再根据勾股定理，即可求得另一条直角边的长度． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：，， ，解得， 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长， 另一条直角边的长度为：． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键． 42．【答案】10 【分析】 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】 解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 43．【答案】（1）5；（2）表示的数在2，3之间；（3）点表示的数为或 【分析】 本题考查正方形的性质，数轴，勾股定理等知识，解题的关键是求出的值． （1）理解的长是原正方形裁成的长方形的对角线长，根据勾股定理可求出的长， 最后根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据第（1）问知点表示的数为，而，所以可以知道的范围从而获解； （3）理解题意，利用勾股定理求出的长，再根据实数与数轴的关系即可知道可画出两个点，即在的左边或右边个单位处，即可获解． 【详解】 解：（1）由题意可得，， ， 正方形的面积为5， 故答案为：5； （2），点表示的数为． 因为，所以， 所以点表示的数在2，3之间． （3）， ． 因为正方形的顶点与数轴上表示的点重合，所以 当点在点B的左侧时，表示的数为， 当点在点B的右侧时，表示的数为． 综上所述，点Q表示的数为或． 44．【答案】或 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 本题需要分三种情况讨论，分别为①时，②，③，再根据勾股定理分别计算出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， （1）当时，过D点作的垂线交的延长线于E，如图 ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）当时，过点D作的垂线，交延长线于E，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，过D点作的垂线，垂足分别为E、F，如图 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或或． 45．【答案】（1） 如图，即为所求， ；     （2）5     （3）2      【分析】 本题考查作图一轴对称变换，勾股定理，利用网格求三角形的面积等知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）利用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 设边上的高为h， ， ， 故答案为：2． 46．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当为等腰三角形时，需分三种情况讨论：、或．分别计算每种情况下点的横坐标，并确保且能构成三角形，即可． 【详解】 解：设点，且， ∵点，点， ∴，， 当时，， 解得：或（舍去，）， 此时 ； 当时：， 此时； 当时：此时， 解得：， 此时 综上，点坐标为或或． 故答案为：或或 47．【答案】 【分析】 本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算，先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接的线段长，由勾股定理求得的长. 【详解】 解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中分别是的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为． 故答案为：． 48．【答案】（1）     （2）新路比原路少千米     （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：依题意，， ， ， ． (2) 小问详解： 解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． (3) 小问详解： 解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 49．【答案】或或 【分析】 本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】 解：① 如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ② 如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③ 如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 50．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形定义，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况：；，利用勾股定理及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：； 当时，如图， 则点A、点C关于y轴对称， ∴， ∴； 当时，如图， 若点C在点A的右边，则， 此时； 若点C在点A的左边，则， 此时点C在x轴负半轴上，则； 综上，点C的坐标为或或． 故答案为：或或． 51．【答案】（1）（2）（3） 【分析】 本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 52．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长即为爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】 解：如图，把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长即为爬行的最短路程， ∵，， ∴， 故答案为：． 53．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】 解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 54．【答案】船向岸边移动了 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 55．【答案】 【分析】 本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】 解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 56．【答案】（1） 如图，即为所作：      （2） 如图，等腰即为所作． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等，平行线间的距离，勾股定理等知识： （1）根据“”可作，使得和全等； （2）过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰． (1) 小问详解： 解：由图，得， ∴． (2) 小问详解： 略 57．【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】 解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 58．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，分别算出和的面积即可得出四边形空地，减去小路面积即可得出绿化面积进而求出绿化需要费用． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴在中，， 在中， 即 ． ∴ 小路的面积      答：小路的面积． (2) 小问详解： ∵，， ∴，即：， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 需要绿化面积为 小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元 答：小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元． 59．【答案】绳索长为尺 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】 解：如图， 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：绳索长为尺． 60．【答案】（1）625； （2）；（3）129 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得出， ，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，，，然后由（2）得a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积，进而求解即可． 【详解】 （1）∵正方形的面积为225，正方形的面积为400， ∴， ∵ ∴正方形的面积； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∴正方形的面积； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，， ∴由（2）得，a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积， ∴a，b，c三个正方形的面积和． 61．【答案】（1）； （2）①如图，即为所求； ② 3； （3）19 【分析】 （1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理分别画出，即可； （3）利用构图法求解即可． 【详解】 解：（1）的面积； （2）①； ②的面积； （3）如图所示， ∴六边形的面积 ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键． 62．【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，解方程等知识，掌握勾股定理内容是解题的关键；在中，由得，利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 63．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 【点睛】 本题考查翻折变换的性质，勾股定理，等分点的意义，三角形面积公式等知识，掌握勾股定理、翻转变换的性质是解题的关键． 64．【答案】（1） ，     （2）       【分析】 本题考查了二次根式的非负性、轴对称、坐标系中两点间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的非负性解题即可； （2）根据轴对称的性质表示出点和点的坐标，进而解题． (1) 小问详解： 解：∵， ∵，， ∴，， 解得：，； (2) 小问详解： 解：由（1）知，，则，， ∴． 65．【答案】米 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设教学楼高为米，则绳子长为米，当绳子下端拉开米后，绳子、教学楼和地面构成直角三角形，应用勾股定理列出方程求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：设教学楼高为米，则绳子长为米， 依题意，得：， 解得：， 答：教学楼的高为米． 66．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】 解：是的平分线，，， ， 周长为8， ， 在和中， ， ∴ ， 的周长为：． 故答案为：． 67．【答案】（1） 为所求； 即为所求；      （2）点Q即为所求． 【分析】 （1）连接，证明四边形是平行四边形，设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点，连接，则即为所求； 易证，，故，故为所求； （2）取的中点R，连接，，交于点O，则直线是线段的垂直平分线，连接，并延长交于点Q，，解答即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质，灵活作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点， 连接， 则即为所求； 如图，易证， 得， 根据题意，， 故， 故， 故为所求； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 取的中点R，连接，，交于点O， 则直线是线段的垂直平分线， 故， 连接，并延长交于点Q， 根据题意，， 得， 故， 于是， 即， 则点Q即为所求． 68．【答案】（1）；     （2）17米      【分析】 （1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：在中，        即        解得：        答：旗杆的值为17米． 69．【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． (1) 小问详解： 解：，， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 在中，由勾股定理得， ，即 ， ， 重叠部分（阴影）的面积； (3) 小问详解： 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，， ， ， ， ，即：，解得：； 的长为2． 70．【答案】（1）     （2）t为2或4秒时，     （3），，，      【分析】 （1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分，，三种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的正半轴， ∴． (2) 小问详解： 解：根据题意，点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止，设点M的运动时间为t秒， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，（秒） 当点M在上运动时，即点，连接， ； ∵，且， ∴ 解得； 当点M在上运动时，即点，连接， ∴； ∵，且， ∴ 解得； 综上：t为2或4秒时，； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 当时，点M一定在上，此时点M记作， 此时， 根据勾股定理，得， ∴， 故； 当时，点M一定在上，此时点M记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； 当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作， 过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 此时； 根据题意，得， 此时； 综上所述，符合题意的M的坐标为，，，． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 71．【答案】（1）影响；     （2）．      【分析】 本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．     ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． (2) 小问详解： 解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 72．【答案】（1）①；②； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3） 【分析】 本题是勾股定理证明平方关系． （1）① 由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ② 过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】 解：（1）① ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 73．【答案】（1） 能听到，理由：由题意知，宣讲车可传播声音范围为1300米， 因此只要在行驶途中宣讲车与村庄距离小于1300米， 即可让村庄听到宣讲， 由题知村庄到公路距离为米小于1300米， 因此，可以听到宣讲；     （2）4分钟      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． （1）根据村庄村庄A到公路的距离为1200米，小于1300米解答； （2）分两种场景，利用勾股定理求出线段的长度，求出听到声音的总长度，然后求出时间即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当宣讲车与村庄直线距离为1300米时，村庄恰好可以听到宣讲， 抽象为数学模型可知， 这里应注意P为动点，因此P可能在段，也可以在段， 当P移动到段时有图（一）， 则可知，， 在中由勾股定理知：． ， ； 当P移到段时有图（二）， 则可知，， 在中由勾股定理知：， ， ， 由此可知，可听到广播距离为米， 则能听到宣讲的时间为（分钟）． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．【答案】90 【分析】 本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】 解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 10．【答案】（1） 证明：∵在中，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，．     （2）36      【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． (1) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． (2) 小问详解： 解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 12．【答案】（1）13 （2）为直角三角形． 理由：； ； ， ∴． ∴为直角三角形． 【分析】 （1）用两点之间的距离可以用公式即可； （2）分别算出三点之间的距离即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴． （2）解：略． 【点睛】 此题考查的是两点之间的距离和三角形类型的判断，掌握两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．【答案】（1） 如图1，线段即为所求作；      （2）如图2，如图3，即为所求作． 【分析】 本题考查网格作图，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据网格特点，先利用勾股定理求解，然后根据勾股定理的逆定理判断得到直角三角形即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：，，， ∵， ∴是直角三角形． 14．【答案】（1） 点M、N是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，， ∴，， ∴ ∴以为边的三角形是直角三角形， ∴点M、N是线段的勾股分割点；     （2）8或17      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理： （1）由，，，可得，根据勾股定理逆定理得出以为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则,分两种情形① 当为斜边时，依题意，② 当为斜边时，依题意，分别列出方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设 ∵，， ∴ ∵点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴① 若为斜边，则，即， 解得：； ② 若为斜边，则， 即， 解得： 综上所述，的长为8或17． 15．【答案】（1） 如图所示，为所求，      （2） 如图所示，为所求， 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求； （2）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 16．【答案】（1）     （2）需要，      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； (2) 小问详解： 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 17．【答案】（1）20     （2） 是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角．      【分析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． (1) 小问详解： 解：， 是直角三角形，． ． (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）9米     （2）米．      【分析】 本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19．【答案】（1） 如图1，      （2） 如图2， 【分析】 本题主要考查了网格作图、勾股定理和逆定理的应用． （1）根据，可以构造长为5的斜线段，由此即可构造边长为5，5，6的等腰三角形， （2）根据，而，，由此构图即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】12，150 【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于 的面积与的面积之和求解即可． 【详解】 解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为150． 21．【答案】（1） 解：点C如图所示      （2） 解：点D如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格定理，找到格点D，结合，此时，故，与直线l的交点为点C，即可作答． （2）先作出点A关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点为点D，连接此时，即的值最小，进行作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】或10或5． 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ① 当点在上时，如上图点， ，， ； ② 当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③ 当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 23．【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（     ） A. 1 B.  C.  D. 或 2．（25-26学年八上·江西抚州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的纽带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·江西吉安·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（     ） A. 5 B.  C. 5或 D. 12 4．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（     ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 5．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 7．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（     ） A. 5 B.  C.  D. 6 8．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，，1 C. 4，5，6 D. 7，24，25 9．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在中，，则　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 　　　　　　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在中，，，则的长为　　　　　　． 18．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则　　　　　　． 21．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． （1）求的长： （2）求船向岸边移动了多少米？ 22．（25-26学年八上·江西吉安·期中）（多选）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，； （2）在图2中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10． 23．（25-26学年八上·江西抚州·期中）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了　　　　　． 24．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在中，，D是上的一点，且知，，则　　　　　． 25．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 26．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）求线段的长度； （2）画出关于x轴对称，并求的面积． 27．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度． 28．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 29．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1，由于，因此我们能在数轴上表示长度为的线段． 【拓展应用】 （1）在图2中，点轴，轴，则__________，__________，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式； （2）若已知点，则点与坐标原点之间的距离是多少？ （3）在图3中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，求的最小值． 31．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 32．（25-26学年八上·江西九江·期中）（1）计算：． （2）如图，这是一块长为8米，宽为6米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，问沿路线比沿路线少走多少米？ 33．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为　　　　　　． 34．（25-26学年八上·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，若是以OA为直角边的等腰直角三角形，则点B的坐标为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想     B．整体思想     C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 36．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 37．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 38．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，则两点间的距离是_____． （2）若点，且，则__________． （3）若点，点B在轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 39．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为　　　　　　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 41．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知 . （1）求a的值； （2）若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度. 42．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·江西抚州·期中）【动手操作】把一个边长为2的正方形按图①的方式裁成4个形状、大小完全相同的直角三角形，然后按照图②的方式进行拼接，得到正方形和正方形． 【基础巩固】 （1）如图②，拼成的大正方形的面积为___________； （2）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中点A与数轴原点重合，则点表示的数在哪两个相邻整数之间？ 【知识运用】 （3）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，求点表示的数． 44．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在中，，以为边，向外作等腰直角三角形，则　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）在图中画出关于轴对称的图形；点的对应点的坐标是______； （2）求的面积； （3）在中，边上的高为______． 46．（25-26学年八上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是　　　　　． 47．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点，其中离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为　　　　　． 48．（25-26学年八上·江西抚州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知在中，，求的面积． 49．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为　　　　　　． 50．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上作一点C，使得是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为　　　　　　． 51．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 52．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，无盖圆柱盒子高厘米，底面周长厘米，蚂蚁从盒子外壁点爬到内壁点，爬行的最短路程是　　　　　　厘米． 53．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是　　　　　． 54．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 55．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则　　　　　　　　． 56．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中画一个，使得和全等； （2）在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 57．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在中，，若，则斜边上的高的长为　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块四边形空地，其中，为了绿化小区环境，该小区计划在这块四边形空地上种各种花卉，为了方便小区内居民出入，设计了过点的小路，且于点，已知，，，小路AE的宽度为． （1）小路的面积是多少？ （2）通过市场调查，绿化每平方米空地需要200元的费用，若小区要完成这块空地绿化，预计需要花费多少元？ 59．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？                                                                                                                                                                                   60．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 61．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 62．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，于点，且，，，则的长为　　　　　　　　　　　． 63．（25-26学年八上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． （1）如图，当点与点重合时，则的长为               ． （2）如图，当点与点重合时，求的面积． （3）当点落在的三等分点处，求的长． 64．（25-26学年八上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）若点N与点M关于x轴对称，点P与点M关于y轴对称，求线段的长． 65．（25-26学年八上·江西九江·期中）小逸同学想利用勾股定理的知识来测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子下端刚好接触地面，求教学楼的高． 66．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是　　　　　　． 67．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点，点是线段上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示． （1）在图1中，画出的中线和高； （2）在图2中，在线段上取一点，使得． 68．（25-26学年八上·江西九江部分学校）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 69．（25-26学年八上·江西吉安·期中）已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． （1）如图1，连接，当点，落在上时，_____； （2）如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： （3）如图3，当落在线段上时，求的长． 70．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接、． （1）点D的坐标为______； （2）若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止，设点M的运动时间为t秒，连接，t为何值时？ （3）在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请求出点M的坐标． 71．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 72．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 73．（25-26学年八上·江西九江部分学校）为了迎接国庆70周年，南海区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行爱国主义宣传教育．如图，笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离为1200米，假使宣讲车P周围1300米以内能听到广播宣讲，宣讲车P在公路上沿方向行驶． （1）请问村庄能否听到宣讲？并说明理由． （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是250米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣讲？ 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·江西九江部分学校）已知△ABC的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（       ） A. ，， B. 7，25，24 C. 12，18，22 D. 2，2，4 3．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 4．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D. ，， 5．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（       ） A. 9、12、15 B. 41、40、9 C. 25、7、24 D. 6、5、4 6．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（       ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 7．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列条件能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D. ，， 8．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 9．（25-26学年八上·江西九江·期中）在中，，，，则　　　　　　°． 10．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 11．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 12．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题： （1）已知点，，则，两点之间的距离为__________； （2）若点，，，判断的形状，并说明理由． 13．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 14．（25-26学年八上·江西抚州·期中）定义：如图，点M、N把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）已知M、N把线段分割成，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 15．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在下列网格中，小正方形的边长为1，仅有无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图（1）网格中，以为斜边，作等腰直角三角形，且顶点在格点上． （2）在图（2）网格中，作等腰直角三角形，使得，且顶点在格点上． 16．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 17．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在中，，垂足为．    （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 18．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 19．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． （1）如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； （2）如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 20．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 21．（25-26学年八上·江西九江·期中）如图，这是的正方形网格，已知点A，点B在格点（网格的交点）上，直线l与网格线重合，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在直线l上找一点C，使得为直角三角形． （2）如图2，在直线l上找一点D，使得的值最小． 22．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）当是直角三角形时，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（     ） A. 1 B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论，然后运用勾股定理即可求出边的长． 【详解】 解：的两条边的长分别为2、3， 当边为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故选：D． 2．（25-26学年八上·江西抚州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的纽带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案． 【详解】 解：设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即绳索的长是． 故选：A． 3．（25-26学年八上·江西吉安·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（     ） A. 5 B.  C. 5或 D. 12 【答案】A 【分析】 本题重点考查勾股定理的运用，明确直角三角形三边关系并判断是否为勾股数是解题的关键． 直角三角形两边长为3和4，第三边可能为斜边或直角边，但要求三边长均为勾股数（即正整数），因此需验证第三边是否为整数，求解即可． 【详解】 解：∵ 直角三角形两边长为3和4， ① 若3和4为直角边，则斜边为 ，5为整数，符合勾股数要求； ② 若4为斜边，则另一条直角边为 ，不是整数，不符合勾股数要求， ∴ 第三边长为5， 故选：A． 4．（25-26学年八上·江西抚州·期中）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（     ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 【答案】C 【分析】 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论． 【详解】 解：直角三角形的两边长分别为3和4， ①4是此直角三角形的斜边长； ② 当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为． 综上所述，斜边长为4或5. 故选：． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 5．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】 解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 6．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 【答案】B 【分析】 本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解． 【详解】 解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意， 故选：B． 7．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（     ） A. 5 B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 8．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，，1 C. 4，5，6 D. 7，24，25 【答案】D 【分析】 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】 A、，但不是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B、，但不是正整数，不是勾股数，故B不符合题意； C、，不是勾股数，故C不符合题意； D、，是勾股数，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：① 三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．② 一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③ 记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 9．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】 解：连接，交于H， ∵，点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴）， ∴， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 10．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】 解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 11．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，勾股定理等知识，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键． 如图，作轴，根据等边三角形的性质以及勾股定理可求出，，同理可得，，，，，由此发现点的坐标变化规律即可求得结果． 【详解】 如图，作轴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得，，，，，…， 由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环， ， 故选D． 12．（25-26学年八上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度． 根据两点间距离公式计算的长度，然后逐一分析选项． 【详解】 解：根据两点间距离公式，已知，则： ， ， ， A、，所以．，该选项正确．； B、由选项A可知，该选项正确； C、，所以，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：D． 13．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】 解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ∴， 在中中， ∴它运动的最短路程． 故选：B． 14．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】 解：由图可得，，， 故选：B． 15．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在中，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在中，，，则的长为　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理；过点A作于点D，由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，再由勾股定理求得，即可求解． 【详解】 解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：16． 18．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方． 先根据面积公式求，再利用勾股定理求出，据此求解． 【详解】 ∵，， ∴， ∴ 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为　　　　　　　　． 【答案】5或 【分析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】 解：① 长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ② 长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 20．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． （1）求的长： （2）求船向岸边移动了多少米？ 【答案】（1）10米     （2）船向岸边移动了米      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． （1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解； （2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可． (1) 小问详解： 解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， (2) 小问详解： 解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． 22．（25-26学年八上·江西吉安·期中）（多选）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，； （2）在图2中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10． 【答案】（1）△ABC即为所求； （2）正方形ABCD如图所示： ． 【分析】 （1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段AB=5，然后根据勾股定理找出点C的位置； （2）作出边长为的正方形即可． 【详解】 解：（1）如图所示，AB=，BC=，AC=， ∴△ABC即为所求； （2）AB=， ∴正方形的面积为AB2= ()2=10． ∴面积为10的正方形ABCD如图所示： 【点睛】 本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 23．（25-26学年八上·江西抚州·期中）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，， 则 ∴米， ∴米/秒 故答案为：． 24．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在中，，D是上的一点，且知，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，掌握定理内容并熟练运用是关键；由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】 解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 26．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）求线段的长度； （2）画出关于x轴对称，并求的面积． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 （1）利用勾股定理求解即可． （2）根据轴对称的性质作图，利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：． 线段的长度为． (2) 小问详解： 如图，△即为所求． △的面积为． 【点睛】 本题考查作图轴对称变换、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解答本题的关键． 27．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度． 【答案】 【分析】 设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 设，由题意得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 28．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 30．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1，由于，因此我们能在数轴上表示长度为的线段． 【拓展应用】 （1）在图2中，点轴，轴，则__________，__________，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式； （2）若已知点，则点与坐标原点之间的距离是多少？ （3）在图3中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，求的最小值． 【答案】（1），，     （2）5     （3）13      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中线段长度的计算、两点间距离公式的应用以及利用两点之间线段最短求最值问题，体现了数形结合思想． （1）根据坐标特点及平行关系确定线段长度； （2）直接运用两点间距离公式； （3）连接，则，由此可得是最小值． (1) 小问详解： 解：∵点轴，轴， ∴点，，， (2) 小问详解： (3) 小问详解： 解：如图， ∴， ∵，， ∴， ∴当是与轴交点时，最小，最小值为13． 31．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】； 【拓展探究】解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； 【推广应用】30 【分析】 本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】 [解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]略 [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 32．（25-26学年八上·江西九江·期中）（1）计算：． （2）如图，这是一块长为8米，宽为6米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，问沿路线比沿路线少走多少米？ 【答案】（1）（2）少走米 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，以及化简绝对值，再把除法化为乘法，运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先运算出路线的长度，以及沿路线的长度，再列式计算，即可作答． 【详解】 解：（1） ； （2）依题意，（米）， 则（米）， ∴（米）， 即沿路线比沿路线少走米． 33．（25-26学年八上·江西九江部分学校）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】 解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，若是以OA为直角边的等腰直角三角形，则点B的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 过点A作直线，交y轴于点，交x轴于点，过点A作直线于点C，过点O作射线交延长线于点，证明，，是等腰三角形，根据勾股定理即可求出点B坐标． 【详解】 解：如图，过点A作直线，交y轴于点，交x轴于点，过点A作直线于点C，过点O作射线交延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，即是等腰三角形， ∴， ∴若是以OA为直角边的等腰直角三角形，则点B的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，点的坐标，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 35．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想     B．整体思想     C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】（1）     （2）2     （3）D     （4） 解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边．      【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； (2) 小问详解： 解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． (3) 小问详解： 解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； (4) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】 解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 37．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【答案】最短为 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 38．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，则两点间的距离是_____． （2）若点，且，则__________． （3）若点，点B在轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 【答案】（1）     （2）0或2     （3）或      【分析】 本题考查两点间的距离，利用平方根解方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）设，根据两点间的距离公式列出方程进行计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， 即， ∴， ∴或； (3) 小问详解： 设， 由题意，， 解得或， ∴或． 39．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长． 【详解】 连接AD， ∵以点A为圆心，AB长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键． 40．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①；② 边上的高为     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）① 由勾股定理求出AB的长即可； ② 根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． (1) 小问详解： ① 根据勾股定理可得，； 故答案为：； ② 设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； (2) 小问详解： 设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 【点睛】 41．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）已知 . （1）求a的值； （2）若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)根据二次根式有意义的条件，即可求得a的值； (2)首先根据，可得，再根据勾股定理，即可求得另一条直角边的长度． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：，， ，解得， 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长， 另一条直角边的长度为：． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键． 42．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】 解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 43．（25-26学年八上·江西抚州·期中）【动手操作】把一个边长为2的正方形按图①的方式裁成4个形状、大小完全相同的直角三角形，然后按照图②的方式进行拼接，得到正方形和正方形． 【基础巩固】 （1）如图②，拼成的大正方形的面积为___________； （2）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中点A与数轴原点重合，则点表示的数在哪两个相邻整数之间？ 【知识运用】 （3）如图③，若把正方形的边放在数轴上，其中顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】（1）5；（2）表示的数在2，3之间；（3）点表示的数为或 【分析】 本题考查正方形的性质，数轴，勾股定理等知识，解题的关键是求出的值． （1）理解的长是原正方形裁成的长方形的对角线长，根据勾股定理可求出的长， 最后根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据第（1）问知点表示的数为，而，所以可以知道的范围从而获解； （3）理解题意，利用勾股定理求出的长，再根据实数与数轴的关系即可知道可画出两个点，即在的左边或右边个单位处，即可获解． 【详解】 解：（1）由题意可得，， ， 正方形的面积为5， 故答案为：5； （2），点表示的数为． 因为，所以， 所以点表示的数在2，3之间． （3）， ． 因为正方形的顶点与数轴上表示的点重合，所以 当点在点B的左侧时，表示的数为， 当点在点B的右侧时，表示的数为． 综上所述，点Q表示的数为或． 44．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在中，，以为边，向外作等腰直角三角形，则　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 本题需要分三种情况讨论，分别为①时，②，③，再根据勾股定理分别计算出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， （1）当时，过D点作的垂线交的延长线于E，如图 ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）当时，过点D作的垂线，交延长线于E，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，过D点作的垂线，垂足分别为E、F，如图 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或或． 45．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）在图中画出关于轴对称的图形；点的对应点的坐标是______； （2）求的面积； （3）在中，边上的高为______． 【答案】（1） 如图，即为所求， ；     （2）5     （3）2      【分析】 本题考查作图一轴对称变换，勾股定理，利用网格求三角形的面积等知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）利用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 设边上的高为h， ， ， 故答案为：2． 46．（25-26学年八上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当为等腰三角形时，需分三种情况讨论：、或．分别计算每种情况下点的横坐标，并确保且能构成三角形，即可． 【详解】 解：设点，且， ∵点，点， ∴，， 当时，， 解得：或（舍去，）， 此时 ； 当时：， 此时； 当时：此时， 解得：， 此时 综上，点坐标为或或． 故答案为：或或 47．（25-26学年八上·江西吉安·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点，其中离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算，先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接的线段长，由勾股定理求得的长. 【详解】 解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中分别是的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为． 故答案为：． 48．（25-26学年八上·江西抚州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． （2）如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知在中，，求的面积． 【答案】（1）     （2）新路比原路少千米     （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：依题意，， ， ， ． (2) 小问详解： 解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． (3) 小问详解： 解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 49．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】 解：① 如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ② 如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③ 如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 50．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上作一点C，使得是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形定义，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况：；，利用勾股定理及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：； 当时，如图， 则点A、点C关于y轴对称， ∴， ∴； 当时，如图， 若点C在点A的右边，则， 此时； 若点C在点A的左边，则， 此时点C在x轴负半轴上，则； 综上，点C的坐标为或或． 故答案为：或或． 51．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 52．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，无盖圆柱盒子高厘米，底面周长厘米，蚂蚁从盒子外壁点爬到内壁点，爬行的最短路程是　　　　　　厘米． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长即为爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】 解：如图，把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，连接，则的长即为爬行的最短路程， ∵，， ∴， 故答案为：． 53．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】 解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 54．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 55．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】 解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 56．（25-26学年八上·江西南昌第二十八中学·期中）在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中画一个，使得和全等； （2）在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 【答案】（1） 如图，即为所作：      （2） 如图，等腰即为所作． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等，平行线间的距离，勾股定理等知识： （1）根据“”可作，使得和全等； （2）过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰． (1) 小问详解： 解：由图，得， ∴． (2) 小问详解： 略 57．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在中，，若，则斜边上的高的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】 解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 58．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块四边形空地，其中，为了绿化小区环境，该小区计划在这块四边形空地上种各种花卉，为了方便小区内居民出入，设计了过点的小路，且于点，已知，，，小路AE的宽度为． （1）小路的面积是多少？ （2）通过市场调查，绿化每平方米空地需要200元的费用，若小区要完成这块空地绿化，预计需要花费多少元？ 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，分别算出和的面积即可得出四边形空地，减去小路面积即可得出绿化面积进而求出绿化需要费用． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴在中，， 在中， 即 ． ∴ 小路的面积      答：小路的面积． (2) 小问详解： ∵，， ∴，即：， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 需要绿化面积为 小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元 答：小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元． 59．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？                                                                                                                                                                                   【答案】绳索长为尺 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】 解：如图， 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：绳索长为尺． 60．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 【答案】（1）625； （2）；（3）129 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得出， ，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，，，然后由（2）得a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积，进而求解即可． 【详解】 （1）∵正方形的面积为225，正方形的面积为400， ∴， ∵ ∴正方形的面积； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∴正方形的面积； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，， ∴由（2）得，a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积， ∴a，b，c三个正方形的面积和． 61．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 【答案】（1）； （2）①如图，即为所求； ② 3； （3）19 【分析】 （1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理分别画出，即可； （3）利用构图法求解即可． 【详解】 解：（1）的面积； （2）①； ②的面积； （3）如图所示， ∴六边形的面积 ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键． 62．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在中，于点，且，，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，解方程等知识，掌握勾股定理内容是解题的关键；在中，由得，利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 63．（25-26学年八上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． （1）如图，当点与点重合时，则的长为               ． （2）如图，当点与点重合时，求的面积． （3）当点落在的三等分点处，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 【点睛】 本题考查翻折变换的性质，勾股定理，等分点的意义，三角形面积公式等知识，掌握勾股定理、翻转变换的性质是解题的关键． 64．（25-26学年八上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）若点N与点M关于x轴对称，点P与点M关于y轴对称，求线段的长． 【答案】（1） ，     （2）       【分析】 本题考查了二次根式的非负性、轴对称、坐标系中两点间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的非负性解题即可； （2）根据轴对称的性质表示出点和点的坐标，进而解题． (1) 小问详解： 解：∵， ∵，， ∴，， 解得：，； (2) 小问详解： 解：由（1）知，，则，， ∴． 65．（25-26学年八上·江西九江·期中）小逸同学想利用勾股定理的知识来测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子下端刚好接触地面，求教学楼的高． 【答案】米 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设教学楼高为米，则绳子长为米，当绳子下端拉开米后，绳子、教学楼和地面构成直角三角形，应用勾股定理列出方程求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：设教学楼高为米，则绳子长为米， 依题意，得：， 解得：， 答：教学楼的高为米． 66．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图．在中，，平分，于，周长为，，则的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】 解：是的平分线，，， ， 周长为8， ， 在和中， ， ∴ ， 的周长为：． 故答案为：． 67．（25-26学年八上·江西南昌·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点，点是线段上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示． （1）在图1中，画出的中线和高； （2）在图2中，在线段上取一点，使得． 【答案】（1） 为所求； 即为所求；      （2）点Q即为所求． 【分析】 （1）连接，证明四边形是平行四边形，设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点，连接，则即为所求； 易证，，故，故为所求； （2）取的中点R，连接，，交于点O，则直线是线段的垂直平分线，连接，并延长交于点Q，，解答即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质，灵活作图是解题的关键． (1) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 设交点为M，根据平行四边形的性质，得这个交点是对角线的中点， 连接， 则即为所求； 如图，易证， 得， 根据题意，， 故， 故， 故为所求； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 取的中点R，连接，，交于点O， 则直线是线段的垂直平分线， 故， 连接，并延长交于点Q， 根据题意，， 得， 故， 于是， 即， 则点Q即为所求． 68．（25-26学年八上·江西九江部分学校）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 【答案】（1）；     （2）17米      【分析】 （1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：在中，        即        解得：        答：旗杆的值为17米． 69．（25-26学年八上·江西吉安·期中）已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． （1）如图1，连接，当点，落在上时，_____； （2）如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： （3）如图3，当落在线段上时，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． (1) 小问详解： 解：，， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 在中，由勾股定理得， ，即 ， ， 重叠部分（阴影）的面积； (3) 小问详解： 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，， ， ， ， ，即：，解得：； 的长为2． 70．（25-26学年八上·江西九江同文中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接、． （1）点D的坐标为______； （2）若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止，设点M的运动时间为t秒，连接，t为何值时？ （3）在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请求出点M的坐标． 【答案】（1）     （2）t为2或4秒时，     （3），，，      【分析】 （1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分，，三种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的正半轴， ∴． (2) 小问详解： 解：根据题意，点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止，设点M的运动时间为t秒， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，（秒） 当点M在上运动时，即点，连接， ； ∵，且， ∴ 解得； 当点M在上运动时，即点，连接， ∴； ∵，且， ∴ 解得； 综上：t为2或4秒时，； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 当时，点M一定在上，此时点M记作， 此时， 根据勾股定理，得， ∴， 故； 当时，点M一定在上，此时点M记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； 当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作， 过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 此时； 根据题意，得， 此时； 综上所述，符合题意的M的坐标为，，，． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 71．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】（1）影响；     （2）．      【分析】 本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．     ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． (2) 小问详解： 解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 72．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3） 【分析】 本题是勾股定理证明平方关系． （1）① 由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ② 过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】 解：（1）① ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ② 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 73．（25-26学年八上·江西九江部分学校）为了迎接国庆70周年，南海区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行爱国主义宣传教育．如图，笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离为1200米，假使宣讲车P周围1300米以内能听到广播宣讲，宣讲车P在公路上沿方向行驶． （1）请问村庄能否听到宣讲？并说明理由． （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是250米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣讲？ 【答案】（1） 能听到，理由：由题意知，宣讲车可传播声音范围为1300米， 因此只要在行驶途中宣讲车与村庄距离小于1300米， 即可让村庄听到宣讲， 由题知村庄到公路距离为米小于1300米， 因此，可以听到宣讲；     （2）4分钟      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． （1）根据村庄村庄A到公路的距离为1200米，小于1300米解答； （2）分两种场景，利用勾股定理求出线段的长度，求出听到声音的总长度，然后求出时间即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当宣讲车与村庄直线距离为1300米时，村庄恰好可以听到宣讲， 抽象为数学模型可知， 这里应注意P为动点，因此P可能在段，也可以在段， 当P移动到段时有图（一）， 则可知，， 在中由勾股定理知：． ， ； 当P移到段时有图（二）， 则可知，， 在中由勾股定理知：， ， ， 由此可知，可听到广播距离为米， 则能听到宣讲的时间为（分钟）． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·江西九江部分学校）已知△ABC的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于即可得该三角形是直角三角形；三条边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形． 【详解】 解：A．，假设，则，解得：，即：，，，不能判定是直角三角形，本选项符合题意； B．，∵， ∴，能判定是直角三角形，本选项不符合题意； C．，化简后得：，可以判定是直角三角形，本选项不符合题意； D．，∵，∴可以判断是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形． 2．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（       ） A. ，， B. 7，25，24 C. 12，18，22 D. 2，2，4 【答案】B 【分析】 此题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理：较小的两边的平方和等于第三边的平方时，则三角形为直角三角形，熟记勾股定理逆定理的判定方法是解题的关键．利用勾股定理的逆定理和三角形三边关系计算、判断即可． 【详解】 解：A．，故不能组成直角三角形，不符合题意； B．，故能组成直角三角形，符合题意； C．，故不能组成直角三角形，不符合题意； D．，故不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 【答案】D 【分析】 根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可． 【详解】 解： A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断． 4．（25-26学年八上·江西萍乡·期中）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解决本题的关键是由已知条件推导直角． 选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可． 【详解】 解：∵ 三角形内角和为， 选项A：， 代入， 得， ∴ ，，能判断直角三角形； 选项B：，即， ∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形； 选项C：设，，， 则，解得， ∴ ，，，无直角，不能判断直角三角形； 选项D：，，， ∵，， ∴ ，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形． 故选：C． 5．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（       ） A. 9、12、15 B. 41、40、9 C. 25、7、24 D. 6、5、4 【答案】D 【详解】 选项A.92+122=225=152， 选项B.402+92=1681=412， 选项C.72+242=625=252， 选项D.52+42≠62， 根据勾股定理的逆定理可知，只有选项D不能够成直角三角形． 故选：D． 6．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（       ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 12，18，22 D. 12，35，36 【答案】B 【分析】 本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案 【详解】 解：A、 ，不符合题意； B、 符合题意； C、 ，不符合题意； D、，不符合题意． 故选B 7．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）下列条件能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90度即可． 【详解】 解：A、， ，，能判定为直角三角形，故该选项正确； B、， ，，不能判定为直角三角形，故该选项错误； C、，不能判定为直角三角形，故该选项错误； D、，∴不能判定为直角三角形，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 8．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 【答案】B 【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键 根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】 解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 9．（25-26学年八上·江西九江·期中）在中，，，，则　　　　　　°． 【答案】90 【分析】 本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】 解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 10．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 【答案】（1） 证明：∵在中，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，．     （2）36      【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 11．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． (1) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． (2) 小问详解： 解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 12．（25-26学年八上·江西抚州·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题： （1）已知点，，则，两点之间的距离为__________； （2）若点，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）13 （2）为直角三角形． 理由：； ； ， ∴． ∴为直角三角形． 【分析】 （1）用两点之间的距离可以用公式即可； （2）分别算出三点之间的距离即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴． （2）解：略． 【点睛】 此题考查的是两点之间的距离和三角形类型的判断，掌握两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．（25-26学年八上·江西抚州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 【答案】（1） 如图1，线段即为所求作；      （2）如图2，如图3，即为所求作． 【分析】 本题考查网格作图，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据网格特点，先利用勾股定理求解，然后根据勾股定理的逆定理判断得到直角三角形即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：，，， ∵， ∴是直角三角形． 14．（25-26学年八上·江西抚州·期中）定义：如图，点M、N把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）已知M、N把线段分割成，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1） 点M、N是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，， ∴，， ∴ ∴以为边的三角形是直角三角形， ∴点M、N是线段的勾股分割点；     （2）8或17      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理： （1）由，，，可得，根据勾股定理逆定理得出以为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则,分两种情形① 当为斜边时，依题意，② 当为斜边时，依题意，分别列出方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设 ∵，， ∴ ∵点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴① 若为斜边，则，即， 解得：； ② 若为斜边，则， 即， 解得： 综上所述，的长为8或17． 15．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在下列网格中，小正方形的边长为1，仅有无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图（1）网格中，以为斜边，作等腰直角三角形，且顶点在格点上． （2）在图（2）网格中，作等腰直角三角形，使得，且顶点在格点上． 【答案】（1） 如图所示，为所求，      （2） 如图所示，为所求， 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求； （2）取格点，连接即可，由勾股定理可求，则，则，故为所求；同理为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 16．（25-26学年八上·江西九江湖口县·期中）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）     （2）需要，      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； (2) 小问详解： 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 17．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）如图，在中，，垂足为．    （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）20     （2） 是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角．      【分析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． (1) 小问详解： 解：， 是直角三角形，． ． (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·江西抚州第二实验学校·期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）9米     （2）米．      【分析】 本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19．（25-26学年八上·江西景德镇·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． （1）如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； （2）如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 【答案】（1） 如图1，      （2） 如图2， 【分析】 本题主要考查了网格作图、勾股定理和逆定理的应用． （1）根据，可以构造长为5的斜线段，由此即可构造边长为5，5，6的等腰三角形， （2）根据，而，，由此构图即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·江西抚州金溪县第一中学·期中）如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 【答案】12，150 【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于 的面积与的面积之和求解即可． 【详解】 解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为150． 21．（25-26学年八上·江西九江·期中）如图，这是的正方形网格，已知点A，点B在格点（网格的交点）上，直线l与网格线重合，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在直线l上找一点C，使得为直角三角形． （2）如图2，在直线l上找一点D，使得的值最小． 【答案】（1） 解：点C如图所示      （2） 解：点D如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格定理，找到格点D，结合，此时，故，与直线l的交点为点C，即可作答． （2）先作出点A关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点为点D，连接此时，即的值最小，进行作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·江西萍乡湘东区·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为　　　　　　　　． 【答案】或10或5． 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ① 当点在上时，如上图点， ，， ； ② 当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③ 当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 23．（25-26学年八上·江西九江第一中学·期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $