专题07 圆（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 3．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（       ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 5．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（       ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 6．（25-26学年九上·甘肃陇南）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为　　　　　　　　 ． 9．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 10．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知是的两条直径，，则的度数为　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 12．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，中，，以C为圆心、为半径的圆交于点D，则　　　　　　． 13．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）下列说法中，正确的是（       ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）用反证法证明命题：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数时，第一步应假设为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，已知弧，利用直尺和圆规作弧所在的圆的圆心O，（要求保留作图痕迹） 6．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，已知中，，． （1）用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求圆O的半径R． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）下列说法正确的有（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（       ） A. 8 B. 10 C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A. 4 B. 5 C. 8 D.  8．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 11．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点A，B，C．请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 14．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）m，设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）m．连接．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）． 15．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 16．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 （1）求桥拱所在圆的半径． （2）该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，在中，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 4．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：    （1）m＝　　，n＝　　； （2）在扇形统计图中，“C．实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是 　　度； （3）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （4）该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数． 5．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． （1）求证：． （2）若的直径是4，求的长． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，点A，B，C在上，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 4．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 11．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在正八边形中，连接，，，，与相交于点，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，已知在中，则的度数是　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是上的点，若，则的度数是　　　　　　　度． 19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，，则　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，四边形是的内接四边形，，则　　　　　　　　 22．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，为的直径，，若，则的度数为　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，是的外接圆，是的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为　　　　　　　　　　．  24．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 25．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，若，，则的长等于　　　　　　． 27．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 29．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，为直径，点在上，，则　　　度． 30．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 31．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． （1）求证：． （2）若，求的长． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 33．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 34．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为　　　　　　　　　　． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，是的直径，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积（单位：）是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为(     ) A. π B. π C. π D. π 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（       ） A.  B.  C. 1 D.  5．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 6．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　　　．（结果保留） 8．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是　　　　　　　　　cm． 9．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 11．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 12．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是　　　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是　　　　　　　．（结果保留π） 15．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 16．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 17．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案． 【详解】 解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】 解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 3．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了圆的性质． 根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】 解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为， ∴⊙O最长的弦为， 故选：B． 4．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（       ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】 根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】 解：∵半径为5的圆，直径为10， ∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10， ∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径． 5．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（       ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】C 【分析】 由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解． 【详解】 解：∵是的直径， ∴OA=OC， ∴∠C=∠A=25°， ∴∠AOD=∠C+∠A=50°， ∵OADE， ∴∠D=∠AOD=50°， 故选：C． 【点睛】 本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】 解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 7．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 8．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】 解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 9．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）如图所示，      （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形．      【分析】 本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． (1) 小问详解： 解：∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知是的两条直径，，则的度数为　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据半径得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵是的两条直径， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】． 【分析】 本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴． 12．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，中，，以C为圆心、为半径的圆交于点D，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，得到，根据半径相等，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】 解：∵中，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，点A，B，C是上的三点，平分．求证：． 【答案】证明：连接，，如图， ∵，， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了圆的概念与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．连接，，由，与平分可得相关角的关系，从而证得，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】 略 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）下列说法中，正确的是（       ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 【答案】A 【分析】 利用圆周角定理，三角形的外心的性质，圆心角弧弦的关系，确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A．直径所对的圆周角是直角，正确； B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故不正确； C．同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，故不正确； D．经过不在同一直线上三点一定可以作圆，故不正确； 故选A． 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解圆心角弧弦的关系、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可判断④ ；可以证出，则②一定成立；用反证法可证明，即可判断③ ． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， （故① 正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴（故④ 正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ 一定成立（故② 正确）； 假设， ， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，（故③ 错误）； ∴正确的有① ② ④ 共3个正确， 故选：C． 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）用反证法证明命题：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数时，第一步应假设为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】m是奇数 【分析】 本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立回答即可． 【详解】 解：原命题的结论是“m是偶数”， 因此反证法的第一步应假设其否定，即“m不是偶数”， 也就是“m是奇数”， 故答案为∶m是奇数. 4．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图所示，圆心O即为所求． 【分析】 此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【详解】 略 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，已知弧，利用直尺和圆规作弧所在的圆的圆心O，（要求保留作图痕迹） 【答案】如图，点O即为所作． 【分析】 在弧上找一点C，连接AC和BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点O即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了确定圆心，解题的关键是利用垂直平分线的交点得到圆心． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，已知中，，． （1）用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 （1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求． 【分析】 此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键． 由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心 【详解】 解：在圆弧作两条弦， ，分别作出，的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径， 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）下列说法正确的有（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】 解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（       ） A. 8 B. 10 C.  D.  【答案】C 【分析】 连接OA，设，则，根据勾股定理，列出关于r的方程，解方程，得出，再在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AC的长即可． 【详解】 解：连接OA，如图所示： ∵CD⊥AB， ∴， 设，则， 在Rt△OAE中，， 即， 解得：， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据题意求出圆的半径，是解题的关键． 3．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 由，利用垂径定理得到D为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由，即可求出的长． 【详解】 解：∵中，于点D，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：D． 4．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，垂径定理等．根据题意设弓臂所在圆的半径为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：∵弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点， ∴，， 设弓臂所在圆的半径为， ∵D、C两点之间的距离为， ∴， ∴在中：，解得：， ∴弓臂所在圆的半径为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：∵是的直径，弦， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明 ， ∴四个选项中只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，熟知垂径定理是解题的关键． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点，连接．根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：如图，过点作交于点，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， 圆心到的距离为． 故选：A． 7．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A. 4 B. 5 C. 8 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，． 故选：B． 8．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】 解：连接，设的半径是r，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】 解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 10．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】 本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】 连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 11．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理．设的半径为r，则，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 故答案为： 12．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理．连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题． 【详解】 解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知米，米， 米， 米， 米． 13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点A，B，C．请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】圆心O的位置如图． 【分析】 由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点O，则点O是所在圆的圆心； 【详解】 解：由作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴直线必过所在圆的圆心，直线必过所在圆的圆心， ∵与交于O， ∴点O是所在圆的圆心． 【点睛】 本题考查了尺规基本作图_ 作垂线，垂径定理的推论，熟练掌握尺规基本作图_ 作垂线和垂径定理的推论是解题的关键． 14．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）m，设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）m．连接．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）． 【答案】17m 【分析】 设主桥拱半径为，在 中，根据勾股定理列出的方程便可求得结果． 【详解】 解：， ， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ， ， ， ， ， 解得， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m． 【点睛】 此题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是方程思想的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 15．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）如图： （2）圆的半径为13 cm． 【分析】 （1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【详解】 解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 16．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，     在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 17．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）根据垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，进而证明是等边三角形即可求解； （2）设，先求得，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵为的直径，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：设， ∵是等边三角形，， ∴， 则在中，， 由得， 解得，即， ∴的半径为4． 【点睛】 本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理等知识，理解垂径定理是解答的关键． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 （1）求桥拱所在圆的半径． （2）该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 【答案】（1）50米     （2）此时水面的宽度为60米      【分析】 题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键． （1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可； （2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接， ∴， 设圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴桥拱所在圆的半径为50米； (2) 小问详解： 根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示： 由（1）得桥拱所在圆的半径为50米， ∴， ∴， ∴， ∴此时水面的宽度为60米． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，在中，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键． 根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得． 【详解】 解：，， ． 故选：A． 2．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴；     （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】 略 4．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：    （1）m＝　　，n＝　　； （2）在扇形统计图中，“C．实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是 　　度； （3）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （4）该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数． 【答案】（1）25%，15%     （2）54     （3） 补全图形如下：         （4）160      【分析】 （1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值； （2）用360°乘以C所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，从而补全条形统计图； （4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“思想方法”的学生人数． (1) 小问详解： 观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%， 故总人数有（人）， ， ， 故答案为：25%，15%； (2) 小问详解： ， 故答案为：54； (3) 小问详解： D类别人数为60×30%＝18（人）， (4) 小问详解： 根据题意得：（人）， 答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有160人． 【点睛】 本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息． 5．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】 解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，     根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接． （1）求证：． （2）若的直径是4，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）连接，如图，利用得到，则可判定为等边三角形，接着证明，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的直径是4， ， 在中，， 在中，． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，点A，B，C在上，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆内接四边形． 根据圆内接四边形对角互补作答即可． 【详解】 解：∵在圆内接四边形中，， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】D 【分析】 本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）． 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角与圆周角存在两倍的关系，由此可求出的度数． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍， ， ， ． 故选：D． 4．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】 解：四边形是的内接四边形，， ， ∵， ． 故选：B． 5．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】 解：∵为的内接四边形， ∴， ∴， 故选C． 6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 9．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】 解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° 【答案】C 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°． 【详解】 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=55°， ∴∠B=90°-∠CAB=35°， ∴∠D=∠B=35°． 故选：C． 【点睛】 本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，注意运用数形结合的思想方法． 11．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质，由圆周角定理和垂径定理可得，，求出是等边三角形，即可得解． 【详解】 解：连接， ∵是的直径，平分弦， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 12．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在正八边形中，连接，，，，与相交于点，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】 解：如图， 由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：A． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】 ∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】 解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 15．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 16．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，已知在中，则的度数是　　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求得． 【详解】 解：与是同弧对的圆心角与圆周角，， ． 故答案为. 【点睛】 本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 17．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是上的点，若，则的度数是　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】 解:在优弧上任意找一点，连接． ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，由垂径定理可推出，则由圆周角定理和平角的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，是的直径，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，熟练掌握圆周角的性质，是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角，进行解答即可． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，四边形是的内接四边形，，则　　　　　　　　 【答案】}度 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得到，再利用圆内接四边形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，为的直径，，若，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知可得，根据可得，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，是的外接圆，是的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为　　　　　　　　　　．  【答案】 【分析】 本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握圆周角定理及三角形全等的判定技巧是解题关键，首先，根据是的直径，得出，然后，根据已知条件易证，得，接着，由平分，得，易证，得，进而根据已知条件可得出的长． 【详解】 如答图，延长，相交于点． 是的直径， ， ． 又， ， ． 平分， ． 又， ， ， ∵， ． 故答案为． 24．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 解：如图：连接， ， ， 为的直径， ， ∴， 又， ∴ ；     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、等弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由等弧所对的圆周角相等可得，由圆周角定理可得，即，利用可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：连接，由圆周角定理可得，由圆的相关知识以及（1）可得，根据垂径定理可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接， 为的直径， ， ∵的半径为， ， ∵， ∴， 设，则， ， ， 解得：， ∴的长为． 25．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【分析】 （1）① 分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，② 按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】 解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，若，，则的长等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 27．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴．     （2）      【分析】 主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ∴， ∵于E，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 29．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，为直径，点在上，，则　　　度． 【答案】40 【分析】 本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接，根据圆周角定理，可得，由此将所求和已知的角构建到一个直角三角形中，根据直角三角形的性质，可求出的度数． 【详解】 解：连接，    则； ∵， ∴； ∵、是同弧所对的圆周角， ∴． 故答案为：40 30．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 31．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由垂径定理可得=，然后通过圆周角定理即可求解； （）由垂径定理可得，即，然后通过勾股定理得，从而求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴=， ∴， (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 33．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先得到，然后得到，得到，然后求出； （2）首先求出，然后得到，求出，最后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： ∵四边形内接于， ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴； (2) 小问详解： ∵，． ∴ ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∴． 【点睛】 此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 34．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】 解：经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，是的直径，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】 解：连接，如图：     设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积（单位：）是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是求解扇形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 延长交于点O，证明是等边三角形，过作于，则，可得，再利用割补法求解面积即可． 【详解】 解：延长交于点O， 由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又， ∴，， 过作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴这块宣传版面的面积为： ． 故选：D 3．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为(     ) A. π B. π C. π D. π 【答案】A 【详解】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S△AED＝S△ABC，由图形可知S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝＝π，故选A. 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 根据正方形的性质得到，，，求出正方形的边长，得出阴影部分的面积，分别求出即可． 【详解】 解：连接，交于，则， 四边形是正方形， ，，， 在等腰三角形中，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 5．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 6．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2，这是小明画出的一个“莱洛三角形”，若该等边的边长为6，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键．根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题 【详解】 解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是. 故答案为：. 8．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用弧长公式为，其中是圆心角度数，是半径，计算即可． 【详解】 已知，， 弧长． 故答案是． 9．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】 解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． (1) 小问详解： 解：的长． (2) 小问详解： 设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 11．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】 由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】 解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】 本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 12．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，扇形的弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， ， 解得， 即该圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 厘米 【分析】 本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】 解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 14．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是　　　　　　　．（结果保留π） 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，熟知圆锥的两种转化关系及圆锥的侧面积等于底面半径与母线长乘积的倍是正确解答此题的关键． 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】 解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长． 已知，，代入公式得， 故答案为． 15．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 16．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 连接，由于点为弧的中点，结合垂径定理，可证四边形为正方形，故，根据面积计算公式代入公式求值即可． 【详解】 解：连接，如下图所示： ∵点为弧的中点，结合垂径定理， ∴垂直平分， ∴，， 又∵折叠的性质，故，， ∴，故四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，交于点，    点为劣弧的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，交于点，根据圆周角定理及垂径定理可得，结合已知，然后根据矩形的判定与性质可得，最后由切线的判定方法可得结论； （2）连接、，根据圆周角定理可得是等边三角形，，可得，从而可得，得到，进而可得，最后由扇形面积公式可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接、，    ， ， ， 是等边三角形， ， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．【答案】 【分析】 根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】 解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 9．【答案】（1）如图所示，      （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形．      【分析】 本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． (1) 小问详解： 解：∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； (2) 小问详解： 略 10．【答案】�度 【分析】 本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据半径得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵是的两条直径， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 11．【答案】． 【分析】 本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴． 12．【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，得到，根据半径相等，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】 解：∵中，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．【答案】证明：连接，，如图， ∵，， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了圆的概念与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．连接，，由，与平分可得相关角的关系，从而证得，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】 略 考点02 过三点的圆 1．A 2．C 3．【答案】m是奇数 【分析】 本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立回答即可． 【详解】 解：原命题的结论是“m是偶数”， 因此反证法的第一步应假设其否定，即“m不是偶数”， 也就是“m是奇数”， 故答案为∶m是奇数. 4．【答案】如图所示，圆心O即为所求． 【分析】 此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【详解】 略 5．【答案】如图，点O即为所作． 【分析】 在弧上找一点C，连接AC和BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点O即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了确定圆心，解题的关键是利用垂直平分线的交点得到圆心． 6．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 （1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 7．【答案】如图，即为所求． 【分析】 此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键． 由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心 【详解】 解：在圆弧作两条弦， ，分别作出，的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径， 考点03 垂直于弦的直径 1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．A 9．B 10．【答案】米 【分析】 本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】 连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理．设的半径为r，则，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 故答案为： 12．【答案】米 【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理．连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题． 【详解】 解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知米，米， 米， 米， 米． 13．【答案】圆心O的位置如图． 【分析】 由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点O，则点O是所在圆的圆心； 【详解】 解：由作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴直线必过所在圆的圆心，直线必过所在圆的圆心， ∵与交于O， ∴点O是所在圆的圆心． 【点睛】 本题考查了尺规基本作图_ 作垂线，垂径定理的推论，熟练掌握尺规基本作图_ 作垂线和垂径定理的推论是解题的关键． 14．【答案】17m 【分析】 设主桥拱半径为，在 中，根据勾股定理列出的方程便可求得结果． 【详解】 解：， ， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ， ， ， ， ， 解得， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m． 【点睛】 此题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是方程思想的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 15．【答案】（1）如图： （2）圆的半径为13 cm． 【分析】 （1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 【详解】 解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 16．【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，     在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 17．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）根据垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，进而证明是等边三角形即可求解； （2）设，先求得，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵为的直径，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：设， ∵是等边三角形，， ∴， 则在中，， 由得， 解得，即， ∴的半径为4． 【点睛】 本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理等知识，理解垂径定理是解答的关键． 18．【答案】（1）50米     （2）此时水面的宽度为60米      【分析】 题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键． （1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可； （2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接， ∴， 设圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴桥拱所在圆的半径为50米； (2) 小问详解： 根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示： 由（1）得桥拱所在圆的半径为50米， ∴， ∴， ∴， ∴此时水面的宽度为60米． 考点04 圆心角 1．A 2．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴；     （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 3．【答案】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】 略 4．【答案】（1）25%，15%     （2）54     （3） 补全图形如下：         （4）160      【分析】 （1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值； （2）用360°乘以C所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，从而补全条形统计图； （4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“思想方法”的学生人数． (1) 小问详解： 观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%， 故总人数有（人）， ， ， 故答案为：25%，15%； (2) 小问详解： ， 故答案为：54； (3) 小问详解： D类别人数为60×30%＝18（人）， (4) 小问详解： 根据题意得：（人）， 答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有160人． 【点睛】 本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】 解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，     根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 6．【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）连接，如图，利用得到，则可判定为等边三角形，接着证明，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的直径是4， ， 在中，， 在中，． 考点05 圆周角 1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．B 10．C 11．B 12．A 13．D 14．A 15．C 16．【答案】<度 【分析】 根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求得． 【详解】 解：与是同弧对的圆心角与圆周角，， ． 故答案为. 【点睛】 本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】 解:在优弧上任意找一点，连接． ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，由垂径定理可推出，则由圆周角定理和平角的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，熟练掌握圆周角的性质，是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角，进行解答即可． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．【答案】}度 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得到，再利用圆内接四边形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 根据已知可得，根据可得，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【答案】 【分析】 本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握圆周角定理及三角形全等的判定技巧是解题关键，首先，根据是的直径，得出，然后，根据已知条件易证，得，接着，由平分，得，易证，得，进而根据已知条件可得出的长． 【详解】 如答图，延长，相交于点． 是的直径， ， ． 又， ， ． 平分， ． 又， ， ， ∵， ． 故答案为． 24．【答案】（1） 解：如图：连接， ， ， 为的直径， ， ∴， 又， ∴ ；     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、等弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由等弧所对的圆周角相等可得，由圆周角定理可得，即，利用可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：连接，由圆周角定理可得，由圆的相关知识以及（1）可得，根据垂径定理可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接， 为的直径， ， ∵的半径为， ， ∵， ∴， 设，则， ， ， 解得：， ∴的长为． 25．【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【分析】 （1）① 分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，② 按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】 解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 26．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 27．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴．     （2）      【分析】 主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 28．【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ∴， ∵于E，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 29．【答案】40 【分析】 本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接，根据圆周角定理，可得，由此将所求和已知的角构建到一个直角三角形中，根据直角三角形的性质，可求出的度数． 【详解】 解：连接，    则； ∵， ∴； ∵、是同弧所对的圆周角， ∴． 故答案为：40 30．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 31．【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 32．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由垂径定理可得=，然后通过圆周角定理即可求解； （）由垂径定理可得，即，然后通过勾股定理得，从而求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴=， ∴， (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先得到，然后得到，得到，然后求出； （2）首先求出，然后得到，求出，最后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： ∵四边形内接于， ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴； (2) 小问详解： ∵，． ∴ ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∴． 【点睛】 此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 34．【答案】 【分析】 先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】 解：经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 考点06 弧长和扇形面积 1．D 2．D 3．A 4．C 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 6．【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了弧长的计算及等边三角形的性质，熟知弧长的计算公式及等边三角形的性质是解题的关键．根据弧长公式求出的长，再乘以3即可解决问题 【详解】 解：是等边三角形， ， 又等边三角形的边长为６， 的长， 莱洛三角形”的周长是. 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用弧长公式为，其中是圆心角度数，是半径，计算即可． 【详解】 已知，， 弧长． 故答案是． 9．【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】 解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． (1) 小问详解： 解：的长． (2) 小问详解： 设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 11．【答案】11.44πkg 【分析】 由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】 解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】 本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 12．【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，扇形的弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， ， 解得， 即该圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． 13．【答案】 厘米 【分析】 本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长公式是解题的关键；因此此题可根据弧长公式可进行求解． 【详解】 解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长， ∴， ∴底面半径为； 故答案为． 14．【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，熟知圆锥的两种转化关系及圆锥的侧面积等于底面半径与母线长乘积的倍是正确解答此题的关键． 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】 解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长． 已知，，代入公式得， 故答案为． 15．【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 16．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 连接，由于点为弧的中点，结合垂径定理，可证四边形为正方形，故，根据面积计算公式代入公式求值即可． 【详解】 解：连接，如下图所示： ∵点为弧的中点，结合垂径定理， ∴垂直平分， ∴，， 又∵折叠的性质，故，， ∴，故四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】（1） 证明：如图所示，连接，交于点，    点为劣弧的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，交于点，根据圆周角定理及垂径定理可得，结合已知，然后根据矩形的判定与性质可得，最后由切线的判定方法可得结论； （2）连接、，根据圆周角定理可得是等边三角形，，可得，从而可得，得到，进而可得，最后由扇形面积公式可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接、，    ， ， ， 是等边三角形， ， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $