5.1.2数据的数字特征（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第五章 统计与概率 5.1.2数据的数字特征 5.1统计 学 习 目 标 1 2 理解最值、平均数、中位数、众数、百分位数的概念，掌握计算方法，明确它们刻画数据集中趋势； 理解极差、方差、标准差的含义，会计算，知道它们刻画数据离散程度（波动大小）； 能辨析各数字特征的优缺点，会根据实际问题选择合适统计量描述数据；了解分层随机抽样的平均数、方差计算思路。 重点：平均数、中位数、百分位数、方差、标准差的计算与意义 难点：百分位数的求解；合理选择数字特征分析实际问题；理解方差、标准差反映波动 情境问题 某公司招聘，宣传写“员工平均月薪8000元”。 员工工资：经理30000元，3名主管各6000元，6名普通员工各4000元。 提问： 1. 算一算平均工资是不是8000？ 2. 普通员工能拿到8000吗？平均数能不能真实反映大多数员工收入？ 发现 高薪经理拉高了平均数，平均数容易受极端值干扰。 只用平均数描述数据有局限，我们还需要其他统计量，从不同角度概括一组数据——这就是本节课学习的数据的数字特征。 目标一：最值 ❶ 最值 知识讲解 互动探究 新课引入 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。一般地，最大值用 max 表示，最小值用 min 表示。日常生活中，有时我们只关心数据的最值。比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。 5 生活中的最值 知识讲解 互动探究 新课引入 高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值； 举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩； 末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等. 6 运动员参加体操比赛，当评委亮分后，往往是先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是为了( )。 A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛 对点体验 解 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响。 目标二：平均数 平均数的计算方式 知识讲解 互动探究 新课引入 如果给定的一组数是 ，则这组数的平均数为 这一公式在数学中常简记为 其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑ 右边式子中的 i 表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在 ∑ 的下面与上面。 例如： 9 平均数的计算方式 知识讲解 互动探究 新课引入 求和符号 具有以下性质： (1) ; (2) ; (3) . 10 某武术比赛中，共有7个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分： 对点体验 选手 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 最后得分 甲 90 88 93 92 92 92 96   乙 92 96 95 93 89 92 95   丙 91 91 88 91 98 93 92   (1)从数学的角度，讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数，以及平均数具有什么特点？ 平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.为避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数. (2)有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别. 对点体验 计算总分与计算平均分没有本质上的区别 (3) 那么，甲选手去掉最低分和最高分之后的平均值是多少？ 当计算上述甲选手的最后得分时，在把88与96去掉之后，可先把其余数都减去92，得到新的数为-2，1，1，0，0，因为这一组数的平均数为0，所以可知甲的最后得分为92. 平均数的性质 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果 的平均数为 ，且 为常数，则 的平均数为 ，这是因为 13 有甲、乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数分别如下： 甲组：1，2，3，3，4，5； 乙组：0，0，1，2，3，12. (1)分别求出两组数的平均数； (2)平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么数来表示？ 对点体验 (1)甲、乙两组数的平均数均为3； (2)用3来刻画乙组数的中心位置是不合适的，因为这组数中有5个数都不大于3 平均数的性质 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果 的平均数为 ，且 为常数，则 的平均数为 ，这是因为 15 目标三：中位数 中位数的计算方法 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为 ，则称 为这组数的中位数； 如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 ，则称 为这组数的中位数. 17 指出甲、乙两组数的中位数，并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点？如果不能，有什么补救的办法？ 对点体验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 当数据个数较多时，如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布特点的.例如：上述甲、乙两组数的中位数都是5.5，但是甲组数中，小于5.5的数普遍比乙组的大，而大于5.5的数普遍比乙组的小. 将甲、乙两组数小于5.5的前10个数分别看出一组数，则它们的中位数分别是 2.5，1. 这两个数能够反映甲、乙两组数小于5.5的数的分布特点，因为这两个数是通过找小于或者等于中位数的所有数的中位数得到的，所以它们分别称为甲、乙两组数的25%分位数. 一般地，当数据个数较多时，可借助多个百分位数来了解数据的分布. 目标四：百分位数 百分位数的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一组数的 p% (p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有 p% 的数据不大于该值，且至少有 (100-p)% 的数据不小于该值. 一组数的 p% 分位数的意义： 将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于 p% 位置的数，例如：中位数就是一个50%分位数. p% 的特点：p% 分位数可能不唯一. 21 百分位数的计算方法 知识讲解 互动探究 新课引入 设一组数按照从小到大排列后为 ，计算 的值， 如果 不是整数，设 为大于 的最小整数，取 为 分位数； 如果 是整数，取 为 分位数. 规定：0分位数是 （即最小值），100%分位数是 （即最大值）. 实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数） 22 对点体验 计算甲、乙两组数的75%分位数. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 因为数据个数为20，而且 . 因此，甲组数的75%分位数为 乙组数的75%分位数为 对点体验 下列一组数据 77, 81, 91, 93, 97, 124, 112, 104, 108, 126, 64, 133, 128, 142, 141, 123, 116, 107, 122, 130 的 25% 分位数和 75% 分位数分别为________和________。 解 这组数据共有 20 个，而且 , 。因此，按从小到大排列后，这组数据的 25% 分位数为 ， 75% 分位数为 。 答 95 127 目标五：众数 众数 知识讲解 互动探究 新课引入 某班级准备利用暑假去进行研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 频数 3 2 5 21 2 2 你认为应该定做什么容量的双肩包？为什么？ 为了照顾到绝大多数人的需求，此时应该定做容量为29L的双肩包，这里的29就是上述数据的众数. 26 众数 知识讲解 互动探究 新课引入 一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数。 27 对点体验 据了解，某公司的 33 名职工月工资（单位：元）如下： (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(结果保留整数)； (2)假设董事长的工资从 11 000 元涨到 30 000 元，副董事长的工资从 10 000 元涨到 20 000 元，求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(结果保留整数)； (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法。 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 对点体验 答 (1)平均数 ， 中位数是 4 000，众数是 4 000。 (2) 平均数 ， 中位数是 4 000，众数是 4 000。 对点体验 (3)中位数和众数均能反映该公司职工的工资水平，因为公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，这样导致平均数与中位数(众数)偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平。 目标六：极差、方差与标准差 极差的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差。不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度。 描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差。 32 方差的计公式 知识讲解 互动探究 新课引入 如果 的平均数为 ，则方差可用求和符号表示为 此时，如果 为常数，则 的方差为 ，这个因为 33 标准差的意义 知识讲解 互动探究 新课引入 方差的算术平方根称为标准差。由此可知，如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高。因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度。 34 对点体验 计算下列各组数的平均数与方差： (1) 18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5； 将每一个数乘以10，再减去190，可得 -1，5，5，2，0，-2，5. 这组新数的平均数为 方差为 由此可知，所求的平均数为19.2，方差为 . 对点体验 计算下列各组数的平均数与方差： (2) 2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6. 可将数据整理为： 2 3 4 5 6 频数 3 4 5 6 2 每一个数减去4，可得 -2 -1 0 1 2 频数 3 4 5 6 2 这组数的平均数与方差分别为：因此所求平均数为4，方差为 . 对点体验 为了解A,B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 000 km）。 (1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ A轮胎 96 112 97 108 100 103 86 98 B轮胎 108 101 94 105 96 93 97 106 答 (1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为 对点体验 为了解A,B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 000 km）。 (1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ A轮胎 96 112 97 108 100 103 86 98 B轮胎 108 101 94 105 96 93 97 106 中位数为 ； B轮胎行驶的最远里程的平均数为 对点体验 为了解A,B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 000 km）。 (1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ A轮胎 96 112 97 108 100 103 86 98 B轮胎 108 101 94 105 96 93 97 106 中位数为 。 (2)A轮胎行驶的最远里程的极差为 ，标准差为 对点体验 为了解A,B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 000 km）。 (1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ A轮胎 96 112 97 108 100 103 86 98 B轮胎 108 101 94 105 96 93 97 106 B轮胎行驶的最远里程的极差为 ，标准差为 对点体验 为了解A,B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 000 km）。 (1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ A轮胎 96 112 97 108 100 103 86 98 B轮胎 108 101 94 105 96 93 97 106 (3)因为A轮胎和B轮胎行驶的最远里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定。 目标七：典型例题 题型 1 数字特征的计算及其意义 例1 为评估一种农作物的种植效果，选了 块地作试验田。这 块地的亩产量(单位:kg)分别是 ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )。 A. 的平均数 B. 的标准差 C. 的最大值 D. 的中位数 典例分析 牛刀小试 平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数。平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度。 题型 1 数字特征的计算及其意义 例2 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( )。 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 典例分析 牛刀小试 题型 1 数字特征的计算及其意义 例2 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( )。 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 典例分析 牛刀小试 题型 1 数字特征的计算及其意义 例2 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是( )。 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 典例分析 牛刀小试 题型 2 数字特征的求解 例3 (多选)有一组样本数据 ，由这组数据得到新样本数据 ，其中 ()， 为非零常数，则( )。 A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 典例分析 牛刀小试 设样本数据 的平均数、中位数、标准差、极差分别为 ，依题意得新样本数据 的平均数、中位数、标准差、极差分别为 ，因为 ，所以 C,D 正确。故选 CD。 题型 2 数字特征的求解 例4 设一组样本数据 的方差为 0.01，则数据 的方差为( )。 A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 典例分析 牛刀小试 因为数据 () 的方差是数据 () 的方差的 倍，所以所求数据的方差为 。 题型 2 数字特征的求解 例5 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 典例分析 牛刀小试 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 。 (1) 求 ； 题型 2 数字特征的求解 例5 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 典例分析 牛刀小试 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 。 (1) 求 ； 题型 2 数字特征的求解 例5 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 典例分析 牛刀小试 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 。 (1) 求 ； 题型 2 数字特征的求解 例5 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 典例分析 牛刀小试 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 。 (1) 求 ； (2)由(1)中数据可得 ，而 ， 显然有 成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 目标八：针对训练 举一反三 1.样本数据 4，6，10，16 的平均数为() A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】：样本数据 4，6，10，16 的平均数为 . 2.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共 14 种算法.某研究学习小组共 10 人，他们搜集整理这 14 种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为 68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的() A.众数仅是 31 B.10%分位数是 31.5 C.极差是 38 D.中位数是 44 【解析】：由题知，每个数出现的次数都是一次，A 错误； 将这 10 个数据从小到大排列为 31，32，38，41，47，48，58，63，68，82；易知 为整数，所以10%分位数是第1个数与第2个数的平均值，即为 ，B 正确； 极差为 ，C 错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即 ，D 错误.故选：B. 举一反三 3.一组数据为 50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第 60 百分位数之和为() A.40 B.39 C.36 D.35 【解析】：将题中数据按从小到大排列为 10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，因为 ，所以第 60 百分位数为 19，所以众数与第 60 百分位数之和为 . 4.一组数据 1，3，7，9， 的中位数不小于平均数，则 的取值范围为(). A. B. C. D. 【解析】：因为这组数据的平均数为 ，所以这组数据的中位数只可能是 或 7，若这组数据的中位数是 ，则 ，即 ，若这组数据的中位数是 7，则 ，即 ， 综上所述， 的取值范围为 .故选:B. 举一反三 5.一组从小到大排列的数据：2，8，，18，22.若它们的第 60 百分位数比平均数大 2，则 的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】： ， 这 5 个数据的第 60 百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数，即 ，即有 ，解得 .故选：A. 6.一组按照从小到大排列的数据 ，其平均数为 ，则 . 【解析】：由题意可得 ，整理得 ，故 或 ，又 ，故 . 举一反三 1.下列几何体中，属于棱柱的是（ ） A. 金字塔 B. 圆台 C. 长方体 D. 圆锥 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 目标九：小结 学海拾贝 1. 刻画集中趋势：最值（最大、最小值）、平均数、中位数、众数、百分位数；平均数易受极端值影响；中位数、百分位数抗极端值干扰更强。 2. 刻画离散（波动）程度：极差、方差、标准差；数值越大，数据波动越大、稳定性越差；标准差单位和原始数据一致。 学海拾贝 3. 统计原则：没有最好的数字特征，要结合实际需求选用；可以多个特征搭配，全面解读数据。 4. 统计思想：样本数字特征可以用来估计总体的数字特征，为判断和决策提供依据。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $