第36课时 复数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第36课时　复数 1．已知复数z＝1＋i，则－＝(　　) A．2　　　　　　 B．0 C．2i D．－2i 2．已知复数z满足＝i，则|z|＝(　　) A. B. C. D. 3．(2024·北京)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 4．已知a是实数，是纯虚数，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 5．设复数z＝，则z的共轭复数的虚部为(　　) A．i B．－i C． D．－ 6.如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是，图中每个小正方形网格的边长均为1，则＝(　　) A．1＋2i B．1＋3i C．3＋i D．2＋i 7．已知z为虚数，且z2＋z是实数，则z满足(　　) A．实部是－ B．实部是 C．虚部是－ D．虚部是 8．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＋2＝b＋i，则|z|＝(　　) A． B．2 C． D．3 9．(2025·课标全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 10．已知复数z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则(　　) A．|z|＝ B．z2＝1 C．z·＝1 D．z＋为纯虚数 11．若复数z满足|z－1|＝|z＋i|，则|z－1|的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 12．【多选题】已知复数z1，z2，且z1是非零复数，则下列结论正确的是(　　) A．若＝1，则z1＝±z2 B．若＝1，则|z1z2|＝|z1|2 C．若z＝z1z2，则z1＝z2 D．z1＋≠0 13．【多选题】已知复数z1＝1＋i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．若＝1－i，则z2为纯虚数 B．若＝2z1，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 C．若|z2－z1|＝1，则3－2≤x2＋y2≤3＋2 D．若z1，z2为方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两虚根，则a＝b＝2 14．(2025·天津)已知i是虚数单位，则＝________． 15．已知i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________． 16．【多选题】在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为a1，a2，则(　　) A．|z1z2|＝|a1·a2| B．|z1－z2|＝|a1－a2| C．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1z2＝0 D．若|a1－a2|＝|a1＋a2|，则a1· a2＝0 17．著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中r>0，n∈N*.设复数z＝，若正整数n满足|zn|≤2 025，则n的最大值为(　　) A．10 B．11 C．20 D．21 18．已知ω＝－＋i，复数z满足|z－ω|＝1，则下列说法中错误的是(　　) A．|ω|＝1 B．ω·＝1 C．1＋ω＋ω2＝ω3 D．|z|的最大值为2 参考答案 1．答案　B 解析　z＝1＋i，－＝－(1－i)＝1－i－(1－i)＝0.故选B. 2．答案　C 3．答案　C 解析　由于＝－1－i，则z＝i(－1－i)＝－i－i2＝1－i.故选C. 4．答案　B 解析　＝＝＝为纯虚数，则a－1＝0，a＝1.故选B. 5．答案　D 解析　因为z＝＝＝，所以＝－－i，故的虚部为－.故选D. 6.答案　D 解析　由题图可知＝(3，1)，则z＝3＋i，＝3－i，因此＝＝＝2＋i. 7．答案　A 解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，且b≠0，则z2＋z＝(a＋bi)2＋a＋bi＝a2－b2＋a＋(2ab＋b)i，因为z2＋z是实数，所以2ab＋b＝0，即b(2a＋1)＝0，解得a＝－，所以z的实部是－. 8．答案　C 解析　因为2 023＝4×505＋3，则i2 023＝i3＝－i， 所以＋2＝＋2＝2＋ai＝b＋i，所以故z＝1＋2i，因此|z|＝＝.故选C. 9．答案　C 解析　方法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)． ∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 方法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 10．答案　C 解析　因为z＝cos θ＋isin θ，所以|z|＝＝1，所以A错误； 因为z＝cos θ＋isin θ，所以z2＝cos2θ＋(isin θ)2＋2icos θsin θ＝cos 2θ＋isin 2θ，不一定等于1，所以B错误； 因为z＝cos θ＋isin θ，所以z·＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确； 因为z＝cos θ＋isin θ，所以z＋＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D错误，故选C. 11．答案　B 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)， ∵|z－1|＝|z＋i|，∴y＝－x，则|z－1|＝＝＝＝，当x＝时，|z－1|取最小值，为.故选B. 12．答案　BC 解析　方法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R，a，b不同时为0)，z2＝c＋di(c，d∈R)， 因为＝1，即＝1， 则(ac＋bd)2＋(ad－bc)2＝(a2＋b2)2， 整理得a2＋b2＝c2＋d2，无法得出z1＝±z2，故A错误； 易知z2＝a－bi，z1z2＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，故|z1z2|＝a2＋b2，又|z1|2＝a2＋b2，故B正确； 由z＝z1z2可得z－z1z2＝z1(z1－z2)＝0，因为z1是非零复数， 所以z1－z2＝0，即z1＝z2，故C正确； z1＋＝a＋bi＋＝a＋＋i， 当a＝0，b＝±1时，z1＋＝0成立，故D错误． 方法二：取z1＝1＋i，z2＝i，显然满足＝1，但z1≠±z2，排除A. 取z1＝i，则z1＋＝i＋＝i－i＝0，排除D.故选BC. 13．答案　AC 解析　由＝1－i得z2＝＝＝i，故z2为纯虚数，A正确；由＝2z1得x－1－(y－1)i＝2＋2i，得x＝3，y＝－1，所以z2＝3－i，z2在复平面内对应的点在第四象限，B错误；若|z2－z1|＝1，则z2在复平面内对应的点Z2的轨迹是以(1，1)为圆心，1为半径的圆，又x2＋y2表示Z2到原点距离的平方，圆心(1，1)到原点的距离为，所以(－1)2≤x2＋y2≤(＋1)2，所以3－2≤x2＋y2≤3＋2，C正确；若z1，z2为方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两虚根，则Δ＝a2－4b<0，且z2＝1＝1－i，所以z1＋z2＝2＝－a，得a＝－2，且z1z2＝2＝b，满足Δ＜0，D错误．故选AC. 14．答案　 解析　＝＝＝. 15．答案　1 解析　关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0，即n2－2n＋1＋(m－n)i＝0，所以所以m＝n＝1. 16．答案　BD 解析　依题意，不妨令z1＝1＋i，z2＝2－i，则|z1z2|＝×＝，a1＝(1，1)，a2＝(2，－1)，a1·a2＝1，∴|a1·a2|＝1，A错误．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则a1＝(a，b)，a2＝(c，d)，|z1－z2|＝|a－c＋(b－d)i|＝，|a1－a2|＝|(a－c，b－d)|＝，B正确．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则＝，∴ac＋bd＝0，而z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci－bd不恒为0，C错误．若|a1－a2|＝|a1＋a2|，则a1·a2＝0，D正确．故选BD. 17．答案　D 解析　因为z＝，则zn＝2， 又＝ ＝1，所以|zn|＝2， 由|zn|≤2 025，得到2≤2 025，又210<2 025<211，且210×＝2<2 025， 则≤，所以n≤21.故选D. 18．答案　C 解析　|ω|＝＝1，A正确； 因为ω＝－＋i，则＝－－i，所以ω·＝·＝－i2＝＋＝1，B正确； 因为ω2＝＝－－i，所以ω3＝·＝－i2＝＋＝1， 而1＋ω＋ω2＝1－＋i－－i＝0，所以1＋ω＋ω2≠ω3，C错误； 因为复数ω在复平面内对应的点为，则|z－ω|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 而|z|表示复数z在复平面内对应的点到原点的距离，所以|z|的最大值为＋1＝2，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $