第5讲 一线三等角模型与手拉手模型 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学一线三等角模型（同侧、异侧，含锐角、直角、钝角）与手拉手模型（双等边、双等腰直角、双等腰三角形），作为全等三角形应用的学习支架，衔接基础判定与复杂几何问题，系统梳理模型条件、结论及证明过程。 特色在于模型分类清晰，例题变式层层递进，通过具体图形培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），以模型语言（数学语言）表达几何关系，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固模型应用，查漏补缺。

第5讲 一线三等角模型与手拉手模型 典 型 例 题 题型 一线三等角模型 1 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 1 例 （1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 1-1 变式变式 在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 1-2 变式变式 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 题型 手拉手模型 2 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2 例 问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 2-1 变式变式 如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 2-2 变式变式 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 2-3 变式变式 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积． 课 后 练 习 1 练 如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2 练 如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   ) A．50 B．44 C．38 D．32 3 练 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 4 练 如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 5 练 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 6 练 （1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 7 练 【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 8 练 如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 9 练 综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 10 练 综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第5讲 一线三等角模型与手拉手模型 典 型 例 题 题型 一线三等角模型 1 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 1 例 （1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 1-1 变式变式 在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE． 1-2 变式变式 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴，∵，，∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴，， ∵，∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ，∴， ∴∴． 题型 手拉手模型 2 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2 例 问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵，∴， 又∵,∴（SAS）， ，∵， ∴，∴， ∴，，故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵，∴， 又∵，，∴（SAS）， ∴，，∵， ∴，∴，∴， 即，依然成立． 2-1 变式变式 如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：因为，所以， 所以，所以， 在与中，所以． 2-2 变式变式 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴，即：， ∵，，∴ ∵，，故答案为： （2）解：，理由如下： ， ，又，， 即：， 在和中，，； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ，，即：， 在和中，， 又， ． 2-3 变式变式 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积． 【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2 【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE． 理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB2×2＝2． 课 后 练 习 1 练 如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ，∴， ∵，， ∴，故选：C． 2 练 如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   ) A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中， ∴△FEA≌△MAB（AAS），∴AM=EF=6，AF=BM=3，同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14，∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC==32．故选D． 3 练 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：过点作交延长线于点，则∠DMC=90°=∠ABC， ，，，， ，，，， ，．故填． 4 练 如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵和均为等边三角形，∴， ∴，即，∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵，∴，∴，又∵， ∴，∴，∵，∴即③错误； ∵，∴，∴，即，则④正确． 综上，正确结论的是①②④．故答案为：①②④． 5 练 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1））解：于点，于点，∴， ∵，∴，∴， 在和中， ，∴，∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由，同理（1）得，∴， 在和中，∴，∴． 6 练 （1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 【答案】（1），证明见解析；（2）或 【详解】（1）解：. 证明：过点作于点， ， ，， ， 在和中，，，同理可证，， ，，. （2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F， 由（1）可知，，， ，， ，， ，； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得， ，，，， ，， ，即； 当点在线段的延长线上时，过点作于点， 同理证得， ，，， ，，， . 综上可得的度数为或 7 练 【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【详解】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，，∴， ∴， 在和中,∴，∴； ②∵，∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在和中,∴，∴，， ∵,∴，∴， ∴， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， 由（2）知，∴，， 又∵，∴， 在中，，， ∴. 8 练 如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，，∴∴∴， 又，，，，，； （2）成立， 理由：，， ，又∵，，， ，，又，； （3），，， ，又，，， ，，，，，． 9 练 综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立．证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：直线，直线，， ，，，， 在和中，，，，， ．故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ，， ， 在和中，，， ，，． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ，． 10 练 综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，，，即， 在和中，，，． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形，，， ， ，即， 在和中，，， ，，又，，， 四边形面积，，， 四边形面积的最大值是．故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形，， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且，， ，，即， 在和中，， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $