精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题（历史方向）

新蔡一高2026-2027学年上学期9月月考高三数学试题（文科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 3. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A. B. C. －1 D. 4. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是4 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 11. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 13. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 14. 已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为______． 四、解答题 15. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）若函数的值域为，求实数的值； （2）已知，，求函数的单调区间和值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2026-2027学年上学期9月月考高三数学试题（文科） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 2. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 3. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A. B. C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由函数图象可知，函数为奇函数，而选项C是偶函数，排除C; 选项B，当,,与图象矛盾，排除B. 若函数为则时，，排除D，故选A. 4. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，推导出时的表达式，通过导数求解切线斜率，再结合点斜式求切线方程. 【详解】设，则，则 因为是奇函数，满足， 所以 当时，即切点为 对求导得，切线斜率 由点斜式得切线方程，整理得. 5. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 7. 设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若  ，即 ，则 ，不等式  恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当  时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当  时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 8. 在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示, 在中，由余弦定理得， ， 因为平分，所以， 所以， 则， 在中，由余弦定理得， ， 则， 因为，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， ，即， 整理得， 在中，由余弦定理得， ， 整理得，解得，， 当，即时，点为中点， ，不成立， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式求解即可. 【详解】已知非负实数满足，因此，得，. 选项A.将代入得，开口向下，对称轴为， 最大值，正确. 选项B.将代入得，函数在上单调递减， 最小值在处取得，错误. 选项C..由A知，因此， 等号在​时成立，正确. 选项D.. 由基本不等式，因此，等号在​时成立，正确. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 11. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由，得，又，得. 由，得， 所以，所以． 又，即，所以，故， 所以，所以的最小正周期为，即A正确； ， 所以为偶函数，即B正确； 又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确； 当时，， 故在上单调递减，即D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称可知与互为反函数，求出解析式后根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以， ，因为在上单调递减，在上单调递减，上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知的单调递增区间是. 13. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，再数形结合即可求出的取值范围． 【详解】由， 则方程的根即为方程与的根． 函数的图象如下： 结合函数的图象可知，有个不同的根， 则要有个不同的根，才能使方程有个实数根， 所以由图象可知． 14. 已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得出，不妨设，则，，利用余弦定理可求出角，结合三角形的面积公式可求出的值，进而可得出三边边长，再利用余弦定理可求出边上的中线长度. 【详解】因为在中，，由正弦定理可得， 不妨设，则，， 由余弦定理可得， 因为，则， 故，解得. 所以，，， 取线段的中点，连接， 由余弦定理可得. 因此，边上的中线长度为. 四、解答题 15. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】（1） （2）；能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）， ∴由正弦定理可得，； ，即. ，； ； . ∴由正弦定理可得，， ，. ； ，，即为钝角. 为钝角三角形． （2）4 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，. 的面积为， ，解得. ，，解得． 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 【答案】（1）（i） （ii）极大值为，无极小值 （2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【解析】 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 （i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 18. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. 【小问2详解】 对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 19. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）若函数的值域为，求实数的值； （2）已知，，求函数的单调区间和值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）单调减区间为，单调增区间为，值域为 （3） 【解析】 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $