26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计 课题 26.3 二次函数与一元二次方程 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 授课对象 九年级学生 教学重点 二次函数与一元二次方程的关系 教学难点 理解判别式与交点个数的关系 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：理解二次函数与一元二次方程的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二、教材分析 本节课学习二次函数与一元二次方程的关系。教材通过观察抛物线与x轴的交点，发现交点的横坐标就是一元二次方程的根，建立了二次函数与一元二次方程的联系。 三、学情分析 学生已学习二次函数的图象和性质，以及一元二次方程的解法。但学生对二者之间的联系理解不深，对判别式与交点个数的关系容易混淆。 四、素养目标 目标维度 具体目标 会用数学的眼光观察现实世界 （抽象能力、几何直观） 能通过观察抛物线与x轴的交点，发现二次函数与一元二次方程的联系。 会用数学的思维思考现实世界 （推理能力、运算能力） 能理解判别式b²-4ac与抛物线与x轴交点个数的关系。 会用数学的语言表达现实世界 （模型观念、应用意识） 能利用二次函数图象求一元二次方程的近似解。 五、教学过程 教学环节 与时间 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习导入 （约5分钟） 1.二次函数 y=ax²+bx+c 的图象是抛物线 2.一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 3.提问：二次函数与一元二次方程有什么关系？ 回忆二次函数图象。 回忆一元二次方程解法。 复习旧知。 引入新课。 二、探究新知 （约15分钟） 【探究】 观察二次函数 y=x²-2x-3 的图象： 与x轴交点坐标：(-1, 0) 和 (3, 0) 求方程 x²-2x-3=0 的根： x²-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 x₁=-1，x₂=3 发现：抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根！ 【关系总结】 二次函数 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标 就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根。 【判别式与交点个数】 判别式 Δ=b²-4ac： Δ>0 ⇔ 抛物线与x轴有两个交点 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 Δ=0 ⇔ 抛物线与x轴有一个交点 ⇔ 方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔ 抛物线与x轴没有交点 ⇔ 方程没有实数根 【例1】判断下列抛物线与x轴的交点个数： （1）y = x²+x-2 Δ = 1²-4×1×(-2) = 1+8 = 9 > 0 ∴与x轴有两个交点 （2）y = x²-6x+9 Δ = (-6)²-4×1×9 = 36-36 = 0 ∴与x轴有一个交点 （3）y = x²-x+1 Δ = (-1)²-4×1×1 = 1-4 = -3 < 0 ∴与x轴没有交点 理解二次函数与一元二次方程关系。 跟随例题判断交点个数。 掌握二者关系。 理解判别式意义。 规范解题步骤。 三、巩固练习 （约20分钟） 【练习1】求下列抛物线与x轴的交点坐标： （1）y = x²-3x+2 令y=0：x²-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 x₁=1，x₂=2 ∴交点坐标：(1, 0) 和 (2, 0) （2）y = 2x²-4x-6 令y=0：2x²-4x-6=0 x²-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x₁=3，x₂=-1 ∴交点坐标：(3, 0) 和 (-1, 0) 【练习2】已知抛物线 y=x²-4x+c 与x轴只有一个交点，求c的值。 解：抛物线与x轴只有一个交点 ∴ Δ = 0 b²-4ac = (-4)²-4×1×c = 16-4c = 0 16 = 4c c = 4 【练习3】已知二次函数 y=x²-2mx+m²-1 的图象与x轴交于A、B两点。 （1）求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若A、B两点间的距离为2，求m的值。 （1）证明：Δ = (-2m)²-4×1×(m²-1) = 4m²-4m²+4 = 4 > 0 ∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点。 （2）解：令y=0： x²-2mx+m²-1=0 (x-m)²=1 x-m=±1 x₁=m+1，x₂=m-1 AB = |x₁-x₂| = |(m+1)-(m-1)| = 2 ∴无论m取何值，AB=2。 【练习4】利用二次函数图象求方程 x²-2x-2=0 的近似根（精确到0.1）。 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象，它与x轴的交点的横坐标大约是 -0.7 和 2.7。 ∴方程 x²-2x-2=0 的近似根为 x₁≈-0.7，x₂≈2.7。 独立完成。 注意判别式运用。 注意求交点坐标。 巩固二次函数与方程关系。 培养数形结合能力。 强化判别式运用。 四、课堂小结 （约3分钟） 引导回顾： 1.二次函数 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标就是方程 ax²+bx+c=0 的根 2.判别式 Δ=b²-4ac 与交点个数的关系： Δ>0：两个交点 Δ=0：一个交点 Δ<0：没有交点 3.数形结合思想 学生归纳。 总结关系。 梳理知识。 强调数形结合。 五、布置作业 （约2分钟） 教科书习题26.3 第1、2题。 记录作业。 巩固基础。 六、板书设计 26.3 二次函数与一元二次方程 一、关系： 抛物线与x轴交点的横坐标 = 一元二次方程的根 二、判别式 Δ=b²-4ac： Δ>0：两个交点 Δ=0：一个交点 Δ<0：没有交点 七、教学反思 本节课学习二次函数与一元二次方程的关系。教学中需特别注意：①数形结合是关键；②判别式与交点个数的关系要理解；③交点坐标就是方程的根。部分学生对二者联系理解不深，后续应加强图象分析训练。 学科网（北京）股份有限公司 $