26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式图象特征唤醒旧知，搭建从顶点式到一般式的转化支架，衔接配方、对称轴及顶点坐标等核心知识。 该资料以“特殊到一般”探究为主线，通过具体函数配方、平移与描点作图培养几何直观，推导通用公式发展运算能力与推理意识，喷泉水流作业强化模型意识。分层练习与限时训练助力学生巩固，为教师提供清晰教学路径与实用资源。

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质   一、教材分析 本节课内容是二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，安排在y=ax2、y=a(a-h)2+k之后，属于二次函数知识体系的核心枢纽. 在整个初中函数板块中，它承接顶点式，打通一般式与顶点式的转化，为后续二次函数实际应用、与一元二次方程综合问题奠定基础，具备承上启下的关键地位. 教材教学逻辑循序渐进：首先以具体函数yx2-6x+21为例，通过配方将一般式转化为顶点式，借助图象平移理解图象来源；接着归纳通用配方方法，推导出一般式对称轴、顶点坐标公式；随后分类讨论a>0、a<0时函数增减性与最值；最后配套练习巩固配方、图象性质、最值求解. 由特殊实例到通用结论，由图象直观感知过渡到代数公式推导，遵循“数形结合”核心思想，落实从具象到抽象的认知路径.   二、学情分析 已有基础：学生已经掌握y=ax2、顶点式y=a(a-h)2+k的图象、开口、对称轴、增减性，理解抛物线平移规律，会配方法解一元二次方程，初步具备数形结合意识. 存在困难：第一，对一般式配方变形容易出现符号、系数运算错误；第二，难以自主建立一般式与顶点式之间的联系，不理解配方的本质是寻找顶点；第三，无法灵活结合对称轴分析指定区间内函数最值；第四，容易割裂代数运算与函数图象，不能主动用数形结合思想分析问题. 认知特点：初中学生以具象思维为主，抽象逻辑思维仍在发展，单纯记忆顶点、对称轴公式容易遗忘，需要借助图象直观支撑.他们擅长从具体例子总结规律，但自主归纳通用结论的能力较弱，需要教师层层设问引导，同时学生具备小组探究、动手画图能力，适合通过作图、计算开展探究活动.   三、教学目标 1.掌握二次函数一般式配方方法，熟记y=ax2+bx+c对称轴、顶点坐标，能判断开口方向、增减性，求解函数最值. 2.理解配方的几何意义，灵活运用数形结合思想，结合对称轴分析自变量限定取值范围时的函数最值. 3.经历“配方转化--图象探究--归纳公式”的过程，发展代数变形能力，深化数形结合、转化的数学思想. 4.感受代数式变形与函数图象的内在联系，体会数学知识相互转化的美感；主动探究规律，养成严谨推理、画图验证的学习习惯.   四、教学重难点 重点：掌握二次函数一般式配方方法，熟记y=ax2+bx+c对称轴、顶点坐标，能判断开口方向、增减性，求解函数最值. 难点：理解配方的几何意义，灵活运用数形结合思想，结合对称轴分析自变量限定取值范围时的函数最值.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：说一说二次函数ya(xh)2 +k(a≠0)的图象的特征和性质. 答： 师生活动：教师抛出复习问题，学生独立回顾后举手作答，师生共同完善表格内容. 教师引导学生梳理顶点式二次函数的核心性质，夯实旧知. 设计意图：唤醒学生已有知识储备，巩固顶点式图象性质，为本课一般式通过配方转化为顶点式的新知学习搭建桥梁，实现知识衔接，渗透转化思想. · 探究新知 活动一：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 问题2：如何将yx2-6x+21写成y=a(x-h)2+k的形式？ 师生活动：教师依次抛出问题，带领学生共同完成配方变形；组织学生交流图象平移方案，鼓励学生口述两种平移顺序；引导学生依据顶点与对称性列表，梳理描点画图步骤并总结图象性质. 分析：利用配方法将yx2-6x+21写成y=a(x-h)2+k的形式. yx2-6x+21 (x2-12x)+21 （提取二次项系数） (x2-12x+36-36)+21 （对含x的项进行配方） [(x-6)2-36]+21 (x-6)2+3 （明确h、k写出结果） 问题3：如何画出yx2-6x+21的图象？ 答：yx2-6x+21(x-6)2+3 yx2 → 先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 → yx2-6x+21 追问：还有其他平移方法吗？ 答： yx2 → 先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度 → yx2-6x+21 问题4：如何用描点法画出yx2-6x+21的图象？ 思路：由配方的结果可知，抛物线yx2-6x+21的顶点是(6，3)，对称轴是直线x=6.先利用图象的对称性列表，然后描点画图即可. 解：①列表： ②描点画图，就得yx2-6x+21的图象. 问题5：抛物线yx2-6x+21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？ 答：抛物线yx2-6x+21开口向上； 对称轴：直线 x=6； 顶点坐标： (6，3)； 最值：当 x=6时，y取最小值 3. 增减性： 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 设计意图：借助具体实例掌握配方法，打通一般式与顶点式的联系.利用平移、描点两种作图方式，直观感受抛物线的特征与性质，渗透转化与数形结合思想，为推导一般式通用性质铺垫. 问题6：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 师生活动：教师出示例题，学生独立尝试配方，指名上台书写过程；师生共同列表、分析增减性与最值. 随后引导学生对比两道例题，合作归纳二次函数图象的两种画法. 答：先配方，将二次函数y=-2x2-4x+1的关系式转化为y=a(x-h)2+k 的形式. y=-2x2-4x+1 （配方） y=-2(x+1)2+3． 由配方的结果可知，抛物线 y=-2x2-4x+1 的顶点是(-1，3)，对称轴是直线x=-1． 利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到 y=-2x2-4x+1的图象. 当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大 当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小 当 x=-1 时，y 取得最大值3 总结：二次函数y=ax2+bx+c图象的作法 ①平移法：步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y=ax2的图象； 步骤3：平移y=ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). ②描点法：步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标、对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接. 设计意图：通过负系数例题巩固配方技能，完善学生认知. 对比归纳作图方法，形成解题范式，深化数形结合思想，为推导一般式通用性质做好铺垫. 活动二：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 问题7：如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k ？ 师生活动：教师引导学生共同完成一般式的通用配方推导，组织学生结合图像分组讨论增减性与最值；师生归纳对称轴、顶点坐标的三种求解方法，学生记录整理，梳理不同方法适用场景. 答：y=ax2+bx+c =a(x2+x)+c =a[x2+x+()2]-a()2+c =a(x+)2+ 因此，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=， 顶点是(，) 问题8：结合二次函数y=ax2+bx+c的图象，你能说明它的增减性和最值吗？ 答：如果a>0， 当x< 时，y随x的增大而减小， 当x>时，y随x的增大而增大； 如果a<0， 当x< 时，y随x的增大而增大， 当x>时，y随x的增大而减小. 因此，当a>0(或a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值(或最大值). 总结：求抛物线y=ax2+bx+c对称轴与顶点坐标的三种常用方法： (1)公式法：对称轴为直线x=，顶点坐标为(，) (2)配方法：运用配方法将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k). (3)先求出对称轴，也就得到了顶点的横坐标，再将其代入函数解析式，从而求出顶点的纵坐标，即可得出顶点坐标. 设计意图：由特殊例题上升到一般结论，完成从具体到抽象的推理. 构建完整知识体系，打通两种解析式的内在联系，培养代数推理能力，落实数形结合与转化思想. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道典型例题，学生独立思考演算，邀请学生上台板书解题过程；师生共同订正，交流解题思路，梳理配方、图象平移、区间最值的解题要点，总结易错注意事项. 例1 已知抛物线 y=2x2-12x+13. (1)当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3)将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y=2x2-12x+13=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3. (1)当 x=3 时，y 有最小值，最小值为 −5. (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而减小. (3)抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 ∴平移后的解析式为：y=2(x-3-2)2-5+2， 即 y=2(x−5)2−3． 例2 已知抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)经过点A(-1，0)，与y轴交于点B. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)若抛物线上有一动点P(x，y)，当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m-n的值. 解：(1) 把A(-1，0)代入y=ax2-2ax-3，得a+2a-3=0， 解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. ∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4) (2) ∵点P(x，y)到y轴的距离不大于2，∴-2≤x≤2， ∵x=-2时，y=x2-2x-3=5；x=2时，y=x2-2x-3=-3； x=1时，y有最小值-4， ∴当-2≤x≤2时，-4≤y≤5，即n=-4，m=5， ∴m-n=5-(-4)=9 设计意图：巩固本节课配方、对称轴、增减性、图象平移等核心知识. 通过区间最值例题，训练数形结合分析能力，实现新知内化，提升学生综合解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： (1) y=-3x2+12x-3； (2) y=4x2-24x+26； (3) y=2x2+8x-6； (4) y=x2-2x-1. 解：(1)y开口向下， 对称轴是直线x=2，顶点是(2，9)； 当x<2时，y随x的增大而增大； 当x>2时，y随x的增大而减小. 函数图象如图所示. (2) 开口向上， 对称轴是直线x=3，顶点是(3，-10)； 当x<3时，y随x的增大而减小； 当x>3时，y随x的增大而增大. 函数图象如图所示. (3) 开口向上， 对称轴是直线x=-2，顶点是(-2，-14)； 当x<-2时，y随x的增大而减小； 当x>-2时，y随x的增大而增大. 函数图象如图所示. (4)开口向上， 对称轴是直线x=2，顶点是(2，-3)； 当x<2时，y随x的增大而减小； 当x>2时，y随x的增大而增大. 函数图象如图所示. 2.求下列函数的最大值或最小值： (1) y=3x2+2x； (2) y=-2x2+8x-8. 解：(1) y=3x2+2x=3(x2+x)=3(x+)2- ∵a=3>0， ∴抛物线开口向上，函数有最小值. ∴当x=时，y的最小值为 . (2) y=-2x2+8x-8=-2(x2-4x+4-4)-8=-2(x-2)2 ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值. ∴当x=2时，y的最大值为0 . 师生活动：学生独立完成教材练习，教师巡视指导. 选取学生成果展示，师生共同订正，交流配方、判断增减性、求解最值的思路，针对易错点展开辨析，规范书写步骤. 设计意图：依托教材习题夯实基础，分层巩固开口、对称轴、增减性与最值等核心知识. 训练学生配方运算与数形结合分析能力，及时诊断学习漏洞，落实当堂巩固. 【限时训练】 1.对于抛物线，下列结论正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C  2.将抛物线平移后，得到新抛物线对应的函数解析式为，则平 移的方式为(    ) A. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D. 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】D  3.二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D  【解析】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在轴的右侧， ，， ， 在第四象限． 故选：． 4.已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是(    ) A. B.   C. D. 【答案】A  【解析】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，， <0，该函数图象开口向下，有最大值， 即 故选：． 5.已知二次函数． 写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 该函数图象上有一点，当点到轴的距离不大于时，求的最大值； 函数图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝4，顶点坐标为（4，2）  (2)∵点P（xm，ym）在函数图象上， ∴． ∵二次函数对称轴为，且由题意，易得-3≤xm≤3． ∴当xm＝3时，ym的最大值  (3)在中，当 x＝0时，y＝－6．∴C（0，－6）． 当y＝0时，，解得 x1＝2，x2＝6． ∴A（2，0），B（6，0）． ∴    师生活动：学生独立完成课堂巩固习题，教师巡视掌握答题情况. 随机抽取学生作答，师生共同评析答案，着重梳理图象平移、对称轴范围、区间最值等难题思路，辨析典型易错点. 设计意图：综合性习题覆盖本节课核心考点，分层检验学生知识掌握程度. 强化数形结合思想，训练学生灵活运用配方、图象性质解题，查漏补缺，提升综合分析能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=a(x-h)2+k有什么关系？ 3.二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴和顶点坐标分别是什么？ 4.二次函数y=ax2+bx+c的最值是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：喷泉水流的二次函数探究问题 任务：公园喷泉喷出水流轨迹近似二次函数y=-0.5x2+2x(x为水平距离，y为水流高度，单位米)，请完成： 1.水流最高点的高度是多少？水流最远落到距离喷水口多远的地方？ 2.园区改造喷泉，保持喷射水平范围不变，让水流最大高度提升 1 米，写出改造后对应的二次函数解析式. 探究：1.求解二次函数最值问题时，优先选用哪种形式的二次函数解析式？借助该解析式可以直接直观获取哪些关键信息？ 2.运用二次函数模型解决生活实际问题，完整的解题流程分为哪几步？解题过程中需要着重留意哪些细节要点？ 3.结合前几课时所学内容，谈谈你对利用数学建模思想解决现实生活问题的理解与学习感悟，说说数学建模的实用价值  六、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $