4.1 数列的概念同步练（能力提升）—-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 1.在数列中，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知数列的通项公式，是数列的最小项，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.在数列中，若，则( ) A. B. C. D. 4.已知数列的项满足，而，则( ) A. B. C. D. 5.已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.在数列中，，则的值为( ) A. B.7 C. D.8 7.数列的前n项和满足，则的最大值为( ) A.21 B.20 C. D.18 8.数列满足，且对任意的都有，则( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是( ) A.数列为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B.数列为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C.数列为递增数列，且存在常数，使得恒成立 D.数列为递减数列，且存在常数，使得恒成立 10.（多选）设为数列的前n项和，且，则下列说法正确的有( ) A. B. C.的解集为 D. 11.（多选）如图，已知直线与曲线，设为曲线C上横坐标为1的点.过作x轴的平行线交l于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交l于，过作x轴的垂线交曲线C于，…，设点，，…，的纵坐标分别为，，…，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 12.若数列满足，，则___________. 13.在数列中，，，则数列的通项公式为___________. 14.已知数列的前n项和为，，且若，则__________. 15.已知数列、，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列.设，用表示不超过x的最大整数，例如，，函数被称为高斯函数. （1）若，求的值； （2）若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）. 答案以及解析 1.答案：D 解析：在数列中，且，则，，，，，所以对任意的，，所以.故选D. 2.答案：D 解析：由题意，，，即，，当时，不等式成立；当时，，解得；当时，，解得.综上，. 3.答案：B 解析：因为，所以，，，，…，可得该数列的周期为4，故. 4.答案：B 解析：因为，所以，则，，，，…，，累乘可得，所以.又，所以.经检验，时，也成立，所以. 5.答案：A 解析：已知恒成立，即恒成立，n为奇数时，，，的最小值是，所以，；n为偶数时，，，的最小值是，所以，，所以. 6.答案：A 解析：因为在数列中，，所以，则当时，在数列中；当时，数列单调递增，则， 所以 .故选A. 7.答案：A 解析：因为，当时，，当时，，，两式作差得，，当时，满足，所以，所以.因为，当时，，当时，，所以的最大值是21.故选A. 8.答案：A 解析：在中，令，可得，即，则当时，，，…，，，将以上式子累加可得，则，当时，也符合上式，则，，则.故选A. 9.答案：BD 解析：因为，所以，则，所以为递减数列.，当且时，，当时，，所以，当时，恒成立，当时，恒成立，则B，D正确，故选BD. 10.答案：AC 解析：由，当时，，当时，，当时，不满足上式， 所以则，A正确，B不正确； 由，即，解得，又，所以其解集为，C正确； 因为，，所以，D不正确.故选AC. 11.答案：ACD 解析：对于A，点在曲线上，，点，点，因此，A正确；对于B，由选项A知，，，，，以此类推，，…，，B错误；对于C，设直线l与曲线的交点纵坐标为，观察图象知，，因此，C正确；对于D，由图知，，因此，D正确. 12.答案： 解析：由，，得，解得.，则，因此是周期为4的数列，所以. 13.答案： 解析：解法一：由得，所以.又，所以，即.故数列的通项公式为. 解法二：因为数列的特征方程的根为0和，所以数列是等比数列.由得，又，，所以公比，所以，故数列的通项公式为. 14.答案：25 解析：当时，，，，，，，，，…，则数列从第6项开始，是周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7.因为，所以，由，，得，所以，所以. 15.答案：（1）4 （2）（t为常数，且），理由见解析 解析：（1）由数列的定义可知，在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16，可得， 因为，所以的值为4. （2）当，时，数列为1，2，3，4，6，7，8，9，11，12，13，14，…， 当（，）时，， 由，得（t为常数，且）， 其中（t为常数，且）， 因此（t为常数，且）， 所以数列的通项公式为（t为常数，且）. 学科网（北京）股份有限公司 $