专题08画轴对称的图形同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题08画轴对称的图形同步培优讲义 ✺知识框架 1.轴对称变换：定义、性质，理解变换前后图形的关系 2.画轴对称图形：找关键点、作对称点、顺次连接的作图步骤 3.画对称轴：利用一组对应点，作对应点连线的垂直平分线 4.坐标系中的对称：坐标与图形变化 —— 轴对称，点的坐标对称规律 5.作图规范：作图痕迹要求，常见作图误区 ✅本节以轴对称变换性质为基础，包含画轴对称图形、画对称轴两类作图，同时学习坐标系中点的坐标对称规律。作图核心：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线；作图遵循定点、作对称点、依次连线的步骤，注意作图规范。 ✺学习目标 1.了解轴对称变换，掌握其性质，知道轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 2.掌握画平面图形关于某直线的轴对称图形的方法，规范作图，保留作图痕迹。 3.会利用对应点连线的垂直平分线，画出轴对称图形或两个成轴对称图形的对称轴。 4.掌握坐标系中点的对称规律，能利用坐标在平面直角坐标系中作轴对称图形。 5.会运用轴对称作图知识解决简单几何问题。 ✺题型归纳 题型1.画轴对称图形 题型2.车牌号码的镜面对称 题型3.钟表的镜面对称 题型4.电子钟示数的镜面对称 题型5.坐标系中的对称 题型6.坐标与图形变化——轴对称 题型7.线段问题(轴对称综合题) 题型8.面积问题(轴对称综合题) 题型9.角度问题(轴对称综合题) 题型10.其他问题(轴对称综合题) 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、轴对称变换的定义与性质 1.定义：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，这个变换叫做轴对称变换。 2.性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。这是画轴对称图形的依据。 💡注意：轴对称变换问题的两个核心要点：（1）对应相等：轴对称变换前后的两个图形全等，因而可以得到所有的对应元素相等；（2）垂直平分：对称轴垂直平分对应点所连线段。 知识点二 、画平面图形的轴对称图形 ▲适用：线段、三角形、多边形等平面图形。 具体步骤如下： 1.找关键点：确定原图顶点、端点等关键点； 2.作对称点：过关键点作对称轴的垂线，在对称轴另一侧截取等长线段，垂足为该点与对称点连线的中点，得到对称点。 3.顺次连线：按原图中点的顺序连接各对称点，得到轴对称图形。 作图要求：保留垂线、截取等作图痕迹。 知识点三、画图形的对称轴 ▲适用：轴对称图形、两个成轴对称的图形。 具体步骤如下： 1.找：找出任意一组对应点； 2.连：连接这组对应点； 3.作：作这条线段的垂直平分线，即为图形的对称轴。 补充：有多条对称轴的图形，可选取多组对应点验证。 知识点四 坐标系中的对称（坐标与图形变化 —— 轴对称） 1.点关于坐标轴的对称规律 点(x,y)关于x轴对称：（x,-y)，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点(x,y)关于y轴对称：(-x,y)，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 2.坐标系内画轴对称图形步骤： （1）求原图形各顶点的对称点坐标； （2）在坐标系描出对称点； （3）按原图顺序连接各点，得到轴对称图形。 【易错提醒】 1.轴对称变换只改变位置，不改变图形形状、大小，前后图形全等。 2.对称轴是直线，画图两端延伸，不能画成线段或射线。 3.画轴对称图形要先找关键点，不可直接临摹原图。 4.连接对称点，必须与原图点的连接顺序一致。 5.几何作图必须保留作图痕迹，无痕迹作图不得分。 6.坐标对称规律勿混淆：关于x轴对称变纵坐标；关于y轴对称变横坐标。 ✺题型精讲 题型1.画轴对称图形 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 2．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 3．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 题型2.车牌号码的镜面对称 1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 2．从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 题型3.钟表的镜面对称 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 2．平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 3．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 题型4.电子钟示数的镜面对称 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 2．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 3．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 题型5.坐标系中的对称 1．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 3．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 题型6.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．若点关于轴的对称点是，则______________． 3．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 题型7.线段问题(轴对称综合题) 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为______． 3．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 题型8.面积问题(轴对称综合题) 1．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 2．如图所示，在边长为1的正方形网格中，点，均位于格点上，请完成以下问题： (1)在图中作出线段关于直线的对称线段（点的对称点为点，点的对称点为点）； (2)在（1）的条件下，分别连接，，求四边形的面积． 3．如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 题型9.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 题型10.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 3．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． ✺课堂小练 一、单选题 1．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 2．（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．一张纸上写着一个号码，这个号码在镜子里的数字是801，则实际纸上的号码是_______． 5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 6．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标； (2)在轴上确定一个点．使得的周长最小． 8．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 9．定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08画轴对称的图形同步培优讲义 ✺知识框架 1.轴对称变换：定义、性质，理解变换前后图形的关系 2.画轴对称图形：找关键点、作对称点、顺次连接的作图步骤 3.画对称轴：利用一组对应点，作对应点连线的垂直平分线 4.坐标系中的对称：坐标与图形变化 —— 轴对称，点的坐标对称规律 5.作图规范：作图痕迹要求，常见作图误区 ✅本节以轴对称变换性质为基础，包含画轴对称图形、画对称轴两类作图，同时学习坐标系中点的坐标对称规律。作图核心：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线；作图遵循定点、作对称点、依次连线的步骤，注意作图规范。 ✺学习目标 1.了解轴对称变换，掌握其性质，知道轴对称变换只改变图形位置，不改变图形形状、大小。 2.掌握画平面图形关于某直线的轴对称图形的方法，规范作图，保留作图痕迹。 3.会利用对应点连线的垂直平分线，画出轴对称图形或两个成轴对称图形的对称轴。 4.掌握坐标系中点的对称规律，能利用坐标在平面直角坐标系中作轴对称图形。 5.会运用轴对称作图知识解决简单几何问题。 ✺题型归纳 题型1.画轴对称图形 题型2.车牌号码的镜面对称 题型3.钟表的镜面对称 题型4.电子钟示数的镜面对称 题型5.坐标系中的对称 题型6.坐标与图形变化——轴对称 题型7.线段问题(轴对称综合题) 题型8.面积问题(轴对称综合题) 题型9.角度问题(轴对称综合题) 题型10.其他问题(轴对称综合题) 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、轴对称变换的定义与性质 1.定义：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，这个变换叫做轴对称变换。 2.性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。这是画轴对称图形的依据。 💡注意：轴对称变换问题的两个核心要点：（1）对应相等：轴对称变换前后的两个图形全等，因而可以得到所有的对应元素相等；（2）垂直平分：对称轴垂直平分对应点所连线段。 知识点二 、画平面图形的轴对称图形 ▲适用：线段、三角形、多边形等平面图形。 具体步骤如下： 1.找关键点：确定原图顶点、端点等关键点； 2.作对称点：过关键点作对称轴的垂线，在对称轴另一侧截取等长线段，垂足为该点与对称点连线的中点，得到对称点。 3.顺次连线：按原图中点的顺序连接各对称点，得到轴对称图形。 作图要求：保留垂线、截取等作图痕迹。 知识点三、画图形的对称轴 ▲适用：轴对称图形、两个成轴对称的图形。 具体步骤如下： 1.找：找出任意一组对应点； 2.连：连接这组对应点； 3.作：作这条线段的垂直平分线，即为图形的对称轴。 补充：有多条对称轴的图形，可选取多组对应点验证。 知识点四 坐标系中的对称（坐标与图形变化 —— 轴对称） 1.点关于坐标轴的对称规律 点(x,y)关于x轴对称：（x,-y)，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点(x,y)关于y轴对称：(-x,y)，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 2.坐标系内画轴对称图形步骤： （1）求原图形各顶点的对称点坐标； （2）在坐标系描出对称点； （3）按原图顺序连接各点，得到轴对称图形。 【易错提醒】 1.轴对称变换只改变位置，不改变图形形状、大小，前后图形全等。 2.对称轴是直线，画图两端延伸，不能画成线段或射线。 3.画轴对称图形要先找关键点，不可直接临摹原图。 4.连接对称点，必须与原图点的连接顺序一致。 5.几何作图必须保留作图痕迹，无痕迹作图不得分。 6.坐标对称规律勿混淆：关于x轴对称变纵坐标；关于y轴对称变横坐标。 ✺题型精讲 题型1.画轴对称图形 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有3个， 故选：B． 2．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 3．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 题型2.车牌号码的镜面对称 1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 2．从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 题型3.钟表的镜面对称 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 2．平面镜中看到“”，实际电子钟示数为__________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，熟练掌握原理和性质是解题的关键； 平面镜成像左右颠倒，但数字0和1对称，且时间字符串“”自身对称，故实际时间与镜中时间相同． 【详解】平面镜中看到的时间是实际时间的左右镜像．电子钟数字中，数字0和1在镜中保持不变，冒号对称．将镜中时间“”反转顺序并考虑数字对称性，得到实际时间仍为“”． 故答案为：． 3．墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 题型4.电子钟示数的镜面对称 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 2．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 3．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 题型5.坐标系中的对称 1．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 3．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【答案】 如图所示， ． 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到点B、点C的坐标，连接交y轴于点D，连接，，可知点D的坐标为，求出，，即可求出的值． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为点B， ∴点B的坐标为， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴点C的坐标为． 如图所示，连接交y轴于点D，连接，，则点D的坐标为， 由图可知 ，，，， ∴，， ∴． 题型6.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的规律求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称的点的坐标为． 2．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 3．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)；； (3)； 【分析】（1）先准确读出原三角形顶点的坐标，再利用y轴对称的点的坐标特点求出对应点坐标，将，，三点连接起来即可得到． （2）先准确读出A，B，C三点的坐标，再利用y轴对称的点的坐标特点求出对应点坐标． （3）根据关于轴，轴对称的点的特征进行求解即可． 【详解】（1）解：点A，B，C三点的坐标分别为，，； ∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点，，三点的坐标分别为；；． 作图：在坐标系中描出点，，，并顺次连接，即可得到． （2）解：点，，三点的坐标分别为；； （3）解：∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴关于y轴对称的点的坐标为． ∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点的坐标为． 题型7.线段问题(轴对称综合题) 1．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 2．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，作关于的对称点，由平分，，得到点一定在上，过作于，交于，连接，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 作关于的对称点， 平分， 点一定在上， 过作于，交于，连接， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为，长为， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是， 故答案是：． 3．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型8.面积问题(轴对称综合题) 1．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 2．如图所示，在边长为1的正方形网格中，点，均位于格点上，请完成以下问题： (1)在图中作出线段关于直线的对称线段（点的对称点为点，点的对称点为点）； (2)在（1）的条件下，分别连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求， ． (2)四边形面积为18 【分析】根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，且对称点的连线被对称轴垂直平分进行作图，再利用面积公式计算四边形面积． 【详解】（1）略． （2）解：连接，，如图， 的长度为，的长度为， 和之间的距离为， 即高． 3．如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【答案】(1) 如下图四边形即为所求； ； (2) 如下图，点P即为所求． (3)6 【分析】本题考查了轴对称图形的绘制，利用轴对称求最短路径以及不规则四边形的面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定对称点坐标并画出图形； （2）利用轴对称的性质找到使三角形周长最小的点； （3）通过将四边形补成一个大矩形，再减去多余三角形的面积来计算四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 题型9.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 2．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 题型10.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E； ∵∠BAD=140°， ∴∠G+∠H=180°-140°=40°， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴AD=DH，AB=GB， ∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG， ∴FH=FA，EA=EG， ∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB， ∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H， ∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 2．已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/40度 【分析】作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、，此时的值最小，由对称性可知，，，可求，最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形的内角和定理、外角的性质等知识，通过作轴对称确定M、Q的位置，结合三角形外角的性质顺利解题的关键． 3．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3) 如图所示，点P即为所求． AI 【分析】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． （1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 2．（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此判断即可． 【详解】解：关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 故点关于轴的对称点坐标是． 3．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 二、填空题 4．一张纸上写着一个号码，这个号码在镜子里的数字是801，则实际纸上的号码是_______． 【答案】108 【分析】本题考查镜面对称，利用镜面对称的性质即可求解． 镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：∵这个号码在镜子里的数字是801， ∴实际纸上的号码与镜子里的数字成轴对称， ∴实际纸上的号码是108． 故答案为：108． 5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正确的结论个数为_______． 【答案】①②③ 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD=90°，判断出①正确，再求出∠BAE=∠CAD=60°，根据翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形内角和定理可得∠BOE=∠BAE，判断出②正确，根据三角形的角平分线交于一点判断即可判断出③正确． 【详解】解，∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD， ∴∠EAD=3∠BAC－360°＝3×150°－360°=90°，故①正确， ∴∠BAE=∠CAD=（360°－90°－150°）=60°， 由翻折的性质得：∠AEC=∠ABD=∠ABC， 又∵∠EPO=∠BPA， ∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正确， ∵AB平分∠OBC，AC平分∠BCO， ∴OA平分∠BOC，故③正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质和综合运用，熟记各性质并准确识图清图中各角度之间的关系是解题得的关键． 6．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______． 【答案】 【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图所示： ∵动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=2， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD=AB=4，∠DAB=90°， ∵E是AD的中点， ∴DE=AD=×4=2， ∵点E与点E'关于DC对称， ∴DE'=DE=2，PE=PE'， ∴AE'=AD+DE'=4+2=6， 在Rt△AOE'中，， ∴线段PE+PM的最小值为： PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标； (2)在轴上确定一个点．使得的周长最小． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， ，， (2)如图： 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）作点C关于y轴的对称点，连接，交轴于，则，可得，此时的周长最小． 【详解】（1）略 （2）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于，则即为所求. 8．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】(1) (2)，， (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）根据点关于轴对称的坐标特征即可求出、、的坐标． （3）作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是；作关于x轴的对称点，连接，与轴的交点即是． 【详解】（1）略 （2）解：和关于轴对称， 和的每个点坐标只变横坐标， ，，， ，，． （3）解：①为最小，是动点，作点关于x轴的对称点 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， ②为最小，是动点，作点关于x轴的对称点， 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， 9．定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1) ， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， (2) ①如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $