15.2画轴对称的图形同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“画轴对称的图形”核心知识点，先梳理点关于x轴、y轴对称的坐标规律，延伸至关于直线x=m、y=n对称的坐标变换，再到图形的轴对称变换作图，构建从点到图形、从理论到实践的学习支架，衔接轴对称概念与坐标系知识。 该资料以“解题知识+典例+变式”分层设计，结合剪纸、平面镜成像等生活情境，通过点A(2,3)关于x轴对称的坐标求解等实例培养几何直观与空间观念（数学眼光），变式练习中坐标与图形结合的推理提升运算能力与推理意识（数学思维），作图题强化用数学语言表达空间形式的能力。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

第15章 15.2 画轴对称的图形 内 容 导 航 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型2 坐标与图形变化-对称 题型3 作图-轴对称变换 考 点 演 练 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 【答案】A 【解答】解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3）． 故选：A． 【变式1】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝3+2＝5． 故选：A． 【变式2】已知点A，B关于x轴对称，点B，C关于y轴对称，若点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：点A的坐标为（1，2），点B与点A关于x轴对称，得B（1，﹣2）； 点C与点B关于y轴对称，得C（﹣1，﹣2）． 故选：D． 【变式3】如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点A的坐标为（﹣3，1﹣m），虚像对称点的坐标为（n，5），则m+n的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由条件可知n＝﹣（﹣3），1﹣m＝5， ∴m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 题型2 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则m﹣n的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】D 【解答】解：∵E（2m，﹣n）和F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称， ∵，解得：， ∴m﹣n＝﹣4﹣（﹣5）＝1， 故选：D． 【变式1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4） 【答案】C 【解答】解：由所给图形可知， 此图形关于y轴对称， 所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）． 故选：C． 【变式2】如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（1，2），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵点C的坐标为（1，2）， ∴AC＝OB＝2，BC＝OA＝1， ∵点D和点C关于AB成轴对称， ∴∠DAB＝∠CAB， ∵OB∥AC， ∴∠ABE＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠BAE， ∴AE＝BE， ∵AE2＝OE2+OA2， ∴（2﹣OE）2＝OE2+12， ∴OE， ∴E（0，）， 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴． （1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标； （2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）； （2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0）， ∴P1（a，0）， 又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称， 设P2（x，0），可得：3，即x＝6﹣a， ∴P2（6﹣a，0）， 则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6． 题型3 作图-轴对称变换 解｜题｜知｜识 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得△ACE与△ABC全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1）点C的坐标为（4，2）． （2） （3）（﹣3，0）或（3，0）或（3，4）． 【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣4，2）关于y轴对称， ∴点C的坐标为（4，2）． （2）如图，△A′B′C′即为所求． （3）如图，点E1，E2，E3均满足题意， ∴点E的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（3，4）． 【变式1】如图，已知△ABC，A（﹣1，3），B（﹣3，1），C（0，1）． （1）△ABC的面积是　3　 ； （2）作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的△A1B1C1； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得△B1C1P与△A1B1C1全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3； （2）△A1B1C1如图所示： （3）存在点P，P1（4，3）、P2（3，﹣1）和P3（4，﹣1）． 【解答】解：（1）， 故答案为：3； （2）△A1B1C1如图所示： （3）在平面直角坐标系中，存在点P，使得△B1C1P与△A1B1C1全等，如图所示， 当△P1B1C1≌△A1C1B1，此时点P1（4，3）； 当△P2B1C1≌△A1B1C1，此时点P2（3，﹣1）； 当△P3B1C1≌△A1C1B1，此时点P3（4，﹣1）； 则存在点P，使得△PB1C1与△A1B1C1全等，P1（4，3）、P2（3，﹣1）和P3（4，﹣1）． 【变式2】已知平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（4，4），C（3，﹣1）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'； （Ⅱ）直接写出A'，B'，C′三点的坐标 A'（﹣1，3）　 ，B'（﹣4，4）　 ，C'（﹣3，﹣1）　 ； （Ⅲ）直接写出点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都是﹣2）对称的点C1的坐标 　（3，﹣3）　 ． 【答案】（1）见解答． （2）A'（﹣1，3）；B'（﹣4，4）；C'（﹣3，﹣1）． （3）（3，﹣3）． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）由图可得，A'（﹣1，3），B'（﹣4，4），C'（﹣3，﹣1）． 故答案为：A'（﹣1，3）；B'（﹣4，4）；C'（﹣3，﹣1）． （3）点C关于直线n对称的点C1的横坐标为3，纵坐标为2×（﹣2）﹣（﹣1）＝﹣3， ∴点C1的坐标为（3，﹣3）． 故答案为：（3，﹣3）． 【变式3】如图图形中，哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． （1） （2） （3） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）是轴对称图形．对称轴如图所示： （2）不是轴对称图形． （3）不是轴对称图形． 过 关 验 收 1. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1， 故选：B． 2. 已知M点关于x轴的对称点N（3﹣2a，2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 【答案】B 【解答】解：由题意可得： ∴， 解得：， ∴a＝2， ∴N（﹣1，﹣1）， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴M（﹣1，1）； 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOx，点B（a﹣1，a﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣2，1） B．（3，﹣2） C．（2，﹣1） D．（3，﹣1） 【答案】C 【解答】解：如图，过B点作BC⊥x轴于点C， ∵∠A＝90°， ∴∠A＝∠OCB＝90°． ∵OB平分∠AOx， ∴∠AOB＝∠BOC． 又∵OB＝OB， ∴△OAB≌△OCB， ∴OC＝OA， 即：a﹣1＝2， 解得：a＝3， ∴B（2，1）， ∴B（2，1）关于x轴的对称点是（2，﹣1）． 故选C． 4. 点P（m，﹣3）与点Q（2，n）关于x轴对称，则m+n＝　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵点P（m，﹣3）与点Q（2，n）关于x轴对称， ∴m＝2，n＝3， 则m+n＝2+3＝5． 故答案为：5． 5. 已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是　（﹣3，﹣2）　 ． 【答案】（﹣3，﹣2） 【解答】解：因为点P关于y轴对称的点在第四象限，所以点P在第3象限，点P的坐标是（﹣3，﹣2）． 6. 2025年第九届亚洲冬季运动会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为（1，2），（﹣1，3），则C关于x轴对称的点为　（﹣1，﹣3）　 ． 【答案】（﹣1，﹣3）． 【解答】解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴C（﹣1，3）关于x轴对称的点为（﹣1，﹣3）； 故答案为：（﹣1，﹣3）． 7. 若点A（a，4）在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点坐标是（　　） A．（﹣a，4） B．（4﹣a，4） C．（﹣a﹣4，﹣4） D．（﹣a﹣2，﹣4） 【答案】B 【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2， ∴直线为：x＝2， ∵点A（a，4）在第二象限， ∴a到2的距离为：2﹣a， ∴点A关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2＝4﹣a， 故A点对称的点的坐标是：（4﹣a，4）． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 【答案】B 【解答】解：由题意得，点B与点C关于直线m对称，直线m的解析式为x＝1， ∴点B的纵坐标为1，横坐标为2×1﹣4＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，1）． 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是　（﹣4，5）　 ，点P关于y轴对称的点在第　四　 象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是﹣1）对称的点的坐标是　（2，﹣5）　 ． 【答案】（﹣4，5）；四；（2，﹣5）． 【解答】解：∵关于x轴对称的特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣4，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，5）， ∵关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点P关于y轴对称的点在第四象限， ∵直线m上各点的横坐标都是﹣1，∴直线m为：直线x＝﹣1， ∵点P（﹣4，﹣5）在第三象限， ∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：﹣1+（﹣1+4）＝2， 故P点对称的点的坐标是：（2，﹣5）． 故答案为：（﹣4，5）；四；（2，﹣5）． 10. 如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　（0，3）　 ． 【答案】（0，3）． 【解答】解：因为∠ACB＝90°，OB∥AC， 所以∠OBC＝90°， 又因为∠BOA＝90°， 所以四边形BOAC是矩形． 因为点C的坐标为（4，8）， 所以AC＝8，BC＝4， 所以BD＝BC＝4，AD＝AC＝8． 因为点D和点C关于AB成轴对称， 所以∠CAB＝∠DAB， 又因为OB∥AC， 所以∠OBA＝∠CAB， 所以∠OBA＝∠DAB， 所以BE＝AE． 令BE＝AE＝x， 则DE＝8﹣x． 在△BDE中， BD2+DE2＝BE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， 所以BE＝5， 所以OE＝8﹣5＝3， 即点E的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 11. 如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图， （2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）． 12. 如图在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上． （1）已知△A′B′C′和△ABC关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整； （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 　（﹣a，b）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求； （2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）． 故答案为：（﹣a，b）． 13. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）， （1）写出A，B两点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）求出△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意A（﹣1，2），B（﹣3，1）． （2）如图△A1B1C1即为所求． （3） S△ABC＝3×31×21×32×3． 14. 如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l． （1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1（　4　 ，　1　 ），B1（　5　 ，　4　 ），C1（　3　 ，　3　 ）； （3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（　﹣m+2　 ，n ）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）； （3）点P关于直线l的对称点P1的坐标为（2﹣m，n）． 故答案为4，1；5，4；3，3；﹣m+2，n． 15. 如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1． （2）求出△OCC1的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2） △OCC1的面积4×3＝6． 16. 已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2； （3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）点B2的坐标为（﹣4，﹣3）． 17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC． （1）作出△ABC的对称轴AD． （2）分别作出点E，F关于AD的对称点． 【答案】（1）对称轴AD即为所求； （2）点E′，F′即为所求． 【解答】解：（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质，画出△ABC底边上的高即可，如图所示，△ABC的对称轴AD即为所求； （2）点E，F关于AD的对称点如图所示． 18. 如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，4）； （2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知PC∥y轴，且PC＝AC，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答． （2）（﹣2，﹣1）． （3）（﹣2，4）或（﹣2，﹣6）． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）点A（2，2）向下平移3个单位，所得点C'的坐标为（2，﹣1）， 与C'（2，﹣1）关于y轴对称的点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （3）由勾股定理得，AC5， ∴PC＝AC＝5． 当点P在点C的上方时， 可得点P的坐标为（﹣2，4）； 当点P在点C的下方时， 可得点P的坐标为（﹣2，﹣6）． ∴点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣6）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 15.2 画轴对称的图形 内 容 导 航 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 题型2 坐标与图形变化-对称 题型3 作图-轴对称变换 考 点 演 练 题型1 关于x轴、y轴对称的点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 【变式1】已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【变式2】已知点A，B关于x轴对称，点B，C关于y轴对称，若点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【变式3】如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点A的坐标为（﹣3，1﹣m），虚像对称点的坐标为（n，5），则m+n的值为 　 　 ． 题型2 坐标与图形变化-对称 解｜题｜知｜识 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【典例1】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则m﹣n的值为（　　） A．﹣9 B．﹣1 C．0 D．1 【变式1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4） 【变式2】如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（1，2），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴． （1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标； （2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长． 题型3 作图-轴对称变换 解｜题｜知｜识 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得△ACE与△ABC全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【变式1】如图，已知△ABC，A（﹣1，3），B（﹣3，1），C（0，1）． （1）△ABC的面积是　3　 ； （2）作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的△A1B1C1； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得△B1C1P与△A1B1C1全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】已知平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（4，4），C（3，﹣1）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'； （Ⅱ）直接写出A'，B'，C′三点的坐标 　 ， 　 ， 　 ； （Ⅲ）直接写出点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都是﹣2）对称的点C1的坐标 　 　 ． 【变式3】如图图形中，哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． （1） （2） （3） 过 关 验 收 1. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定 2. 已知M点关于x轴的对称点N（3﹣2a，2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOx，点B（a﹣1，a﹣2）关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣2，1） B．（3，﹣2） C．（2，﹣1） D．（3，﹣1） 4. 点P（m，﹣3）与点Q（2，n）关于x轴对称，则m+n＝　 　 ． 5. 已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是　 　 ． 6. 2025年第九届亚洲冬季运动会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为（1，2），（﹣1，3），则C关于x轴对称的点为　 　 ． 7. 若点A（a，4）在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点坐标是（　　） A．（﹣a，4） B．（4﹣a，4） C．（﹣a﹣4，﹣4） D．（﹣a﹣2，﹣4） 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 9. 在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是　 　 ，点P关于y轴对称的点在第　 　 象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是﹣1）对称的点的坐标是　 　 ． 10. 如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　 　 ． 11. 如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 12. 如图在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上． （1）已知△A′B′C′和△ABC关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整； （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 　 　 ． 13. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）， （1）写出A，B两点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）求出△ABC的面积． 14. 如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l． （1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1（　 　 ，　 　 ），B1（　 　 ，　 　 ），C1（　 　 ，　 　 ）； （3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（　 　 ， ）（结果用含m，n的式子表示）． 15. 如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1． （2）求出△OCC1的面积． 16. 已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2； （3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标． 17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC． （1）作出△ABC的对称轴AD． （2）分别作出点E，F关于AD的对称点． 18. 如图，在正方形网格中，按要求操作并求解． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，4）； （2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知PC∥y轴，且PC＝AC，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $