天津市实验中学2026-2027学年高三上学期第5周套练数学试题

2027届高三（上） 第5周套练——数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 “” 是 “” 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图像大致是 ( ). A．B． C．D． 4．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省喀左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 9．记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；②的图象关于直线对称； ③的值域为；④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，若复数满足，则       ． 11．的展开式中，的系数等于________. 12．圆与圆的公共弦长为________． 13．某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为__________；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为__________. 14．在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 15．已知函数当时，不等式的解集是          ；若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值范围是          ． 三、解答题 16．（14分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 18．（15分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，． (1)求椭圆的离心率； (2)椭圆上一点P在第一象限，且满足，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D．若的面积为，求椭圆的标准方程． 19．（15分）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， (1)求数列和的通项公式; (2)，求数列的前项和. 20．（16分）已知（，且）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上单调递增； (3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围. 天津市实验中学 TIANJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL 试卷第4页（共4页） 2027届高三（上） 第5周套练——数学学科 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2027届天津市实验中学高三（上）第五周套练数学学科》参考答案 1．A 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则. 已知，，所以. 故选：A. 2．B 3．A 4．D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 5．B 【难度】0.65 【知识点】求回归直线方程、相关系数的意义及辨析、离散型随机变量的方差与标准差、指定区间的概率 【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断. 【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误. 若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数）， 可得，而不是，所以命题②错误. 根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于， 所以命题③正确. 已知，则正态曲线关于对称. 因为，所以. 那么，所以， 所以命题④错误. 综上，错误的命题有①②④，共个. 故选：B. 6．A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 7．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 8．D 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案. 【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 9．B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B 10．【答案】  【解析】解：由题意，． 故答案为：． 根据复数的除法运算求解． 本题考查复数的运算，属于基础题． 11．240 12． 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程作差，可得其公共弦所在直线的方程，根据点到直线距离公式，可得圆心到公共弦所在直线的距离d，根据圆的半径为，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】已知圆，圆， 圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，所以，所以两圆相交， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离， 又圆的半径为， 所以公共弦长为． 故答案为： 13． /0.25 /0.125 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案. 【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为； 记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”， 则，， 所以所求概率. 故答案为：； 14． 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求直线交点坐标、向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；根据条件建立平面直角坐标系，设，运用向量数量积的坐标运算式，将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值. 【详解】， 解得，因为，所以； 因为，，所以， 因为，所以为正三角形． 如图建立平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 两直线联立得，解得，即， 因为为线段延长线上的动点，故可设，则， 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值． 故答案为：；． 15．【答案】   【解析】【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行讨论分析求解即可． 【详解】解：当  时，  ， 当  时，由  得  ， 当  ，不等式等价为  ，即  此时不等式不成立， 当  时，不等式等价为  ，得  ， 当  时，由  得  ，得  ，得  ，此时无解， 综上不等式  的解集  ， 当  时，  的最小值为  ，在  ，  上的最大值为    ， 当  时，函数  是开口向下的抛物线对称轴为  ，顶点为  ， 当  时，  最多有两个零点， 当  时，  最多有两个零点， 则要使  恰有三个实根， 则当  时，有两个零点，  时有一个零点， 或当  时，有一个零点，  时有两个零点， 若当  时，有两个零点，则  ，得  ，即  ， 此时当  时只能有一个零点， 若对称轴  满足  ，此时当  时，必有一个零点， 则只需要当  时，    ，即  ， 得  ，此时  ， 若对称轴  满足  ，此时  在  上为增函数， 要使  此时只有一个零点，则    即  ，得  ，此时  ， 若当  时，有一个零点，此时    ， 即  时， 此时当  时，函数的对称轴  ， 要使  时有两个零点，则    即  ，得  舍或  ，此时  ， 综上实数  的取值范围是  或  ， 故答案为：  ，  ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的应用，结合绝对值函数和一元二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 16．(1) (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 17．(1)法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 18．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由已知条件可知，为的中点根据，代入距离公式与比例关系可以求得的关系，即可求得离心率. （2）设所在直线方程与椭圆联立，可以求得的坐标，再有直线联立可以求得的坐标，用点到直线的距离与两点间的距离公式既可以求出三角形的面积，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）因为椭圆内一点M满足，所以为的中点，则，，化简得， 因为，所以， 所以椭圆的离心率为. （2）椭圆上一点P在第一象限，且满,    所以直线，设直线方程为， 由直线方程与椭圆方程联立得， ，解得，因为点P在第一象限，，因为关于原点对称， ，因为，， 则直线的方程为，联立得，， 所以，所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为，， 所以的面积，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故椭圆方程为. 【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中直线与椭圆的位置关系，通常设直线方程，并与椭圆方程联立，借助韦达定理与点到直线的距离公式即可解决有关三角形面积的问题. 19．(1)； (2) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果； 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为， 则，解得或（舍去）， 所以；. （2）因为，， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . 20．(1) (2) 当时，， 则， 要证明在上单调递增， 只需证明在上恒成立， 则只需证，即只需证. 设，则只需证 因为，所以在单调递增， 所以时，即时，成立， 所以，所以在上单调递增. (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程； （2）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明. （3）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 所以切线方程为，即. （2）略 （3），即，两边取对数得：，即 设，令，得， 当时，，单调递减. 又因为，所以，在单调递减， 由，则在恒成立，即， 上式等价于，即， 由在单调递减，所以. 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 答案第14页（共15页） 答案第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $