【刷考点】2.2基本不等式大总结（26个考点题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式·考点一遍过 目录 考点01 求和的最小值 考点02 求积的最大值 考点03 隐藏积定值型 考点04 隐藏和定值型 考点05 负数范围拓展型 考点06 商式处理 考点07 裂项换元型 考点08 常数代换型 考点09 分解因式型 考点10 待定系数型 考点11 双换元型 考点12 条件等式求积型 考点13 条件等式求和型 考点14 齐次化型 考点15 三元均值不等式 考点16 一式多次放缩型 考点17 一式多个放缩型 考点18 对勾函数 考点19 恒成立型 考点20 取等不成立型 考点21 均值不等式链 考点22 轮换对称法 考点23 代换消元型 考点24 证明不等关系类 考点25 多选综合 考点26 实际问题 【知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：，均为非负实数； ②等号成立的条件：当且仅当时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是（简记：和定积最大）． 4．基本不等式相关的几个常见形式： （1），当且仅当时取等号． （2）（，），当且仅当时等号成立. （3）（，）（当且仅当时取等号）. （4），当且仅当时取等号． （5），当且仅当时取等号． （6），当且仅当时取等号． （7）（）（当且仅当时取等号）. （8）若，则，（当且仅当时取等号）. 考点01 求和的最小值 1．已知实数满足，则的最小值为______. 2．已知，且，则的最小值为________________. 考点02 求积的最大值 3．设，且，则的最大值为_______. 4．设，均为正数，且，则的最大值为______. 考点03 隐藏积定值型 5．若，则的最小值为________． 6．已知，则的最小值是______. 考点04 隐藏和定值型 7．已知，则的最大值为______． 8．已知，则的最大值为___________. 考点05 负数范围拓展型 9．已知，则的最大值是______． 考点06 商式处理 10．已知，则的最小值是__． 11．已知，则的最大值为__________. 考点07 裂项换元型 12．的最大值为______. 考点08 常数代换型 13．已知正实数，满足，则的最小值为___________. 14．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 考点09 分解因式型 15．已知正数，满足，则的最小值是______. 考点10 待定系数型 16．求 的最大值为______. 考点11 双换元型 17．已知且，则的最小值为_____． 考点12 条件等式求积型 18．若实数x、满足,则的最大值是________. 考点13 条件等式求和型 19．已知实数，满足，则的最大值为_____． 考点14 齐次化型 20．已知为正实数，则的最小值为__________． 考点15 三元均值不等式 21．，则 的最小值为_________． 考点16 一式多次放缩型 22．若，则的最小值为____________． 考点17 一式多个放缩型 23．当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点18 对勾函数 24．若函数，则函数值域为___________ 考点19 恒成立型 25．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 考点20 取等不成立型 26．下列命题为真命题的是（    ） A．函数的最小值为2 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为2． 考点21 均值不等式链 27．在，的情况下，下面四个结论： ①；②; ③；④． 其中正确的是_____________________. 考点22 轮换对称法 28．已知正实数 满足 ，则 的最大值为 考点23 代换消元型 29．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 考点24 证明不等关系类 30．已知，证明：. 考点25 多选综合 31．设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 考点26 实际问题 32．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式·考点一遍过 目录 考点01 求和的最小值 考点02 求积的最大值 考点03 隐藏积定值型 考点04 隐藏和定值型 考点05 负数范围拓展型 考点06 商式处理 考点07 裂项换元型 考点08 常数代换型 考点09 分解因式型 考点10 待定系数型 考点11 双换元型 考点12 条件等式求积型 考点13 条件等式求和型 考点14 齐次化型 考点15 三元均值不等式 考点16 一式多次放缩型 考点17 一式多个放缩型 考点18 对勾函数 考点19 恒成立型 考点20 取等不成立型 考点21 均值不等式链 考点22 轮换对称法 考点23 代换消元型 考点24 证明不等关系类 考点25 多选综合 考点26 实际问题 【知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：，均为非负实数； ②等号成立的条件：当且仅当时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是（简记：和定积最大）． 4．基本不等式相关的几个常见形式： （1），当且仅当时取等号． （2）（，），当且仅当时等号成立. （3）（，）（当且仅当时取等号）. （4），当且仅当时取等号． （5），当且仅当时取等号． （6），当且仅当时取等号． （7）（）（当且仅当时取等号）. （8）若，则，（当且仅当时取等号）. 考点01 求和的最小值 1．已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 2．已知， 且，则的最小值为________________. 【答案】4 【详解】∵， ，∴，当且仅当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：. 考点02 求积的最大值 3．设，且，则的最大值为_______. 【答案】25 【详解】由均值不等式的结论有：，即：，当且仅当时等号成立.据此可知：的最大值为25. 4．设，均为正数，且，则的最大值为______. 【答案】 【详解】因为，均为正数，且，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为.故答案为：. 考点03 隐藏积定值型 5．若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得.，当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为. 6．已知，则的最小值是______. 【答案】 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是． 考点04 隐藏和定值型 7．已知，则的最大值为______． 【答案】4 【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为4.故答案为：4 8．已知，则的最大值为___________. 【答案】/ 【详解】由知，当且仅当，即时取得等号，即的最大值为，故答案为： 考点05 负数范围拓展型 9．已知，则的最大值是______． 【答案】/ 【详解】因为，所以，，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是.故答案为： 考点06 商式处理 10．已知，则的最小值是__． 【答案】 【详解】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值3．故答案为： 11．已知，则的最大值为__________. 【答案】1 【详解】由，则，当且仅当，即时等号成立，，所以时，有最大值1.故答案为：1 考点07 裂项换元型 12．的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，，所以，当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：. 考点08 常数代换型 13．已知正实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由条件可知，，当时等号成立，即，解得：，所以的最小值为.故答案为： 14．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ .∴ .∵ ，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立.将代入，解得，符合为正实数的约束条件.∴ 的最小值为. 考点09 分解因式型 15．已知正数，满足，则的最小值是______. 【答案】1 【详解】由，得，于是，当且仅当，时取等号，故最小值为1.故答案为：1 考点10 待定系数型 16．求 的最大值为______. 【答案】 【解析】因为，（当且仅当时取等号），所以(*)，要想此式为定值则分子分母对应系数成比例，即，解得，代入(*)式得：，（当且仅当时取等号）.故的最大值为. 考点11 双换元型 17．已知且，则的最小值为_____． 【答案】9 【详解】由，得，令，则， 故，当且仅当即时等号成立，也即，即时，等号成立，故的最小值为9．故答案为：9. 考点12 条件等式求积型 18．若实数x、满足,则的最大值是________. 【答案】 【详解】由 得到 ，故 的最大值为 ，当且仅当时取等. 考点13 条件等式求和型 19．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【详解】由，而，则，设，则，即，对任意实数，有，即，可得，即，当时，满足原等式，且成立，因此的最大值为. 考点14 齐次化型 20．已知为正实数，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】为正实数，则，令，则，由于，，则，当且仅当时，即：时取等号，所以，则的最小值为.故答案为：. 考点15 三元均值不等式 21．，则 的最小值为_________． 答案： 【详解】因为，由三元均值不等式，，当 ，即 时取等号． 考点16 一式多次放缩型 22．若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 考点17 一式多个放缩型 23．当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的最小值是. 考点18 对勾函数 24．若函数，则函数值域为___________ 【答案】 【详解】由对勾函数性质知，函数在上递减，在上递增，所以，又，所以值域为．故答案为：． 考点19 恒成立型 25．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为，，且，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为： 考点20 取等不成立型 26．下列命题为真命题的是（    ） A．函数的最小值为2 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为2． 【答案】BC 【详解】对于A，易知时，，故A错误； 对于B，正实数，满足，则，当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，易知，当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D，易知，当且仅当，即时取得等号，显然没有取等情况，故D错误. 故选：BC 考点21 均值不等式链 27．在，的情况下，下面四个结论： ①；②; ③；④． 其中正确的是_____________________. 【答案】①②③④. 【详解】试题分析：①中；②正确；③中；④中 考点22 轮换对称法 28．已知正实数 满足 ，则 的最大值为 【答案】24 【详解】化简目标式：.式子为轮换对称结构， 最大值在 时取得.令，得 .则得原式最大值为 . 考点23 代换消元型 29．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，已知，则，，由基本不等式得：，当且仅当“”，即“，”时取“”. 考点24 证明不等关系类 30．已知，证明：. 【解析】，，当且仅当，即，时，等号成立，. 考点25 多选综合 31．设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】正实数、满足，，当且仅当且，即时取等号，∴的最小值为3，故A正确；，当且仅当时，等号成立，故最大值为1，则B正确；因为，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为2，故C正确；因为，由B项知，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，故D错误. 故选：ABC. 考点26 实际问题 32．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为，每件利润为元，每月的销售量为件，，.令，则， ，当且仅当，即时取等号，该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故答案为：8000. 学科网（北京）股份有限公司 $