2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册10月月考模拟一

2026-2027学年人教A版选择性必修一10月月考高二数学模拟一 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 4．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得，此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为，所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意， 因为点M在平面ABC内，所以，解得，故（3）错误.故选：C 5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 6．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 7．如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以，则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则，所以， 故，所以，因此异面直线与所成角的正切值为. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AC 【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解， 对于C，分别求出直线在轴，轴的截距，即可求解， 对于D，分直线在轴和轴上截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A正确， 对于B，直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误， 对于C，直线，令，，令，， 故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确， 对于D，当直线在轴和轴上截距为0时，所求直线方程为， 当直线在轴和轴上截距不为0时，所求直线方程为， 综上所述，所求直线的方程为或，故D错误． 故选：AC． 10．金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 【答案】ACD 【分析】根据正四面体外接球的特征可判断A,B，求出二面角的平面角可判断C，利用数量积的运算公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为四面体外接球的球心，A正确； 对于B，设底面正三角形的外接圆半径为，则，即， 正四面体的高为，设外接球的半径为，则， 解得，所以正四面体外接球的表面积为，B不正确； 对于C，取的中点 M，连接， 因为和都是正三角形，所以，就是二面角的平面角， 因为，所以，C正确； 对于D，在中，，，由余弦定理可得， 所以，D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法计算判断；对于B，由线面平行的判定定理及面面平行的性质定理求得动点的轨迹计算判断；对于C，由点到直线距离空间向量法及点到平面距离空间向量法结合图形计算判断；对于D，由点到平面距离空间向量法计算距离，进而计算截面圆的半径后可得截面圆面积. 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，设，且， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 若平面，则， 由，解得，不合题意， 不存在动点，使平面，故A错误； 对于B，如图，取的中点，的中点，连接， 则，由正方体性质可知，故， 平面，平面， 平面， ， ， 因为，且平面， 平面， 且平面， 平面平面， 若平面，则平面， 动点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，， ， 空间向量法计算点到直线的距离为， 则的面积为， 显然，当与重合时，三棱锥的体积最大，则， 点到平面的距离为， 三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，正方体外接球的球心为，半径， 则，则点到平面的距离为， 故球被平面所截截面圆半径， 截面圆的面积为，故D正确. 三、填空题 12．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 13．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________． 【答案】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以； 当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 若该四边形有外接圆，则，所以， 此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，． 综上得，． 故答案为： 14．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 16．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 17．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 18．如图，在矩形中，，分别为，的中点，，将沿折痕翻折到的位置，连接，． (1)若是线段的中点，连接，求证：平面； (2)若平面底面，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面与底面的夹角的正切值为，求三棱锥的外接球的体积． 解：(1)如图，取的中点为，因为为的中点，所以是的中位线， 故且，于是四边形是平行四边形，即有， 又因为，，所以. (2) (3) 【分析】（1）先取中点，利用三角形中位线定理证得平行且等于，得到四边形是平行四边形，从而推出，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）利用翻折前后边长不变与面面垂直性质证底面，先解出线段长度与相关三角形面积，再通过等体积法求出点到平面的距离，最后由线面角定义算出结果; （3）先利用线面角正切值与相似三角形列方程求出点底面投影位置，确定底面，再由直角三角形外心定位外接球球心所在垂线，设球心高度利用外接球半径相等列方程求解半径，最后代入球体积公式算出结果. 【详解】（1）略 （2）由翻折可知，取的中点为，于是 因为，，，所以，即... 有，，，于是， 有 易得，于是，且 故是直角三角形， 设点在平面上的投影为，根据等体积法，有， 即，解得. 于是.. （3）设在平面上的投影为，到线段上的投影为，连接， 于是，， 设，，即①， 根据，有②，结合①②解得，， 于是与重叠，即， 取的中点为，因为是直角三角形，故其外心为点， 即该三棱锥外接球的球心落在底面过点所在的垂线上. 设，根据，得，且，， 解得，此时半径， 于是该三棱锥外接球的体积 19．定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． (1)求证：四面体为对垂四面体； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． (2) (3)时，取得最大值 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【详解】（1）略 （2）由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教A版选择性必修一10月月考高二数学模拟一 一．单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 4．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为.正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 7．如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）        图1                          图2 A． B． C． D． 二．多选题（本大题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10．金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 13．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________． 14．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 16．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 17．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 18．如图，在矩形中，，分别为，的中点，，将沿折痕翻折到的位置，连接，． (1)若是线段的中点，连接，求证：平面； (2)若平面底面，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面与底面的夹角的正切值为，求三棱锥的外接球的体积． 19．定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． (1)求证：四面体为对垂四面体； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $