2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷（人教A版选择性必修第一册第1-2章）

高二上学期 第一次月考（第一至二章） 第一次月考·提高卷 保密★启用前 第一次月考模拟卷（第一至二章•提高卷） 考试范围：第一章 空间向量与立体几何、第二章 直线和圆的方程 （试卷总分：150分　建议用时：120分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何、第二章 直线和圆的方程） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题前请在密封线内填好班级、姓名和考号。 2．单项选择题只有一个正确选项；多项选择题有两个或三个正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 3．空间向量解答题须先说明坐标系的建立方法，再写出相关点和向量的坐标；直线方程的结果写成一般式。 4．距离、夹角的余弦值和正弦值都写成精确值（最简根式或分数），不要化为小数。 命题说明本卷考查：空间点关于坐标轴的对称点、直线的倾斜角与点斜式方程、空间向量的线性运算（用基底表示向量）、圆的标准方程（以线段为直径）、用向量求点到平面的距离、直线与圆相切求参数、用向量求直线与平面所成的角、圆上的点到直线的距离（点的个数）等 19 个考点（8 选／3 多选／3 填／5 解，共 19 题，满分 150 分；配图 6 幅） 评卷人 得分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M(－4，2，3)，点N与点M关于y轴对称，则点N的坐标为(____)。 A．(4，－2，－3) B．(－4，－2，－3) C．(4，2，－3) D．(－4，－2，3) 2．（本题5分）一条直线的倾斜角为120°，且经过点(2，－1)，则它在y轴上的截距为(____)。 A．2－1 B．1－2 C．－1 D．－1－2 3．（本题5分）在四面体OABC中，记＝，＝，＝，M是棱OA的中点，点N在棱BC上且BN＝2NC，则用，，表示为(____)。 A．－/2＋2/3＋/3 B．－/2＋/2＋/2 C．/2－/3－2/3 D．－/2＋/3＋2/3 4．（本题5分）某公园圆形花坛的一条直径的两端在平面直角坐标系中位于A(－1，3)，B(5，－5)，则花坛边界所在圆的方程为(____)。 A．＋＝100 B．＋＝25 C．＋＝25 D．＋＝25 5．（本题5分）已知平面α经过点A(1，2，0)，＝ (2，－2，1)是α的一个法向量，则点P(3，－1，4)到平面α的距离为(____)。 A．4 B．14 C． D． 6．（本题5分）已知直线4x＋3y＋m＝0（m>0）与圆＋＋2x＋6y＋1＝0相切，则m的值为(____)。 A．28 B．2 C．88 D．58 7．（本题5分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为4，棱锥的高也为4，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为(____)。 A． B． C． D． 8．（本题5分）已知圆C：＋＋4x－2y＋1＝0上恰有三个点到直线l：x＋y－m＝0的距离都等于1，则实数m的所有可能取值为(____)。 A．－1±2 B．－1± C．－1±3 D．－3或1 评卷人 得分 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（本题6分）已知空间向量＝ (3，0，－4)，＝ (2，－2，1)，则下列结论中正确的有(____)。 A．||＝5 B．与的夹角为锐角 C．－＝(1，－2，－5) D．若(+λ)⊥，则λ＝－ 10．（本题6分）在平面直角坐标系中给定直线l：3x－4y－15＝0，就它的截距、距离、平行线和方向向量，下列判断正确的是(____)。 A．l与x轴交于点(－5，0) B．原点到直线l的距离为3 C．与l平行且与l的距离为1的直线有两条，它们是3x－4y－10＝0和3x－4y－20＝0 D．l的方向向量可以取(4，3) 11．（本题6分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB＝4，AD＝AA1＝2，点E，F分别为C1D1，BC的中点，下面结论中正确的是(____)。 A．直线EF∥平面A1BD B．直线B1C∥平面A1BD C．平面A1BD与平面ABCD夹角的余弦值为 D．点C到平面A1BD的距离为 评卷人 得分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（本题5分）一条直线经过点P(3，－2)，它在x轴上的截距恰为在y轴上截距的2倍，则这条直线的方程为________。 13．（本题5分）设＝ (1，－1，－1)，＝ (2，－3，1)，当k＋与2－垂直时，实数k等于________。 14．（本题5分）已知点A(2，－1)，B(－2，1)，动点P满足·＝4，则点P到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为________。 评卷人 得分 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）已知空间三点A(2，1，－1)，B(4，3，0)，C(1，3，1)。 (1)求·及cos∠BAC； (2)求△ABC的边AB上的高； (3)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标及平行四边形ABCD的面积。 16．（本题15分）如图，一束光线从点A(－3，1)射出，射到直线l：x＋2y－4＝0上的点M后被l反射，反射光线经过点B(5，－3)。 (1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)求反射光线所在直线的方程及点M的坐标； (3)求入射光线段AM与反射光线段MB的长度之和。 17．（本题15分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝4，D是棱AB的中点，E是棱CC1的中点。 (1)求顶点B与平面A1DE之间的距离； (2)求直线BC1与平面A1DE所成角的正弦值； (3)设平面A1DE与侧面BCC1B1的夹角为φ，求cosφ。 18．（本题17分）如图，圆C经过点A(5，0)，B(1，4)，且圆心C在直线2x－y－3＝0上。 (1)求圆C的方程； (2)过点P(0，－3)的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程； (3)点Q在圆C上运动，求点Q到直线x＋3y＋13＝0的距离的最大值，并求出此时点Q的坐标。 19．（本题17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝4，点M在棱PC上（不与P，C重合），且＝λ。 (1)求证：BD⊥AM； (2)当λ＝时，求异面直线BM与PD所成角的余弦值； (3)若平面MBD与平面ABCD夹角的余弦值为，求λ的值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第一次月考（第一至二章） 第一次月考·提高卷 保密★启用前 第一次月考模拟卷（第一至二章•提高卷） 考试范围：第一章 空间向量与立体几何、第二章 直线和圆的方程 （试卷总分：150分　建议用时：120分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何、第二章 直线和圆的方程） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题前请在密封线内填好班级、姓名和考号。 2．单项选择题只有一个正确选项；多项选择题有两个或三个正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 3．空间向量解答题须先说明坐标系的建立方法，再写出相关点和向量的坐标；直线方程的结果写成一般式。 4．距离、夹角的余弦值和正弦值都写成精确值（最简根式或分数），不要化为小数。 命题说明本卷考查：空间点关于坐标轴的对称点、直线的倾斜角与点斜式方程、空间向量的线性运算（用基底表示向量）、圆的标准方程（以线段为直径）、用向量求点到平面的距离、直线与圆相切求参数、用向量求直线与平面所成的角、圆上的点到直线的距离（点的个数）等 19 个考点（8 选／3 多选／3 填／5 解，共 19 题，满分 150 分；配图 6 幅） 评卷人 得分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M(－4，2，3)，点N与点M关于y轴对称，则点N的坐标为(____)。 A．(4，－2，－3) B．(－4，－2，－3) C．(4，2，－3) D．(－4，－2，3) 2．（本题5分）一条直线的倾斜角为120°，且经过点(2，－1)，则它在y轴上的截距为(____)。 A．2－1 B．1－2 C．－1 D．－1－2 3．（本题5分）在四面体OABC中，记＝，＝，＝，M是棱OA的中点，点N在棱BC上且BN＝2NC，则用，，表示为(____)。 A．－/2＋2/3＋/3 B．－/2＋/2＋/2 C．/2－/3－2/3 D．－/2＋/3＋2/3 4．（本题5分）某公园圆形花坛的一条直径的两端在平面直角坐标系中位于A(－1，3)，B(5，－5)，则花坛边界所在圆的方程为(____)。 A．＋＝100 B．＋＝25 C．＋＝25 D．＋＝25 5．（本题5分）已知平面α经过点A(1，2，0)，＝ (2，－2，1)是α的一个法向量，则点P(3，－1，4)到平面α的距离为(____)。 A．4 B．14 C． D． 6．（本题5分）已知直线4x＋3y＋m＝0（m>0）与圆＋＋2x＋6y＋1＝0相切，则m的值为(____)。 A．28 B．2 C．88 D．58 7．（本题5分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为4，棱锥的高也为4，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为(____)。 A． B． C． D． 8．（本题5分）已知圆C：＋＋4x－2y＋1＝0上恰有三个点到直线l：x＋y－m＝0的距离都等于1，则实数m的所有可能取值为(____)。 A．－1±2 B．－1± C．－1±3 D．－3或1 评卷人 得分 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（本题6分）已知空间向量＝ (3，0，－4)，＝ (2，－2，1)，则下列结论中正确的有(____)。 A．||＝5 B．与的夹角为锐角 C．－＝(1，－2，－5) D．若(+λ)⊥，则λ＝－ 10．（本题6分）在平面直角坐标系中给定直线l：3x－4y－15＝0，就它的截距、距离、平行线和方向向量，下列判断正确的是(____)。 A．l与x轴交于点(－5，0) B．原点到直线l的距离为3 C．与l平行且与l的距离为1的直线有两条，它们是3x－4y－10＝0和3x－4y－20＝0 D．l的方向向量可以取(4，3) 11．（本题6分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB＝4，AD＝AA1＝2，点E，F分别为C1D1，BC的中点，下面结论中正确的是(____)。 A．直线EF∥平面A1BD B．直线B1C∥平面A1BD C．平面A1BD与平面ABCD夹角的余弦值为 D．点C到平面A1BD的距离为 评卷人 得分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（本题5分）一条直线经过点P(3，－2)，它在x轴上的截距恰为在y轴上截距的2倍，则这条直线的方程为________。 13．（本题5分）设＝ (1，－1，－1)，＝ (2，－3，1)，当k＋与2－垂直时，实数k等于________。 14．（本题5分）已知点A(2，－1)，B(－2，1)，动点P满足·＝4，则点P到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为________。 评卷人 得分 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）已知空间三点A(2，1，－1)，B(4，3，0)，C(1，3，1)。 (1)求·及cos∠BAC； (2)求△ABC的边AB上的高； (3)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标及平行四边形ABCD的面积。 16．（本题15分）如图，一束光线从点A(－3，1)射出，射到直线l：x＋2y－4＝0上的点M后被l反射，反射光线经过点B(5，－3)。 (1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)求反射光线所在直线的方程及点M的坐标； (3)求入射光线段AM与反射光线段MB的长度之和。 17．（本题15分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝4，D是棱AB的中点，E是棱CC1的中点。 (1)求顶点B与平面A1DE之间的距离； (2)求直线BC1与平面A1DE所成角的正弦值； (3)设平面A1DE与侧面BCC1B1的夹角为φ，求cosφ。 18．（本题17分）如图，圆C经过点A(5，0)，B(1，4)，且圆心C在直线2x－y－3＝0上。 (1)求圆C的方程； (2)过点P(0，－3)的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程； (3)点Q在圆C上运动，求点Q到直线x＋3y＋13＝0的距离的最大值，并求出此时点Q的坐标。 19．（本题17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝4，点M在棱PC上（不与P，C重合），且＝λ。 (1)求证：BD⊥AM； (2)当λ＝时，求异面直线BM与PD所成角的余弦值； (3)若平面MBD与平面ABCD夹角的余弦值为，求λ的值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D A C B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD BCD BD 2x＋3y＝0或x＋2y＋1＝0 3 2 　一、单项选择题 1．【答案】C 【解析】关于y轴对称的两个点，y坐标保持不变，x坐标与z坐标都变为原来的相反数。 所以点M(－4，2，3)关于y轴的对称点N为(4，2，－3)。 故选C。 A项：把关于y轴对称错当成关于原点对称，三个坐标都改变了符号，按此错法真算得(4，－2，－3)；B项：把规律记反，保留x坐标而改变y，z坐标的符号（这其实是关于x轴的对称点），按此错法真算得(－4，－2，－3)；D项：把关于y轴对称错当成关于坐标平面xOz对称，只改变了y坐标的符号，按此错法真算得(－4，－2，3)。 2．【答案】A 【解析】倾斜角为120°，所以斜率k＝tan120°＝－。 由点斜式，直线方程为y＋1＝－(x－2)，令x＝0，得y＝2－1，即直线在y轴上的截距为2－1。 所以选A。 B项是点斜式代点时把两个坐标的符号都弄反，写成y－1＝－(x+2)，按此错法真算得1－2；C项是把tan120°记成了－，得直线y＋1＝－()(x－2)，按此错法真算得－1；D项是把tan120°算成（符号弄错），得直线y＋1＝(x－2)，按此错法真算得－1－2。 3．【答案】D 【解析】点N在棱BC上且BN＝2NC，所以＝()，＝＋()(－)＝(1－)＋()＝/3＋2/3。 M是OA的中点，＝()＝/2，所以＝－＝－/2＋/3＋2/3。 应选D。 A项：把BN＝2NC看反，取成＝2/3＋/3，按此错法真算得－/2＋2/3＋/3；B项：把N当成了BC的中点，取＝/2＋/2，按此错法真算得－/2＋/2＋/2；C项：把写成了－（减反了方向），按此错法真算得/2－/3－2/3。 4．【答案】B 【解析】圆心是线段AB的中点，坐标为(，)，即(2，－1)。 半径r＝|AB|/2＝＝＝5，所以圆的方程为＋＝25。 故选B。 A项是把直径的长10当成了半径，按此错法真算得＋＝100；C项是圆心坐标代入标准方程时符号弄反，按此错法真算得＋＝25；D项是把圆心算成(，)，即(3，－4)，按此错法真算得＋＝25。 5．【答案】D 【解析】＝(3－1，－1－2，4－0)＝(2，－3，4)，||＝＝3。 由点到平面的距离公式，d＝|·|/||＝|2×2+(－3)×(－2)+4×1|/3＝。 所以选D。 A项：把错用成＝(3，－1，4)，算|·|/||，按此错法真算得4；B项：漏除法向量的模，把|·|＝14直接当成距离，按此错法真算得14；C项：除以||²＝9而不是除以||，按此错法真算得。 6．【答案】A 【解析】配方得＋＝9，圆心为(－1，－3)，半径r＝3。 直线与圆相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径，即|4×(－1)+3×(－3)+m|/＝3，得|m－13|＝15，即＝225，m＝－2或m＝28；又m>0，所以m＝28。 应选A。 B项是圆心坐标符号弄反，取成(1，3)，由|4×1+3×3+m|/5＝3得m＝2（取正值），按此错法真算得2；C项是距离公式的分母漏开方，由|m－13|/25＝3得m＝88（取正值），按此错法真算得88；D项是把半径的平方9当成半径，由|m－13|/5＝9得m＝58（取正值），按此错法真算得58。 7．【答案】C 【解析】设底面正方形的中心为O，则PO⊥平面ABCD。以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且与PO平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，得A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(2，2，4)。 在平面PBC内取＝(2，2，－4)，＝(－2，2，－4)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，由·＝0得2x＋2y－4z＝0，由·＝0得－2x＋2y－4z＝0；取y＝2，得x＝0，z＝1，所以＝(0，2，1)。 ＝(2，－2，－4)，设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 故选C。 A项：把线面角的正弦误当成正切，算成sinθ/，按此错法真算得；B项：把所求的正弦值误当成线面角的余弦值，算成cosθ＝，按此错法真算得；D项：解方程组时把y＝2z误写成z＝2y，得到错误的法向量(0，1，2)，算成|·(0，1，2)|/(||×)＝，按此错法真算得。 8．【答案】B 【解析】配方得＋＝4，圆心为(－2，1)，半径r＝2。 到直线l的距离为1的点在与l平行且与l相距1的两条直线上。圆上恰有三个这样的点，说明这两条直线中一条与圆相切、另一条与圆相交，即圆心到l的距离d＝r－1＝1。 由|－2+1－m|/＝1，得|m+1|＝，所以m＝－1±。 所以选B。 A项是把条件误当成直线与圆相切，列成|m+1|/＝2，得m＝－1±2，按此错法真算得－1±2；C项是把条件误当成圆心到直线的距离等于r＋1＝3，列成|m+1|/＝3，得m＝－1±3，按此错法真算得－1±3；D项是距离公式的分母漏开方，列成|m+1|/2＝1，得m＝－3或m＝1，按此错法真算得－3或1。 　二、多项选择题 9．【答案】ABD 【解析】A项：||＝＝5，正确。 B项：·＝3×2＋0×(－2)＋(－4)×1＝2>0，且与不共线（对应坐标不成比例），所以〈，〉是锐角，正确。 C项：－＝(3－2，0－(－2)，－4－1)＝(1，2，－5)，y坐标是2而不是－2，错误。 D项：(+λ)·＝·＋λ||²＝2＋9λ＝0，解得λ＝－，正确。 综上，正确选项为ABD。 10．【答案】BCD 【解析】A项：令y＝0得x＝5，l与x轴的交点是(5，0)，不是(－5，0)，错误。 B项：d＝|3×0－4×0－15|/＝＝3，正确。 C项：设所求直线为3x－4y＋c＝0（c≠－15），由两平行线间的距离公式|c－(－15)|/＝1，即|c+15|＝5，得c＝－10或c＝－20，正确。 D项：l的斜率为，斜率为k的直线的一个方向向量是(1，k)，而(4，3)＝4(1，)，所以(4，3)也是l的一个方向向量，正确。 综上，正确选项为BCD。 11．【答案】BD 【解析】长方体中DA，DC，DD1两两互相垂直，以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，得A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，4，2)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，2)，F(1，4，0)。在平面A1BD内取＝(0，4，－2)，＝(－2，0，－2)，它们不共线。设＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，由·＝0得4y－2z＝0，由·＝0得－2x－2z＝0；取x＝2，得y＝－1，z＝－2，所以＝(2，－1，－2)。A项：＝(1，2，－2)，·＝4≠0，与不垂直，所以EF与平面A1BD不平行，错误。 B项：＝(－2，0，－2)，·＝0，又B1不在平面A1BD内，所以B1C∥平面A1BD，正确。 C项：平面ABCD的一个法向量可取的方向(0，0，1)，两平面夹角的余弦值为|·(0，0，1)|/||＝|－2|/3＝，不是（是这个夹角的正弦值），错误。 D项：＝(0，4，0)，点C到平面A1BD的距离d＝|·|/||＝|－4|/3＝，正确。 综上，正确选项为BD。 　三、填空题 12．【答案】2x＋3y＝0或x＋2y＋1＝0 【解析】①当直线过原点时，两个截距都是0，满足条件，此时斜率为－，方程为2x＋3y＝0； ②当直线不过原点时，设它在y轴上的截距为b（b≠0），则在x轴上的截距为2b，方程可设为＋＝1，即x＋2y＝2b， 代入点P(3，－2)得3－4＝2b，b＝－，方程为x＋2y＋1＝0。 所以满足条件的直线有两条，不能漏掉过原点的那一条。 所以应填2x＋3y＝0或x＋2y＋1＝0。 13．【答案】3 【解析】k＋＝(k+2，－k－3，－k+1)，2－＝(0，1，－3)。 两向量垂直 ⇔ 数量积为0：0×(k+2)＋1×(－k－3)＋(－3)×(－k+1)＝0，即2k－6＝0，解得k＝3。 故答案为3。 14．【答案】2 【解析】设P(x，y)，则＝(2－x，－1－y)，＝(－2－x，1－y)，·＝(2－x)(－2－x)＋(－1－y)(1－y)＝－4＋－1＝＋－5。 由＋－5＝4得＋＝9，所以点P的轨迹是以原点为圆心、3为半径的圆。 原点到直线3x＋4y－25＝0的距离为|－25|/＝5>3，直线与圆相离，所以点P到直线距离的最小值为5－3＝2。 因此填2。 　四、解答题 15．【答案】（1）·＝4，cos∠BAC＝；（2）；（3）D(－1，1，0)，面积为 【解析】【解答】(1)＝(4－2，3－1，0+1)＝(2，2，1)，＝(1－2，3－1，1+1)＝(－1，2，2)， ·＝2×(－1)＋2×2＋1×2＝4，||＝＝3，||＝＝3， 所以cos∠BAC＝·/(||||)＝＝。 (2)直线AB的单位方向向量＝/||＝(，，)，·＝， △ABC的边AB上的高就是点C到直线AB的距离，d＝＝＝。 (3)四边形ABCD是平行四边形，所以＝。设D(x，y，z)，则(x－2，y－1，z+1)＝(－3，0，1)，解得D(－1，1，0)。 平行四边形ABCD以AB为底，高就是点C到直线AB的距离，所以面积S＝||·d＝3×＝。 16．【答案】（1）A′(－1，5)；（2）4x＋3y－11＝0，M(2，1)；（3）10 【解析】【解答】(1)设A′(s，t)。直线l的斜率为－，AA′⊥l，所以＝2，即2s－t＋7＝0； AA′的中点(，)在直线l上，所以＋2×－4＝0，即s＋2t－9＝0。 联立两个方程解得s＝－1，t＝5，所以A′(－1，5)。 (2)由光的反射规律，入射光线与反射光线关于法线对称，反射光线的反向延长线经过点A′，即A′，M，B三点共线。 直线A′B的斜率为＝－，方程为y－5＝(－)(x+1)，即4x＋3y－11＝0，这就是反射光线所在直线的方程。 联立4x＋3y－11＝0与x＋2y－4＝0，由x＝4－2y代入得4(4－2y)＋3y－11＝0，y＝1，x＝2，所以M(2，1)。 (3)点M在A，A′连线的垂直平分线l上，所以|MA|＝|MA′|，又A′，M，B共线，故|AM|＋|MB|＝|A′M|＋|MB|＝|A′B|＝＝10。 17．【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】【解答】侧棱CC1⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，所以CA，CB，CC1两两互相垂直。以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，得A(4，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，0)，A1(4，0，4)，B1(0，4，4)，C1(0，0，4)，D(2，2，0)，E(0，0，2)。 (1)在平面A1DE内取＝(－2，2，－4)，＝(－4，0，－2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面A1DE的一个法向量，由·＝0得－2x＋2y－4z＝0，由·＝0得－4x－2z＝0；取x＝1，得y＝－3，z＝－2，所以＝(1，－3，－2)。 ＝(－4，4，－4)，所以点B到平面A1DE的距离d＝|·|/||＝8/＝。 (2)＝(0，－4，4)，设直线BC1与平面A1DE所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 (3)CA⊥CB，CA⊥CC1，所以CA⊥平面BCC1B1，＝(1，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量。|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝， 两个平面夹角的范围是[0°，90°]，所以cosφ＝。 18．【答案】（1）＋＝10；（2）x＝0或3x－4y－12＝0；（3）最大值为，此时Q(3，4) 【解析】【解答】(1)线段AB的中点为(3，2)，kAB＝＝－1，所以AB的垂直平分线的斜率为1，方程为y－2＝x－3，即y＝x－1。 圆心既在AB的垂直平分线上，又在直线2x－y－3＝0上，联立y＝x－1与2x－y－3＝0，得2x－(x－1)－3＝0，x＝2，y＝1，即圆心C(2，1)，半径r＝|CA|＝＝， 所以圆C的方程为＋＝10。 (2)弦长为2，由垂径定理，圆心到直线l的距离d＝＝＝2。 当l的斜率不存在时，l：x＝0，圆心C(2，1)到它的距离为2，符合题意； 当l的斜率存在时，设l：y＝kx－3，即kx－y－3＝0，由|2k－1－3|/＝2，得|2k－4|＝2，两边平方得－16k＋16＝4，k＝， 此时l的方程为y＝()x－3，即3x－4y－12＝0。 所以直线l的方程为x＝0或3x－4y－12＝0。 (3)圆心C(2，1)到直线x＋3y＋13＝0的距离为|2+3×1+13|/＝18/＝>，直线与圆相离， 所以圆上的点到这条直线距离的最大值为＋＝，最大值在过圆心且垂直于该直线的直线与圆的两个交点中离直线较远的那一个取到。 过圆心C且垂直于x＋3y＋13＝0的直线为y－1＝3(x－2)，即y＝3x－5，代入圆的方程得＋9＝10，x＝1或x＝3，交点为(1，－2)，(3，4)。 点(1，－2)到直线的距离为，点(3，4)到直线的距离为，所以所求最大值为，此时Q(3，4)。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）λ＝ 【解析】【解答】PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两互相垂直。以A为坐标原点，射线AB，AD，AP的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)。 ＝(2，2，－4)，由＝λ得＝＋λ＝(2λ，2λ，4－4λ)，即M(2λ，2λ，4－4λ)。 (1)＝(－2，2，0)，·＝(－2)×2λ＋2×2λ＋0×(4－4λ)＝0，所以⊥，即BD⊥AM。 (2)当λ＝时，M是PC的中点，M(1，1，2)，＝(－1，1，2)。 ＝(0，2，－4)，·＝(－1)×0＋1×2＋2×(－4)＝－6，||＝，||＝＝2。 设异面直线BM与PD所成的角为θ，θ∈(0°，90°]，则cosθ＝|cos〈，〉|＝|·|/(||||)＝＝。 (3)＝(－2，2，0)，＝(2λ－2，2λ，4－4λ)。设平面MBD的法向量为＝(x，y，z)，由·＝0得－2x＋2y＝0，由·＝0得(2λ－2)x＋2λy＋(4－4λ)z＝0， 取x＝y＝2－2λ，得(4λ－2)(2－2λ)＋(4－4λ)z＝0，因为λ≠1，两边除以2－2λ得(4λ－2)＋2z＝0，z＝1－2λ，所以＝(2－2λ，2－2λ，1－2λ)。 平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)。由题意|cos〈，〉|＝|1－2λ|/＝， 两边平方整理得9＝2＋，即8＝8，所以1－2λ＝1－λ或1－2λ＝－(1－λ)，解得λ＝0或λ＝。 又M不与P重合，λ≠0，所以λ＝。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $