河南洛阳理工学院附属高级中学2026-2027学年高二上学期9月月练数学试卷

参考答案 单选：1--4ABCB 5--8ACAC 多选：9.BD 10.ABC 11.ABD 填空12. 13.  14.  8【解析】提示：由已知得，所以即存在实数t，使得不等式有解，则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是 所以围成的空间几何体，高为2，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 故由构成的空间几何体的侧面积为 10.正确关系是 11.【答案】  【解析】． 当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即时，平面，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，， 由等边三角形的性质，易得， 在中，，，， 由余弦定理，得， ， ．同理，． 又，平面，平面， 平面， 存在点与直线，使得平面． ， 则，即， 同理，则， 根据，，三点共线有，， 当且仅当时等号成立． 设为的中点， 则，，，三点共线， ，同理，，．设，，， 则，，，，四点共面， ，又，， ，即  点是等边三角形的中心， ． 又点在平面内， 由共面向量定理可知，即． 14.【答案】  【解析】如图，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以取PC上一点M，使，连接MD，MB，又，，BD，平面BDM， 所以平面BDM，则点Q的轨迹是线段以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，设，，则 因为，所以，解得，所以，，所以，即点Q所形成的轨迹长度为 15.【答案】解  将直线间的垂直关系和平行关系转化为斜率间的关系．  设，由已知得，又，可得，  即  ①．  由已知得，又，  可得，即  ②．  联立①②解得，， 在三角形NQP中，，即直线PN与QN的倾斜角互补，因此斜率  设，，，，，解得，，轴，故直线MQ的倾斜角为 16.【答案】解：证明：直线l的方程可化为， 令解得 无论k取何值，直线总经过定点 由方程知，当时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，要使直线不经过第四象限，则解得； 当时，直线为，符合题意，故k的取值范围是 由题意可知，由l的方程，得， ，“=”成立的条件是且，即， ，此时直线l的方程为   17.【答案】解：如图，连接AD，取AD中点为O，连接， 因为底面ABCDEF是正六边形， 所以，即， 所以，又因为， 所以 由题知，， 根据， 可知， 因为底面是正六边形，所以所以， 所以① ②因为， 所以 ， 所以  18.【答案】解：为正三角形，为中点，． 平面，平面，， 因为，、平面， 平面，因为平面， ． 又，，、平面， 平面，平面， ； 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中，为轴，轴的正半轴， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，则法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，； 建系同设，，， ，， ，，， ， 令，， 则， 在上单调递减，上单调递增， 当时，， ．  19.【答案】解：取MD的中点H，连接AH，HQ， 在中，H，Q分别为MD和MC的中点， 所以且长为DC的一半， 又因为底面ABCD为平行四边形，P为AB的中点， 所以且， 所以四边形APQH为平行四边形，可得，又面MAD，面MAD， 所以平面MAD； 取AD的中点O，连接PO，由，则， 分别以OA，OP所在直线为x轴和y轴，以过O垂直于底面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面AMD的法向量为， 则， 令，则，，所以为平面AMD的一个法向量， 又，设MC与平面AMD所成角为， 则，， 所以MC与平面AMD所成角的正弦值为 因为平面AENF，平面平面，平面MBD，所以， 设， 则， 设平面AENF的法向量为，由， 则， 令，则，， 所以为平面AENF的一个法向量， 设平面AENF与平面AMD夹角为， 由可知平面AMD的一个法向量， 由题意可得，， 令，则，得，所以，当时，舍去， 所以当时，，此时， 设， 则， 又因为平面AENF的法向量， 则，解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为，此时  学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳理工学院附属高级中学2028届高二年级9月月练 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（ ） A．0 B．2 C．-1 D．-2 3．若是空间向量的一个基底，则下列可与向量，构成一个基底的向量是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（ ） A．4 B．3 C．1 D．2 5．已知，且，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A． B． C． D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A． B． C． D． 8．空间中，同起点的两个向量，，满足，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ）． A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程（）能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程 10．异面直线所成的角构成集合，直线与平面所成的角构成集合，二面角的平面角构成集合，平面与平面的夹角构成集合，直线的倾斜角构成集合，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为______． 13．如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 14．在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，点是内（含边界）的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 16．（15分）已知直线：（）． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 17．（15分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． （1）用基底表示，； （2）若，，，求： ①； ②． 18．（17分）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，，点为线段上的动点，． （1）若点为中点，证明：； （2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求线段长的最小值． 19．（17分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $