专题1.7 空间向量法求空间中的距离（6类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.7空间向量法求空间中的距离 【考点导航】 考点1：求点到线的距离 考点2：与点到线距离有关的最值问题 考点3：求点到面的距离 空间向量法求 考点4：由点到面的距离求参 空间中的距离 考点5：求线到面的距离 考点6：求面到面的距离 【知识梳理】 1、点到线的距离 若Q为直线外的一点，P在直线上，ā为直线的方向向量，=P0,则点Q到直线l距离为 d )-G e d 2、点到面的距离 已知平面的法向量为n,A是平面0内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平 面a于点Q,则n是直线1的方向向量，且点P到平面C的距离就是AP在直线1上的投影向量QP的长度， 因此 n 第1页共19页 3、线到面、面到面的距离 线到面、面到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 【考点1：求点到线的距离】 1.(25-26高二上·重庆阶段检测)己知 4.L,点B(2L,0,则点PL,0)到直线4B的距离为 ,点 2,(25,26高=上广东深圳期未)在三棱台ABC-ABC中，AB=BC=BB=2H8=1,且∠ABC 2, 若BB⊥平面ABC,则点B到直线A'C的距离为() 2W2 A.2N2 B.5 c.5 D.3 3.(25-26高二上云南文山阶段检测)如图，在棱长为4的正方体 BCD-ABCD中，E为BC 的中点， P为 DE BB 的中点，则点P到直线8 的距离为() D B D A V5 83 c.22 D.3 4.(25-26高二下·福建宁德·期末)在三棱台 BC-AG中，AB=BC=2,B服=A8= ,且 ∠ABC-,若B⊥平面ABC,则点B到直线AC的距离为《） 第2页共19页 B C A C 5 6 25 26 A.3 B.3 C.3 D.3 5.(25-26高二下江苏苏州期中)如图，在棱长为的正方体 BCD-ABGD中，E, 分别为线段1B BC 的中点 D C A B D DF⊥CE (1)求证： AC 2)求F点到直线AC的距离； (3)求平面 与平面 所成角的余弦值. 第3页共19页 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 1.(26-27高二上福建厦门阶段检测)（多选）已知直线的方向向量 =(L0,-),A(2,1-3)为直线上 点，若点P(-1,0,-2)为直线外一点，则P到直线I上任意一点的距离可能为() 42 B V3 c v2 0.1 2.(26-27高二上·广西玉林阶段检测)（多选）已知直线1的方向向量为” =(,2-2）.A3,01为直线1 上一点，若点 P(4,3,0) 为直线1外一点，则P到直线1上任意一点Q的距离可能为() A.2 &.6 c v2 D.1 3.(25-26高二上辽宁葫芦岛期中)（多选）在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，P是棱MB上 ACD 动点，则到平面 的距离可能是() D B D C A 5 4V2 A.3 B.3 C.3 D.2W2 4.(2026福建福州三模)（多选）在棱长为2的正方体 BCD-4BGD中，E为BC的中点，点'在线 段DB上，则() 第4页共19页 DE A.当点P为D 的中点时， DP在DC上的投影向量的模为1 在 B.三棱锥A-ABP体积的最大值为3 C.对于任意点P,都有 AP⊥AB, 5 D.点P到直线CC的距离的最小值为5 5.(25-26高一下黑龙江哈尔滨期中)在棱长为3正方体 BCD-AB,CD中，点P在线段 BC (包括端 BD⊥ACD .AP/ACD AP AD 点)上运动，有下列判断：①平面 平面 平面 ；③异面直线与所成角 0, 的取值范围是(，3：④顶点D到直线AP距离的取值范围是 2536 ”2其中，正确的是 (把 所有正确判断的序号都填上) 【考点3：求点到面的距离】 BCD-4G的棱长为3，则点到平面的 C ABD 1.(26-27高三上江苏镇江开学考试)已知正方体 距离为() 42 8.22 c26 D.4 ABCD-ABC D AB=2,BC=CC=1 2.(26-27高三全国一轮复习)如图，在长方体 中， 1,B为CD的中 ADE 点，则点D到平面 的距离为() D C E 第5页共19页 6 3 5 √6 A.3 B.6 C.3 D.6 3.(25-26高三上：广东深圳阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为 8 平行四边形，AB=AD=AP=2,四棱锥P-ABCD的体积为3 D B (1)证明：平面PCD⊥平面PAD; (2)平面PBC内是否存在点H使得DH⊥平面PBC?若存在，求出点H到平面PDB的距离；若不存在，请 说明理由. 4.(26-27高三上安徽开学考试)如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6, ∠ABC=I20°将△ABD沿直线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是 第6页共19页 AC AB C,B EGH CD F 的三等分点（靠近点)，平面与交于点· A H E B ----)D F C C 图1 图2 (1)证明：BCIEF: (2)求点B到平面EFG的距离. BC-AB,G中，D为BC的中点， BC=DC=2 5.(26-27高三上江苏南通开学考试)如图，在三棱柱 第7页共19页 C-AD-C 二面角 的平面角 的大小为60° ∠CDC C 3 D AB∥ ADC (1)证明： 平面 CC⊥ ABC (2)证明： 平面 A ADC 3)求点到平面的距离. 第8页共19页 【考点4：由点到面的距离求参】 1,(2026高二·全国专题练习)如图，在以A,B,C,D,E,F顶点的五面体中，四边形BCFE是矩形，平面 ACFD⊥平面ABC,∠DAC=90° D B (1)证明：BE⊥平面ABC; 2W5 (2)已知二面角A-BE-C是90°，AC=AD=BE=2,点B到平面ACE的距离为5.求BC; 2.(2026江苏南京·二模)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. D (1)求证：AB/CD: 2 (2)若AB=2AD=2EF=2:∠ADE=∠CBF=90°，点D到平面ABFE的距离为2，求二面角A-BF-C 的大小 第9页共19页 3.(25-26高二下·广东湛江期末)如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°， r为线段pM上一点，PD=2,AB=AD-CD=l,四边形0CE为矩形. (1)若F是PA的中点，求证：AC∥平面DEF; (2)求二面角A-BP-C的余弦值； 1 (3)若点F到平面BCP的距离为6，求PF的长. 第10页共19页 4.(24-25高二上·天津蓟州阶段检测)如图，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面， ∠ADC=∠BAD=90·F为线段P4上一点，PD=V2,4B=AD-CD=l,四边形PDCE为矩形. D E C A B (1)若F是PA的中点，求证：AC‖平面DEF; (2)求直线AE与平面BCP所成角的余弦值： (3)若点F到平面BCP的距离为6，求PF的长。 第11页共19页 5.(25-26高三上·北京阶段检测)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. E F D B (1)求证：AB/CD: 2 (2)若AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°，点D到平面ABFE的距离为2，求二面角A-BF-C的 大小 (3)在第(2)问条件下，线段AB上是否存在点M,使得DM与平面BCF所成的角为30°.若存在，求AM 的长度，若不存在，请说明理由. 第12页共19页 【考点5：求线到面的距离】 1.(26-27高三上·福建福州开学考试)如图，在直三棱柱 MBC-4BG中，E是BC中点 A C B A E ABI∥ AEC (1)求证： 平面 ②刨若B14C,且B=4C=M= AB AEC ，求直线到平面的距离 第13页共19页 ABC-ABC AB L AC,AB=AC=AA=2 2.(2026·云南玉溪·模拟预测)如图所示，在直三棱柱 中， E,F AB,AC 分别是 的中点 C B /TT E BC//AEF (1)求证： 平面 (2)求直线 C到平面 AEF 的距离 第14页共19页 3.(2026:内蒙古呼和浩特·模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD 交于点O,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. P E B- (1)证明：PB/1平面AEC: 2设P=1r4D=5,AB-. 2·求PB到平面AEC的距离， 第15页共19页 4.(2627高二·全国课后作业)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中 点. A B C (1)求证：AF/1平面PCE: (2)若PA=AD=2,CD=3,求AD到平面PBC的距离. 第16页共19页 5.(25-26高一下广东期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD, PD=AD=1,E、R、G分别是 PB.CD.PA 的中点 D (1)证明：EF/1面PAD: (2)证明：EF⊥平面PAB: (3)若PB⊥平面AEF,求直线GD到平面AEF的距离. 【考点6：求面到面的距离】 第17页共19页 ABCD-ABCD 1.(25-26高二下全国课后作业)正方体 的棱长为2，E,F,G,H分别是楼MB AD BC DC EFD B 的中点，则平面 和平面GHDB之间的距离为() 1 2 1 A.3 B.3 C.7 D.6 2.(2026高三全国专题练习)如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M,N分别为棱AD,AB, DC BC AEF B NMD 的中点.则平面 与平面 间的距离为() D M E B B 2√2 2 35 A.3 B.3 C.3 D.3 2W3 ABCD-ABCD ADB 3.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)如图，在棱长为的正方体 中，平面与 D.CB 平面 的距离为 B A D C ABCD-ABGD中，E为线段的中点. DD 4.(25-26高二上·全国课后作业)如图，在棱长为1的正方 BB. AEB CFG F为线段8的中点，G为线段4B的中点，求平面MB到平面CFC的距离， 第18页共19页 D C B D G ABC-ABC 5.(25-26高二上·新疆巴州阶段检测)如图所示，在直三棱柱 中， ∠ABC=90°，BC=2,CC1= 4,点E在线段B上，且 踢=1，D、R、G分别为 CC,CB,CA 的中点 B (1)求证：平面EGF/I平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离 第19页共19页 专题1.7 空间向量法求空间中的距离 【考点导航】 【知识梳理】 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面、面到面的距离 线到面、面到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 【考点1：求点到线的距离】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 【考点2：与点到线距离有关的最值问题】 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 2．（26-27高二上·广西玉林·阶段检测）（多选）已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】利用空间向量求出点P到直线l的距离，即可判断作答 【详解】依题意，，，而直线l的方向向量为， ，， 因此点P到直线l的距离为，即PQ的最小值为， 所以选项A，B，C可能，选项D不可能. 故选：ABC 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量写出到平面的距离的表达式，然后求其范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，设平面的法向量，由，取，则为平面的法向量，，所以到平面的距离．因为，所以，而，即BC选项的数值才符合. 故选：BC 4．（2026·福建福州·三模）（多选）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则（    ） A．当点为的中点时，在上的投影向量的模为1 B．三棱锥体积的最大值为 C．对于任意点，都有 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，由相关公式判断AD；B选项，等体积法得到三棱锥体积最大值；C选项，证明线面垂直，由线面垂直得到线线垂直 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 所以， 在的投影向量的模为，A错误； B选项，， 当点与点重合时，点到平面的距离最大，最大值为， 三棱锥体积的最大值为，B正确； C选项，因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以，对于任意点，都有，C正确； D选项，设，， ，则， 故，所以， 所以， ，故， 点到直线的距离 ， 故当时，取得最小值，最小值为，D错误.    5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为正方体中，点在线段 （包括端点）上运动，有下列判断：①平面平面；②平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④顶点到直线距离的取值范围是其中，正确的是________．（把所有正确判断的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的线面垂直、面面平行关系判断①②；把点参数化，利用向量夹角判断③；利用点到直线距离公式判断④． 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则 对于①，平面内有 又 计算得 所以，且． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 又平面，故平面平面，①正确． 对于②，平面内有， 计算得， 所以，且． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 所以平面. 因为，所以平面，且不在平面内，因此平面，②正确． 对于③，设， 则，所以 设异面直线与所成角为，则 当或时，，此时； 当时，，此时． 因此的取值范围不是，③错误． 对于④，顶点到直线的距离记为． 由点到直线的向量距离公式， 因为，所以， 于是 因为，所以，从而，即，④正确． 综上，正确判断为①②④． 【考点3：求点到面的距离】 1．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，四棱锥的体积为. (1)证明：平面平面; (2)平面内是否存在点使得平面？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)由和四棱锥的体积为，得，所以， 因为，所以平行四边形是菱形， 菱形的面积，所以， 所以，故底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以 ， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在点，理由如下： 依题意，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，由平面向量基本定理， 设，其中， 得，所以， 因为平面，则且，所以 ，得， ，得， 联立，得，， 因为存在，所以存在点，使得平面； 此时，，设平面的法向量是， 则，令，又， 所以点到平面的距离. 【分析】（1）先利用四棱锥的体积证得底面菱形为正方形，再通过证明线面垂直，从而证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，得，由，求得H的坐标，再求平面PDB的法向量，利用点到平面的距离公式算出H到平面PDB的距离. 【详解】（1）略 （2）略 4．（26-27高三上·安徽·开学考试）如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. (2) 【分析】（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1）略； （2）因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 5．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)如图，连接与交于点，连接， 由三棱柱性质得为的中点，又因为为的中点，所以．     又因为平面，平面， 所以平面． (2)因为是二面角的平面角，所以，． 又因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以．     在中，，，， 由余弦定理得． 所以，得． 又因为，，平面，所以平面． (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得到，再利用线面平行的判定定理求证即可； （2）利用二面角的定义和线面垂直的判定定理求出平面，进而求出，再结合余弦定理与勾股定理得到，最后利用线面垂直的判定定理求证即可； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，平面，， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系． 而，则，，，， 设，则． 所以，． 设平面的法向量为，所以， 令，得， 又因为，所以点到平面的距离为． 【考点4：由点到面的距离求参】 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 2．（2026·江苏南京·二模）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以． (2) 【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案． （2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解． 【详解】（1）略 （2）由于平面，，所以平面，平面，故, 又因为平面，平面， 所以， 又，平面，所以平面 由于，则,故, 故为等腰直角三角形，所以, 如图以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建系， 设，则， 故 由于，所以，故， 设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,， 因为，， 所以，即 令，则， 因为，， 所以，即 令，则， 设成的角为，由图可知为钝角， 所以，故， 3．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值. （3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长. 【详解】（1）略 （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 4．（24-25高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值： (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1) 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）设交于点，连接，利用线面平行的判定定理，先证明，进而即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量法求解即可； （3）设，利用点到平面的向量公式求的值即可. 【详解】（1）略 （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，平面，， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则， 取可得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设，由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以，即的长为. 5．（25-26高三上·北京·阶段检测）在五面体中，平面，平面．    (1)求证：； (2)若，点D到平面的距离为，求二面角的大小． (3)在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 平面，平面， ，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ． (2) (3)存在， 【分析】（1）运用线面平行的判定定理得出线面平行，再由线面平行的性质定理证明线线平行； （2）利用等体积法求出为等腰直角三角形得出线段长度，建立空间直角坐标系，利用向量垂直求出，求解两平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设，结合平面的法向量，利用向量法求解即可得出的长度． 【详解】（1）略 （2）平面，，平面，平面， ， 又平面，平面， ， 又，平面， 平面， ，， ，即， ，即，， 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    设，则 ， ， ，，解得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， ，令则， ， ，令，则， 设二面角的大小为，结合图象可知为钝角， ，故． （3）设线段上存在点M，使得与平面所成的角为， 设， 则，则， 由（2）知，平面的法向量为， ，即，解得， ，， 线段上是存在点M，使得与平面所成的角为，此时． 【考点5：求线到面的距离】 1．（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 【答案】(1)如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【详解】（1）略 （2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图所示，在直三棱柱中，，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用中位线性质证明，即可得证； （2）根据平行关系，转化为点到平面的距离问题，利用等体积法求解. 【详解】（1）证明：在正三棱柱中，， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2） 由（1）知：平面，故直线到平面的距离即为点到平面的距离，设为. 在直三棱柱中，，又， ∴平面，且， ∴到平面的距离为1， ， 中，， ， 由得： ，所以， 所以，直线到平面的距离为. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，．求到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 4．（26-27高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点． (1)求证：平面PCE； (2)若PA＝AD＝2，CD＝3，求AD到平面PBC的距离． 【答案】(1)由题意得： 取CD的中点G，连接FG，AG，如图所示． 因为E，F分别是AB，PD的中点，所以，且，AE＝GC，即四边形AGCE为平行四边形，从而有． 又由与交于点，PC在平面AFG外，EC在平面AFG外，所以平面AFG，平面AFG． 又与交于点，所以平面平面AFG． 由平面AFG，得平面PCE． (2) 【分析】（1）先证明平面平面AFG可证明线面平行. （2）先证明平面PBC，然后过点A作AT⊥PB于点T，利用平行线到平面的距离求出AT的长度即可. 【详解】（1）略 （2）因为，且不在平面PBC内． 所以平面PBC． 过点A作AT⊥PB于点T，则AT的长度即为所求． 由已知得∠PAB＝90°，且PA＝2，AB＝CD＝3，所以． 而， 所以． 5．（25-26高一下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． (1)证明：面； (2)证明：平面； (3)若平面，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，． 因为，，分别是，，的中点，四边形是矩形． 所以，，且，． 所以，． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以//平面． (2)证明：因为，的中点为，所以． 因为平面，平面． 所以． 因为底面是矩形． 所以．因为，，平面． 所以平面． 因为平面． 所以， 因为，，平面． 所以平面． 因为由（1）知，所以平面． (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理证得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证得平面，最后根据，可得平面； （3）由，知直线到平面的距离即为点到平面的距离，根据等体积法可得；或先求得的长度，由平面，得点到平面的距离为，再根据是的中点，得点到平面的距离，即直线到平面的距离为. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：由（1）可知，，即求点到平面的距离，设为． 因为平面，平面． 所以．又，所以， 因为平面，平面， 所以． 又是的中点． 所以，， 又因为平面，平面， 所以．在直角三角形中，，，， 所以． 所以，即． 所以，． 所以，直线到平面的距离是． 法二：因为平面，，平面． 所以． 又．所以． 因为平面，平面， 所以． 又是的中点，所以． 由（2）可知，．所以． 又由（1）可知，． 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离． 又因为是的中点，且平面， 所以点到平面的距离为． 所以，直线到平面的距离是． 【考点6：求面到面的距离】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 5．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $