精品解析：河南省开封高级中学2026-2027学年高一上学期9月质量检测测试数学试卷

开封高中2029届高一年级上学期质量检测测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解 【详解】解：命题“”是存在量词命题， 所以其否定是“”， 故选：A 3. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】即为，所以， 所以. 4. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 又，，所以. 5. 命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件. 【详解】由，解得或， 要成为命题“”的一个充分不必要条件， 则其对应的集合是或的真子集， 所以、、均不是的充分不必要条件， 是的一个充分不必要条件. 故选：D. 6. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知集合M是集合B的非空子集；集合B中有3个元素，因此非空子集有个 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解集形式可得，以及两根，根据韦达定理可得a、b、c的关系，代入B、C、D选项求解即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以由二次函数性质可得， 且方程的根为， 由韦达定理可得，所以. A选项错误； B选项，，即，由于，解得，B选项正确； C选项，，C选项正确； D选项，，即， 由于，则可化为，解集为，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据可得，再代入推导即可；对B，由推导即可；对C，举反例判断即可；对D，根据代入化简即可判断. 【详解】对A，根据可得，故即，即. 因为恒成立，故成立，故A正确； 对B，因为，故，故成立； 对C， 当时，满足且，但不成立，故C错误； 对D，因为，，因为，故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 13. 不等式的解集是_______． 【答案】或， 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为或， 故答案为：或 14. 关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为不等式，根据有解确定，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a的不等式，即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 若，则即，整数解有无数个，不合题意， 故， 由于关于的不等式的整数解恰有3个， 故需满足，解得； 则解可得， 因为，故， 故不等式的3个整数解恰为， 则，解得，即， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用交集的定义求解. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，而， 所以． 【小问2详解】 由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以的取值范围为． 16. 根据题意，求解下列问题： （1）比较与的大小关系． （2）已知，，求的范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为． 所以． （2）由得①， 又因为②， 得，故． 当且仅当，时，， 当且仅当，时，． 综上，的范围为． 17. 已知二次函数，其中． （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 【解析】 【分析】（1）通过分离参数再结合基本不等式求最值，即可求解； （2）因式分解得到，通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为． 【小问2详解】 整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得． 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 18. 根据题意，求解下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值； （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）4 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，再结合基本不等式即可求解； （3）通过配方得到，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，当且仅当， 即，时，等号成立． 故的最小值为4； 【小问2详解】 由得， 则， 则， 则，故， 当且仅当时，即时，等号成立． 即的最小值为8； 【小问3详解】 当且仅当，即时，等号成立． 即的最大值为. 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 【答案】（1）； （2）证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （3）证明如下： 由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【小问1详解】 提炼出的不等式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中2029届高一年级上学期质量检测测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则满足条件⫋的集合M的个数为 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 的解集为 11. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 13. 不等式的解集是_______． 14. 关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 根据题意，求解下列问题： （1）比较与的大小关系． （2）已知，，求的范围； 17. 已知二次函数，其中． （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 18. 根据题意，求解下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）已知正实数，满足，求的最小值； （3）已知，求的最大值． 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $