浙江省杭州学军中学海创园学校2026-2027学年高二上学期数学周末练（2）

学军中学海创园学校高二数学周末练（2） 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（不同时为0可以表示坐标空间内的平面.过点一个法向量为平面方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知四棱锥的底面为四边形，，且，，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（   ） A． B． C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立 C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 10．直线的方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（   ） A．直线与的交点坐标为，直线在轴上的截距是 B．已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为 C．已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为 D．直线，，若，则或2 11．在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与所成的角的余弦值为 C．四面体的外接球的表面积为 D．若，则Q点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个. 13．函数的最小值为______． 14．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知两直线. (1)求经过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，点关于直线的对称点为点，求的值. 16．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 17．如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设为线段上一点（不包含端点），若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18．已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 19．如图，四棱锥中，，． (1)证明：平面； (2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； (3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《学军中学海创园学校高二数学周末练（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C A B B ABD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 3．C 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 4．D 【分析】分情况讨论时对应的中位数，从而可求解. 【详解】由题意， 当时，8个点数的中位数为3.5； 当时，8个点数的中位数为4； 当时，8个点数的中位数为4.5， 则8个点数的中位数为4的概率为. 故选:D. 5．C 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 6．A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 7．B 【分析】先求直线的方向向量及平面的法向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量， 同理可知，与分别为平面与的法向量. 设直线的方向向量，则，即，取，则. 设直线与平面所成角为，则. 故选：B. 8．B 【分析】根据，结合空间共面向量的基本定理与性质求解即可. 【详解】因为，且，， 所以， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为，，，四点共面， 所以，解得. 故选：B 9．ABD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 10．AC 【分析】求出直线方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出再检验即可判断D. 【详解】由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即， 对A，联立，解得，即直线与的交点坐标为， 由可得，即直线在轴上的截距是，故A正确； 对B，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意， 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得， 所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误； 对C，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直， 故所求直线的斜率为，所以直线为，即， 所以到距离为，故C正确； 对D，因为，所以，解得或2， 当时，直线与平行， 当时，直线与重合，故D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】取中点，先证平面，再由计算体积即可判断A选项；用表示出，再由向量的运算求出夹角的余弦值即可判断B选项；取的中点，由求出外接球半径，即可判断C选项；作交延长线于，由平面，进而求得，得出Q点的轨迹即可求得D选项. 【详解】 对于A，如图，取中点，连接，易得，又，平面，则平面， 易得，则，则， ，则，A正确； 对于B，， 则， 则，，则，， 又， 则，即直线与所成的角的余弦值为，B正确； 对于C，易得，，则，取的中点，连接，易得， 则四面体的外接球的半径为，则外接球表面积为，C错误； 对于D，作交延长线于，由A选项知，，又，平面，则平面， 又平面，则，又，则，又，则， 即Q点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则Q点的轨迹长度为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】求三棱锥的体积关键在于找出棱锥的高，本题通过分割三棱锥进而得到棱锥的高求出体积；求异面直线的夹角，可以通过向量法进行解决，通过基底表示出两条异面直线所在向量，再由向量的运算求解即可；本题外接球问题属于共斜边的直角三角形模型，求出半径即可求解；立体几何中的轨迹问题通常借助平面的垂线段转化为平面的轨迹问题加以处理. 12．4 【分析】根据题意将事件A的基本事件一一列出即可得解. 【详解】长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条， 则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是： （2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）， 所以事件A包含的样本点个数为4个. 故答案为：4 13． 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 14． 【分析】建立空间直角坐标系，设，由与共线，可得，进而结合空间两点的距离公式表示出，然后利用函数的性质求出最值即可. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点， ，，则，设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中，因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值， 此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）先联立直线方程求出两直线的交点坐标，再根据所求直线垂直于直线，求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可求解； （2）设点关于直线对称的点为，根据点和的中点在直线上，且，先求出点的坐标，再根据两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）联立方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以. 16．(1)① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2) 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则． ②略 （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 17．(1) (2). 【分析】（1）根据题意直线两两垂直，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，利用夹角公式求解； （2）设，，利用线面角的坐标公式求解. 【详解】（1）因为底面，底面， 则， 所以直线两两垂直， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面APC的一个法向量为， 于是有令，得，， 所以平面APC的一个法向量为， 同理可得平面PCD的一个法向量为， 设平面APC与平面PCD的夹角为，则， 故平面APC与平面PCD夹角余弦值为. （2），因为Q在线段PC上（不含端点）， 所以设，， 故. 由（1）可知平面PCD的一个法向量，设直线AQ与平面PCD所成角为， 故， 解得（舍）或，故. 18．（1）证明:依题意直线方程为， 即，即， 所以由，解得，故直线过定点. （2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0 【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标. （2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程. （3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程. 【详解】（1）证明略 ;定点. （2）依题意设直线方程为，将代入得①. 则，则，解得或. 其中不满足①，满足①. 所以存在直线，即满足条件. （3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角， 所以， 所以②， 令， 由于，所以，所以， 所以. 则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即， 也即. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 19．(1) 在平面ABCD中，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面． (2) (3). 【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面ABC，平面， 所以，，又因为， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 因为中，，所以外心为AC中点， 故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设， 又因为，所以，故，所以， 所以，又因为，， 设平面PBC的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PBC的一个法向量为， 设直线AO与平面PBC所成角为， 则. （3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设， 所以，，设平面PAD的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PAD的一个法向量为， 同理平面PBC的一个法向量为， 又因为平面PAD平面PBC， 所以，所以，所以， 又因为，，且， 所以，所以或， 当时，， 当时，， 故. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $