第25章 一元二次方程 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章 一元二次方程 单元卷 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 5．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 7．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 8．对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 9．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 11．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 12．若是关x的方程的解，则的值为___________． 13．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 14．若，则的最小值为______． 15．已知为实数，且，则的值是___________． 16．已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 三、解答题 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 19．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 20．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 21．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第25章 一元二次方程 单元卷》参考答案 1．D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．B 【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 即， 解得， 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 故方程的另一个根为． 故选：B． 3．D 【分析】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，根据不等式即可求出的值，再根据取值范围确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，不满足，故C选项不符合题意； 当时，，满足条件，故D选项符合题意． 4．A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 5．B 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 6．B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 7．B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 8．D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 9．A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 10．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 11．D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 12．2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 13．， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 14． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 15．4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 16．或 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 18．(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 19．(1) 证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 20．(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 21．(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $