专题04 整式的乘法（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题04 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）化简，结果为（       ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，由同底数幂乘法运算得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 【详解】 解：原式 ； 故选：D． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可． 【详解】 解：选项A：与不是同类项，不能相加，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键． 2．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 先根据已知求出，再整体代入计算可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算，熟练掌握运算公式是解答本题的关键． 3．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）下列运算中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除．根据相关运算法则逐项判断即可求解． 【详解】 解：A．，故该选项运算错误； B．，故该选项运算错误； C．，故该选项运算错误； D．，故该选项运算正确； 故选：D． 4．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）计算的结果是（       ） A.  B. 0.125 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，将化为，再根据积的乘方的逆运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 故选：A． 6．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘除运算可进行排除选项． 【详解】 A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选D． 【点睛】 本题主要考查合并同类项及同底数幂的乘除运算，熟练掌握合并同类项及同底数幂的乘除运算是解题的关键． 7．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）已知，，，则的大小关系是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用； 分别逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】 解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）计算的结果等于（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】 解：； 故选C． 9．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 【答案】B 【分析】 本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中），，则（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】 解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 12．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若，，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握公式． 将代入得到，再由幂的乘方计算公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法变形，再计算积的乘方，最后按有理数的混合运算顺序计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． 14．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知，，则代数式值是 　　． 【答案】 【分析】 利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴ ＝ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）计算： （1）． （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算，整式的乘法，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用乘方运算，绝对值的化简，求一个数的立方根，二次根式的化简等运算法则进行化简，最后再进行加减运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可； （3）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 17．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 此题考查了立方根，算术平方根，同底数幂的乘法以及积的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据立方根及算术平方根的有关运算，求解即可； （2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及积的乘方等运算求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）计算的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂相除等知识点，掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． （2）先计算幂的乘法和积的乘方，然后计算乘除法，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂的除法运算的逆运算，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则的逆运算即可求解． 【详解】 解：， 故选：D ． 2．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 此题考查了多项式乘多项式的计算能力．运用多项式乘多项式的知识进行求解． 【详解】 解： ， 由题意得，， 解得， 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列计算结果为是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的运算法则． 根据多项式相乘的运算法则逐项进行验证即可． 【详解】 解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）下列计算中，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和单项式乘除法的运算法则．根据法则逐项判断即可． 【详解】 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若的结果中不含项，则a的值为（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】 解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若，则M与N的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 由x的取值而定 【答案】A 【分析】 本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】 解：， ， ∵ ， ， ∴． 故选：A． 7．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列计算正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断即可． 【详解】 解：A． 和不是同类项、不能合并，故该选项错误，不符合题意；        B． ，故该选项错误，不符合题意；        C． ，故该选项错误，不符合题意；        D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 8．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查整式的运算，逐一验证各选项的运算是否正确，依据代数运算法则进行判断即可. 【详解】 A、根据完全平方公式，，而选项A缺少项，故错误； B、单项式乘法：系数相乘，字母部分按同底数幂相乘法则计算； ，与选项B一致，故正确； C、与不是同类项，无法直接相减，故错误； D、同底数幂相除法则：，而选项D结果为，故错误； 故选B 9．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】 解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）若，，则的值为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【分析】 此题考查了同底数幂的乘除法的逆运算以及幂的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握相关计算法则，根据同底数幂的乘法和除法逆运算、幂的乘方逆运算法则进行计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 11．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）下列计算结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查整式的计算，正确掌握合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方的计算方法是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方计算即可判断． 【详解】 解：A． ，故该选项正确，符合题意；        B． ，故该选项不正确，不符合题意；        C． ，故该选项不正确，不符合题意；        D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定① ② ；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③ ；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④ ；由此即可求解． 【详解】 解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故① 正确； ∴，故② 正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③ 错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ，共3个， 故选：C ． 13．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 14．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】 解：， 故选：C． 15．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（       ） A. 100 B. 92 C. 90 D. 86 【答案】B 【分析】 本题考查了整式的混合运算的应用，设长方形的长为，宽为，表示出、、，再结合求出的值，即可得解，熟练掌握整式的混合运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：设长方形的长为，宽为， 由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴长方形的面积为， 故选：B． 16．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 17．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】 解：， 故选：D． 18．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查单项式的运算，解题关键是利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方以及幂的乘方依次对各选项进行分析即可． 【详解】 解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 19．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）已知，，则（     ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 20．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】 解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 21．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式的乘法分为三部分：一是系数相乘，积的系数等于各因式系数的积；二是相同字母相乘；三是只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里．结果是一个单项式．运算时,注意符号不能出错. 【详解】 解：， 故答案为． 22．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】 ∵， ∴， 即． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为　　　　　． 【答案】2016 【分析】 根据图形中的规律即可求出（a+b）64的展开式中第三项的系数． 【详解】 解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1）， ∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，即（a+b）64第63项系数为2016． 故答案为：2016． 【点睛】 此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 24．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了乘方运算，幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，单项式的乘法，熟练掌握其法则是解此题的关键． （1）先根据积的乘方运算计算 ，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可． （2）先根据同底数幂相除，再算幂的乘方，最后根据同底数幂相乘计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： = ． 25．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． （1）你知道式子中，的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到 求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意，得， ． ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ． 26．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出的展开式． （2）利用上面的规律计算： 【答案】（1）;（2）1 【分析】 （1）根据材料（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式，可直接得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】 （1）如图， 则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． =25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5． =， =1． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 27．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方将，再根据同底数幂的除法得，再进行除法运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键，也考查了求代数式的值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， =， ． 29．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，单项式乘单项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再根据同底数幂相乘进行计算，即可作答． （3）先运算单项式乘单项式，同底数幂相乘，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答． （4）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 30．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若展开后不含和项，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【详解】 解： 展开后不含和项， ， 解得 ． 31．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）计算或化简 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用算术平方根、立方根、乘方、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用幂的运算法则法则计算得出答案； （3）先计算积的乘方，再利用单项式乘多项式计算得出答案； （4）直接利用多项式乘多项式计算得出答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． (3) 小问详解： 原式 ． (4) 小问详解： 原式 ． 32．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】，20 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．关键是根据整式的混合运算法则先化简再求值． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 33．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若的展开式中不含和的项． （1）求、的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 34．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若的积中不含与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． (1) 小问详解： 解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 原式 35．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）综合与探究 观察以下各式： ． ． ． ． 请回答以下问题： （1）填空： ＝　　． （2）若，求证：一定能被4整除． （3）求的值． 【答案】（1）     （2） ∵ ＝， ∴一定能被4整除；     （3）      【分析】 （1）根据题中的式子找到规律求解； （2）根据题中的规律分解因式求解； （3）设原式等于x，再求，让两式相减，整体求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设① ， 则② ， ∴② ﹣① 得： ， ∴， ∴ 【点睛】 本题考查因式分解的应用，灵活运用公式，整体求解法是解题的关键． 36．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． (3) 小问详解： 解：∵， 又， ∴， ∴． 37．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知：，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】-1 【分析】 先求出和，然后再整体代入即可求值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出和，考查了整体代入的思想． 38．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若等式成立，则整数　　　　　　． 【答案】或2或0 【分析】 本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】 解：要使 成立，需考虑以下情况： 1. 当指数时，即，此时底数，故，成立． 2. 当底数时，即，此时指数，故，成立． 3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立． 其他情况均不满足等式，故整数的值为． 故答案为：或2或0． 39．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”；已知“差等数”、，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为　　　　　． 【答案】2828 【分析】 本题考查对新定义的理解，整式的运算；熟练掌握运算法则是关键．由题意易得，则有，，，，进而分类讨论进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ， ∴， ， 由条件可知最大为9，当时，， 为完全平方数符合题意， ∴， ∵能被7整除， ∴当时，能被7整除，此时最大， ∴满足条件的“差等数”中最大值为9573， ∵最小的满足条件的数则要千位尽可能小， ∴当时，， 由条件可知： 当时，则，∵新的四位数，∴，不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，是完全平方数符合题意； ∴此时，， ∴， 由条件可知能被7整除， ∴此时满足条件的数最小， ∴满足条件的“差等数”中最小值为6745， ∴满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为． 故答案为：2828． 40．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）南宋杰出的数学家杨辉，在他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： ； ； ； ； ； ； …… 写出的展开式中含项的系数是　　　　　　　　　　． 【答案】600 【分析】 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，能够读懂题意是解题关键． 根据的展开式和杨辉三角的性质分析，首先找到含的项是各项系数的杨辉三角形的第二个数字，再根据杨辉三角的数字规律，经计算，即可得到答案． 【详解】 解：的展开式中，第一个式子的次数为300，第二个式子的次数为：， 根据题意得：含的项，是各项系数的杨辉三角形的第二个数字， 结合杨辉三角的规律，得含项是， ∴的展开式中含项的系数是600． 故答案为：600． 41．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： （1）【观察】_____； _____； _____；…… （2）【猜想】由此可得：__________； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】（1）；；     （2）     （3）      【分析】 此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键 （1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：； ； ， 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：（1）总结得到，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 设， 根据 则， ∴． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】 解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】 解：A、，能用平方差公式计算，故不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故不符合题意； C、，不符合平方差公式结构特征，不能用平方差公式计算，故符合题意； D、，能用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平方差公式几何意义的理解．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【详解】 解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等，所以有成立． 故选：C． 4．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）···的个位数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】 解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 =（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264， ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…， ∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环， ∵64÷4=16， ∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平方差公式求值，熟记平方差公式是解决问题的关键． 利用平方差公式将代数式变形，再代入已知条件计算即可得到答案． 【详解】 解：， 将，代入可得原式， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）化简： 【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式的运算，先观察式子特征，整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】 解： 7．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查整式化简求值，涉及整式加减乘除混合运算，熟记整式相关运算法则是解决问题的关键． 分别计算多项式除以单项式、平方差公式即可得到化简结果，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】 解：， 当，时，原式． 8．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算 ．若 ，，且的取值与a无关，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】 解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）解答 （1）计算：； （2）解方程组： ． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】 （1）根据绝对值、零指数幂、平方差公式可以解答本题； （2）根据加减消元法可以解答此方程组． 【详解】 解：（1） ． （2） ， ①得③ ， ② +③ 得， 解得， 把代入① 得， 解得， ∴方程组的解为 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、平方差公式和解一元二次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（       ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】D 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵x2＋kxy＋16 y2是一个完全平方式， ∴k＝±8． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键． 2．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如果是一个完全平方式，那么m的值是（       ） A. 7 B. -7 C. -5或7 D. -5或5 【答案】C 【分析】 根据完全平方公式，中间项等于首项和尾项底数乘积的±2倍列式即可得出m的值． 【详解】 解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式， ∴（m-1）x=±2•x•3， ∴m-1=±6， ∴m=-5或7， 故选：C． 【点睛】 本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2两个． 3．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了幂的运算和整式的乘法公式，正确运用法则进行计算是解决此题的关键．用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，整式乘法的完全平方公式逐一排除即可求解． 【详解】 解：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．因此，故正确； 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．，故B错误； 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故C错误； 根据乘法的完全平方公式：．，故D错误． 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）下列计算正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了同底数幂的除法、完全平方公式，积的乘方以及整式加减的计算方法，掌握计算法则和运算性质是正确计算的前提．根据同底数幂的除法、完全平方公式，积的乘方以及整式的加减，逐项进行计算可得出判断． 【详解】 解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意；． 故选∶B． 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查整式的乘除运算和乘法公式．直接计算每个选项，根据运算法则判断正误． 【详解】 解：A．，而右边为，，A错误． B．，等于右边，B正确． C．，而右边为，不相等，C错误． D．，而右边为，，D错误． 故选：B． 6．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，，则、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 用，再根据整式的加减运算法则计算，再根据完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】 解： ， ∴． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了整式的加减，多项式的因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 题目主要考查平方差公式，熟练掌握形如的结构是解题关键 根据平方差公式特点判断各选项是否符合该形式即可 【详解】 解：A、， 第二个括号可提取负号，得，原式变为，属于完全平方公式，不符合题意； B、 调整顺序为，即（其中，），符合平方差公式，符合题意； C、即，属于完全平方公式，不符合题意； D、，提取负号得，属于完全平方公式，不符合题意； 故选：B 8．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算无误，则的值为（       ） A. 1 B. 13 C. 14 D. 27 【答案】D 【分析】 本题考查完全平方公式和平方差公式．利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值． 【详解】 解：， ， ∴，， ∴=， 故选：D． 9．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）若是完全平方公式，则的值为（   ） A. 1 B. 1或-1 C. 2或－2 D. 2 【答案】B 【分析】 根据完全平方公式：即可得出结论． 【详解】 解：∵是完全平方公式 ∴=== ∴ 解得：的值为1或-1 故选B． 【点睛】 此题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键． 10．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知，则的值是（       ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】 解： ， 故选：C． 12．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】 ∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 13．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知，将等腰直角和等腰如图所示放置，点、、三点在同一直线上，已知，两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用．由题意得，，，由完全平方公式变形求得，据此求解即可． 【详解】 解：设等腰直角和等腰的腰长分别为和， 由题意得，，，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 14．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】 解：， ， 解得． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 15．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若是个完全平方式，则k的值是（　　） A. 11或﹣5 B. 7 C. ﹣13或19 D. ﹣1或7 【答案】C 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式以及解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 16．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知，，，则代数式的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【分析】 本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】 解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 17．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 5 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若，则的个位数字是（     ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了完全平方公式，将已知等式变形是解题关键．根据已知可得，进而根据完全平方公式得出，，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ，即个位数字是9， 故选：A 19．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A. 1 B. -1 C. 4 D. 49 【答案】A 【分析】 本题完全平方公式的基本应用，能够读懂题意是解题关键； 先计算 ，利用完全平方公式和  化简，得到复数后，根据共轭复数的定义确定实部  和虚部 ，最后计算 ． 【详解】 解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵  是  的共轭复数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 20．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）先化简后求值：，其中， 【答案】化简为，值为 【分析】 本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式与整式的除法．先利用完全平方公式、平方差公式计算中括号里面的，合并同类项，再作除法，然后将，代入求值． 【详解】 解∶ 当，时， 原式 21．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用积的乘方法则、单项式的除法法则计算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 22．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 （1）在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式的最小值； （3）已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 【答案】（1）25     （2）     （3）9      【分析】 （1）根据完全平方式的特点可知当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案； （2）根据题干解题过程进行求解即可； （3）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； (1) 小问详解： 解：由题意得，常数项为， 故答案为：25； (2) 小问详解： 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的周长为：． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 23．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的运算，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，然后代入计算． 【详解】 解： ； 当时， 原式． 24．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式，对于形如的二次式，若其为完全平方式，则常数项等于一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】 解：由题意，整式为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式，可得， ， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知，，，则的值是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用．，据此即可求解．熟记公式形式是解题关键． 【详解】 解： ∵，，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 26．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知，先化简，后求值：． 【答案】原式，当，时，原式 【分析】 本题考查了二次根式的非负性、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式的非负性可求出和，进而解题即可． 【详解】 解：∵，， 而， ∴，， 解得：，； ， 当，时，原式． 27．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知 ，． （1）求的值； （2）求； （3）若，求的值． 【答案】（1）8     （2）11     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再把，代入计算，即可作答． （2）先整理原式，再把，代入计算，即可作答． （3）结合，故，又因为，则，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； ∴原式的值为8． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴原式的值为11． (3) 小问详解： 解：依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查整式乘除混合运算，掌握整式乘除运算法则是解题关键． 首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把，的值代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 29．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）若是一个完全平方式，那么　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 本题考查了完全平方公式．由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， ∴， 解得，或， 故答案为：3或． 30．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）化简求值：，其中． 【答案】，2 【分析】 原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 【点睛】 本题考查了整式的化简求值、绝对值及平方的非负性，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键． 31．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形， ，可得 （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，求的最大值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； 【答案】（1）     （2）的最大值为6     （3） 解：是等边三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了代数式配方的相关化简计算，完全平方公式的运用及三角形的形状判断； （1）根据代数式配方计算即可； （2）根据代数式配方，再利用非负数的性质即可求解； （3）先分组配方，再利用非负数的性质得到，即可判断． (1) 小问详解： 解： ， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ∵ ∴ ∴的最大值为6； (3) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； （2）已知，则的最小值为______，此时的值为______； （3）若，试求代数式的最大值． 【答案】（1）完全平方差公式     （2）；     （3）最大值为      【分析】 本题考查了完全平方公式及基本不等式（算术平均数不小于几何平均数）的应用，解题的关键是理解基本不等式的适用条件（正数）并合理变形代数式． （1）识别运算步骤② 对应的公式； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应的值； （3）变形代数式，构造符合基本不等式的形式（调整符号），进而求最大值． (1) 小问详解： 解：步骤② 符合的形式，运用的公式为完全平方差公式． 故答案为：完全平方差公式． (2) 小问详解： 解：， ，由基本不等式得， 当且仅当即（）时取等号． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， ， ， 由基本不等式得， ， ， 当且仅当,即（）时取等号． 答：代数式的最大值为. 33．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积S的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可求出的值，再根据三角形面积公式列式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ． 34．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】最小值是3，最大值是 【分析】 本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 35．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）     （2），13     （3）8      【分析】 本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）① 直接把数值代入进行计算，即可作答． ② 根据，然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积 则； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 与（1）同理得， ∵， ∴， ∴ ∴； ② ∵ ∴ ， 故答案为：，13； (3) 小问详解： 解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 36．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如果，，那么等于　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，利用已知条件和，先求出，再计算平方和，最后代入求解即可，熟练掌握完全平方公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）【教材呈现】 已知，，求的值． 同学们探究出解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵∴∵，，∴∵∴ ∵，，∴，∵，，∴． （1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的______，方法二中的______． 【知识应用】 （2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】 本题考查完全平方公式的应用． （1）根据题目的推理过程，即可填空； （2）根据，，找到两者的关系，即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】 解：（1），， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； （3）设，，则， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴． 38．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将所求式子利用幂的乘方法则以及同底数相乘法则变形，整体代入计算即可得解； （2）括号内先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式的法则进行计算，最后计算多项式除以单项式即可化简，再由非负数的性质计算得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴； （2） ； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 39．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：               ，       ， （1）若，求的值． （2）已知整数a、b、c是不等边的三边长，满足，且是中最长的边，求的值． 【答案】（1）4     （2）5或6      【分析】 此题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （2）由，得，结合非负数的性质求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵整数a、b、c是不等边的三边长，c是中最长的边， ∴，，， ∴或6， 则c的值是5或6． 40．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是　　　　　　　　； 【答案】7 【分析】 将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解 【详解】 、、都是正整数 的周长 故答案为:7 【点睛】 本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键． 41．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）图形1可以得到：；图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含、的代数式表示出来）；图3表示：_____； （2）【解决问题】当时，求的值； （3）【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （）根据图是一个边长为的大正方形，是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系； （）先设，，则，，，然后根据（）的结论得据此可得的值； （）设，，则，，再由完全平方公式得，据此可得 的值． (1) 小问详解： 解：如图所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 另一方面：大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设，， ，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：设，， ， ， 图中阴影部分面积为42， ， ． 42．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）计算题． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的运算，完全平方公式，整式的混合运算，多项式乘多项式，理解相关知识是解答关键. （1）根据绝对值、平方根、立方根，实数的运算法则求解； （2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则来进行计算求解； （3）利用完全平方公式进行计算求解； （4）利用多项式乘多项式的运算法则求解. (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 43．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】 本题考查的是整式的化简求值键．根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 44．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若是关于的完全平方式，则　　　　　　　　　　． 【答案】7或-1 【分析】 直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】 解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】 此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 45．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）白塔中学于10月27日成功举办科创活动展演，现场亮点纷呈：灵动的歼10航模精准盘旋、机器狗的高难度动作展示、农用无人机精彩演绎、火箭模型直冲云霄，更恰逢神舟21号于2025年10月31日载人飞船成功发射，为这场科创盛宴增添了浓厚的航天氛围．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含a，b的式子表示该截面的面积S； （2）若，，用x、y表示截面面积并化简； （3）当，时，求这个截面的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式． （1）该图形面积等于梯形面积、长方形面积、和三角形面积之和，据此列式； （2）将，代入（1）中的式子，利用完全平方公式和平方差公式化简计算； （3）将，代入（2）中的式子求解即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：，时，原式． 46．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； （3）如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】（1）① 、③ 、②     （2）①；②25     （3）2000．      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）① 直接利用题中所给的运算方法解题即可； ② 设，，利用题中所给的运算方法解题即可； （3）用表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可． (1) 小问详解： 解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即； 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴； 图丙中阴影部分的面积可以表示为． 也可以表示为即， ∴； 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为① 、③ 、② ； 故答案为：① 、③ 、② ； (2) 小问详解： 解：① ∵，，， ∴， ∵， ∴； ② 设，； 则，， ； (3) 小问详解： 解：由题意得：，， ， 长方形的面积是200， ，即， 设， 则，， ． 47．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）将和分别看作一个整体，由可得，利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式化简为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ∴原式． 48．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）已知，则=　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 49．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6；3     （2）所用的篱笆至少为36米     （3）四边形面积的最小值为25      【分析】 本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； (2) 小问详解： 解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． (3) 小问详解： 解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．D 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．D 2．B 3．D 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．A 11．【答案】6 【分析】 本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】 解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 12．【答案】4 【分析】 本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握公式． 将代入得到，再由幂的乘方计算公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法变形，再计算积的乘方，最后按有理数的混合运算顺序计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴ ＝ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算，整式的乘法，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用乘方运算，绝对值的化简，求一个数的立方根，二次根式的化简等运算法则进行化简，最后再进行加减运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可； （3）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 17．【答案】（1）     （2）0      【分析】 此题考查了立方根，算术平方根，同底数幂的乘法以及积的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据立方根及算术平方根的有关运算，求解即可； （2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及积的乘方等运算求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】 【分析】 本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂相除等知识点，掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． （2）先计算幂的乘法和积的乘方，然后计算乘除法，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点03 整式的乘法 1．D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 11．A 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D 17．D 18．B 19．A 20．【答案】 【分析】 本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】 解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 21．【答案】 【分析】 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式的乘法分为三部分：一是系数相乘，积的系数等于各因式系数的积；二是相同字母相乘；三是只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里．结果是一个单项式．运算时,注意符号不能出错. 【详解】 解：， 故答案为． 22．【答案】 【分析】 本题考查了零次幂的意义，熟练掌握零次幂的意义是解答本题的关键，非零数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义． 根据底数不为0列式求解即可． 【详解】 ∵， ∴， 即． 故答案为：． 23．【答案】2016 【分析】 根据图形中的规律即可求出（a+b）64的展开式中第三项的系数． 【详解】 解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1）， ∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，即（a+b）64第63项系数为2016． 故答案为：2016． 【点睛】 此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了乘方运算，幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，单项式的乘法，熟练掌握其法则是解此题的关键． （1）先根据积的乘方运算计算 ，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可． （2）先根据同底数幂相除，再算幂的乘方，最后根据同底数幂相乘计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： = ． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到 求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意，得， ． ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ． 26．【答案】（1）;（2）1 【分析】 （1）根据材料（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式，可直接得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】 （1）如图， 则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． =25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5． =， =1． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 27．【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方将，再根据同底数幂的除法得，再进行除法运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键，也考查了求代数式的值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， =， ． 29．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，单项式乘单项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再根据同底数幂相乘进行计算，即可作答． （3）先运算单项式乘单项式，同底数幂相乘，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答． （4）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 30．【答案】 【分析】 本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【详解】 解： 展开后不含和项， ， 解得 ． 31．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用算术平方根、立方根、乘方、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用幂的运算法则法则计算得出答案； （3）先计算积的乘方，再利用单项式乘多项式计算得出答案； （4）直接利用多项式乘多项式计算得出答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． (3) 小问详解： 原式 ． (4) 小问详解： 原式 ． 32．【答案】，20 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．关键是根据整式的混合运算法则先化简再求值． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 34．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． (1) 小问详解： 解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 原式 35．【答案】（1）     （2） ∵ ＝， ∴一定能被4整除；     （3）      【分析】 （1）根据题中的式子找到规律求解； （2）根据题中的规律分解因式求解； （3）设原式等于x，再求，让两式相减，整体求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设① ， 则② ， ∴② ﹣① 得： ， ∴， ∴ 【点睛】 本题考查因式分解的应用，灵活运用公式，整体求解法是解题的关键． 36．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． (3) 小问详解： 解：∵， 又， ∴， ∴． 37．【答案】-1 【分析】 先求出和，然后再整体代入即可求值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出和，考查了整体代入的思想． 38．【答案】或2或0 【分析】 本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】 解：要使 成立，需考虑以下情况： 1. 当指数时，即，此时底数，故，成立． 2. 当底数时，即，此时指数，故，成立． 3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立． 其他情况均不满足等式，故整数的值为． 故答案为：或2或0． 39．【答案】2828 【分析】 本题考查对新定义的理解，整式的运算；熟练掌握运算法则是关键．由题意易得，则有，，，，进而分类讨论进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ， ∴， ， 由条件可知最大为9，当时，， 为完全平方数符合题意， ∴， ∵能被7整除， ∴当时，能被7整除，此时最大， ∴满足条件的“差等数”中最大值为9573， ∵最小的满足条件的数则要千位尽可能小， ∴当时，， 由条件可知： 当时，则，∵新的四位数，∴，不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，是完全平方数符合题意； ∴此时，， ∴， 由条件可知能被7整除， ∴此时满足条件的数最小， ∴满足条件的“差等数”中最小值为6745， ∴满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为． 故答案为：2828． 40．【答案】600 【分析】 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，能够读懂题意是解题关键． 根据的展开式和杨辉三角的性质分析，首先找到含的项是各项系数的杨辉三角形的第二个数字，再根据杨辉三角的数字规律，经计算，即可得到答案． 【详解】 解：的展开式中，第一个式子的次数为300，第二个式子的次数为：， 根据题意得：含的项，是各项系数的杨辉三角形的第二个数字， 结合杨辉三角的规律，得含项是， ∴的展开式中含项的系数是600． 故答案为：600． 41．【答案】（1）；；     （2）     （3）      【分析】 此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键 （1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：； ； ， 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：（1）总结得到，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 设， 根据 则， ∴． 考点04 平方差公式 1．B 2．C 3．C 4．C 5．【答案】 【分析】 本题考查平方差公式求值，熟记平方差公式是解决问题的关键． 利用平方差公式将代数式变形，再代入已知条件计算即可得到答案． 【详解】 解：， 将，代入可得原式， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式的运算，先观察式子特征，整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】 解： 7．【答案】， 【分析】 本题考查整式化简求值，涉及整式加减乘除混合运算，熟记整式相关运算法则是解决问题的关键． 分别计算多项式除以单项式、平方差公式即可得到化简结果，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】 解：， 当，时，原式． 8．【答案】 【分析】 本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】 解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．【答案】（1）；（2） ． 【分析】 （1）根据绝对值、零指数幂、平方差公式可以解答本题； （2）根据加减消元法可以解答此方程组． 【详解】 解：（1） ． （2） ， ①得③ ， ② +③ 得， 解得， 把代入① 得， 解得， ∴方程组的解为 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、平方差公式和解一元二次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 考点05 完全平方公式 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．D 9．B 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．C 16．A 17．B 18．A 19．A 20．【答案】化简为，值为 【分析】 本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式与整式的除法．先利用完全平方公式、平方差公式计算中括号里面的，合并同类项，再作除法，然后将，代入求值． 【详解】 解∶ 当，时， 原式 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用积的乘方法则、单项式的除法法则计算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 22．【答案】（1）25     （2）     （3）9      【分析】 （1）根据完全平方式的特点可知当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方，由此即可得到答案； （2）根据题干解题过程进行求解即可； （3）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； (1) 小问详解： 解：由题意得，常数项为， 故答案为：25； (2) 小问详解： 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的周长为：． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 23．【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的运算，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，然后代入计算． 【详解】 解： ； 当时， 原式． 24．【答案】 【分析】 本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式，对于形如的二次式，若其为完全平方式，则常数项等于一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】 解：由题意，整式为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式，可得， ， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用．，据此即可求解．熟记公式形式是解题关键． 【详解】 解： ∵，，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 26．【答案】原式，当，时，原式 【分析】 本题考查了二次根式的非负性、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式的非负性可求出和，进而解题即可． 【详解】 解：∵，， 而， ∴，， 解得：，； ， 当，时，原式． 27．【答案】（1）8     （2）11     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再把，代入计算，即可作答． （2）先整理原式，再把，代入计算，即可作答． （3）结合，故，又因为，则，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； ∴原式的值为8． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∴原式的值为11． (3) 小问详解： 解：依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．【答案】， 【分析】 本题考查整式乘除混合运算，掌握整式乘除运算法则是解题关键． 首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把，的值代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 29．【答案】3或 【分析】 本题考查了完全平方公式．由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， ∴， 解得，或， 故答案为：3或． 30．【答案】，2 【分析】 原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 【点睛】 本题考查了整式的化简求值、绝对值及平方的非负性，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键． 31．【答案】（1）     （2）的最大值为6     （3） 解：是等边三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了代数式配方的相关化简计算，完全平方公式的运用及三角形的形状判断； （1）根据代数式配方计算即可； （2）根据代数式配方，再利用非负数的性质即可求解； （3）先分组配方，再利用非负数的性质得到，即可判断． (1) 小问详解： 解： ， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ∵ ∴ ∴的最大值为6； (3) 小问详解： 略 32．【答案】（1）完全平方差公式     （2）；     （3）最大值为      【分析】 本题考查了完全平方公式及基本不等式（算术平均数不小于几何平均数）的应用，解题的关键是理解基本不等式的适用条件（正数）并合理变形代数式． （1）识别运算步骤② 对应的公式； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应的值； （3）变形代数式，构造符合基本不等式的形式（调整符号），进而求最大值． (1) 小问详解： 解：步骤② 符合的形式，运用的公式为完全平方差公式． 故答案为：完全平方差公式． (2) 小问详解： 解：， ，由基本不等式得， 当且仅当即（）时取等号． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：， ， ， 由基本不等式得， ， ， 当且仅当,即（）时取等号． 答：代数式的最大值为. 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可求出的值，再根据三角形面积公式列式求解即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ． 34．【答案】最小值是3，最大值是 【分析】 本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 35．【答案】（1）     （2），13     （3）8      【分析】 本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）① 直接把数值代入进行计算，即可作答． ② 根据，然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积 则； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 与（1）同理得， ∵， ∴， ∴ ∴； ② ∵ ∴ ， 故答案为：，13； (3) 小问详解： 解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 36．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，利用已知条件和，先求出，再计算平方和，最后代入求解即可，熟练掌握完全平方公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 37．【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】 本题考查完全平方公式的应用． （1）根据题目的推理过程，即可填空； （2）根据，，找到两者的关系，即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】 解：（1），， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； （3）设，，则， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴． 38．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将所求式子利用幂的乘方法则以及同底数相乘法则变形，整体代入计算即可得解； （2）括号内先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式的法则进行计算，最后计算多项式除以单项式即可化简，再由非负数的性质计算得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴； （2） ； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 39．【答案】（1）4     （2）5或6      【分析】 此题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （2）由，得，结合非负数的性质求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵整数a、b、c是不等边的三边长，c是中最长的边， ∴，，， ∴或6， 则c的值是5或6． 40．【答案】7 【分析】 将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解 【详解】 、、都是正整数 的周长 故答案为:7 【点睛】 本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键． 41．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （）根据图是一个边长为的大正方形，是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系； （）先设，，则，，，然后根据（）的结论得据此可得的值； （）设，，则，，再由完全平方公式得，据此可得 的值． (1) 小问详解： 解：如图所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 另一方面：大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设，， ，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：设，， ， ， 图中阴影部分面积为42， ， ． 42．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的运算，完全平方公式，整式的混合运算，多项式乘多项式，理解相关知识是解答关键. （1）根据绝对值、平方根、立方根，实数的运算法则求解； （2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则来进行计算求解； （3）利用完全平方公式进行计算求解； （4）利用多项式乘多项式的运算法则求解. (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 43．【答案】，． 【分析】 本题考查的是整式的化简求值键．根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 44．【答案】7或-1 【分析】 直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】 解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】 此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式． （1）该图形面积等于梯形面积、长方形面积、和三角形面积之和，据此列式； （2）将，代入（1）中的式子，利用完全平方公式和平方差公式化简计算； （3）将，代入（2）中的式子求解即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：，时，原式． 46．【答案】（1）① 、③ 、②     （2）①；②25     （3）2000．      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）① 直接利用题中所给的运算方法解题即可； ② 设，，利用题中所给的运算方法解题即可； （3）用表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可． (1) 小问详解： 解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即； 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴； 图丙中阴影部分的面积可以表示为． 也可以表示为即， ∴； 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为① 、③ 、② ； 故答案为：① 、③ 、② ； (2) 小问详解： 解：① ∵，，， ∴， ∵， ∴； ② 设，； 则，， ； (3) 小问详解： 解：由题意得：，， ， 长方形的面积是200， ，即， 设， 则，， ． 47．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）将和分别看作一个整体，由可得，利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式化简为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ∴原式． 48．【答案】11 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 49．【答案】（1）6；3     （2）所用的篱笆至少为36米     （3）四边形面积的最小值为25      【分析】 本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； (2) 小问详解： 解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． (3) 小问详解： 解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）化简，结果为（       ） A.  B. 0 C.  D.  考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）下列运算中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）计算的结果是（       ） A.  B. 0.125 C. 1 D.  6．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）已知，，，则的大小关系是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）计算的结果等于（     ） A. 1 B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 10．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中），，则（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D.  11．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）若，则　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若，，则　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）计算 （1）； （2）． 14．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知，，则代数式值是 　　． 16．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）计算： （1）． （2） （3） 17．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）计算的值是　　　　　　． 19．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）计算： （1）； （2） 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（　　） A.  B.  C.  D. 3 3．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列计算结果为是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）下列计算中，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若的结果中不含项，则a的值为（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  6．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若，则M与N的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 由x的取值而定 7．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列计算正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）若，，则的值为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 11．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）下列计算结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（       ） A. 100 B. 92 C. 90 D. 86 16．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 12 17．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）已知，，则（     ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 20．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 21．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）计算：　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若，则的取值范围为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为　　　　　． 24．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）计算： （1） （2） 25．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． （1）你知道式子中，的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 26．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出的展开式． （2）利用上面的规律计算： 27．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若，则　　　　　　． 28．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）计算 （1）； （2）． 29．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）计算题 （1） （2） （3） （4） 30．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若展开后不含和项，求的值． 31．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）计算或化简 （1）； （2）； （3）； （4）． 32．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）先化简再求值：，其中，． 33．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若的展开式中不含和的项． （1）求、的值； （2）求代数式的值． 34．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若的积中不含与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 35．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）综合与探究 观察以下各式： ． ． ． ． 请回答以下问题： （1）填空： ＝　　． （2）若，求证：一定能被4整除． （3）求的值． 36．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 37．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知：，则代数式的值为　　　　　　． 38．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）若等式成立，则整数　　　　　　． 39．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”；已知“差等数”、，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为　　　　　． 40．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）南宋杰出的数学家杨辉，在他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： ； ； ； ； ； ； …… 写出的展开式中含项的系数是　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： （1）【观察】_____； _____； _____；…… （2）【猜想】由此可得：__________； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）···的个位数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若，，则的值为　　　　　　． 6．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）化简： 7．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）先化简，再求值 ，其中，． 8．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算 ．若 ，，且的取值与a无关，则　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）解答 （1）计算：； （2）解方程组： ． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）已知x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（       ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 2．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如果是一个完全平方式，那么m的值是（       ） A. 7 B. -7 C. -5或7 D. -5或5 3．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）下列计算正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，，则、的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算无误，则的值为（       ） A. 1 B. 13 C. 14 D. 27 9．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）若是完全平方公式，则的值为（   ） A. 1 B. 1或-1 C. 2或－2 D. 2 10．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知，则的值是（       ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 11．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 12．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 13．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知，将等腰直角和等腰如图所示放置，点、、三点在同一直线上，已知，两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 3 14．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若是个完全平方式，则k的值是（　　） A. 11或﹣5 B. 7 C. ﹣13或19 D. ﹣1或7 16．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知，，，则代数式的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 17．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 5 D.  18．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若，则的个位数字是（     ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 1 19．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A. 1 B. -1 C. 4 D. 49 20．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）先化简后求值：，其中， 21．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）计算： （1） （2） 22．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当时，的最小值是2 （1）在横线上添加一个常数项，使代数式成为完全平方式； （2）请仿照上面的方法求代数式的最小值； （3）已知的三边a，b，c满足，，．求的周长． 23．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）先化简，再求值：，其中． 24．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知，，，则的值是 　　　　　． 26．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知，先化简，后求值：． 27．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知 ，． （1）求的值； （2）求； （3）若，求的值． 28．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）化简求值：，其中． 29．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）若是一个完全平方式，那么　　　　　　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）化简求值：，其中． 31．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形， ，可得 （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，求的最大值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； 32．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； （2）已知，则的最小值为______，此时的值为______； （3）若，试求代数式的最大值． 33．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积S的值． 34．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 35．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 36．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）如果，，那么等于　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）【教材呈现】 已知，，求的值． 同学们探究出解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵∴∵，，∴∵∴ ∵，，∴，∵，，∴． （1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的______，方法二中的______． 【知识应用】 （2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度． 38．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 39．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：               ，       ， （1）若，求的值． （2）已知整数a、b、c是不等边的三边长，满足，且是中最长的边，求的值． 40．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是　　　　　　　　； 41．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）图形1可以得到：；图2可以得到：；现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含、的代数式表示出来）；图3表示：_____； （2）【解决问题】当时，求的值； （3）【拓展提升】如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和． 42．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）计算题． （1）； （2）； （3）； （4）． 43．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 44．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）若是关于的完全平方式，则　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）白塔中学于10月27日成功举办科创活动展演，现场亮点纷呈：灵动的歼10航模精准盘旋、机器狗的高难度动作展示、农用无人机精彩演绎、火箭模型直冲云霄，更恰逢神舟21号于2025年10月31日载人飞船成功发射，为这场科创盛宴增添了浓厚的航天氛围．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含a，b的式子表示该截面的面积S； （2）若，，用x、y表示截面面积并化简； （3）当，时，求这个截面的面积． 46．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； （3）如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 47．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 48．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）已知，则=　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $