专题03 反比例函数（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题03 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 将点代入反比例函数即可求出m的值． 【详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）若是反比例函数，则k的值为（     ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】D 【分析】 本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】 解： 根据反比例函数的定义可得： ， 解得：， 故选；D． 3．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】 解：∵反比例函数的图象经过、两点， ∴ ， 解得 ， 故选：B． 【点睛】 此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）反比例函数经过（     ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握“当时，反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限”是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】 解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的大小无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握图像上点的坐标特征是关键．根据解析式确定函数图像分布，再确定点的位置，比较函数值大小即可． 【详解】 解：反比例函数的图像分布在第二、四象限，且， 点在第二象限，点在第四象限， ． 故选：A． 3．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 4．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查反比例函数与一次函数的图象特征，函数图象在上面的y值总比函数图象在下面的y值大；反之，函数图象在下面的y值就越小；据此解答即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点，且， ∴以和2为大小的分界点， 当，时，函数图象都在函数图象的上方， 即时，或． 故选：A． 5．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质． 利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，所以，，从而对各选项进行判断． 【详解】 解：， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ，， ． 故选：D． 6．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（       ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】 解：∵反比例函数中，，∴图象位于第二、四象限；且在每个象限内，y随x的增大而增大． 对于A：当时，，∴点不在图象上，故不正确； 对于B：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故不正确； 对于C：∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，不是减小，故不正确； 对于D：∵图象在第二、四象限，∴当时， y随x的增大而增大，故正确． 故选D． 7．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】 解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知反比例函数．下列选项正确的是（     ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】 解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 9．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数值的大小比较，通过点求出反比例函数的比例系数k，再代入点A和点B的横坐标求出和，最后比较大小，即可作答． 【详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为， ∴点都在反比例函数的图象上， 则 ∵， ∴， 故选：C 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如果点、、在反比例函数的图象上，那么（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可． 【详解】 解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减少， 点、，； 在第一象限，， ． 故选：C． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 根据一次函数图象经过的象限即可得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】 解：A、一次函数图象过第一、二、四象限， ， 反比例函数的图象应过二、四象限，故选项不符合题意； B、一次函数图象过第一、三、四象限， ， 反比例函数的图象应过在二、四象限， 故选项不符合题意； C、一次函数图象过第一、二、三象限， ， 反比例函数的图象应过在一、三象限， 故选项不符合题意； D、一次函数图象过第二、三、四象限， ， 反比例函数的图象应在一、三象限， 故选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】 解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）反比例函数的图象在第二、四象限，则值可能为（     ） A.  B. 0 C.  D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象分布象限与k值的关系是解题的关键． 根据反比例函数图象分布象限由k的符号决定：当时，图象在第二、四象限；当时，图象在第一、三象限，即可解答． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 选项中只有A选项． 故选：A． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）若，则反比例函数的图象在（     ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算k的值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】 解：∵ ， ∴ 反比例函数 的图象在第一、三象限． 故选：B． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 【答案】C 【分析】 本题考查反比例函数在限定定义域内的性质，根据反比例函数的图象和性质，结合的条件进行判断． 【详解】 解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第一象限，且y随x增大而减小；图象与坐标轴无交点． 对于A：当时，，该项错误； 对于B：由于，图象仅位于第一象限，不涉及第三象限，该项错误； 对于C：在第一象限内，y随x增大而减小，该项正确； 对于D：反比例函数图象不与坐标轴相交，该项错误． 故选：C． 16．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（     ） A. 其图象位于第一、第三象限 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 其图象经过点 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 【详解】 解：反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故A不正确，B不正确； 当时，，当时，，故C正确； 当时，，则点在反比例函数的图象上，故D不正确； 故选：C． 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围． 【详解】 解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或， 故本题答案为：或． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 18．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）关于反比例函数，下列结论错误的是（     ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点和都在该图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数中，图象位于第一、三象限；点和代入函数成立；当时，满足；y随x的增大而减小需分象限讨论，选项D错误． 【详解】 解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，A正确； 当时，，点在图象上；当时，，点在图象上，B正确； 当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而减小；但y随x增大而减小的说法不成立，D错误； 当时，，当时，y随x增大而减小，∴，C正确； 故选：D． 19．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内随的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案． 【详解】 解：点、、都在反比例函数的图像上， 当时，在每一个象限内随的增大而增大， 、在第二象限，， ， 在第四象限，， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键． 20．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的图像与性质以及三角形面积的计算，设的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系求出． 【详解】 解：轴 设的坐标为 的面积为 点在第二象限 点是反比例函数图象上的一点 故选：A． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数图象与点的关系，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求得反比例函数解析式，然后将各选项代入判断即可． 【详解】 解：设反比例函数表达式为， 把代入得：，即反比例函数解析式为． A．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C．由，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； D．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【详解】 解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ∴， ∴的值可以是， 故选：B． 23．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】 解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为 （ ），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】 解：设函数解析式为 （ ）， 把代入函数解析式得， ∴． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求反比例函数解析式． 根据，轴，可设，根据三角形面积公式求出，即，即可求出k的值． 【详解】 解：∵，轴， ∴可设， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时，　　　　　A． 【答案】2 【分析】 本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意可设，把时，代入得：， ∴， 把代入得：； 故答案为2． 28．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点A和点B，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为． （1）求m、k的值及点B的横坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；，点B的横坐标为4     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）先将点代入一次函数的解析式可得m的值，根据点B的纵坐标为代入一次函数解析式求出横坐标，得出点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点的坐标，结合函数图象即可求出结果． (1) 小问详解： 解：将点代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵点B的纵坐标为，且点B在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数图象上， ∴． (2) 小问详解： 解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4，根据函数图象可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或． 29．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】 解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设点，利用即可求出k的值． 【详解】 解：设点， ∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴 ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出． 31．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】 解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）反比例函数，，则在第二象限，随增大而　　　　　　（选填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】 本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】 解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 33．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则它的最快移动速度v与其载重后总质量m之间的函数表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用，灵活待定系数法求函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】 解：设反比例函数解析式为， ∵一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式； （2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可． (1) 小问详解： 将代入，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，代入，解得，即． 将、代入， 得 ，解得 ． ∴一次函数表达式为． (2) 小问详解： 设一次函数的图像与轴交点为， 将代入，得，即． ∵，，， ∴． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键． 35．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为． 【详解】 解：∵反比例函数的解析式为， ∴A3所在的正方形的边长为1， ∴A3（1，1）， 设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1）， ∴m（m+1）＝1， 解得m＝（负数舍去）， ∴A2的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键． 36．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时的取值范围； （3）若点是点关于轴的对称点，求的面积． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据点的纵坐标为，代入一次函数得出，代入反比例函数解析式即可求解； （2）联立一次函数与反比例数解析式，求得点，然后根据函数图象直接写出的取值范围； （3）一次函数的图象轴交于点，则，根据点是点关于轴的对称点，则，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：点在直线上，点的纵坐标为， ，解得， ． 点在反比例函数上， ， ． (2) 小问详解： 解：点是和的交点，， 解得 或 ． 点在第四象限， ， 由图象可得：当或时． (3) 小问详解： 解：一次函数的图象与轴交于点，令，解得：， ． 点是点关于轴的对称点， ． ， ． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数综合运用，解一元二次方程，三角形面积公式，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 37．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A作轴，交x轴于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式并直接写出点B的坐标； （2）若点D在该反比例函数的图象上，当时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；；     （2）点的坐标或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题. （1）将点代入中，求出，将代入反比例函数中，求出，联立函数解析式求解即可； （2）根据可知，，作轴，垂足为，求出，设点的坐标为，作，垂足为，根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得． 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的解析式为； 当时，解得， 当时，，即； (2) 小问详解： 解：轴，点坐标为 ， 作轴，垂足为， 点在该反比例函数的图象上 设点的坐标为，作，垂足为 当时，， 解得：或， 点的坐标或． 38．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：连接，如图，     轴， ∴， ， 而， ， ∴， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 39．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与边交于点D，与边交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和4，则k的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会由数形结合的思想解决问题． 设，则，再可证，进而得到，再求出矩形的面积即可解决问题． 【详解】 设， 矩形和矩形的面积分别是1和4， 则， ， ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ，即，解得， ， ， ． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为     （2）a的值为      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， (2) 小问详解： 解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ， 解得． 41．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． （1）求反比例函数表达式； （2）求点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题： （1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 (1) 小问详解： 解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 42．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，平行四边形的面积为，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质与反比例函数的值求解，熟练掌握“平行四边形的面积公式及反比例函数的性质”是解题的关键． 利用平行四边形的性质，结合面积求出点的横坐标，再根据平行四边形的坐标关系确定点的坐标，最后代入反比例函数求． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形，点在轴上，点的坐标为， ∴，，点的横坐标与点的横坐标相同，为， ∵平行四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． （1）求m与n之间的关系式； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）     （2），     （3）或．      【分析】 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点，分别代入，得，，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴ ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； (3) 小问详解： 解：由图象可知不等式的解集为或． 44．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，边在坐标轴上，且点 A 的坐标是，反比例函数经过边的中点D， 与边交于点E， 连结； （1）求出函数的解析式； （2）证明：． 【答案】（1）     （2） 证明：点E在边上， E点纵坐标为3， 把代入得：， ， ． ， ， ． 矩形中，，， ． ．      【分析】 此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出的解析式； （2）证明，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：矩形的顶点 ，， 点D是边中点， ． 把代入得： 解得：． 函数解析式为． (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、点，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与轴交于点C，求的度数； （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，进而求解； （2）由一次函数解析式求点坐标，再求、，可证明是等腰直角三角形，即可得解； （3）根据图象解题即可． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得， ∴， ∵点的纵坐标为， 令，解得：， ∴， 把、代入，得： ， 解得： ， ∴， 综上所述，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ∴， 则， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， 故； (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，或． 46．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，若由点P，原点O，两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）判断点是否是“美好点”，并说明理由； （2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上． ①求k的值； ②若点在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是     （2）①16；②12      【分析】 本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）① 根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ② 先由① 得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， 点不是“美好点” 故答案为：不是； (2) 小问详解： 解：①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ． 47．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】 解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 48．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义． （1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案． (1) 小问详解： 解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 将点的坐标代入反比例函数得： ， 解得：； (2) 小问详解： 解：过点作轴，如图， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点、在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点在点的右侧， ， ． 49．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若不等式成立，则的取值范围是________； （3）连接，直接写出的面积________； （4）若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________． 【答案】（1）直线的解析式为；     （2）或；     （3）；     （4）或或．      【分析】 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，函数图象解不等式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）由（）得直线的解析式为，，则有，所以，然后通过即可求解； （）由（）得直线的解析式为，则，，所以，然后分当时和时两种情况进行求解并检验即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象过， ∴，解得：， ∴， ∵直线图象过、， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由图象可知：不等式成立，则的取值范围是或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：如图， 由（）得直线的解析式为，， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：如图， 由（）得直线的解析式为， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， 当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， ∵， ∴， 故答案为：或或． 50．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． 由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况． 【详解】 解：∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． ∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． 又∵， ∴． 当时，，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，即， ∵，分母为负， ∴， 解得． 综上，a的取值范围为或． 故答案为或． 51．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例系数的几何意义，连接，由反比例系数的几何意义得，由同底等高的三角形面积相等即可求解；理解反比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】 解：连接， 轴， 轴， ， ， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点．若的面积为1，为的中点，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了反比例函数系数的几何意义．先根据条件得到，由于和同高，所以面积比等于底之比，进而得出，也就是． 【详解】 解：轴， ， 为的中点， ， ， 的面积为1， 的面积为， 即， 则， 设的坐标为， 在第一象限， ， 是双曲线上的点， ． 故答案为：． 53．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】 解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 54．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）在一次函数上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【答案】（1）一次函数表达式为：，反比例函数表达式为：     （2）4     （3）M的坐标为或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）先求出，利用求出即可． （3）分两种情况，① 当为菱形的边时，或，② 当为菱形的对角线时，，分别求解可得． (1) 小问详解： 解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得 ， 解得 ， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意， ， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． (3) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵点M在直线上， ∴设， ① 当为菱形的边时，则， ∴， 即， 解得或1（不合题意舍去）， ∴， ∴； 或， 即 ∴ 解得或 ∴或； ② 当为菱形的对角线时，， 即， ∴， 整理得， 解得， 则 ∴ 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 55．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解反比例函数关系式的方法和步骤，反比例函数的图象为双曲线，以及反比例函数的增减性． （1）设功率与做功的时间之间的函数关系式为，把代入，求出k的值，即可得出函数关系式； （2）根据表格中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来即可； （3）先求出时t的值，再结合图象，即可求出t的取值范围． (1) 小问详解： 解：设功率与做功的时间之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴功率与做功的时间之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得：， 由图可知，当时，． 即做功时间t的取值范围为． 56．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． (1) 小问详解： 解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 把，代入，得： ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； (3) 小问详解： 解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 57．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 【答案】（1）；     （2）4      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴ ，解得： ， ∴一次函数解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶． 58．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：将点，代入， 则 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； (2) 小问详解： 解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 60．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 61．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． （1）求和的值； （2）如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），     （2）①或；② 点的坐标为或；③的长度为或      【分析】 （1）先求得点，再求得点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）① 观察图象，利用直线在反比例函数的图象的上方的范围；② 先求得，设的边上的高为，求得，点的纵坐标为或，据此求解即可；③ 先求得直线的表达式，得到点的坐标为，设点的坐标为，分当和时两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的纵坐标为2， 又∵， ∴点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； (2) 小问详解： 解：① ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点的横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵直线的表达式为， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； ② ∵点坐标为，点，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积等于面积的三分之一， ∴， 设的边上的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时，，解得， 此时点的坐标为； 当时，，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或； ③ ∵直线的表达式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 令，∴， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】 本题属于反比例函数综合题，考查一次函数和反比例函数图象和性质，勾股定理等知识点；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用函数图象和勾股定理结合解题是关键． 62．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： （1）点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； （2）点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； （3）点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】（1）     （2）a的值为5或3     （3）① ；②m的值为或或4      【分析】 （1）根据定义可知点的5阶映射变换对应点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当，即时，确定变换后对应点，代入关系式求出答案；当即时，确定变换后对应点，代入关系式，求出答案； （3）① 分两种情况：当和时，计算可得答案； ② 分两种情况：当、、和时，根据，列方程求解即可求得的值． (1) 小问详解： 解：根据题意点的5阶映射变换对应点为，即， 将代入得，， 解得； (2) 小问详解： 解：当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 综上所述，a的值为5或3； (3) 小问详解： 解：①点C是点D的1阶映射变换对应点，点， 当时，， 将代入，得， ； 当时，， 将代入，得， ； 综上所述， ． ②当时，，， ， ，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，， ，不合题意，舍去； 当时，，， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，m的值为或或4． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 63．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）定义：在平面直角坐标系中，直线经过点，双曲线经过点，将与组成的新函数记作，则称为线段的“双端点”函数． 例如：如图①当点A坐标为，点B坐标为时，过点A的直线过点B的双曲线，线段的“双端点”函数 ． （1）如图② 已知，线段平行于y轴且点B在点A上方，，求点B的坐标及线段的“双端点”函数． （2）在（1）的条件下填空： ①函数的最大值是_______； ②当时，，则m的取值范围是_______； ③当时，的最大值记为，的最小值记为，当时，t的值或取值范围是_______． 【答案】（1）；     （2）①4；②；③或      【分析】 （1）根据点，线段平行于y轴且点B在点A上方，，求出点B的坐标为，分别求出，，即可得出答案； （2）① 根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可； ② 先分别求出当时，或当时，，然后得出m的取值范围即可； ③ 分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据一次函数和反比例函数的增减性求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵点，线段平行于y轴且点B在点A上方，， ∴点B的坐标为，即； ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：① ∵一次函数的函数值随x的增大而增大， ∴当时，， ∵当时，反比例函数的函数值随x的增大而减小， ∴， ∴函数的最大值是4； ② 当时，， 把代入得：， ∴当时，， 把代入得：， ∴当时，， ∴当时，或当时，， ∵当时，， ∴； ③ 当时，，， 此时的最大值，的最小值， ∴符合题意； 当时，， 此时的最大值，的最小值， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，的最大值，的最小值， ∵， ∴， 解得：，不符合题意舍去； 综上，t的值或取值范围是或． 【点睛】 本题主要考查了新定义运算，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性，是解题的关键． 64．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究： （）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第______象限内的公共点坐标． （）画出函数图象 ①请在图中通过描点连线画出函数的草图； ②在同一平面直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移_______个单位长度得到． （）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到函数的图象有唯一公共点时，则的值为_______； ②当直线平移的过程中与函数的图象交于点和点时，请直接写出满足的的取值范围________． 【结论运用】 （）请写出面积为10的矩形的周长的取值范围为_______． 【答案】()一 ()①的图象如图所示： ② ()①②或 () 【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． ()根据，满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标； ()① 画函数的图象(第一象限的分支)即可；② 先明确函数的图象，再指出的图象是由的图象向上平移个单位长度得到，根据图象平移规则：上加下减求解即可解答； ()① 联立方程组，得到一元二次方 程，利用两函数有唯一交点的条件，通过判别式求出；② 再根据两函数有个交点时的结论，代入点求出，联立此时的函数方程组，求解得到的解，又因为满足，即可解答； ()仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】 （）解：∵都是边长，周长为， ∴， ∴满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标. 故答案为：一； （）① 略 ②的图象如图所示， ∵与轴的交点为， ∴的图象可以看成是由的图象向上平移个单位长度得到， 故答案为：； （）① 联立方程组可得： ， 整理得：， ∵两图象有唯一交点， ∴， ∴， 故答案为：； ② 由① 知：个交点时，； 代入，得 ， 解得 则，联立方程组得 ， 整理，得， 解得：， ∵满足，即直线的图象在图象下方及交点处， ∴的取值范围是或； ()设相邻的两边长为，则，，即， 联立方程组可得 ， 整理得：， ∵两函数有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 65．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）_________； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）点Q的坐标为或或      【分析】 本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据函数图象的交点坐标和图象的上下的位置关系即可求出答案； （3）设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ； (2) 小问详解： 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴时x的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：设点的横坐标为，则， ∴ 的面积为4 ． 当时解得， 当时解得， （不合题意，舍去） 综上所述点或或 66．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据奇点的定义结合图象可得奇点的坐标，再结合图象计算出双曲线经过临界奇点时的k值，即可解答． 【详解】 解：由题意，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，如图， 当“奇点”为时，满足题意，且此时整数的值最大，反比例函数的图象经过， ∴； 故答案为：20． 67．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在平面直角坐标系中，点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，过点A作轴分别交y轴于点B，交双曲线于点C，过点A作轴于点D，交双曲线于点E． （1）如图1，若，． ①求的函数表达式； ②填空：当时，的取值范围是_______． （2）若，过点E作x轴平行线，分别与y轴交于点F，与直线交于点G，，求m的值； （3）在（2）的条件下，请直接写出点G的坐标． 【答案】（1）①；②     （2）或     （3）或．      【分析】 本题考查了反比例函数的相关问题，涉及图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式． （1）① 根据题意得出，，再将代入求出k的值即可； ② 求出当时的值，再结合函数图象即可得出答案； （2）先根据题意画出图象，再根据题意得，，再求出，分点在上时，点在延线长上时，两种情况讨论，然后根据，列方程求解即可； （3）由（2）知，或，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ∵点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴的函数表达式； ② 当时，， 根据函数图象，可知当时，的取值范围是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得，则点，， 令，即， 解得， ∴， 当点在上时，如图， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； 当点在延长线上时，如图， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； (3) 小问详解： 解：由（2）知，或， ∴或． 68．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 【答案】（1）     （2）或     （3）12      【分析】 本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； (2) 求出一次函数与反比例函数的交点为，再结合图象即可解答． （3）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， ， ∴一次函数的解析式为 把点代入一次函数得 ， ∴， ， ； (2) 小问详解： 联立 ，得 ， 即， 解得， 当时，， ∴一次函数与反比例函数的交点为， ∴当或时，，即 ∴当或时，． (3) 小问详解： 设点M坐标为，则点N坐标为， ① 当点B在直线的左侧时，如图 过点B作于点H， ，， ， 由（1）可知， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时， M坐标为，则点N坐标为， ∴． ② 当点B在直线的右侧时，如图 由图，可知，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为12． 69．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，交反比例函数的图象于点C，点C的横坐标为2． （1）求k的值； （2）E为直线上一点，且位于点C右侧． ①如图2，连接，交反比例函数的图象于点P，过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q，若，求的值； ②如图3，过点E作，交直线下方的反比例函数图象于点D，连接，若，求的面积． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）先求出，再把代入得； （2）① 设，且，由垂直得，，则，再根据，得中点代入得，整理得，整体代入求值即可； ② 设，过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则，得到，再证明，得到，结合，代入解得得，最后求梯形面积即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵直线交反比例函数的图象于点C， ∴把代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得反比例函数， ∵E为直线上一点，且位于点C右侧， ∴设，且， ① ∵过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴中点， 把代入得， 整理得， ∴； ② 过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， 消去整理得， 解得， ∴， ∴，，， ∴ ． 70．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”，例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点” （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，点，当的面积为时，直接写出n的值； （4）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；     （2）的图象上存在“互反点”，为；     （3）；     （4）或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）设“互反点”为，代入计算即可求解； （3）求出，，，可得，解得，据此计算求出n的值； （4）函数关于直线的对称抛物线解析式为，函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，分五种情况讨论，结合图象求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴ ， 解得 ， ∴这个二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设“互反点”为， ∴，解得， ∴的图象上存在“互反点”，为； (3) 小问详解： 解：中，当时，， 解得， ， 中，当时，， 解得， ， 如图，直线在二四象限角平分线上， ∵点， ∴点在一三象限角平分线上， ∴，， ∵的面积为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； (4) 小问详解： 解：函数关于直线的对称抛物线解析式为， 当时，， ∴函数与直线的交点为， 当点在直线上时，，解得或， ① 当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为，，都在上， 此时不存在“互反点”， 令， 整理得， ， 解得， ∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为和； ② 当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为，，； ③ 当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，或是其中一个“互反点”； ④ 当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为； ⑤ 当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”； ∴综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握三种函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】 解：由题意，，即：； 故选B． 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 利用阻力阻力臂动力动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】 解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米， ∴动力关于动力臂的函数解析式为：， 则，是反比例函数，B选项符合， 故选：B． 3．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】 解：设函数解析式为：， 由图象可知：图象过点， ∴， ∴； 故选D 4．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 由题意，后期分期付款总额为售价减前期付款，即元，每月付款额y与月数x满足反比例关系，即可解答． 【详解】 解：∵电脑售价为12000元，前期付款4000元， ∴后期分期付款总额为元． ∵后期每月付款额相等，分x个月付清， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压p（）与气球体积V（）是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（       ） p（） … 20 40 60 100 120 … V（） … … A. 小于 B. 不小于 C. 大于 D. 不大于 【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，进而可求解，从表中获取相关信息，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小， 则当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该不小于 ， 故选：B． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】 解：由题图② 得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 8．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）在电压不变的情况下，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 根据反比例函数关系，设电流与电阻的函数表达式为，利用给定条件时，求即可求解． 【详解】 解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）若，求该容器体积的取值范围． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设，把点代入求解即可； （2）求出和时的自变量的值，根据增减性求出容器体积的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：设，        代入得，        ，        ； (2) 小问详解： 解：当时，，        当时，．        ， ∴当时，随的增大而减小，        ． 10．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求压强p与体积V之间的函数表达式； （2）若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了多少？ 【答案】（1）     （2）气体的体积增加了      【分析】 此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把和代入（1）中的函数解析式，求出对应气体的体积，然后相减即可． (1) 小问详解： 解：设，由题意知， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ， 即若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，　　　　　　　　Pa． 【答案】16000 【分析】 本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】 解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】 设， 把代入得：， 解得，， ∴电流I关于电阻R的函数解析式为． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻时，电流的值是　　　　　　　　　　A． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】 解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流I与电阻R之间的函数表达式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数关系，设，代入时，，求k． 【详解】 解：由题意，电流I与电阻R之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， 因此， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． （1）求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若，求电流的变化范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当电阻为欧姆时，电流为安培，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． (1) 小问详解： 解：设电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为, 当电阻为欧姆时，电流为安培， ， 电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，，当时，， 当时，电流的变化范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．C 2．D 3．B 考点02 反比例函数的图象和性质 1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．C 11．D 12．D 13．A 14．B 15．C 16．C 17．D 18．D 19．D 20．A 21．C 22．B 23．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】 解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为 （ ），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】 解：设函数解析式为 （ ）， 把代入函数解析式得， ∴． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了求反比例函数解析式． 根据，轴，可设，根据三角形面积公式求出，即，即可求出k的值． 【详解】 解：∵，轴， ∴可设， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：． 27．【答案】2 【分析】 本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意可设，把时，代入得：， ∴， 把代入得：； 故答案为2． 28．【答案】（1）；，点B的横坐标为4     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）先将点代入一次函数的解析式可得m的值，根据点B的纵坐标为代入一次函数解析式求出横坐标，得出点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点的坐标，结合函数图象即可求出结果． (1) 小问详解： 解：将点代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵点B的纵坐标为，且点B在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数图象上， ∴． (2) 小问详解： 解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4，根据函数图象可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】 解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 设点，利用即可求出k的值． 【详解】 解：设点， ∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴 ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出． 31．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】 解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 32．【答案】增大 【分析】 本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】 解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用，灵活待定系数法求函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】 解：设反比例函数解析式为， ∵一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 34．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式； （2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可． (1) 小问详解： 将代入，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，代入，解得，即． 将、代入， 得 ，解得 ． ∴一次函数表达式为． (2) 小问详解： 设一次函数的图像与轴交点为， 将代入，得，即． ∵，，， ∴． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键． 35．【答案】 【分析】 根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为． 【详解】 解：∵反比例函数的解析式为， ∴A3所在的正方形的边长为1， ∴A3（1，1）， 设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1）， ∴m（m+1）＝1， 解得m＝（负数舍去）， ∴A2的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键． 36．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据点的纵坐标为，代入一次函数得出，代入反比例函数解析式即可求解； （2）联立一次函数与反比例数解析式，求得点，然后根据函数图象直接写出的取值范围； （3）一次函数的图象轴交于点，则，根据点是点关于轴的对称点，则，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：点在直线上，点的纵坐标为， ，解得， ． 点在反比例函数上， ， ． (2) 小问详解： 解：点是和的交点，， 解得 或 ． 点在第四象限， ， 由图象可得：当或时． (3) 小问详解： 解：一次函数的图象与轴交于点，令，解得：， ． 点是点关于轴的对称点， ． ， ． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数综合运用，解一元二次方程，三角形面积公式，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 37．【答案】（1）反比例函数的解析式为；；     （2）点的坐标或      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题. （1）将点代入中，求出，将代入反比例函数中，求出，联立函数解析式求解即可； （2）根据可知，，作轴，垂足为，求出，设点的坐标为，作，垂足为，根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得． 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的解析式为； 当时，解得， 当时，，即； (2) 小问详解： 解：轴，点坐标为 ， 作轴，垂足为， 点在该反比例函数的图象上 设点的坐标为，作，垂足为 当时，， 解得：或， 点的坐标或． 38．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：连接，如图，     轴， ∴， ， 而， ， ∴， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会由数形结合的思想解决问题． 设，则，再可证，进而得到，再求出矩形的面积即可解决问题． 【详解】 设， 矩形和矩形的面积分别是1和4， 则， ， ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ，即，解得， ， ， ． 故答案为：． 40．【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为     （2）a的值为      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， (2) 小问详解： 解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ， 解得． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题： （1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 (1) 小问详解： 解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 42．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质与反比例函数的值求解，熟练掌握“平行四边形的面积公式及反比例函数的性质”是解题的关键． 利用平行四边形的性质，结合面积求出点的横坐标，再根据平行四边形的坐标关系确定点的坐标，最后代入反比例函数求． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形，点在轴上，点的坐标为， ∴，，点的横坐标与点的横坐标相同，为， ∵平行四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 43．【答案】（1）     （2），     （3）或．      【分析】 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点，分别代入，得，，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴ ， ∵． ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； (3) 小问详解： 解：由图象可知不等式的解集为或． 44．【答案】（1）     （2） 证明：点E在边上， E点纵坐标为3， 把代入得：， ， ． ， ， ． 矩形中，，， ． ．      【分析】 此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出的解析式； （2）证明，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：矩形的顶点 ，， 点D是边中点， ． 把代入得： 解得：． 函数解析式为． (2) 小问详解： 略 45．【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，进而求解； （2）由一次函数解析式求点坐标，再求、，可证明是等腰直角三角形，即可得解； （3）根据图象解题即可． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得， ∴， ∵点的纵坐标为， 令，解得：， ∴， 把、代入，得： ， 解得： ， ∴， 综上所述，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ∴， 则， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， 故； (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，或． 46．【答案】（1）不是     （2）①16；②12      【分析】 本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）① 根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ② 先由① 得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． (1) 小问详解： 解：， 点不是“美好点” 故答案为：不是； (2) 小问详解： 解：①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ． 47．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】 解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义． （1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案． (1) 小问详解： 解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 将点的坐标代入反比例函数得： ， 解得：； (2) 小问详解： 解：过点作轴，如图， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点、在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点在点的右侧， ， ． 49．【答案】（1）直线的解析式为；     （2）或；     （3）；     （4）或或．      【分析】 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，函数图象解不等式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）由（）得直线的解析式为，，则有，所以，然后通过即可求解； （）由（）得直线的解析式为，则，，所以，然后分当时和时两种情况进行求解并检验即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象过， ∴，解得：， ∴， ∵直线图象过、， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由图象可知：不等式成立，则的取值范围是或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：如图， 由（）得直线的解析式为，， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：如图， 由（）得直线的解析式为， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， 当时， ， ， 整理得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的解， ∵， ∴， 故答案为：或或． 50．【答案】或 【分析】 本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． 由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况． 【详解】 解：∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． ∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． 又∵， ∴． 当时，，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，即， ∵，分母为负， ∴， 解得． 综上，a的取值范围为或． 故答案为或． 51．【答案】 【分析】 本题考查了反比例系数的几何意义，连接，由反比例系数的几何意义得，由同底等高的三角形面积相等即可求解；理解反比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】 解：连接， 轴， 轴， ， ， 故答案为：． 52．【答案】4 【分析】 本题考查了反比例函数系数的几何意义．先根据条件得到，由于和同高，所以面积比等于底之比，进而得出，也就是． 【详解】 解：轴， ， 为的中点， ， ， 的面积为1， 的面积为， 即， 则， 设的坐标为， 在第一象限， ， 是双曲线上的点， ． 故答案为：． 53．【答案】 【分析】 本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】 解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 54．【答案】（1）一次函数表达式为：，反比例函数表达式为：     （2）4     （3）M的坐标为或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）先求出，利用求出即可． （3）分两种情况，① 当为菱形的边时，或，② 当为菱形的对角线时，，分别求解可得． (1) 小问详解： 解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得 ， 解得 ， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； (2) 小问详解： 解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意， ， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． (3) 小问详解： 解：∵ ∴ ∵点M在直线上， ∴设， ① 当为菱形的边时，则， ∴， 即， 解得或1（不合题意舍去）， ∴， ∴； 或， 即 ∴ 解得或 ∴或； ② 当为菱形的对角线时，， 即， ∴， 整理得， 解得， 则 ∴ 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 55．【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解反比例函数关系式的方法和步骤，反比例函数的图象为双曲线，以及反比例函数的增减性． （1）设功率与做功的时间之间的函数关系式为，把代入，求出k的值，即可得出函数关系式； （2）根据表格中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来即可； （3）先求出时t的值，再结合图象，即可求出t的取值范围． (1) 小问详解： 解：设功率与做功的时间之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴功率与做功的时间之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得：， 由图可知，当时，． 即做功时间t的取值范围为． 56．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． (1) 小问详解： 解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 把，代入，得： ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； (3) 小问详解： 解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 57．【答案】（1）；     （2）4      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴ ，解得： ， ∴一次函数解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶． 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：将点，代入， 则 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 59．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； (2) 小问详解： 解：设的坐标是， ∵的面积等于正方形面积的一半 ， ， ， 的坐标是． 60．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 61．【答案】（1），     （2）①或；② 点的坐标为或；③的长度为或      【分析】 （1）先求得点，再求得点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）① 观察图象，利用直线在反比例函数的图象的上方的范围；② 先求得，设的边上的高为，求得，点的纵坐标为或，据此求解即可；③ 先求得直线的表达式，得到点的坐标为，设点的坐标为，分当和时两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的纵坐标为2， 又∵， ∴点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； (2) 小问详解： 解：① ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点的横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵直线的表达式为， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； ② ∵点坐标为，点，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积等于面积的三分之一， ∴， 设的边上的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时，，解得， 此时点的坐标为； 当时，，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或； ③ ∵直线的表达式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 令，∴， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】 本题属于反比例函数综合题，考查一次函数和反比例函数图象和性质，勾股定理等知识点；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用函数图象和勾股定理结合解题是关键． 62．【答案】（1）     （2）a的值为5或3     （3）① ；②m的值为或或4      【分析】 （1）根据定义可知点的5阶映射变换对应点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当，即时，确定变换后对应点，代入关系式求出答案；当即时，确定变换后对应点，代入关系式，求出答案； （3）① 分两种情况：当和时，计算可得答案； ② 分两种情况：当、、和时，根据，列方程求解即可求得的值． (1) 小问详解： 解：根据题意点的5阶映射变换对应点为，即， 将代入得，， 解得； (2) 小问详解： 解：当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 综上所述，a的值为5或3； (3) 小问详解： 解：①点C是点D的1阶映射变换对应点，点， 当时，， 将代入，得， ； 当时，， 将代入，得， ； 综上所述， ． ②当时，，， ， ，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，， ，不合题意，舍去； 当时，，， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，m的值为或或4． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 63．【答案】（1）；     （2）①4；②；③或      【分析】 （1）根据点，线段平行于y轴且点B在点A上方，，求出点B的坐标为，分别求出，，即可得出答案； （2）① 根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可； ② 先分别求出当时，或当时，，然后得出m的取值范围即可； ③ 分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据一次函数和反比例函数的增减性求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵点，线段平行于y轴且点B在点A上方，， ∴点B的坐标为，即； ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：① ∵一次函数的函数值随x的增大而增大， ∴当时，， ∵当时，反比例函数的函数值随x的增大而减小， ∴， ∴函数的最大值是4； ② 当时，， 把代入得：， ∴当时，， 把代入得：， ∴当时，， ∴当时，或当时，， ∵当时，， ∴； ③ 当时，，， 此时的最大值，的最小值， ∴符合题意； 当时，， 此时的最大值，的最小值， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，的最大值，的最小值， ∵， ∴， 解得：，不符合题意舍去； 综上，t的值或取值范围是或． 【点睛】 本题主要考查了新定义运算，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性，是解题的关键． 64．【答案】()一 ()①的图象如图所示： ② ()①②或 () 【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． ()根据，满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标； ()① 画函数的图象(第一象限的分支)即可；② 先明确函数的图象，再指出的图象是由的图象向上平移个单位长度得到，根据图象平移规则：上加下减求解即可解答； ()① 联立方程组，得到一元二次方 程，利用两函数有唯一交点的条件，通过判别式求出；② 再根据两函数有个交点时的结论，代入点求出，联立此时的函数方程组，求解得到的解，又因为满足，即可解答； ()仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】 （）解：∵都是边长，周长为， ∴， ∴满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标. 故答案为：一； （）① 略 ②的图象如图所示， ∵与轴的交点为， ∴的图象可以看成是由的图象向上平移个单位长度得到， 故答案为：； （）① 联立方程组可得： ， 整理得：， ∵两图象有唯一交点， ∴， ∴， 故答案为：； ② 由① 知：个交点时，； 代入，得 ， 解得 则，联立方程组得 ， 整理，得， 解得：， ∵满足，即直线的图象在图象下方及交点处， ∴的取值范围是或； ()设相邻的两边长为，则，，即， 联立方程组可得 ， 整理得：， ∵两函数有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 65．【答案】（1）     （2）或     （3）点Q的坐标为或或      【分析】 本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据函数图象的交点坐标和图象的上下的位置关系即可求出答案； （3）设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ； (2) 小问详解： 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴时x的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：设点的横坐标为，则， ∴ 的面积为4 ． 当时解得， 当时解得， （不合题意，舍去） 综上所述点或或 66．【答案】20 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据奇点的定义结合图象可得奇点的坐标，再结合图象计算出双曲线经过临界奇点时的k值，即可解答． 【详解】 解：由题意，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，如图， 当“奇点”为时，满足题意，且此时整数的值最大，反比例函数的图象经过， ∴； 故答案为：20． 67．【答案】（1）①；②     （2）或     （3）或．      【分析】 本题考查了反比例函数的相关问题，涉及图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式． （1）① 根据题意得出，，再将代入求出k的值即可； ② 求出当时的值，再结合函数图象即可得出答案； （2）先根据题意画出图象，再根据题意得，，再求出，分点在上时，点在延线长上时，两种情况讨论，然后根据，列方程求解即可； （3）由（2）知，或，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ∵点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴的函数表达式； ② 当时，， 根据函数图象，可知当时，的取值范围是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得，则点，， 令，即， 解得， ∴， 当点在上时，如图， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； 当点在延长线上时，如图， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； (3) 小问详解： 解：由（2）知，或， ∴或． 68．【答案】（1）     （2）或     （3）12      【分析】 本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； (2) 求出一次函数与反比例函数的交点为，再结合图象即可解答． （3）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， ， ∴一次函数的解析式为 把点代入一次函数得 ， ∴， ， ； (2) 小问详解： 联立 ，得 ， 即， 解得， 当时，， ∴一次函数与反比例函数的交点为， ∴当或时，，即 ∴当或时，． (3) 小问详解： 设点M坐标为，则点N坐标为， ① 当点B在直线的左侧时，如图 过点B作于点H， ，， ， 由（1）可知， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时， M坐标为，则点N坐标为， ∴． ② 当点B在直线的右侧时，如图 由图，可知，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为12． 69．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）先求出，再把代入得； （2）① 设，且，由垂直得，，则，再根据，得中点代入得，整理得，整体代入求值即可； ② 设，过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则，得到，再证明，得到，结合，代入解得得，最后求梯形面积即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵直线交反比例函数的图象于点C， ∴把代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）得反比例函数， ∵E为直线上一点，且位于点C右侧， ∴设，且， ① ∵过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴中点， 把代入得， 整理得， ∴； ② 过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， 消去整理得， 解得， ∴， ∴，，， ∴ ． 70．【答案】（1）；     （2）的图象上存在“互反点”，为；     （3）；     （4）或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）设“互反点”为，代入计算即可求解； （3）求出，，，可得，解得，据此计算求出n的值； （4）函数关于直线的对称抛物线解析式为，函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，分五种情况讨论，结合图象求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴ ， 解得 ， ∴这个二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设“互反点”为， ∴，解得， ∴的图象上存在“互反点”，为； (3) 小问详解： 解：中，当时，， 解得， ， 中，当时，， 解得， ， 如图，直线在二四象限角平分线上， ∵点， ∴点在一三象限角平分线上， ∴，， ∵的面积为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； (4) 小问详解： 解：函数关于直线的对称抛物线解析式为， 当时，， ∴函数与直线的交点为， 当点在直线上时，，解得或， ① 当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为，，都在上， 此时不存在“互反点”， 令， 整理得， ， 解得， ∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为和； ② 当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为，，； ③ 当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，或是其中一个“互反点”； ④ 当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为； ⑤ 当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”； ∴综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握三种函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 考点03 实际问题与反比例函数 1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C 7．B 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 根据反比例函数关系，设电流与电阻的函数表达式为，利用给定条件时，求即可求解． 【详解】 解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， ∴． 故答案为：． 9．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设，把点代入求解即可； （2）求出和时的自变量的值，根据增减性求出容器体积的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：设，        代入得，        ，        ； (2) 小问详解： 解：当时，，        当时，．        ， ∴当时，随的增大而减小，        ． 10．【答案】（1）     （2）气体的体积增加了      【分析】 此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把和代入（1）中的函数解析式，求出对应气体的体积，然后相减即可． (1) 小问详解： 解：设，由题意知， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ， 即若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了． 11．【答案】16000 【分析】 本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】 解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】 设， 把代入得：， 解得，， ∴电流I关于电阻R的函数解析式为． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】 解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数关系，设，代入时，，求k． 【详解】 解：由题意，电流I与电阻R之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， 因此， 故答案为：． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当电阻为欧姆时，电流为安培，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． (1) 小问详解： 解：设电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为, 当电阻为欧姆时，电流为安培， ， 电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为； (2) 小问详解： 当时，，当时，， 当时，电流的变化范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A.  B.  C.  D. 2 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）若是反比例函数，则k的值为（     ） A.  B. 或 C. 或 D.  3．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）反比例函数经过（     ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的大小无法确定 3．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 4．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D.  5．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（       ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 7．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（       ） A.  B.  C. 3 D.  8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知反比例函数．下列选项正确的是（     ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 9．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如果点、、在反比例函数的图象上，那么（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      13．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）反比例函数的图象在第二、四象限，则值可能为（     ） A.  B. 0 C.  D. 8 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）若，则反比例函数的图象在（     ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 16．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（     ） A. 其图象位于第一、第三象限 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 其图象经过点 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 18．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）关于反比例函数，下列结论错误的是（     ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点和都在该图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 19．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（       ） A. 0 B. 2 C.  D.  23．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为　　　　　． 25．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则的值为　　　　　． 26．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时，　　　　　A． 28．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点A和点B，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为． （1）求m、k的值及点B的横坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 29．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是　　　　　　． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=　　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）反比例函数，，则在第二象限，随增大而　　　　　　（选填“增大”或“减小”）． 33．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则它的最快移动速度v与其载重后总质量m之间的函数表达式为　　　　　　． 34．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 35．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 　　　　　． 36．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出时的取值范围； （3）若点是点关于轴的对称点，求的面积． 37．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A作轴，交x轴于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式并直接写出点B的坐标； （2）若点D在该反比例函数的图象上，当时，求点D的坐标． 38．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为　　　　　． 39．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与边交于点D，与边交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和4，则k的值为　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 41．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． （1）求反比例函数表达式； （2）求点坐标． 42．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，平行四边形的面积为，则　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． （1）求m与n之间的关系式； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 44．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，边在坐标轴上，且点 A 的坐标是，反比例函数经过边的中点D， 与边交于点E， 连结； （1）求出函数的解析式； （2）证明：． 45．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、点，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与轴交于点C，求的度数； （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 46．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，若由点P，原点O，两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）判断点是否是“美好点”，并说明理由； （2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上． ①求k的值； ②若点在双曲线上，求的值． 47．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是　　　　　　． 48．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 49．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若不等式成立，则的取值范围是________； （3）连接，直接写出的面积________； （4）若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________． 50．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点．若的面积为1，为的中点，则的值为　　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为　　　　　． 54．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）在一次函数上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 55．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 56．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 57．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 58．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 59．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标． 60．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 61．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． （1）求和的值； （2）如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 62．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： （1）点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； （2）点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； （3）点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 63．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）定义：在平面直角坐标系中，直线经过点，双曲线经过点，将与组成的新函数记作，则称为线段的“双端点”函数． 例如：如图①当点A坐标为，点B坐标为时，过点A的直线过点B的双曲线，线段的“双端点”函数 ． （1）如图② 已知，线段平行于y轴且点B在点A上方，，求点B的坐标及线段的“双端点”函数． （2）在（1）的条件下填空： ①函数的最大值是_______； ②当时，，则m的取值范围是_______； ③当时，的最大值记为，的最小值记为，当时，t的值或取值范围是_______． 64．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究： （）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第______象限内的公共点坐标． （）画出函数图象 ①请在图中通过描点连线画出函数的草图； ②在同一平面直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移_______个单位长度得到． （）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到函数的图象有唯一公共点时，则的值为_______； ②当直线平移的过程中与函数的图象交于点和点时，请直接写出满足的的取值范围________． 【结论运用】 （）请写出面积为10的矩形的周长的取值范围为_______． 65．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）_________； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 66．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为　　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在平面直角坐标系中，点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，过点A作轴分别交y轴于点B，交双曲线于点C，过点A作轴于点D，交双曲线于点E． （1）如图1，若，． ①求的函数表达式； ②填空：当时，的取值范围是_______． （2）若，过点E作x轴平行线，分别与y轴交于点F，与直线交于点G，，求m的值； （3）在（2）的条件下，请直接写出点G的坐标． 68．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度． 69．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，交反比例函数的图象于点C，点C的横坐标为2． （1）求k的值； （2）E为直线上一点，且位于点C右侧． ①如图2，连接，交反比例函数的图象于点P，过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q，若，求的值； ②如图3，过点E作，交直线下方的反比例函数图象于点D，连接，若，求的面积． 70．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”，例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点” （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，点，当的面积为时，直接写出n的值； （4）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压p（）与气球体积V（）是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据如表判断，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（       ） p（） … 20 40 60 100 120 … V（） … … A. 小于 B. 不小于 C. 大于 D. 不大于 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）在电压不变的情况下，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）若，求该容器体积的取值范围． 10．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求压强p与体积V之间的函数表达式； （2）若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了多少？ 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，　　　　　　　　Pa． 12．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻时，电流的值是　　　　　　　　　　A． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流I与电阻R之间的函数表达式为　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． （1）求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若，求电流的变化范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $