内蒙古赤峰第四中学2026～2027学年高三上学期9月份第一次测验数学试题

赤峰四中学年上学期高三月份第一次测验 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4. 本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、一元函数的导数及其应用。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题“，的个位数字等于”的否定是（ ） A.，的个位数字大于 B.，的个位数字不等于 C.，的个位数字大于 D.，的个位数字不等于 2. “”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数。在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 7. 在同一平面直角坐标系内，函数（且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知集合，若，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的极大值点为负数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A.的图像关于点对称 B. C.在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 曲线在点处的切线方程为 13. 已知函数，则 ，的零点个数为 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分） 已知均为正数，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. （本小题15分） 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. （本小题15分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值. 18. （本小题17分） 已知函数，的定义域均为，且，的图像均为连续不断的曲线，对任意，，，经过，两点的直线的斜率为，经过，两点的直线的斜率为，且，则称与同向。 （1）判断函数与是否同向，并说明理由； （2）若函数与的定义域均为，且与同向，求的取值范围. 19. （本小题17分） 已知函数. （1）当时，证明：的导函数是增函数； （2）证明：； （3）证明：对任意的，，有. 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案 1.D存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.A因为2>√2，所以选A. 3.B由题意得f(0)=0,则f(1)=f(0)-3=一3，所以f(一1)=一f(1)=3. 4.D由题意得fx)的定义域为0，+e∞)，f'(x)=上-7-12.令f'x)>0,得x<,所 以f(x)的单调递增区间为(o,2), 5A1,周+少网-}所似不等式点 2x+1≠0， ≥1的解集为[-1，-)： 6.B设训练104与108个单位的数据量所需要的时间分别为T1,T2. T1_k1og21024241og210 T2 klogz 108 =3,所以训练104个单位的数据量所需要的时间是训练108个单 81og210 位的数据量所需要的时间的3倍， 7.C对于A,由f(x)的图象可知0<a<1,b>0,由g(x)的图象可知b<0,互相矛盾，A 错误 对于B,由f(x)的图象可知0<a<1,b<0,由g(x)的图象可知a一1>0，即a>1,互相矛 盾，B错误 对于D,由f(x)的图象可知a>1,b<0,由g(x)的图象可知b>0,互相矛盾，D错误. 对于C,由f(x),g(x)的图象可知a>1,b>0,C正确 8.C易知x>0,y>0,log2x十logy-log影(xy+zy+4)=lo82xy十zy+4 xy +t-r+y+.因为+y号≥2y+28-4,当组 log2- xy 仅当x=y-万时，等号成立，所以1oe(+y2+号)≥g:42=log2-, 所以-16e:(2+y+号)<-号，放所求最大值为号 0<a<2, 9.BCA={x|-1<2x-1<3}={x|0<x<2}.因为a∈A,a+1tA,所以 a+1≥2， 解得1 ≤a<2.故选BC. 10.AC由题意得f'(x)=6x2十6(a-1)x-6a=6(x+a)(x-1).当a=-1时，f'(x)≥0， f(x)无极值，不符合题意.当a<-1,即-a>1时，f(x)的极大值点为1，不符合题意.当a 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 >-1,即-a<1时，f(x)的极大值点为-a,则一a<0,得a>0. 11.ABD由f(x十4)为奇函数，得f(x+4)=-f(-x+4),得f(x+4)+f(-x+4)=0,所 以f(x)的图象关于点(4,0)对称，A正确.由f(x)是偶函数，得f(x十4)=f(一x一4)，则 f(-x一4)=-f(-x+4),得f(x-4)=-f(x+4),得f(x+4)=-f(x+12),所以 f(x-4)=f(x十12)，所以f(x)的周期为16，f(18)=f(2)=-2,B正确.由题意得f(x) 在[0,4幻上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在[一4,0]上单调递减.又f(x)的周 期为16，所以f(x)在[12,16]上单调递减，C错误.易得f(1)+f(2)十f(3)+…十f(16) =0,因为f(x)的周期为16，所以f(1)十f(2)十f(3)+十f(162)=10[f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(16)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)<2f(2)=-4,D正确， 12.y=9.x-6(或9x-y-6=0)由y=3x3,得y=9x2.当x=1时，y=9,所以曲线y=3.x3 在点(1,3)处的切线方程为y一3=9(x一1)，即y=9x-6. 13.27;2因为f(2)=9,所以[f(2)]15=32x1.5=27.令f(x)=0,得3 =一x2十4.函数g(x)=3,h(x)=一x2十4的部分图象如图所示. 由图可知g(x)的图象与h(x)的图象有两个公共点，所以f(x)有两 个零点 14.(-∞，- ]U[号，+∞)当x≤0时，fx)为增函数，当>0时，卡 f(x)也为增函数.因为x2=x1十a≠x1,所以a≠0，x2一x1=a, 若a>0,则x2>x1,因为f(x1)=f(x2),所以x1≤0，x2>0. 作出f(x)的大致图象，如图所示，设A(x1y1),B(x2y2)(x1≤0< .直线AB的方程为)=8，则=号，=，AB1 x-x=e-23令ge)=e23u≤3，则g)=e5 ,当t<0时，g'()<0,当0<<3时，g'()>0,则g()在(-∞， 1 0)上单离递减，在0,3]上单调递增，所以g0)n-g(O)-号则。≥号 者a<0,则x<,同理可得a≤ 综上，a的取值范周是(-∞，-]U[,十∞)， 15.獬：1)因为a十合-2≥2√a· 4 b 2分 所以号<， 3分 当且仅当a=音1，即a=1,6=4时，等号成立. …5分 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 故号的最大值为子。 6分 2)迪a+方-2，得号(a+号)=1， 7分 则后+b=+6ja+)=2(a6+话+)≥(2h活+)=号，…10分 6=4 2 ab' la= 当且仅当 即 43’时，等号成立， …12分 a+6=2,6=3 4 则启+b的最小值为号， …13分 16.解：(1)由2x2-5x-3=(2z+10x-3)<0,得-<x<3,…3分 得A={z2<<3.… …4分 当m=1时，B={x|1<x<9},所以A∩B={x1<x≤3}（或(1,3]）.… 6分 (2)由(1)得A={xx<-2或x>3: 8分 当B=O时，(CRA)UB≠R. 9分 m<2m+7, 当B≠0时m<-司 …12分 2m+7>3, 解得-2<m<-故m的取值范围是(-2，-2)】， ……15分 17.解：(1)由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2x-2a.…1分 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增。…3分 当a>0时，令f(x)>0,得>2na,令fx)<0,得x<2na,…5分 则f(x)在（分na,十o∞）上单调递增，在(-oo,lna)上单调递减。 …7分 (2)当a≤0时，f(x)在R上单调递增，f(x)没有最小值.…8分 当a>0时，g(a)=f(x)m=f(2lna）=a-alna.…l0分 g'(a)=-lna,令g'(a)>0,得0<a<1,令g'(a)<0,得a>l,…l2分 则g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减.…14分 故g(a)的最大值为g(1)=1.…15分 l8.解：(1)函数f(x)=x与g(x)=-2x不同向.…1分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 理由如下：因为f(x)与g(x)的定义域为R,直线y=x与y=一2x的斜率分别为1，一2， ……………3分 且1X(一2)=一2<0，所以函数f(x)=x与g(x)=一2x不同向.…4分 (2)由题意得，k,=f,)-f).8z,)-g)_[fx)-fx)]Lgx,)-gz] x2一x1 x2x1 (x2-x1)2 >0,则[f(x2)-f(x1][g(x2)-g(x1)]>0. 6分 设x<x由gx)-g(x)=(得)卢-(3)卢<0，得fx)-f(x)<0,即fx)< f(x1),所以(x)在[一1，十∞)上是减函数.…8分 因为函数y=log1x是减函数，所以F(x)=ax2十8x十6在[-1，十∞)上是增函数，且 F(-1)>0.…10分 当a=0时，F(x)=8x+6在[-1，十∞)上是增函数，且F(-1)=-2<0,不符合题意.… …………0…0……0…………………0……2分 a>0, 当a≠0时， a≤-1， 4 15分 F(-1)=a-2>0, 得2<a≤4. 16分 故a的取值范围为(2,4幻.…17分 19.证明：(1)当a=1时，f(x)=sinx十x2,f'(x)=cosx十2x,…1分 f'(x)的导函数”(x)=一sinx十2>0，…3分 所以f(x)的导函数f(x)是增函数.…4分 (2)f(x)=cos x+2ax. 令g(x)=f'(x),则g'(x)=-sinx十2a>0,所以g(x)=f'(x)是增函数. …5分 f(0）=1>0,f'(-2）=os2-a<0,… 6分 所以存在x,(0).使得f)=0os十2a,=0,即=动oS…7分 所以当x∈(-∞，xo)时，f'(x)<0,当x∈(xo,十∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在（一∞，xo)上单调递减，在(x0,十∞）上单调递增.…8分 )()insinin sin 1 4a' …9分 因为x∈(-2,0，所以0>sinx,>sin(-号)>sim(-)=-2, ……10分 因为函数A()=石+x十在（号0）上单调递增， 所以f(x)≥- 1×1-1+1=3-1 4a42十4a16a-2·…11分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 (3)令m(x)=f(x十t)-f(x)(x>0),则m'(x)=f'(x十t)-f'(x)=g(x十t)-g(x). …13分 因为t>0,所以x十t>x>0.因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以g(x十t)>g(x),则 m'(x)=g(x十t)一g(x)>0,m(x)在(0，十∞)上单调递增.…15分 因为s>0,所以m(s)>m(0),即f(s十t)-f(s)>f(t)-f(0).…16分 因为f(0)=0,所以f(s十t)>f(s)十f(t).… …17分 ▣回 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】