精品解析：山东省威海市文登一中2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，写出对应点坐标，即可得. 【详解】因为，对应点为，在第四象限. 故选：D 2. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 3. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得结果． 【详解】因为， 故选：C． 4. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【详解】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 7. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简. 【详解】. 故选：B. 8. 已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到，使得，利用向量加法的平行四边形法则作图，再求出面积关系即可. 【详解】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 10. 在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 的面积的最大值为 D. 的最大值是8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和公式，可求角，判断A的真假；利用正弦定理，求三角形外接圆半径，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合基本不等式可判断C的真假；利用余弦定理，结合基本不等式，可判断D的真假. 【详解】对A：由，利用正弦定理，可得： . 因为，所以，所以，故A正确； 对B：设外接圆半径为，则， 所以外接圆面积为：，故B错误； 对C：由余弦定理：，所以，当时取等号. 所以.故C正确； 对D：因为，所以且， 所以.故D正确. 故选：ACD 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据三角形解的个数得判定即可判断；对于B，由向量数量积的定义可得即可判断；对于C，根据的外心为，所以为垂直平分线的交点，再利用数量积的定义即可求；对于D，由正弦定理及正弦和角公式化简可得，即可得判定的形状是直角三角形或等腰三角形. 【详解】对于A，因为，所以只有一解，故A正确； 对于B，， 又，所以，则为钝角三角形，故B正确； 对于C，的外心为，所以为垂直平分线的交点， ，故C错误； 由正弦定理得， ， 即， 所以或， 所以的形状是直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数______． 【答案】或3 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算、数量积的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 解得或． 故答案为：或3 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理和平面向量数量积运算公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以, 故答案为：. 14. 如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解. 【详解】设，，则，所以， 所以， 令，由有，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理及两角和的正弦公式可得，即可求出； （2）利用余弦定理将条件带入可得，再由三角形面积公式可即求出其面积. 【小问1详解】 由利用正弦定理可得， 整理可得， 又，可得， 即， 又，所以， 由，可得； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 将，代入可得， 由三角形面积公式可得. 即的面积为. 16. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为 （2）实数的取值范围 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可； （2）利用图象平移可得，令，转化为在上有两个解，结合图象可得答案. 【小问1详解】 ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 所以，与有两个交点， 作出，的图象如图所示，所以， 所以实数的取值范围. 17. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式将已知化为，利用化简得，根据角的范围即可求解. （2）将平方得，再根据余弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，因为， 所以. 所以①， 又由余弦定理，所以②． 联立①②可得． 18. 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求边AC上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先应用正弦定理边角转化再结合两角和的正弦化简，最后应用角的范围求解； （2）应用正弦定理结合两角和的正弦化简，最后应用正弦定义计算求解； 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得：， 又因为在中，， 所以， 化简，得：， 因为，所以， 所以，， 即． 【小问2详解】 因为，所以， 由正弦定理，可得， 由（1）可知：，所以，， 即， 又因为在中，， 所以． 19. 如图，在中，，，，为内一点，. （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过解直角三角形可得，再利用余弦定理可求； （2）利用正弦定理结合三角变换可得，根据正弦函数的性质可求线段和的取值范围； （3）利用正弦定理结合三角变换公式可求的值. 【小问1详解】 由已知，所以，故. 在中，由余弦定理得，故. 【小问2详解】 设，则. 根据题意知道，. 则. 由于，则， 则， 则，则的取值范围. 【小问3详解】 设，由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 4. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 10. 在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 的面积的最大值为 D. 的最大值是8 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数______． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 14. 如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 17. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 18. 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求边AC上的高． 19. 如图，在中，，，，为内一点，. （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $