精品解析：山西朔州市怀仁大地高中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题C

怀仁大地高中学校2026-2027学年度上学期第一次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与向量共线的单位向量是（ ） A. B. 和 C. D. 和 2. 已知点A（2，–1，–3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为 A. 2 B. 6 C. D. 4 3. 已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 直线l过点，，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 向量的夹角为 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 在上的投影向量的模为 D. 与夹角的余弦值是 11. 已知，若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 13. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 14. 已知空间向量的夹角为，，则________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 16. 如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． （1）试用，，表示向量 （2）求． 17. 如图，在正方体中，. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且分别为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成的角． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁大地高中学校2026-2027学年度上学期第一次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与向量共线的单位向量是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】设与向量共线的单位向量为，则，再根据求出，即可得解. 【详解】设与向量共线的单位向量为， 则，所以，解得， 所以或. 故选：B 2. 已知点A（2，–1，–3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为 A. 2 B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出点A关于平面x轴的对称点B的坐标，然后利用距离公式求出|AB|即可． 【详解】∵点A（2，–1，–3）关于x轴的对称点为B（2，1，3），∴|AB|=2． 故选A． 【点睛】考查空间两点的对称问题和两点间的距离公式. 3. 已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法运算依次判断即可. 【详解】   选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，. 故选：B. 4. 设，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示及共线向量分别求出，再利用空间向量的数量积求出结果. 【详解】由，得，解得，即， 由，得，解得，则， 所以. 故选：B 5. 若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的向量表示形式求解. 【详解】因为直线∥平面α， 所以, 得, 得, 故选：C 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得点的坐标，再由投影点坐标的特征可直接得到结果. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为， 所以点在坐标平面内的投影为点. 故选：D. 7. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由及，求解即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以. 故选：C. 8. 直线l过点，，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为，，，故，. 故在方向上的投影， 则点到直线l的距离为. 故选：C 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 向量的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的运算求得正确答案. 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 在上的投影向量的模为 D. 与夹角的余弦值是 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量的坐标表示求模，单位向量的定义求单位向量，再根据投影向量的定义、夹角坐标表示求投影向量的模、夹角的余弦值. 【详解】由，则，A错； 方向上的单位向量坐标是，B对； 由，则在上的投影向量的模为，C错； 由，则，D对. 故选：BD 11. 已知，若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量平行，由向量共线定理建立方程组求解即可. 【详解】， ， ， 即， 解得或， 所以或2， 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，且， 所以，即，所以，得到， 故答案为：. 13. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 14. 已知空间向量的夹角为，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答. 【详解】由空间向量的夹角为，，得， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 16. 如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． （1）试用，，表示向量 （2）求． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由向量的加法运算法则，即可表示出 （2）将用，，表示，再根据向量的数量积运算法则，即可求得. 【小问1详解】 点在棱的延长线上，且， ， ． 【小问2详解】 由题意得， 又， ． 17. 如图，在正方体中，. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在正方体中，， 平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出向量，，然后求夹角的余弦值即可得到异面直线与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且分别为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成的角． 【答案】（1）证明： 因为在四棱锥中，底面为直角梯形，所以，又因为底面，底面，所以，，平面 ，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，且，所以， ，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)要证，只需要证明平面，根据直线与平面垂直的判定定理，只需要证明平面平面内的两条相交直线，即，则问题就可得以解决. (2)可以用几何法和向量法解决这道题目，第一问已经找到了平面的垂线段，通过作辅助线找到与平行的直线，则就是已知条件要求的角，在中即可求出.用向量法时，第一问已经求出了平面的法向量，写出坐标直接代入公式即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 几何法： 取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，， 所以与平面所成的角即为与平面所成的角. 因为平面，即为与平面所成的角， 设，所以，， 在中， ，所以与平面所成的角为. 即与平面所成的角为. 向量法： 因为在四棱锥中，底面为直角梯形，所以，又因为底面，所以以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 设,, 则,, 由(1)可知，平面，所以设与平面所成的角为， 则. 所以与平面所成的角为. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点． （1）求证：平面PAD； （2）求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直和正方形的性质可得，，由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）依题意建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 因为平面ABCD， 平面ABCD，则， 又底面ABCD为正方形，则， 因为，AD，平面PAD； 故平面PAD； 【小问2详解】 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，， 设平面AEF的法向量为，则，即， 令，则，故， 又平面的一个法向量为， 则， 所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $