19.4 二次函数的应用（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

分层作业 19.4二次函数的应用 参考答案 ( 题型01 )二次函数与一元二次方程 1．D 2．B 3．A 4. C 5. D ( 题型02 )二次函数与不等式 6. D 7. A 8. D 9. D 10. B ( 题型03 )实际问题与二次函数——图形问题 11. C 12. B 13. D 14. A 15. C ( 题型04 )实际问题与二次函数——拱桥问题 16. B 17. C 18. A 19. C 20. C ( 题型05 )实际问题与二次函数——销售问题 21. B 22. B 23. D 24. D 25. C ( 题型0 6 )实际问题与二次函数——投球问题 26. C 27. B 28. B 29. B 30. D ( 题型0 7 )实际问题与二次函数——喷水问题 31. C 32. A 33. B 34. A 35. D ( 题型0 8 )实际问题与二次函数——增长率问题 36. B 37. C 38. C 39. C 40. D 1. C 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9. D 10. B 11. C 12. D 13. C 14. B 15. D 16. C 17. 【解析】（1）解：设水渠的宽为，则， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去， 答：水渠的宽应为． （2）解：设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，则垂直于墙的每段长为． 因此总面积， 因为，抛物线开口向下，且满足， 所以，当时，y取得最大值225． 答：当时，y有最大值，最大值是225． 18. 【解析】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 19. 【解析】（1）解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； (2)不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功； （3）解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 20. 【解析】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 21. 【解析】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 1. D 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. B 8. D 9. C 10. B 11. C 12. C 13. C 1. C 2. C 3. B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 19.4二次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与一元二次方程 题型02二次函数与不等式 题型03 实际问题与二次函数——图形问题 题型04 实际问题与二次函数——拱桥问题 题型05 实际问题与二次函数——销售问题 题型06 实际问题与二次函数——投球问题 题型07 实际问题与二次函数——喷水问题 题型08 实际问题与二次函数——增长率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数与一元二次方程题型01 1．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 5．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 二次函数与不等式题型02 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 实际问题与二次函数——图形问题题型03 11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2022·山东泰安·二模）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   实际问题与二次函数——拱桥问题题型04 16．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 18．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 19．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 实际问题与二次函数——销售问题题型05 21．（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 22．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 25．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 实际问题与二次函数——投球问题题型06 26．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 27．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 29．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 实际问题与二次函数——喷水问题题型07 31．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 35．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 实际问题与二次函数——增长率问题题型08 36．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 37．据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 39．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 40．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 1．如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 4．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 8．（21-22九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 10．（2026·甘肃白银·二模）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 13．（2026·天津北辰·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 14．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 16．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 17． “绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 18．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 19．美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 20．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 1．【最值问题】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 2．【代数综合】已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．【代数综合】若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．【代几综合】如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 5．【初高衔接】说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 6．【代数综合】已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 7．【代数综合】已知点、为抛物线（a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 8．【分类讨论】（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．【代几综合】（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 10．【动态问题】（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 11．【实际情境】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 12．【实际情境】（2024·天津河北·一模）如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．【跨学科融合物理】（2026·天津西青·二模）小明从离地面高度为的点处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点处第一次着地后弹起，点处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①； ②在处着地后弹起的最大高度为； ③弹力球第二次着地点距第一次抛出点的水平距离是． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 19.4二次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与一元二次方程 题型02二次函数与不等式 题型03 实际问题与二次函数——图形问题 题型04 实际问题与二次函数——拱桥问题 题型05 实际问题与二次函数——销售问题 题型06 实际问题与二次函数——投球问题 题型07 实际问题与二次函数——喷水问题 题型08 实际问题与二次函数——增长率问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数与一元二次方程题型01 1．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 3．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 4．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 5．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 二次函数与不等式题型02 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在x轴下方时对应的取值范围即可得答案． 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 实际问题与二次函数——图形问题题型03 11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 12．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 13．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 14．（2022·山东泰安·二模）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 实际问题与二次函数——拱桥问题题型04 16．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的拱桥问题，二次函数的性质，先理解题意，再把代入，解得然后列式计算，得水面的宽度的值，即可作答． 【详解】解：∵其函数表达式为．水面到桥顶的距离为， ∴把代入，得 ∴， 解得 依题意，， 即水面的宽度为， 故选：B． 17．（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 18．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 19．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 20．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 实际问题与二次函数——销售问题题型05 21．（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 22．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 23．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得， ， 故选：D． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，y取得最大值，为6250， 即涨价5元时存在利润最大，为6250元，故A、C选项错误，不符合题意； 此时当定价65元时，利润最大为6250元，故D选项正确，符合题意； 根据题意得：且， 即自变量的取值范围是，故B选项错误，不符合题意； 故选：D 25．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 实际问题与二次函数——投球问题题型06 26．（2026·甘肃武威·一模）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 27．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为，根据题意得，抛物线过点，由此可得的值，即可求解． 【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，   ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 根据题意得，抛物线过点． ∴， 解得∶， ∴抛物线的表达式为． 故选∶ B． 28．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 29．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 30．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 实际问题与二次函数——喷水问题题型07 31．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 32．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 33．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用．把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即喷出水珠的最大高度是． 故选：B． 34．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 35．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当水珠与喷头之间的水平距离为2米，即时，， ∴此时水珠距离水面的高度为8米； 故选D． 实际问题与二次函数——增长率问题题型08 36．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 37．据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 38．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 39．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 40．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 1．如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 2．已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的关系，结合的取值范围推导的范围， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，是函数图象与轴的交点， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴ ∵， ∴， ∴． 3．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 4．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 5．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 7．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 8．（21-22九年级下·全国·期末）如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 9．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 10．（2026·甘肃白银·二模）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明，利用“割补法”，用大三角形的面积减去三个全等小三角形的面积，得到的面积关于的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【详解】是等边三角形， ，， ， ，，， ． 在、和中， ， ， ． 过作于点， 在中，，， ， ， ， ， 二次项系数， 函数图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，取得最小值， ． 当或时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 11．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，交于点，容易证明是等腰直角三角形，则，计算得，结合二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：如图，设直线交于点，交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与之间是二次函数关系，且该二次函数的图象开口向下，只有选项C符合． 12．（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 13．（2026·天津北辰·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意：每件利润为元，每日销量为，因此利润函数为： 验证结论①：当时，， ∵结论中说利润为元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数开口向下，对称轴为， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； 验证结论③：令，得方程，整理得， 解得，，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有个； 14．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 15．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 16．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17． “绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，y有最大值225 【分析】（1）根据题意，矩形耕地，长，宽，东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，设水渠的宽为，利用平移法，余下耕地可拼成矩形，长为，宽为，据此列方程求解． （2）根据题意，利用总材料长度和平行于墙的边长x，表示出垂直于墙的边长，进而根据“矩形面积=长×宽”列出y关于x的函数关系式；自变量需同时满足边长为正数以及平行于墙的边长不超过现有墙长这两个条件；最后将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的图象特点求出最大面积． 【详解】（1）解：设水渠的宽为，则， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去， 答：水渠的宽应为． （2）解：设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，则垂直于墙的每段长为． 因此总面积， 因为，抛物线开口向下，且满足， 所以，当时，y取得最大值225． 答：当时，y有最大值，最大值是225． 18．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． (2)每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． (3)当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 19．美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． (3) 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【详解】（1）解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； （2）略； （3）解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 20．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 1．【最值问题】如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 【答案】D 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 2．【代数综合】已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 3．【代数综合】若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由顶点横坐标推出，结合抛物线过得到与的关系，再由y轴交点范围确定的取值范围，进而逐一判断各结论． 【详解】解：∵ 抛物线顶点坐标为， ∴ 对称轴为直线， ∴ ． ∵ 抛物线过点， ∴ ， 将代入得， ∴ ． ∵ 抛物线与y轴交点在点与点之间（包含端点）， ∴ ， 将代入得，解得，故②正确； ① ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ③ ∵ 抛物线开口向下，顶点为， ∴ 当时，函数取得最大值为， ∴ 对任意实数，有， 两边减得，故③正确； ④ ∵ 函数最大值为， ∴ 直线与抛物线仅有1个交点， ∵ ， ∴ 直线与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故④正确． 4．【代几综合】如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】C 【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，据此可判断②；设，连接，由对称性可得，则当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长即可判断③；把点A的坐标代入二次函数的解析式结合求出a、b的值，再把解析式化为顶点式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，即是方程的一个根，故②正确； 如图所示，设，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是， 在中，当时，， ∴， ∵，， ∴ ， 周长的最小值是，故③不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴二次函数的关系式为， ∴当时，y的最大值为4，故④不正确； 综上所述，正确的有①②． 5．【初高衔接】说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由两方程根完全一致，推出若是的根，则也是的根，结合二次函数最多2个实根求解. 【详解】解：设是的任意一个根， ∵与的根完全一致， ∴是的根， ∴， 又∵， ∴，即也是的根， ∵ 一元二次方程最多有2个不同的实根， ∴ 对任意根，只能等于或另一个根， 若，解得； 若存在两个不同的根，则， 解得，与两个不同根矛盾； ∴有两个相等的实数根为. 6．【代数综合】已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，a的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先求出顶点坐标，代入一次函数得到，再根据，可得，设，最后根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在的图象上， ∴将代入得，整理得， ∵当时，都有，即， 将代入上式，化简得， 设， ∵该二次函数的二次项系数为，抛物线开口向上， ∴要使时恒成立，只需区间端点处的函数值， 当时，，整理得，解得， 当时，，整理得，解得， 取两个解集的交集，得． 7．【代数综合】已知点、为抛物线（a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线对称轴为，开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且恒大于，A取反例，两点在对称轴右侧，由右侧随增大而增大得，判定A错误；B要恒成立需所有到轴距离均大于，时满足该条件，则无法保证，判定B正确；C取反例，离对称轴更远得，与结论矛盾，判定C错误；D取反例，满足但，与结论矛盾，判定D错误． 【详解】解：∵抛物线 ， ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ， 又∵ ， ， ∴， 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大， 对于A：取 ，此时 ， ，两点都在对称轴右侧， 随增大而增大，得，故A错误，该选项不符合题意； 对于B：要使恒成立，需保证所有满足条件的，到对称轴的距离都大于所有到对称轴的距离， 当时：，所有都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于； 在到之间，结合，任意到对称轴的距离恒大于任意到对称轴的距离， 因此所有离对称轴更远，恒成立， 反之，若，则会出现离对称轴更远的情况，无法保证， 因此“若，则”成立，故B正确，该选项符合题意； 对于C：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都大于，到对称轴的距离都小于， 根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得与结论矛盾，故C错误，该选项不符合题意； 对于D：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都小于，到对称轴的距离都大于，因此<，但此时，与结论矛盾，故D错误，该选项不符合题意． 8．【分类讨论】（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 9．【代几综合】（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 【答案】C 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 10．【动态问题】（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 11．【实际情境】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 12．【实际情境】（2024·天津河北·一模）如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握根据题意得到函数的解析式是解题的关键，设，，易得，在中，，即可得到的取值范围；由①得， 易得，，故当时，，即可得到裁剪矩形后四边形为剩余的面积；③设此块布料的出售总价为元，由题可得，由于，故当时，取最大值，即可得到③的答案． 【详解】解：①如图，设剪下来的矩形为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，设， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的取值范围为；故①正确； ②：由①得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴裁剪矩形后四边形为剩余的面积为平方厘米，故②错误； ③设此块布料的出售总价为元， ∵此块布料的出售为元/平方厘米， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此块矩形布料出售总价的最大值为元，故③正确． 故选C． 13．【跨学科融合物理】（2026·天津西青·二模）小明从离地面高度为的点处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点处第一次着地后弹起，点处是第二次着地点．分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．有下列结论： ①； ②在处着地后弹起的最大高度为； ③弹力球第二次着地点距第一次抛出点的水平距离是． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得的值，点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前抛出的最大高度的，求出弹起后的最大高度，根据弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴，故①错误； ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：；故②正确； ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是，故③正确； 综上，正确的个数为2个． 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $