☆ 有趣的密铺（思维拓展培优）-五年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

☆ 有趣的密铺（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：密铺（镶嵌）的基本定义与特征 1. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种现象叫做密铺（又称平面镶嵌）。 2. 核心特征： (1) 无空隙：图形之间没有未被覆盖的区域。 (2) 不重叠：图形之间没有相互覆盖的部分。 (3) 连续性：铺设范围理论上可以无限延伸。 3. 关键要素：参与密铺的图形必须是平面图形，且通常指全等图形（形状和大小完全相同）的组合。 知识点二：单一正多边形的密铺条件 1. 密铺的几何原理：在密铺的公共顶点处，所有拼接图形的内角之和必须恰好等于 。 2. 正三角形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即6个正三角形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正三角形可以单独密铺。 3. 正方形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即4个正方形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正方形可以单独密铺。 4. 正六边形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即3个正六边形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正六边形可以单独密铺。 5. 不能单独密铺的正多边形： (1) 正五边形：每个内角为 ， 不是 的整数倍（ ），故不能密铺。 (2) 正八边形及以上：内角大于 且小于 ，无法整除 ，故不能单独密铺。 6. 总结规律：只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形可以单独进行密铺。判断依据是看该正多边形的内角度数是否能整除 。 知识点三：一般三角形与四边形的密铺特性 1. 任意三角形： (1) 任何形状、大小相同的三角形都可以密铺。 (2) 原理：两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形可以通过平移进行密铺。或者从角度看，三角形内角和为 ，在公共顶点处，将三角形的三个不同内角各取2个（或通过旋转拼接），总和可凑成 。 2. 任意四边形： (1) 任何形状、大小相同的四边形都可以密铺。 (2) 原理：四边形的内角和为 。将四个全等的四边形围绕一个公共顶点拼接，使它们的四个不同内角汇聚于一点，其和恰好为 ，从而实现无缝拼接。 知识点四：组合图形的密铺规律（思维拓展） 1. 两种正多边形的组合密铺： (1) 若使用两种不同的正多边形密铺，需满足在公共顶点处，几种图形的内角之和为 。 (2) 常见组合示例： 1　 正方形 + 正八边形： （1个正方形和2个正八边形）。 2　 正三角形 + 正六边形： 方案A： （2个正三角形和2个正六边形）。 方案B： （4个正三角形和1个正六边形）。 3　 正三角形 + 正方形： （3个正三角形和2个正方形）。 知识点五：非规则图形的密铺设计（艺术与应用） 1. 变形原理：基于“割补法”或“平移/旋转对称”原理。 (1) 从一个能密铺的基本图形（如正方形、正三角形、正六边形）出发。 (2) 在其一边剪下一部分，平移或旋转到对边或邻边上。 (3) 只要保持图形面积不变且边界吻合，新形成的不规则图形依然可以密铺。 2. 埃舍尔艺术风格：利用上述原理，将鸟类、鱼类、蜥蜴等生物形态转化为可密铺的几何单元，体现数学与艺术的结合。 3. 生活应用：地砖铺设、墙面装饰、蜂窝结构（自然界最高效的密铺）、晶体结构等。 知识点六：密铺问题的解题思维策略 1. 顶点分析法：解决密铺问题的核心是聚焦于“公共顶点”。检查围绕该点的所有角的度数之和是否严格等于 。 2. 整除性检验：对于单一正多边形，直接用 除以内角度数，看是否为整数。 3. 排除法：若某图形内角大于 或无法通过整数倍凑齐 ，则通常不能单独密铺。 4. 动态想象：在脑海中模拟图形的平移、旋转和翻转，验证拼接处是否出现空隙或重叠。 重难点题型精讲 题型一、密铺（镶嵌）的基本定义与特征 【例题1】请简述什么是平面图形的密铺？在判断一组图形是否构成密铺时，必须同时满足哪两个关于图形位置关系的核心条件？ 【答案】 密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的现象。必须同时满足的两个核心条件是：无空隙和不重叠。 【详解】 根据密铺的定义，关键在于“铺成一片”且“无缝隙、无重叠”。 无空隙：指图形之间没有未被覆盖的区域，地面或平面被完全填满。 不重叠：指图形之间没有相互覆盖的部分，每一块区域只被一个图形占据。 只有同时满足这两个条件，且铺设范围理论上可以无限延伸，才称为密铺。 【跟踪训练1】小明用一些全等的等腰梯形拼图，发现拼好的图案中，某些地方梯形之间留有细小的缝隙，而另一些地方梯形互相盖住了一部分。请问小明的拼图属于密铺吗？为什么？ 【答案】 不属于密铺。因为密铺要求图形之间既不能有空隙，也不能重叠。小明的拼图中既有空隙又有重叠，违反了密铺的核心特征。 【详解】 密铺的定义明确指出，参与密铺的图形必须“彼此之间不留空隙、不重叠”。 题目中提到“留有细小的缝隙”，违反了“无空隙”的原则。 题目中提到“互相盖住了一部分”，违反了“不重叠”的原则。 因此，无论图形形状如何，只要出现空隙或重叠，就不能称之为密铺。 题型二、单一正多边形的密铺条件 【例题2】正十二边形的每个内角是150度。请通过计算说明，为什么正十二边形不能单独进行密铺？ 【答案】 正十二边形不能单独密铺。因为在公共顶点处，需要若干个内角之和等于360度。用360除以150等于2.4，结果不是整数，说明无法用整数个正十二边形在顶点处拼成360度，故不能密铺。 【详解】 判断单一正多边形能否密铺的关键是看其内角度数是否能整除360度。 正十二边形每个内角为150度。 计算：360 ÷ 150 = 2.4。 因为2.4不是整数，意味着在同一个顶点处，放2个正十二边形角度和为300度（有空隙），放3个则角度和为450度（会重叠）。 所以，正十二边形不能单独密铺。 【跟踪训练2】现有三种正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形。请分别计算它们的内角度数，并判断哪一种可以单独密铺，写出判断依据。 【答案】 正三角形内角60度，360÷60=6，可以密铺；正方形内角90度，360÷90=4，可以密铺；正五边形内角108度，360÷108≈3.33，不能整除，不可以密铺。因此，正三角形和正方形可以单独密铺，正五边形不行。 【详解】 正三角形：内角和180度，每个内角180÷3=60度。360÷60=6，是整数，可以密铺。 正方形：内角和360度，每个内角360÷4=90度。360÷90=4，是整数，可以密铺。 正五边形：内角和(5-2)×180=540度，每个内角540÷5=108度。360÷108=3余36，不能整除，无法在顶点处凑成360度，故不能密铺。 结论：只有内角能整除360度的正多边形才能单独密铺。 题型三、一般三角形与四边形的密铺特性 【例题3】为什么说任意形状、大小相同的三角形都可以进行密铺？请从三角形内角和的角度进行解释。 【答案】 因为任意三角形的内角和是180度。在密铺的公共顶点处，如果将6个全等的三角形拼接，使三角形的三个不同内角各出现2次，那么这6个角的总和就是2×180=360度。既然能凑成360度，就可以实现无空隙、不重叠的密铺。 【详解】 任意三角形的三个内角之和恒为180度。 要实现密铺，公共顶点处的角度之和必须为360度。 取6个全等的三角形，让它们的顶点汇聚于一点。通过旋转和平移，可以让这6个角中包含2个角A、2个角B、2个角C。 总角度 = 2×(角A+角B+角C) = 2×180 = 360度。 因此，任意三角形都可以通过这种方式实现密铺。 【跟踪训练3】小红剪出了四个完全一样的不规则四边形纸片。她尝试将这四个四边形的四个不同内角汇聚在同一个点上，发现正好拼成了一个周角。请问这说明什么？任意四边形都能这样密铺吗？ 【答案】 这说明这四个四边形在该顶点处实现了无缝拼接。任意四边形都能这样密铺，因为任意四边形的内角和都是360度，将四个全等四边形的四个不同内角拼在一起，和恰好为360度，满足密铺条件。 【详解】 任意四边形的内角和公式为(n-2)×180，当n=4时，内角和为360度。 密铺要求在公共顶点处角度和为360度。 取四个全等的四边形，将它们的不同内角（角1、角2、角3、角4）各取一个汇聚于一点。 因为这四个角之和等于四边形的内角和，即360度，所以正好填满一周，无空隙也不重叠。 因此，任何形状、大小相同的四边形都可以密铺。 题型四、组合图形的密铺规律（思维拓展） 【例题4】在使用正三角形和正方形组合密铺时，如果在某个公共顶点处使用了3个正三角形和2个正方形，请验证这种组合是否能实现密铺？（已知正三角形内角60度，正方形内角90度） 【答案】 能实现密铺。计算过程：3个正三角形的角度和为3×60=180度，2个正方形的角度和为2×90=180度。总和为180+180=360度。因为角度和恰好等于360度，所以这种组合可以在该顶点处密铺。 【详解】 组合密铺的条件是：在公共顶点处，所有参与拼接的图形内角之和必须等于360度。 正三角形内角为60度，3个正三角形的角度和 = 3 × 60 = 180度。 正方形内角为90度，2个正方形的角度和 = 2 × 90 = 180度。 总角度 = 180 + 180 = 360度。 符合密铺的角度条件，因此该组合方案可行。 【跟踪训练4】有人提出用1个正六边形和2个正四边形（正方形）在同一个顶点处进行组合密铺。已知正六边形内角120度，正方形内角90度。请通过计算判断这个方案是否可行？ 【答案】 不可行。计算过程：1个正六边形内角120度，2个正方形内角和为2×90=180度。总和为120+180=300度。因为300度小于360度，存在60度的空隙，所以不能在该顶点处实现密铺。 【详解】 检查公共顶点处的角度和是否为360度。 1个正六边形贡献角度：120度。 2个正方形贡献角度：2 × 90 = 180度。 当前总角度：120 + 180 = 300度。 360 - 300 = 60度，说明还有60度的空隙未填充。 由于角度和不足360度，会产生空隙，因此该组合方案在该顶点处无法完成密铺。 题型五、非规则图形的密铺设计（艺术与应用） 【例题5】埃舍尔的版画作品中经常出现鸟类或鱼类形状的密铺图案。请结合“割补法”原理，简要说明如何将一个正方形转化为一个能密铺的“鸟形”图案？ 【答案】 首先画一个正方形。在正方形的一条边上剪下一个特定的形状（如翅膀的一部分），然后将剪下的这部分平移或旋转到正方形的对边或邻边上并粘贴上去。只要保证剪去和补上的部分完全吻合，新形成的“鸟形”图形面积不变，且边界能够互相咬合，因此依然可以密铺。 【详解】 基础图形选择：正方形是可以密铺的基本图形。 变形操作：利用“割补法”，从一边剪下一部分，必须将其补偿到另一边。 原理：这种变换保持了图形的拓扑性质和边界吻合性。原正方形的直边变成了曲线或折线，但相邻图形之间的凹凸关系依然互补。 结果：新生成的不规则图形继承了正方形的密铺特性，可以像正方形一样通过平移或旋转铺满平面，形成艺术图案。 【跟踪训练5】自然界中的蜂窝结构是由正六边形组成的。请从密铺效率和材料节省的角度，简单分析为什么蜜蜂选择正六边形而不是正三角形或正方形来建造蜂巢？ 【答案】 虽然正三角形、正方形和正六边形都能单独密铺，但在周长相等（即消耗同等材料）的情况下，正六边形的面积最大。或者说，在围成相同面积的情况下，正六边形所需的周长最短，最节省蜂蜡。此外，正六边形结构稳定，空间利用率高，无空隙，是自然界最高效的密铺形式之一。 【详解】 密铺可行性：三者均可密铺，无空隙。 效率比较：数学上已证明，在所有能密铺的正多边形中，正六边形最接近圆形。 材料节省：对于相同的内部容积（面积），正六边形的表面积（周长）比正方形和正三角形更小。这意味着蜜蜂可以用最少的蜂蜡建造出最大的储存空间。 结构强度：六边形结构在受力时分布均匀，坚固耐用。 因此，正六边形是兼顾空间利用率和材料成本的最佳选择。 题型六、密铺问题的解题思维策略 【例题6】在解决密铺问题时，“顶点分析法”是非常有效的策略。请描述如何使用“顶点分析法”来判断一组给定的正多边形组合能否在某个点周围密铺？ 【答案】 使用顶点分析法的步骤如下：首先确定参与组合的各种正多边形的单个内角度数；其次，统计在公共顶点处每种多边形的数量；然后，将所有这些内角的度数相加；最后，判断总和是否严格等于360度。如果等于360度，则在该点可以密铺；如果不等于，则不能密铺。 【详解】 聚焦顶点：密铺的关键在于每个拼接点（顶点）周围的情况。 获取数据：查表或计算得出各正多边形的内角（如正三角形60度，正方形90度等）。 求和验证：将围绕该点的所有角的度数累加。 判定标准： 和 = 360度：无空隙、不重叠，可能密铺。 和 < 360度：有空隙，不能密铺。 和 > 360度：有重叠，不能密铺。 这是解决密铺问题最直接、核心的逻辑方法。 【跟踪训练6】如果一个正多边形的内角是140度，请运用“整除性检验”和“排除法”快速判断它能否单独密铺，并说明理由。 【答案】 不能单独密铺。理由是：用360除以140，结果是2余80（或约等于2.57），不是整数。根据整除性检验，内角度数必须能整除360度才能单独密铺。因为140不能整除360，所以排除其单独密铺的可能性。 【详解】 整除性检验原理：单一正多边形密铺要求 ，其中 为正整数。即 必须是 360 的因数。 计算验证： 。商不是整数。 排除法应用： 若放2个，角度和280度，剩80度空隙。 若放3个，角度和420度，超出60度，发生重叠。 没有任何整数个140度角能凑成360度。 结论：该正多边形不能单独密铺。 培优练习 1．下面四幅图中，哪一幅图可以看作是密铺？（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密铺是指将一种或多种平面图形拼接在一起，使其不留空隙、不重叠，从而铺满整个平面。 【详解】A．图形之间有空隙，不是密铺； B．图形之间重叠，不是密铺； C．图中既不留空隙，也不重叠地铺满，所以是密铺。 D．图形之间有空隙，不是密铺。 2．密铺研究历史悠久，古希腊时期已探索多边形镶嵌。下面的图形中，能单独密铺的图形有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】能够密铺的图形的公共顶点处的角的度数之和是360°。计算题中各个图形的内角角度，内角度数能够整除360的图形才能单独密铺。 【详解】①圆内没有角，圆与圆之间不能无缝拼合，所以圆不能密铺； ②正五边形的内角和是540°，540÷5＝108°，108不能整除360，所以正五边形不能密铺； ③等边三角形的内角都是60°，60可以整除360，所以等边三角形能单独密铺； ④长方形的内角都是90°，90可以整除360，所以长方形能单独密铺； ⑤正六边形的内角和是720°，720÷6＝120°，120可以整除360，所以正六边形能单独密铺。 综上所述，能单独密铺的图形有3个。 3．关于密铺的说法正确的是（    ）。 A．边数是单数的多边形都不能密铺 B．凡是完全相同的正多边形都可以密铺 C．边数是双数的多边形都能密铺 D．凡是完全相同的平行四边形都能密铺 【答案】D 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺。 【详解】A．三角形的内角和是180°，2个180°是360°，三角形可以密铺，三角形的边数是单数，原题说法错误。 B．除正三角形、正四边形和正六边形是360°外，其他正多边形内角和都不是360°，都不可以密铺平面，原题说法错误。 C．边数是双数的多边形只有正四边形和正六边形的内角和是360°，所以边数是双数的多边形只有正四边形和正六边形能密铺，原题说法错误。 D．平行四边形的内角和是360°，所以凡是完全相同的平行四边形都能密铺，原题说法正确。 所以说法正确的是凡是完全相同的平行四边形都能密铺。 故答案为：D 【点睛】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，如正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形、正六边形等都可以密铺。 4．亮亮设计了下列四种瓷砖图案，用同一种瓷砖可以单独密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角。由此可知，判断图形能否密铺，看图形的内角和能否整除360°，或者图形单个内角能否被360°整除。 【详解】①等边三角形的每个内角都是60°，360°÷60°＝6，能整除，可以密铺。 ②正方形的每个内角都是90°，360°÷90°＝4，能整除，可以密铺。 ③正五边形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，每个内角是540°÷5＝108°，360°÷108°≈3.3，不能整除，所以不能密铺。 ④正六边形的内角和是（6－2）×180°＝4×180°＝720°，每个内角是720°÷6＝120°，360°÷120°＝3，能整除，可以密铺。 综上所述，用同一种瓷砖可以单独密铺的是①②④。 5．边长相等的六边形可以密铺，也可以与下面的图形（    ）一起密铺。 A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．长方形 【答案】B 【分析】能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。边长相等的六边形是正六边形，内角和是（6－2）×180°＝4×180°＝720°。每个内角是720°÷6＝120°。如下图所示，两个正六边形相接与一点，标出的4个角围成一个周角，∠1＝∠2＝120°，∠3＝∠4＝（360°－120°－120°）÷2＝120°÷2＝60°，那么所求图形应该有60°的角，且有两条边与六边形的边相等，可知所求图形是等边三角形。据此解答。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷6＝120° ∠1＝∠2＝120° （360°－120°－120°）÷2 ＝120°÷2＝60° ∠3＝∠4＝60° A．直角三角形中，若两条直角边相等，两个锐角应该都是45°，不符合题意； B．等边三角形中三条边相等，三个内角都是60°，符合题意； C．正方形中四个角都是直角，不符合题意； D．长方形中四个角都是直角，不符合题意； 故答案为：B 6．密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于( )°。 【答案】360 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。正六边形的密铺如下图： 由图可知，拼接点处的各个角围成了一个周角，所以拼接点处的各个角的度数之和等于360°。 【详解】密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于360°。 7．鹏鹏在探究有趣的密铺，他探究的图形有三角形、梯形、长方形和正五边形，这四种图形中他发现( )不能单独密铺。 【答案】 正五边形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。由题意得，正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108°，而360°不是108°的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。三角形的内角和为180°，360°÷180°＝2；梯形和长方形的内角和都为360°，360°÷360°＝1，所以三角形、梯形和长方形都可以密铺。 【详解】三角形、梯形、长方形和正五边形，不能单独密铺的是正五边形。 8．我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：( )、( )、( )。 【答案】 正方形 长方形 等边三角形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。据此可知，正五边形不可以密铺，等边三角形、正方形、长方形、正六边形可以单独用于密铺。 【详解】由分析得出： 我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：正方形、长方形、等边三角形。（答案不唯一） 9．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 【答案】 密铺 360 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，据此解答即可。 【详解】由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用正六边形可以密铺的原理。圈起来的拼接处形成的内角和正好是360度。 10．图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 【答案】(1)360 (2) 等边三角形 长方形 圆 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。 （2）由分析可知， 等边三角形：60°×6＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一） 11．实践活动。 亮亮在数学课研究密铺。他把若干个相同的四边形拼在一起，发现四边形( )（填“能”或“不能”）密铺。他又将四边形的角按序号编好，发现每个拼接点处有( )个角，且这几个角的和是( )°。 亮亮又用同样的方法研究了三角形和正五边形，发现( )形也有同样的特征，也可以密铺。 【答案】 能 4/四 360 三角 【分析】（1）用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺；平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好能整除或者被360°整除；四边形有4个角，根据多边形的内角和＝180°×（n－2），把n＝4代入公式求出四边形的内角和，再看是否能整除或者被360°整除； （2）三角形的内角和是180°，五边形的内角有5个角，根据多边形的内角和＝180°×（n－2），把n＝5代入公式求出五边形的内角和，再看三角形和五边形的内角和是否能整除或者被360°整除。 【详解】（1）四边形内角和： 180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 360°÷360°＝1 亮亮把若干个相同的四边形拼在一起，发现四边形能密铺。他又将四边形的角按序号编好，发现每个拼接点处有4个角，且这几个角的和是360°。 （2）180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 360°÷180°＝2 540°÷360°＝1……180° 亮亮又用同样的方法研究了三角形和正五边形，发现三角形也有同样的特征，也可以密铺。 12．妙想家正在装修，妈妈准备从这四种形状的地砖中任选一种，为了让每个拼接点处没有空隙和重叠，她共有（    ）种选法。地砖密铺后，拼接点上的几个角度数之和是（    ）°。请选择其中一个图形设计出密铺图案。 【答案】3；360； （答案不唯一） 【分析】同一种正多边形能单独密铺的核心是，它的一个内角度数可以整除360°，正三角形每个内角是60°，正方形每个内角是90°，正五边形每个内角是108°，正六边形每个内角是120°，用360分别除以这四种图形的一个内角度数，能整除的即密铺； 密铺的定义就是拼接点处没有空隙、不重叠，这个点周围一圈的角度加起来刚好是完整的一周，也就是360°； 选择其中一个图形设计出密铺图案，如使用正六边形铺成花朵的图案。 【详解】360÷60＝6 360÷90＝4 360÷108＝3……36 360÷120＝3 所以，可以密铺的有正三角形、正方形、正六边形，共有3种选法。地砖密铺后，拼接点上的几个角度数之和是360°。作图略 13．探索图形的奥秘。 (1)官官为了验证“三角形内角和是180°”，把三角形ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1）拼在一起进行验证。他将∠1和∠2拼在一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 (2)在接下来学习“四边形内角和”一课时，官官发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，并列式计算五边形的内角和（    ）。 (3)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 180°÷3＝( )°　　　　　　　( )°÷4＝( )°　　　　　( )°÷5＝( )° (4)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起，就叫作图形的密铺。 ①下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案，请将表格中的算式补充完整，并观察它们密铺的规律。 正三角形 正方形 正六边形 60°×6＝360° 90°×（    ）＝360° 120°×（    ）＝（    ）° ②我发现：当每个图形中拼接点周围的各个角的和是（    ）°时，就可以密铺。 ③你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 【答案】(1) (2) (3) 60 360 90 540 108 (4)① 正三角形 正方形 正六边形 60°×6＝360° 90°×（4）＝360° 120°×（3）＝（360）° ②360；   ③不能 【分析】（1）因为三角形内角和为，所以将∠3的顶点与图2中∠1、∠2的公共顶点重合，把角的边和已有的∠1或∠2的边拼接，使得三个角拼合后组成平角即可； （2）如果要计算五边形内角和，那么从五边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，把五边形拆分成若干个三角形，拆分后三角形的个数乘，就是五边形内角和（也可以用其它的方法确定五边形的内角和）。 （3）相同的正多边形的所有内角相等，所以先得到对应多边形的内角和，再用内角和除以边数，就能得到单个内角的度数。 （4）①根据周角为，用除以对应正多边形的单个内角度数，得到需要的正多边形个数，再完成算式填写。 ②观察密铺的拼接点处的角度和，该接点处的角是1个周角，所以是360°；三角形密铺6个可以拼成1个周角，60°×6；正方形密铺4个可以拼成1个周角，90°×4；正六边形密铺3个可以拼成1个周角，120°×3。 ③计算正五边形单个内角的度数，判断若干个该角度的和能否等于，得出是否可以密铺的结论。 【详解】（1）略 （2）略 （3） 四边形的内角和是360°，所以正方形的每个内角是： 五边形的内角和是540°，所以正五边形的每个内角是： 所以括号里依次填入：、、、、。 （4）① 完成填空： 正三角形 正方形 正六边形 60°×6＝360° 90°×（4）＝360° 120°×（3）＝（360）° ②我发现：当每个图形中拼接点周围的各个角的和是（360）°时，就可以密铺。 ③正五边形的1个内角是108°： 所以正五边形的内角拼一起，构不成360°的角，所以正五边形不能密铺。 14．下图是用形状、大小完全相同的等腰梯形和正方形密铺成的图案的一部分。这个图案中，等腰梯形的内角各是多少度？ 【答案】135度，135度，45度，45度 【分析】等腰梯形同一底上的两个角相等；密铺时，同一个拼接点上几个角相加等于周角；如图：，看图可知，红色标记部分是等腰梯形的8个下底角，共同构成了一个周角，周角是360度，用360度除以8得到的就是等腰梯形单个下底角的度数；蓝色标记部分是等腰梯形的2个上底角和正方形的一个直角，共同构成了一个周角，用360度减去直角的度数，再除以2，得到的就是等腰梯形单个上底角的度数。 【详解】（度） （度） 答：这个图案中，等腰梯形的内角分别是135度，135度，45度，45度。 15．密铺中的奥秘。 (1)上面几个图形，不能密铺的是( )。（填序号） (2)为什么它不能密铺呢？写一写原因。 【答案】(1)③ (2) 图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【分析】（1）密铺的要求是：把几个图形铺在同一个点上时，拼出的角加起来刚好是360°，既不留空隙也不重叠。 （2）图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【详解】（1）①是三角形、②是平行四边形、④是正六边形，都满足密铺的角度要求，是可以密铺的。 不能密铺的是③。 （2）答：图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 16．下图是明明设计的密铺图案。 (1)明明用到的图形有( )形、( )形、( )形，这些多边形的( )相等。 (2)想一想，正八边形可以和什么图形密铺？画一画，说一说。 【答案】(1) 正十二边 正六边 正方 边长 (2)如图，正八边形可以和正方形密铺。 （答案不唯一） 【分析】四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形，每条边相等的六边形是正六边形，每条边相等的十二边形是正十二边形；密铺条件：拼接点处所有内角之和等于360°；多种正多边形组合密铺，要求各图形边长相等。 【详解】（1）观察图案：大图形是正八边形，最小方块是正方形，中间较小多边形为正十二边形；参与密铺的正多边形边长必须全部相等。 （2）图略 正八边形内角度数： （8－2）×180°÷8 ＝6×180°÷8 ＝1080°÷8 ＝135° 360°－135°×2 ＝360°－270° ＝90° 内角90°的正多边形是正方形。 因此边长相等的正八边形与正方形可以密铺。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆ 有趣的密铺（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：密铺（镶嵌）的基本定义与特征 1. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种现象叫做密铺（又称平面镶嵌）。 2. 核心特征： (1) 无空隙：图形之间没有未被覆盖的区域。 (2) 不重叠：图形之间没有相互覆盖的部分。 (3) 连续性：铺设范围理论上可以无限延伸。 3. 关键要素：参与密铺的图形必须是平面图形，且通常指全等图形（形状和大小完全相同）的组合。 知识点二：单一正多边形的密铺条件 1. 密铺的几何原理：在密铺的公共顶点处，所有拼接图形的内角之和必须恰好等于 。 2. 正三角形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即6个正三角形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正三角形可以单独密铺。 3. 正方形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即4个正方形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正方形可以单独密铺。 4. 正六边形： (1) 每个内角为 。 (2) ，即3个正六边形可以在一个顶点处密铺。 (3) 结论：正六边形可以单独密铺。 5. 不能单独密铺的正多边形： (1) 正五边形：每个内角为 ， 不是 的整数倍（ ），故不能密铺。 (2) 正八边形及以上：内角大于 且小于 ，无法整除 ，故不能单独密铺。 6. 总结规律：只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形可以单独进行密铺。判断依据是看该正多边形的内角度数是否能整除 。 知识点三：一般三角形与四边形的密铺特性 1. 任意三角形： (1) 任何形状、大小相同的三角形都可以密铺。 (2) 原理：两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形可以通过平移进行密铺。或者从角度看，三角形内角和为 ，在公共顶点处，将三角形的三个不同内角各取2个（或通过旋转拼接），总和可凑成 。 2. 任意四边形： (1) 任何形状、大小相同的四边形都可以密铺。 (2) 原理：四边形的内角和为 。将四个全等的四边形围绕一个公共顶点拼接，使它们的四个不同内角汇聚于一点，其和恰好为 ，从而实现无缝拼接。 知识点四：组合图形的密铺规律（思维拓展） 1. 两种正多边形的组合密铺： (1) 若使用两种不同的正多边形密铺，需满足在公共顶点处，几种图形的内角之和为 。 (2) 常见组合示例： 1　 正方形 + 正八边形： （1个正方形和2个正八边形）。 2　 正三角形 + 正六边形： 方案A： （2个正三角形和2个正六边形）。 方案B： （4个正三角形和1个正六边形）。 3　 正三角形 + 正方形： （3个正三角形和2个正方形）。 知识点五：非规则图形的密铺设计（艺术与应用） 1. 变形原理：基于“割补法”或“平移/旋转对称”原理。 (1) 从一个能密铺的基本图形（如正方形、正三角形、正六边形）出发。 (2) 在其一边剪下一部分，平移或旋转到对边或邻边上。 (3) 只要保持图形面积不变且边界吻合，新形成的不规则图形依然可以密铺。 2. 埃舍尔艺术风格：利用上述原理，将鸟类、鱼类、蜥蜴等生物形态转化为可密铺的几何单元，体现数学与艺术的结合。 3. 生活应用：地砖铺设、墙面装饰、蜂窝结构（自然界最高效的密铺）、晶体结构等。 知识点六：密铺问题的解题思维策略 1. 顶点分析法：解决密铺问题的核心是聚焦于“公共顶点”。检查围绕该点的所有角的度数之和是否严格等于 。 2. 整除性检验：对于单一正多边形，直接用 除以内角度数，看是否为整数。 3. 排除法：若某图形内角大于 或无法通过整数倍凑齐 ，则通常不能单独密铺。 4. 动态想象：在脑海中模拟图形的平移、旋转和翻转，验证拼接处是否出现空隙或重叠。 重难点题型精讲 题型一、密铺（镶嵌）的基本定义与特征 【例题1】请简述什么是平面图形的密铺？在判断一组图形是否构成密铺时，必须同时满足哪两个关于图形位置关系的核心条件？ 【跟踪训练1】小明用一些全等的等腰梯形拼图，发现拼好的图案中，某些地方梯形之间留有细小的缝隙，而另一些地方梯形互相盖住了一部分。请问小明的拼图属于密铺吗？为什么？ 题型二、单一正多边形的密铺条件 【例题2】正十二边形的每个内角是150度。请通过计算说明，为什么正十二边形不能单独进行密铺？ 【跟踪训练2】现有三种正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形。请分别计算它们的内角度数，并判断哪一种可以单独密铺，写出判断依据。 题型三、一般三角形与四边形的密铺特性 【例题3】为什么说任意形状、大小相同的三角形都可以进行密铺？请从三角形内角和的角度进行解释。 【跟踪训练3】小红剪出了四个完全一样的不规则四边形纸片。她尝试将这四个四边形的四个不同内角汇聚在同一个点上，发现正好拼成了一个周角。请问这说明什么？任意四边形都能这样密铺吗？ 题型四、组合图形的密铺规律（思维拓展） 【例题4】在使用正三角形和正方形组合密铺时，如果在某个公共顶点处使用了3个正三角形和2个正方形，请验证这种组合是否能实现密铺？（已知正三角形内角60度，正方形内角90度） 【跟踪训练4】有人提出用1个正六边形和2个正四边形（正方形）在同一个顶点处进行组合密铺。已知正六边形内角120度，正方形内角90度。请通过计算判断这个方案是否可行？ 题型五、非规则图形的密铺设计（艺术与应用） 【例题5】埃舍尔的版画作品中经常出现鸟类或鱼类形状的密铺图案。请结合“割补法”原理，简要说明如何将一个正方形转化为一个能密铺的“鸟形”图案？ 【跟踪训练5】自然界中的蜂窝结构是由正六边形组成的。请从密铺效率和材料节省的角度，简单分析为什么蜜蜂选择正六边形而不是正三角形或正方形来建造蜂巢？ 题型六、密铺问题的解题思维策略 【例题6】在解决密铺问题时，“顶点分析法”是非常有效的策略。请描述如何使用“顶点分析法”来判断一组给定的正多边形组合能否在某个点周围密铺？ 【跟踪训练6】如果一个正多边形的内角是140度，请运用“整除性检验”和“排除法”快速判断它能否单独密铺，并说明理由。 培优练习 1．下面四幅图中，哪一幅图可以看作是密铺？（    ）。 A． B． C． D． 2．密铺研究历史悠久，古希腊时期已探索多边形镶嵌。下面的图形中，能单独密铺的图形有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．关于密铺的说法正确的是（    ）。 A．边数是单数的多边形都不能密铺 B．凡是完全相同的正多边形都可以密铺 C．边数是双数的多边形都能密铺 D．凡是完全相同的平行四边形都能密铺 4．亮亮设计了下列四种瓷砖图案，用同一种瓷砖可以单独密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 5．边长相等的六边形可以密铺，也可以与下面的图形（    ）一起密铺。 A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．长方形 6．密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于( )°。 7．鹏鹏在探究有趣的密铺，他探究的图形有三角形、梯形、长方形和正五边形，这四种图形中他发现( )不能单独密铺。 8．我国首个载人火星探测任务“天问三号”成功着陆。为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形，填入下方的施工清单中：( )、( )、( )。 9．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 10．图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 11．实践活动。 亮亮在数学课研究密铺。他把若干个相同的四边形拼在一起，发现四边形( )（填“能”或“不能”）密铺。他又将四边形的角按序号编好，发现每个拼接点处有( )个角，且这几个角的和是( )°。 亮亮又用同样的方法研究了三角形和正五边形，发现( )形也有同样的特征，也可以密铺。 12．妙想家正在装修，妈妈准备从这四种形状的地砖中任选一种，为了让每个拼接点处没有空隙和重叠，她共有（    ）种选法。地砖密铺后，拼接点上的几个角度数之和是（    ）°。请选择其中一个图形设计出密铺图案。 13．探索图形的奥秘。 (1)官官为了验证“三角形内角和是180°”，把三角形ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1）拼在一起进行验证。他将∠1和∠2拼在一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 (2)在接下来学习“四边形内角和”一课时，官官发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，并列式计算五边形的内角和（    ）。 (3)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 180°÷3＝( )°　　　( )°÷4＝( )°　　( )°÷5＝( )° (4)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起，就叫作图形的密铺。 ①下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案，请将表格中的算式补充完整，并观察它们密铺的规律。 正三角形 正方形 正六边形 60°×6＝360° 90°×（    ）＝360° 120°×（    ）＝（    ）° ②我发现：当每个图形中拼接点周围的各个角的和是（    ）°时，就可以密铺。 ③你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 14．下图是用形状、大小完全相同的等腰梯形和正方形密铺成的图案的一部分。这个图案中，等腰梯形的内角各是多少度？ 15．密铺中的奥秘。 (1)上面几个图形，不能密铺的是( )。（填序号） (2)为什么它不能密铺呢？写一写原因。 16．下图是明明设计的密铺图案。 (1)明明用到的图形有( )形、( )形、( )形，这些多边形的( )相等。 (2)想一想，正八边形可以和什么图形密铺？画一画，说一说。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 14 页 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