专题27.3 实际问题与反比例函数 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.3 实际问题与反比例函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1实际问题中的反比例函数关系式 模块7 表格类反比例函数的应用 模块2 实际问题中的反比例函数图象 模块8方案设计类反比例函数的应用 模块3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用 微专题1反比例函数与一次函数的综合实际应用 模块4 工程工作类反比例函数的应用 压轴1反比例函数应用背景下的分段函数 模块5 行程问题类反比例函数的应用 通关检测·实战演练 模块6经济生活类反比例函数的应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 (1)行程类问题，当总路程固定时，运动速度和行驶时间满足反比例关系 (2)工程类问题，当工作总量固定时，工作效率和完成工作所需的时间满足反比例关系 （3）面积类问题，当矩形、平行四边形这类图形的面积固定时，图形的底边长和对应高满足反比例关系 （4）物理类问题，比如当电压固定时，导体中的电流强度和电阻满足反比例关系，当压力固定时，压强和受力面积满足反比例关系 （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 模块通关·举一反 三 【模块一】实际问题中的反比例函数关系式 .实际问题中求解反比例函数关系式，一般先根据题目中的实际场景找出两个变量满足的等量关系，再依据等量关系整理得到函数表达式，最后结合实际意义确定自变量的取值范围。需要注意的问题主要有三点：第一，要准确判断两个变量是否满足反比例关系，避免错写成其他函数形式；第二，整理函数表达式时要注意系数化简，保证表达式形式符合反比例函数的标准书写要求；第三，自变量的取值范围除满足x≠0的基本要求外，必须结合实际情境验证，比如涉及长度、面积、时间这类实际物理量时，自变量一定为正，若存在实际限制条件，还需进一步缩小自变量的取值范围。 【典例1】《传》曰：篇之世，宋员外，家有良田百顷，今也以田溉田，阴灌之，其源二万方，译：“据古书记载：在北宋时期，有一宋员外，家有良田百顷，现需修一蓄水池用以农田的灌溉，已知每年灌溉农田所需水量为立方米．”设宋员外所修圆柱形水池底面积为s平方米，水池高为h米，则其高与底面积之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm，蓄水池的侧面积为40π，则这个蓄水池的高h（cm）与底面半径x（cm）之间的函数关系式为_______________． 【变式1-3】．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【模块二】实际问题中的反比例函数图象 实际问题中的反比例函数图象，和纯数学条件下画出的反比例函数图象并不完全相同，因为结合实际意义确定的自变量取值范围，往往只会保留函数图象在某一象限内的一部分。 求解作图的一般步骤为：首先根据题目条件确定反比例函数的表达式，进而结合实际要求确定自变量的取值范围，之后再在限定范围内描点连线得到对应图象。需要注意的问题主要有两点：第一，作图前一定要先根据实际问题确定自变量的取值范围，不能直接画出整条双曲线，第二，若自变量的取值存在上下限，图像的端点需要根据自变量是否可取该端点值，区分使用实心点和空心点标注， 【典例2】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【变式2-1】近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．当x的值增大时，y的值随之减小 B．当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度 C．当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度 D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为 【变式2-2】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克立方米）与药物点燃后的时间（分钟）成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数． (1)求的值； (2)当前冷柜的温度，经过多长时间温度下降到？ 【模块三】物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用 以电压恒定的纯电阻电路为例，电路中电阻与电流满足反比例关系，总电压为定值，因此函数关系式为，求解时需要先明确已知的定值物理量，再结合物理公式推导得到变量之间的反比例关系。需要注意物理量本身都为正值，自变量R的取值范围为正实数，不存在负数区间，绘图时也只需要绘制第一象限内的函数图象即可。 再比如压强相关的力学问题中，当接触面受到的压力F固定时，受力面积S与压强p满足反比例关系，对应表达式为，其中受力面积S为实际物理量，取值必然为正，求解时要注意区分压力是否为定值，只有压力固定时才满足反比例关系，不可错误套用模型。 热学中一定质量气体的等温变化过程，压强与体积满足玻意耳定律，当气体温度保持不变时，压强和体积成反比例关系，整理后也可以写成反比例函数的标准形式，求解时需要注意温度恒定这一前提，只有满足该条件才能建立对应的反比例函数模型。 【典例3】一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． R(Ω) … 2 3 4 6 12 … I(A) … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（    ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值是48V C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 【变式3-1】一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．I与R的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当电阻R（）越大时，该台灯的电流I（A）也越大 【变式3-2】．（25-26九年级上·河南郑州·期末）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（   ） A．光强越大，越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【变式3-3】某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻（图1中的传感器），的阻值随载盘台所载质量m的变化而变化（如图2），已知空载盘的质量为g，电源电压保持V不变，提示器的电阻恒为，则下列说法不正确的是（    ） A．载盘台所载质量m越大，传感器的阻值越小 B．当g时，的阻值为 C．当g时，提示器不会发出提示音 D．当时，提示器会发出提示音 【模块四】工程工作类反比例函数的应用 当工作总量固定为某一定值时，工作效率与完成工作所需的时间满足反比例关系，求解这类问题时，首先要明确题干中是否给出工作总量为定值，若未明确说明可设工作总量为单位1，同样可以整理得到标准的反比例函数形式。需要注意的问题主要有两点，第一，工作效率、工作时间均为正实数，因此自变量的取值范围一定是正实数区间，不存在非正取值；第二，部分题目会对完成工期给出时间限制，求解时需要结合时间限制进一步确定工作效率的取值范围，不能遗漏这一限制条件。 【典例4】如图所示是某一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系图象． (1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； (2)求出此函数的解析式； (3)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (4)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时排完？ 【变式4-1】在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图像如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 【变式4-2】某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【模块五】行程问题类反比例函数的应用 当总路程固定为某一定值s时，行进速度v与走完全程所需时间t满足反比例关系，对应表达式为，若题干未给出具体总路程，也可将总路程设为单位1，依然可以整理得到标准反比例函数形式。求解时需要先明确“总路程固定”这一前提，只有在总路程不变的条件下才能建立该反比例模型，避免误套公式。 若问题涉及多人不同速度完成同一段路程，需要分别对每个人的速度时间关系建立反比例函数，再结合题目给出的时间差等条件求解对应未知量，不要混淆不同个体的变量关系。 【典例5】（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【变式5-1】已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶速度（单位：千米/时）关于行驶时间（单位：时）的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】一辆客车从A地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【变式5-3】一艘轮船从相距的甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为，航行的平均速度为． (1)求出关于的函数表达式； (2)若航行的平均速度为，则该轮船从甲地匀速行驶到乙地要多长时间？ 【模块六】经济生活类反比例函数的应用 当商品的总销售额为某一定值时，商品的单价与可售出的商品数量满足反比例关系，若题干未给出具体的总销售额，可将总销售额设为单位1，依然可以整理得到标准反比例函数形式。求解时需要首先确认“总销售额固定”这一成立前提，只有总销售额保持不变时，才能建立单价和销量之间的反比例关系，不能在总销售额可变的场景下错误套用模型。 如果是涉及总利润固定的场景，也可以按照同样的逻辑，建立单位利润和销量之间的反比例函数，推导求解思路和上述规则保持一致即可。 【典例6】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【变式6-1】某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． (1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． (2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 【变式6-2】王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金万元，个月还清，且是的反比例函数，其图像如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)求王叔叔购买的商品房的总价； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？ 【变式6-3】某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q(件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价（元/件）（）成反比例，且可以得到如下信息： 售价x（元/件） 5 8 商品的销售量Q（件） 580 400 (1)求Q与x的函数关系式． (2)若生产出的商品正好销完，求售价x． (3)求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？ 【模块七】表格类反比例函数的应用 表格类反比例函数应用中，题干会以表格形式给出多组成对的变量数据，我们需要先通过乘积验证法判断两个变量是否满足反比例关系：将表格中每一组对应变量相乘，若乘积始终为同一定值，即可确定二者满足反比例关系，该定值即为反比例函数表达式中的比例常数k。确定k值后即可得到标准反比例函数解析式，再结合题干要求求解对应自变量或函数值即可。 【典例7】秋冬流行的呼吸道、胃肠道传染病容易引起大面积传染，请同学们注意保持教室开窗透气，勤洗手．我校也高度重视病毒消杀工作，每周周末会对教室进行消毒．现测得周末教室内不同时刻的含药量y与时间x的数据如下表： 时间x（分钟） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y（毫克） 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-1】已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（）（）的反比例函数，调查数据如表： 眼镜片度数y（度） 400 625 800 1000 … 1250 镜片焦距x（cm） 25 16 12.5 10 … 8 (1)求y与x的函数表达式； (2)若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距． 【变式7-2】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数．现测得几组实验数据记录如下： 体积V（单位：） … … 压强p（单位：） … … (1)求p关于V的函数解析式； (2)当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值． 【变式7-3】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 1．00 0．50 0．25 0．20 0．10 近视眼镜的度数y（度） 100 200 400 500 1000 (1)请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系； (2)小张同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习惯，有效抑制近视度数增长．一年来他的近视眼镜的度数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少（结果精确到百分位）？ 【模块八】方案设计类反比例函数的应用 方案设计类反比例函数应用，一般会在题干中给出固定的总工程量或总任务量，要求我们结合给定的成本、效率等约束，设计合理的人员调配、资源分配方案，求解时首先基于固定总量建立对应反比例关系，再把自变量的取值范围与题干中的设计要求结合，筛选出满足所有限制条件的可行方案即可。 需要注意，这类问题中自变量一般为正整数，比如调配的工人数量、分配的设备台数，不能直接按连续正实数取值，需要结合实际场景对结果取整验证，保证方案可落地执行；同时要仔细核对题干的所有约束条件，不能遗漏任意一条限制，避免选出不符合要求的错误方案。 【典例8】（2025·广东佛山·二模）综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 【变式8-1】如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）． (1)求关于的函数表达式． (2)若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度 (3)若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期中）“双十一”促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【变式8-3】．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】反比例函数与一次函数的综合实际应用 求解这类问题时，首先要分别根据两个函数对应的实际场景，确定一次函数和反比例函数的具体解析式，明确两个函数中自变量和因变量的实际含义，再结合题干要求比较对应函数值的大小，或是求解两个函数图像交点对应实际意义，最终得到满足题目要求的结论。如果需要求解两个变量之间的关系，还要根据自变量的取值范围分段讨论，不同区间内两个函数的大小关系不同，对应最优方案的选择也会存在差异。 需要注意，讨论函数性质时必须结合自变量的实际取值范围，不能直接照搬纯函数问题中全体非零实数的定义域，忽略实际问题对变量取值的限制，避免得出不符合实际情况的结论；同时在比较函数值大小求解最优方案时，要注意交点处两个函数值相等，对应两种方案效果一致，不能漏掉这一特殊情况的讨论。 【典例9】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的一部分，下列选项错误的是（    ） A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C．10月份该厂利润达到190万元 D．4月份的利润为50万元 【变式9-1】．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去． （1）的值为________； （2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟． 【变式9-2】为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例． (1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量； (2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图像； (3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？ 【变式9-3】．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示． (1)a=___________，b=___________． (2)直接写出图中y关于x的函数关系式． (3)饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？ (4)若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比例函数应用背景下的分段函数 求解这类问题时，首先要根据题干给出的实际场景，拆分出自变量不同取值范围对应的函数关系：在自变量取值满足反比例关系的区间，按照待定系数法求出反比例函数解析式；在满足一次函数关系的区间，对应求出一次函数解析式，最终整合得到完整的分段函数表达式，再根据题干要求结合各段的取值范围求解对应问题即可。 需要注意两个核心问题：第一，分段函数每一段都要标注对应自变量的取值范围；第二，当题干要求根据给定因变量值求解自变量时，要先判断该函数值对应哪一个分段区间，再代入对应解析式计算，不能错代解析式得到错误结果，若计算得到的自变量不在对应分段区间内，该结果需要舍去。 【典例10】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【变式10-1】某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)求点的坐标； (3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【变式10-2】某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【变式10-3】某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． (1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； (2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； (3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？ 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图像如图所示，根据图像可知，下列说法正确的是（    ） A．密度随体积的增大而增大 B．密度和体积的关系式为 C．密度时，体积的范围为 D．体积时，密度的范围为 2．一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 3.一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． R(Ω) … 2 3 4 6 12 … I(A) … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（    ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值是48V C．图2中图像可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 4.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如下表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图像中，能表示与的函数关系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15∼20℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图像，其中段是双曲线的一部分，则下列说法错误的是（    ） A．的值为240 B．当时，大棚内的温度为15℃ C．恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有10小时 D．恒温系统在这天保持大棚内温度在的时间有16小时 二 填空题 6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图像如图所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则用电器的可变电阻应不小于______Ω． 7.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时． 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图像如图所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则用电器的可变电阻应不小于______Ω． 9.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系，其图像为如图所示的一段曲线，且端点为和．若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要_________h？ 10.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时． 三解答题 11.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强（）是木板面积（）的反比例函数，其图像如下图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 12如图1是某型号冷柜，如图2是该型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图，该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数． (1)求的值； (2)当前冷柜的温度℃，冷柜继续工作36分钟，此时冷柜中的温度是________℃． 13.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（）与燃烧时间（）之间的关系如图所示．根据图像所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 14.如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像经过，两点． (1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义； (2)求m的值，并说明m的实际意义； (3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 15小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），看弹簧测力计的示数（单位：）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据． 第组 第组 第组 第组 (1)表中第___________组数据是明显错误的； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是，求的取值范围． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.3 实际问题与反比例函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1实际问题中的反比例函数关系式 模块7 表格类反比例函数的应用 模块2 实际问题中的反比例函数图象 模块8方案设计类反比例函数的应用 模块3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用 微专题1反比例函数与一次函数的综合实际应用 模块4 工程工作类反比例函数的应用 压轴1反比例函数应用背景下的分段函数 模块5 行程问题类反比例函数的应用 通关检测·实战演练 模块6经济生活类反比例函数的应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 (1)行程类问题，当总路程固定时，运动速度和行驶时间满足反比例关系 (2)工程类问题，当工作总量固定时，工作效率和完成工作所需的时间满足反比例关系 （3）面积类问题，当矩形、平行四边形这类图形的面积固定时，图形的底边长和对应高满足反比例关系 （4）物理类问题，比如当电压固定时，导体中的电流强度和电阻满足反比例关系，当压力固定时，压强和受力面积满足反比例关系 （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 模块通关·举一反 三 【模块一】实际问题中的反比例函数关系式 .实际问题中求解反比例函数关系式，一般先根据题目中的实际场景找出两个变量满足的等量关系，再依据等量关系整理得到函数表达式，最后结合实际意义确定自变量的取值范围。需要注意的问题主要有三点：第一，要准确判断两个变量是否满足反比例关系，避免错写成其他函数形式；第二，整理函数表达式时要注意系数化简，保证表达式形式符合反比例函数的标准书写要求；第三，自变量的取值范围除满足x≠0的基本要求外，必须结合实际情境验证，比如涉及长度、面积、时间这类实际物理量时，自变量一定为正，若存在实际限制条件，还需进一步缩小自变量的取值范围。 【典例1】《传》曰：篇之世，宋员外，家有良田百顷，今也以田溉田，阴灌之，其源二万方，译：“据古书记载：在北宋时期，有一宋员外，家有良田百顷，现需修一蓄水池用以农田的灌溉，已知每年灌溉农田所需水量为立方米．”设宋员外所修圆柱形水池底面积为s平方米，水池高为h米，则其高与底面积之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱体的体积为圆柱底面积乘以高，据此列出反比例函数关系式即可作答． 【详解】∵圆柱体的体积为圆柱底面积乘以高，且需水量为立方米， ∴， 即有：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握圆柱体的体积为圆柱底面积乘以高，是解答本题的关键． 【变式1-1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y， ∴， ∴y与x的函数关系式为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【变式1-2】一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm，蓄水池的侧面积为40π，则这个蓄水池的高h（cm）与底面半径x（cm）之间的函数关系式为_______________． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、圆柱的侧面积公式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 【变式1-3】．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 【模块二】实际问题中的反比例函数图象 实际问题中的反比例函数图象，和纯数学条件下画出的反比例函数图象并不完全相同，因为结合实际意义确定的自变量取值范围，往往只会保留函数图象在某一象限内的一部分。 求解作图的一般步骤为：首先根据题目条件确定反比例函数的表达式，进而结合实际要求确定自变量的取值范围，之后再在限定范围内描点连线得到对应图象。需要注意的问题主要有两点：第一，作图前一定要先根据实际问题确定自变量的取值范围，不能直接画出整条双曲线，第二，若自变量的取值存在上下限，图像的端点需要根据自变量是否可取该端点值，区分使用实心点和空心点标注， 【典例2】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【分析】首先求出反比例函数关系式，然后逐项求解判断． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意； ∵， ∴在第一象限，I随R增大而减小， ∴当时，，故A错误，符合题意； 当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意． 【变式2-1】近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．当x的值增大时，y的值随之减小 B．当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度 C．当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度 D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D． 【详解】∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 将代入，y值为500，故B正确，不符合题意； 将．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意； 将代入，x值为0.25，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 【变式2-2】为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克立方米）与药物点燃后的时间（分钟）成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求解两函数解析式，再计算当时x的值，从而得出答案． 【详解】解：设正比例函数解析式：且过 设反比例函数解析式：，且过 当时，，解得： 当时，，解得： 则空气中每立方米的含药量不低于2毫克的持续时间为分钟 故选C． 【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数的实际应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案． 【变式2-3】如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数． (1)求的值； (2)当前冷柜的温度，经过多长时间温度下降到？ 【答案】(1) (2)当在温度下降过程中时，经过2.5分钟温度可下降到，当在温度上升过程中时，再经过分钟温度可降至 【分析】（1）由函数图像可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图像上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）分别求得时的函数值，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ， 当在温度下降过程中， 此时，经过2.5分钟温度可下降到． 当在温度上升过程中时 ，， (min)． 此时，在经过16分钟温度可降至 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【模块三】物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用 以电压恒定的纯电阻电路为例，电路中电阻与电流满足反比例关系，总电压为定值，因此函数关系式为，求解时需要先明确已知的定值物理量，再结合物理公式推导得到变量之间的反比例关系。需要注意物理量本身都为正值，自变量R的取值范围为正实数，不存在负数区间，绘图时也只需要绘制第一象限内的函数图象即可。 再比如压强相关的力学问题中，当接触面受到的压力F固定时，受力面积S与压强p满足反比例关系，对应表达式为，其中受力面积S为实际物理量，取值必然为正，求解时要注意区分压力是否为定值，只有压力固定时才满足反比例关系，不可错误套用模型。 热学中一定质量气体的等温变化过程，压强与体积满足玻意耳定律，当气体温度保持不变时，压强和体积成反比例关系，整理后也可以写成反比例函数的标准形式，求解时需要注意温度恒定这一前提，只有满足该条件才能建立对应的反比例函数模型。 【典例3】一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． R(Ω) … 2 3 4 6 12 … I(A) … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（    ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值是48V C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 【答案】C 【分析】A.根据电压电流电阻，即可求解； B.根据电压电流电阻，即可求解； C.设，可求，进行判断即可； D.若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A.根据电压电流电阻， 蓄电池的电流，故不符合题意． B.根据电压电流电阻， 蓄电池的电压值是，故不符合题意； C.设， 将点代入得， ， ； 图中图象可以表示电流和电阻之间的函数关系，故符合题意； D.若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 【变式3-1】一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．I与R的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当电阻R（）越大时，该台灯的电流I（A）也越大 【答案】A 【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【详解】解：A．设反比例函数解析式为：，把代入得： ，则，故此选项符合题意； B．当时，，故此选项不合题意； C．当时，，故此选项不合题意； D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）越小，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 【变式3-2】．（25-26九年级上·河南郑州·期末）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（   ） A．光强越大，越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：根据题意可知，阻值与光强之间成反比例关系，故B正确； 根据反比例函数的图象可得光强越大，越小，故A正确； ，光强越大，越小， ∴光强越大，越小，电路中的电流越大，故C正确； 当电流表显示时，， ， 结合图象可得，此时光强，故D错误； 故选：D． 【变式3-3】某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻（图1中的传感器），的阻值随载盘台所载质量m的变化而变化（如图2），已知空载盘的质量为g，电源电压保持V不变，提示器的电阻恒为，则下列说法不正确的是（    ） A．载盘台所载质量m越大，传感器的阻值越小 B．当g时，的阻值为 C．当g时，提示器不会发出提示音 D．当时，提示器会发出提示音 【答案】C 【分析】根据图象即可判断A、B选项；根据图象可得当g时，的阻值为，则电路中的总电阻，再根据计算出电流，和A比较即可判断C选项；根据计算出电流，和A比较即可判断D选项． 【详解】解：由图2可知，载盘台所载质量m越大，传感器的阻值越小，故A选项正确，不符合题意； 由图2可知，当g时，的阻值为，故B选项正确，不符合题意； 当g时，的阻值为， 电路中的总电阻， ∴， ∴提示器会发出提示音，故C选项错误，符合题意； 当时， 电路中的总电阻， ∴， ∴提示器会发出提示音，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数与图象，理解题意，从图中获取需要的信息，并进行准确地计算是解题关键． 【模块四】工程工作类反比例函数的应用 当工作总量固定为某一定值时，工作效率与完成工作所需的时间满足反比例关系，求解这类问题时，首先要明确题干中是否给出工作总量为定值，若未明确说明可设工作总量为单位1，同样可以整理得到标准的反比例函数形式。需要注意的问题主要有两点，第一，工作效率、工作时间均为正实数，因此自变量的取值范围一定是正实数区间，不存在非正取值；第二，部分题目会对完成工期给出时间限制，求解时需要结合时间限制进一步确定工作效率的取值范围，不能遗漏这一限制条件。 【典例4】如图所示是某一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系图象． (1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； (2)求出此函数的解析式； (3)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (4)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时排完？ 【答案】(1) (2) (3) (4)水池中的水至少要小时排完 【分析】（1）根据图示可知，当时间为小时，排水量为，由此即可求解； （2）运用待定系数法即可求解； （3）把代入反比例函数，即可求解； （4）根据题意可知，代入反比例函数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设， ∵点在函数图象上， ∴蓄水量为． （2）解：根据图示可知是反比例函数，设，点在函数图像上， ∴，解得，， ∴函数的解析式． （3）解：当时，， ∴每小时的排水量应该是． （4）解：∵， ∴，解得，， ∴水池中的水至少要小时排完． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解反比例函数图像的意义，掌握待定系数法求解析式，代入求值计算是解题的关键． 【变式4-1】在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图像如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设， ∵点在其图像上， ∴， ∴， ∴所求函数关系式为． （2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠(米)， 当时， 答：该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 【变式4-2】某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【答案】(1)v＝ (2)实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量 【分析】对于（1），先求出土方的总量，再根据实际平均每天运输的土方量总量总天数得出答案； 对于（2），将代入关系式求出v，再用求出的结果减去原计划每天运输的土方可得答案． 【详解】（1）根据题意，得 ； （2）当时，， （）． 答：实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，列出反比例函数关系式是解题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【答案】(1) (2)3天 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）根据“每天运输的吨数运输的天数货物总量”写出t与a的关系； （2）将代入t与a的关系，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 【模块五】行程问题类反比例函数的应用 当总路程固定为某一定值s时，行进速度v与走完全程所需时间t满足反比例关系，对应表达式为，若题干未给出具体总路程，也可将总路程设为单位1，依然可以整理得到标准反比例函数形式。求解时需要先明确“总路程固定”这一前提，只有在总路程不变的条件下才能建立该反比例模型，避免误套公式。 若问题涉及多人不同速度完成同一段路程，需要分别对每个人的速度时间关系建立反比例函数，再结合题目给出的时间差等条件求解对应未知量，不要混淆不同个体的变量关系。 【典例5】（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 【变式5-1】已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶速度（单位：千米/时）关于行驶时间（单位：时）的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据题意得出函数关系式，进而得出函数图像． 【详解】解：由题意可得： ， ∴汽车行驶速度是关于行驶时间反比例函数， ∵当时，， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【变式5-2】一辆客车从A地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由待定系数法即可得到函数关系式，再由v的取值范围得到t的取值范围； （2）由题意得到，根据t的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式是， ∵， ∴的取值范围； （2）由题意得到， 当时，， 当时，， 由图像可知随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． 【点睛】此题考查了反比例函数，考查了待定系数法、反比例函数的图像和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 【变式5-3】一艘轮船从相距的甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为，航行的平均速度为． (1)求出关于的函数表达式； (2)若航行的平均速度为，则该轮船从甲地匀速行驶到乙地要多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据速度，时间与路程的关系，列出函数关系式即可求解； （2）将代入（1）的关系式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴v关于t的函数表达式为． （2）当时，，解得， ∴该轮船从甲地匀速行驶到乙地要． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【模块六】经济生活类反比例函数的应用 当商品的总销售额为某一定值时，商品的单价与可售出的商品数量满足反比例关系，若题干未给出具体的总销售额，可将总销售额设为单位1，依然可以整理得到标准反比例函数形式。求解时需要首先确认“总销售额固定”这一成立前提，只有总销售额保持不变时，才能建立单价和销量之间的反比例关系，不能在总销售额可变的场景下错误套用模型。 如果是涉及总利润固定的场景，也可以按照同样的逻辑，建立单位利润和销量之间的反比例函数，推导求解思路和上述规则保持一致即可。 【典例6】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【答案】(1)，首付款为3万元 (2)每月应付万元 (3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答； （1）从反比例图像上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式． （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值． （3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围． 【详解】（1）解：由图像可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 【变式6-1】某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． (1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． (2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10天或40天 【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）直接利用函数解析式分别得出答案． 【详解】（1）当时，设，把代入得：， ∴； 当时，设，把代入得：， ∴， ∴当时，；当时，； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 【变式6-2】王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金万元，个月还清，且是的反比例函数，其图像如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)求王叔叔购买的商品房的总价； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？ 【答案】(1) (2)万元 (3)300个月 【分析】（1）设，待定系数法求解析式即可； （2）利用总价等于首付加贷款进行计算即可； （3）求出当时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设， 由图像可知：在函数图像上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴王叔叔贷款总额为：万元， ∴房子总价为：万元； （3）解：万，由题意得： 当时，即：， 解得， ∴至少需要300个月还清． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．利用待定系数法，求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 【变式6-3】某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q(件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价（元/件）（）成反比例，且可以得到如下信息： 售价x（元/件） 5 8 商品的销售量Q（件） 580 400 (1)求Q与x的函数关系式． (2)若生产出的商品正好销完，求售价x． (3)求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，月销售额最大，最大值为3400元 【分析】（1）设，将、代入求解可得； （2）求出时x的值即可得； （3）根据月销售额且可得． 【详解】（1）设，依题意，得 解得 ∴ （2）当时 解得 （3）依题意，得月销售额 ∵ ∴Q随x的增大而增大 则当 时，月销售额最大，最大值为3400元 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式． 【模块七】表格类反比例函数的应用 表格类反比例函数应用中，题干会以表格形式给出多组成对的变量数据，我们需要先通过乘积验证法判断两个变量是否满足反比例关系：将表格中每一组对应变量相乘，若乘积始终为同一定值，即可确定二者满足反比例关系，该定值即为反比例函数表达式中的比例常数k。确定k值后即可得到标准反比例函数解析式，再结合题干要求求解对应自变量或函数值即可。 【典例7】秋冬流行的呼吸道、胃肠道传染病容易引起大面积传染，请同学们注意保持教室开窗透气，勤洗手．我校也高度重视病毒消杀工作，每周周末会对教室进行消毒．现测得周末教室内不同时刻的含药量y与时间x的数据如下表： 时间x（分钟） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y（毫克） 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】直接利用表格中数据分别判断函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得： 当时，数据成比例增长，是正比例函数关系， 当时，数据呈反比例递减且，是反比例函数关系， ∴函数图像C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，能够根据表中数据判断出函数关系式是解题关键． 【变式7-1】已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（）（）的反比例函数，调查数据如表： 眼镜片度数y（度） 400 625 800 1000 … 1250 镜片焦距x（cm） 25 16 12.5 10 … 8 (1)求y与x的函数表达式； (2)若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）在解析式中，令，求出x的值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴函数的解析式是； （2）解：令，则， 解得：． 即该镜片的焦距是． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点是解决本题的关键． 【变式7-2】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数．现测得几组实验数据记录如下： 体积V（单位：） … … 压强p（单位：） … … (1)求p关于V的函数解析式； (2)当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）列出不等式求解即可． 【详解】（1）设p关于V的函数解析式为，由题意可知， ∴ ∴p关于V的函数解析式为． （2）当时 即 解得，经检验是原方程的根， ∵ ∴函数在第一象限内气压p随V的增大而减小， ∵根据题意 ∴为了安全起见， ∴气球的体积V的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数、解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式7-3】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 1．00 0．50 0．25 0．20 0．10 近视眼镜的度数y（度） 100 200 400 500 1000 (1)请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系； (2)小张同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习惯，有效抑制近视度数增长．一年来他的近视眼镜的度数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少（结果精确到百分位）？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中两个变量的对应值，可得出其乘积为100，进而可得出y与x成反比例关系，得出其关系式； （2）分别将和代入，求出对应的x的值，比较作差即可． 【详解】（1）根据表格可知， ∴y与x成反比例关系， ∴与的函数关系式为； （2）当时，即， 解得：． 当时，即， 解得：． （米） 答：他所佩戴眼镜的镜片焦距减少了米． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．根据表格判断出y与x成反比例关系是解题关键． 【模块八】方案设计类反比例函数的应用 方案设计类反比例函数应用，一般会在题干中给出固定的总工程量或总任务量，要求我们结合给定的成本、效率等约束，设计合理的人员调配、资源分配方案，求解时首先基于固定总量建立对应反比例关系，再把自变量的取值范围与题干中的设计要求结合，筛选出满足所有限制条件的可行方案即可。 需要注意，这类问题中自变量一般为正整数，比如调配的工人数量、分配的设备台数，不能直接按连续正实数取值，需要结合实际场景对结果取整验证，保证方案可落地执行；同时要仔细核对题干的所有约束条件，不能遗漏任意一条限制，避免选出不符合要求的错误方案。 【典例8】（2025·广东佛山·二模）综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 【答案】(1) (2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力 【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程， （1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度； （2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60， ②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， 解得旋转角速度； （2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为 ， 现有装置不能产生推力； ②， ， 解得圆柱体的高， 在最高旋转角速度下，当时，． 又， ， 解得 当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力． 【变式8-1】如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）． (1)求关于的函数表达式． (2)若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度 (3)若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝12，进而可得出：； （2）根据篱笆总长和门的长表示出AB与BC，列出方程求出即可； （3）由x，y均为整数，围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，可得出x的值，进而可得出各围建方案． 【详解】（1）解：依题意得：xy＝12， ∴． 又∵墙长为6m， ∴， ∴． ∴y关于x的函数表达式为：． （2）解：依题意得：， ∴或， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意得：，， ∴， ∵和的长都是正整数， ∴或， ∴则满足条件的围建方案为：或 【点睛】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式以及根据x，y均为整数找出x，y的值是解题的关键． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海·期中）“双十一”促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图像即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图像分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图像易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 【变式8-3】．（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】反比例函数与一次函数的综合实际应用 求解这类问题时，首先要分别根据两个函数对应的实际场景，确定一次函数和反比例函数的具体解析式，明确两个函数中自变量和因变量的实际含义，再结合题干要求比较对应函数值的大小，或是求解两个函数图像交点对应实际意义，最终得到满足题目要求的结论。如果需要求解两个变量之间的关系，还要根据自变量的取值范围分段讨论，不同区间内两个函数的大小关系不同，对应最优方案的选择也会存在差异。 需要注意，讨论函数性质时必须结合自变量的实际取值范围，不能直接照搬纯函数问题中全体非零实数的定义域，忽略实际问题对变量取值的限制，避免得出不符合实际情况的结论；同时在比较函数值大小求解最优方案时，要注意交点处两个函数值相等，对应两种方案效果一致，不能漏掉这一特殊情况的讨论。 【典例9】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的一部分，下列选项错误的是（    ） A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元 C．10月份该厂利润达到190万元 D．4月份的利润为50万元 【答案】B 【分析】直接利用已知点求出一次函数和反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 设一次函数的解析式为：， 将，代入一次函数解析式为： ， 解得：， 一次函数的解析式为：， A.改造完成后，从5月到7月，利润从40万增加到100万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不符合题意； B.当时，，解得：，则只有3、4、5、6共4个月的利润低于100万元，故此选项错误，符合题意； C.当时，，因此10月份该厂利润达到190万元，故此选项正确，不符合题意； D. 当时，，因此4月份的利润为50万元，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 【变式9-1】．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去． （1）的值为________； （2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为________分钟． 【答案】 50 20 【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令时即可求解，再利用待定系数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得时对应的的值求差即可． 【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点， ， ， 当时，则，解得， 设第一次循环过程中一次函数的解析式为， 由题意得 ，解得 ， 一次函数的解析式为， 当时，则，解得， 当时则，解得， 分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 （分钟） 故答案为：（1）50；（2）20． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键． 【变式9-2】为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例． (1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量； (2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图像； (3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？ 【答案】(1)第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量是4毫克 (2)见解析 (3)从第2分钟至第50分钟学生不能停留在教室里 【分析】（1）首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例，再将x=5代入计算可求解； （2）燃烧后，y与x成反比例；且其图像都过点（10，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式，再画出图像可求解； （3）根据题意求解y＞1.6时的x的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x（k1≠0），由题意得：8=10k1， ∴， ∴此阶段函数解析式为， 当x=5时，y=4， 故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克． （2）解：设药物燃烧结束后函数解析式为，由题意得：， ∴k2=80， ∴此阶段函数解析式， 其图像如下： （3）解：当y＞1.6时，得， 解得x＞2， 当y＞1.6时，得， ∵x＞0， ∴1.6x＜80， 解得x＜50． 即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图像与性质，反比例函数的运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案． 【变式9-3】．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示． (1)a=___________，b=___________． (2)直接写出图中y关于x的函数关系式． (3)饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？ (4)若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上 (4)不能，见解析 【分析】（1）根据题意，求得，再求得反比例函数解析式，将代入求得； （2）根据题意得出点的坐标为（0，20）和（8，100），然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出到第一节课下课时的时间为100分钟，是2个40分钟多20分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【详解】（1）（1）开机加热时每分钟上升， ， ∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系． 设关系为，将点代入得， ∴反比例函数解析式为， 令，解得：， ∴； 故答案为：，； （2）∵设一次函数关系式为：， 将（代入， 解得． ∴， 由（1）可得反比例函数解析式为：； ∴ （3）在中，令，解得； 在反比例函数中，令， 解得：， ， ∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上． （4）上午到上午第一节下课时（）的时间是分钟，是2个40分钟多20分钟， 在中，当时，， ∵， ∴学生上午第一节下课时不能喝到超过以上的水． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图像得出函数解析式是解决问题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】反比例函数应用背景下的分段函数 求解这类问题时，首先要根据题干给出的实际场景，拆分出自变量不同取值范围对应的函数关系：在自变量取值满足反比例关系的区间，按照待定系数法求出反比例函数解析式；在满足一次函数关系的区间，对应求出一次函数解析式，最终整合得到完整的分段函数表达式，再根据题干要求结合各段的取值范围求解对应问题即可。 需要注意两个核心问题：第一，分段函数每一段都要标注对应自变量的取值范围；第二，当题干要求根据给定因变量值求解自变量时，要先判断该函数值对应哪一个分段区间，再代入对应解析式计算，不能错代解析式得到错误结果，若计算得到的自变量不在对应分段区间内，该结果需要舍去。 【典例10】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间的函数关系式； (2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)10小时 【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式； （2）把代入中，即可求得结论． 【详解】（1）解：设线段解析式为 ∵线段过点，， ∴，解得 ∴线段的解析式为： ∵B在线段上当时，， ∴B坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为： ∴y关于x的函数解析式为： （2）把代入中，解得：， ∴（小时）， ∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图像求一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用． 【变式10-1】某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)求点的坐标； (3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【答案】(1)与的解析式为 (2)点的坐标为 (3)超过20分钟，故是有效消毒 【分析】（1）该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，将数据代入，使用待定系数法可得与的函数关系式； （2）将代入反比例函数解析式即可求出点的坐标； （3）求出线段的函数解析式，再把分别代入两个解析式求出计算即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式， 将代入得， ， 解得：， 与的函数关系式为：， 当时，， 当时，设与的解析式为：， 将点代入得， ， 解得：， 与的解析式为， 与的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标为； （3）解：由（1）得，直线解析式为， 将代入中得， ，解得：， 将代入中得， ，解得：， ， 超过20分钟，故是有效消毒． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 【变式10-2】某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． （2）当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． 【变式10-3】某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． (1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； (2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； (3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？ 【答案】(1)； (2)8 (3)能 【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可； （2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解； （3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知： 当时，设与的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当时，设与的函数解析式为， ∴， 解得： ∴ 综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．     （2）解：当时， 令， 解得：， ∴， ∴销量不到36万件的天数为8天； 当时， 令， 解得： （不符合题意）， ∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天； （3）解：当时， 令， 解得： ∴， ∴销量超过100万件的天数为6天， 当时， 令， 解得： ∴， 销量超过100万件的天数为6天， 综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图像如图所示，根据图像可知，下列说法正确的是（    ） A．密度随体积的增大而增大 B．密度和体积的关系式为 C．密度时，体积的范围为 D．体积时，密度的范围为 【答案】C 【分析】求得反比例函数的关系式，根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：观察图像，密度是体积的反比例函数，且经过点， 设反比例函数的关系式为，则， ∴函数关系式为， A.密度随体积的增大而减少，原说法错误，本选项不符合题意； B.密度和体积的关系式为，原说法错误，本选项不符合题意； C.密度时，体积的范围为，正确，，本选项符合题意； D.体积时，密度的范围为，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得比例函数的关系式是解题的关键． 2．一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图像进行判断即可求解． 【详解】解：依题意可得：，即：， ∴，，且为整数． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 3.一定电压(单位：V)下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． R(Ω) … 2 3 4 6 12 … I(A) … 24 16 12 a 4 … 下列说法不正确的是（    ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值是48V C．图2中图像可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A 【答案】C 【分析】A.根据电压电流电阻，即可求解； B.根据电压电流电阻，即可求解； C.设，可求，进行判断即可； D.若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A.根据电压电流电阻， 蓄电池的电流，故不符合题意． B.根据电压电流电阻， 蓄电池的电压值是，故不符合题意； C.设， 将点代入得， ， ； 图中图像可以表示电流和电阻之间的函数关系，故符合题意； D.若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 4.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如下表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图像中，能表示与的函数关系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据呈反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图像D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 5.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15∼20℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图像，其中段是双曲线的一部分，则下列说法错误的是（    ） A．的值为240 B．当时，大棚内的温度为15℃ C．恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有10小时 D．恒温系统在这天保持大棚内温度在的时间有16小时 【答案】D 【分析】将点B的坐标代入即可求出k的值，进而判断A选项；首先求出小时函数的表达式，然后将代入即可判断B选项；根据图像即可判断C选项；求出当时的x的值，然后结合图像求解即可判断D选项． 【详解】解：将点代入，得，故A选项正确； 设小时函数的表达式为， ∴将点和代入得，， ∴， ∴当时，， ∴此时大棚内的温度为15℃，故B选项正确； ∵（小时）， ∴恒温系统在这天保持大棚内温度20℃的时间有10小时，故C选项正确； 当小时，， 当时，， 当小时，， 当时，， 由图像可得，从小时大棚内温度在， ∴（小时）， ∴恒温系统在这天保持大棚内温度在的时间有15小时，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及应用，正确利用图像得出点的坐标是解题关键．． 二 填空题 6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图像如图所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则用电器的可变电阻应不小于______Ω． 【答案】3.6/ 【分析】由函数解析式即可求出电流不能超过10A，得出电器的可变电阻R应控制范围． 【详解】设电流I与电阻R之间的函数解析式为， 由图像知，反比例函数的图像过点， ∴， 解得， ∴这个反比例函数解析式为， ∵限制电流不能超过10A， ∴， ∴， ∴用电器的可变电阻应不小于3.6Ω． 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决此题的关键． 7.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时． 【答案】 【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，把点代入求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为， 当时，（小时）， 当时，（小时）， （小时）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图像如图所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则用电器的可变电阻应不小于______Ω． 【答案】3.6/ 【分析】由函数解析式即可求出电流不能超过10A，得出电器的可变电阻R应控制范围． 【详解】设电流I与电阻R之间的函数解析式为， 由图像知，反比例函数的图像过点， ∴， 解得， ∴这个反比例函数解析式为， ∵限制电流不能超过10A， ∴， ∴， ∴用电器的可变电阻应不小于3.6Ω． 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决此题的关键． 9.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系，其图像为如图所示的一段曲线，且端点为和．若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要_________h？ 【答案】 【分析】将点A代入可得k，求出时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值． 【详解】解：由题意得，函数经过点 把代入，得 ∴函数解析式为， 把代入，得， ∴汽车通过该路段最少需要小时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 10.青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差___小时． 【答案】 【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，把点代入求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为， 当时，（小时）， 当时，（小时）， （小时）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 三解答题 11.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强（）是木板面积（）的反比例函数，其图像如下图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1)（） (2)当压强不超过时，木板的面积至少是 【分析】（1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式； （2）将代入解析式，可求出的值． 【详解】（1）解：设，将点代入，可得， 解得：， 与之间的函数表达式为：． （2）解：当时，， 在中，， 随的增大而减小， 故当压强不超过时，木板的面积至少是． 【点睛】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图像得出结果． 12如图1是某型号冷柜，如图2是该型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图，该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比例函数． (1)求的值； (2)当前冷柜的温度℃，冷柜继续工作36分钟，此时冷柜中的温度是________℃． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图像可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图像上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）根据冷柜循环工作方式分析，当前冷柜的温度℃，冷柜继续工作36分钟时处于制冷停止的最后时间即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：．∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：由函数图像和（1）可知： 当冷柜温度达到℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到℃时制冷停止，这个过程需要4分钟， 当温度下降到℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到℃时，这个过程需要16分钟， ∴当前冷柜的温度℃，冷柜制冷停止，过16分钟后，温度上升到℃，冷柜制冷开始，再过4分钟，温度下降到℃，冷柜制冷停止，过16分钟后，温度上升到℃． ∴当前冷柜的温度是℃，冷柜继续工作36分钟，此时冷柜中的温度是℃． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 13.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（）与燃烧时间（）之间的关系如图所示．根据图像所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)， (2)分钟 【分析】（1）根据函数图像，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令，分别代入（1）中解析，求得的值，由函数图像可得：当时，毫克，即可求解． 【详解】（1）设反比例函数解析式为， 将代入解析式得， 反比例函数解析式为， 将代入解析式得，，， 故A点坐标为， 反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为 将代入得：， 正比例函数解析式为 （2）由可得：当时，， 由可得：当时，， 由函数图像可得：当时，毫克， 分钟， 师生至少在60分钟内不能进入教室． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 14.如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像经过，两点． (1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义； (2)求m的值，并说明m的实际意义； (3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 【答案】(1)，见解析 (2)3，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为 (3)该电路的可变电阻控制在不低于 【分析】（1）根据题意设，然后将代入求解记录； （2）将代入求解即可； （3）将代入求出R的值，然后结合图像求解即可． 【详解】（1）由于电流是电阻的反比例函数， 设， ∵图像过点， ∴， ∴I与R的函数表达式为； （2）将代入得，， ∴解得， ∴m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为； （3)∵， ∴当时，， ∴当时，． ∴该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出函数表达式． 15小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），看弹簧测力计的示数（单位：）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据． 第组 第组 第组 第组 (1)表中第___________组数据是明显错误的； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的值逐渐增大，逐渐减小，由此即可求解； （2）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，由此即可求解； （3）由（2）的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中的数据趋势可知，的值逐渐增大，逐渐减小， ∴第组的数据错误， 故答案为：． （2）解：根据杠杆原理知， ∴F与L的函数解析式为． （3）解：当时，由得． 由题意可知， ∴根据反比例函数的图像与性质可得，L的取值范围为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $