压轴专题：因式分解拓展 优等生讲义(十字相乘、分组分解及应用) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

压轴专题：因式分解拓展 优等生讲义(十字相乘、分组分解及应用) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握十字相乘法分解二次三项式ax2+bx+c，能熟练找两数使和为b、积为ac · · 掌握分组分解法，能根据多项式特征合理分组（二二分组、三一分组） · · 理解换元思想与整体思想，能把多项式视作整体再分解 · · 会用配方法分解因式并求多项式最值 · · 能运用因式分解解决密码、几何面积、新定义等综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 对于x2+px+q，找两数a、b使a+b=p且ab=q，则x2+px+q=(x+a)(x+b) 对于一般ax2+bx+c，用十字交叉线分解二次项系数与常数项，交叉相乘之和等于一次项系数 二次项系数为负时先提负号再分解；常数项为负时两数异号 整体换元：如(a2+3a)2-9(a2+3a)+20，把a2+3a视作整体t 概念辨析例题：分解因式：3x2-x-2 解析：二次项系数3=1×3，常数项-2=(-1)×2，交叉相乘之和1×2+3×(-1)=-1，等于一次项系数。故3x2-x-2=(x-1)(3x+2) ☆ 2.分组分解法 二二分组：如a3+a2b-ab2-b3=(a3+a2b)-(ab2+b3)=a2(a+b)-b2(a+b)=(a2-b2)(a+b) 三一分组：把三项配成完全平方，再与剩余项用平方差公式，如9x2-y2+2y-1=9x2-(y-1)2 分组后各组必须有公因式或能用公式继续分解 含多余字母的多项式（如双十字相乘）可先用十字相乘分解二次项，再对剩余项十字相乘 概念辨析例题：分解因式：ab-a-b+1 解析：二二分组：(ab-a)+(-b+1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) ☆ 3.配方法与试根法 配方法：先添项凑完全平方，再减回，最后用平方差分解，如x2+2x-3=(x+1)2-4=(x+3)(x-1) 配方法求最值：(x+m)2≥0，故(x+m)2+n的最小值为n 试根法：奇次项系数和=m，偶次项系数和=n；若m=n则x=-1时多项式为0，有因式(x+1)；若m=-n则x=1时为0，有因式(x-1) 长除法：用试根法找到一个一次因式后，用竖式除法求商式，再继续分解 概念辨析例题：用配方法分解：x2-6x-27，并求最小值 解析：x2-6x-27=(x2-6x+9)-36=(x-3)2-36=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)。当x=3时，(x-3)2=0，最小值为-36 ☆ 4.因式分解的综合应用 几何应用：等面积法验证平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；等体积法推导立方差a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 密码题：先因式分解，再代入数值求各因式绝对值，排列组合取最大数 新定义题：读懂定义后，通过因式分解作差比较大小或证明非负性 作差比较大小：M-N因式分解后判断符号，常用配方成完全平方加正数 概念辨析例题：已知a-b=1，ab=2，求a4b-ab4的值 解析：a4b-ab4=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)。由(a-b)2=a2-2ab+b2=1，得a2+b2=1+2ab=5。故原式=2×1×(5+2)=14 📋 知识总结表 核心方法 公式/模型 注意事项 十字相乘法 x2+px+q=(x+a)(x+b)，a+b=p，ab=q 先分解二次项系数与常数项，交叉验算 分组分解 二二分组提公因式；三一分组配完全平方 分组后必须能继续分解 换元法 把(a2+3a)等复杂部分视作整体t 分解后记得回代，再检查能否继续分 配方法 x2+bx=(x+)2- 添项后必须减回，保持值不变 试根法 奇次项系数和=偶次项系数和→x=-1为根 找到一个根后用长除法继续分 立方差公式 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 注意中间项是+ab不是+2ab ⚠️ 核心考点 【考点1】十字相乘法（第1-11题） · · 对x2+mx+n型，找两数和为m、积为n；对ax2+bx+c型，画十字交叉线分解 · · 整体换元：括号内二次式视作整体，用十字相乘分解后再回代 · · 已知一个因式求另一个：用待定系数法展开后比较系数 · · 阅读理解题：先读懂材料给的方法，再模仿应用到类似结构 1．（2025秋•鲤城区校级期末）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 2．（2026春•和平区期末）用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） 3．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 4．（2026春•电白区期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54 5．（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024秋•长宁区校级期中）已知x2+mx+n＝（x﹣a）（x+b），那么下列因式分解错误的是（　　） A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by） B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b） C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by） D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1） 7．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为________ ． 8．（2025秋•怀化月考）因式分解：2x2﹣5x+2＝________________ ． 9．（2025秋•黄浦区校级期末）因式分解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20． 10．（2026春•同步）【阅读理解】用“十字相乘法”因式分解3x2﹣x﹣2的方法． （1）二次项系数3＝1×3； （2）常数项﹣2＝﹣1×2＝1×（﹣2），验算：“交叉相乘之和”； （3）发现①“交叉相乘之和”的结果1×2+3×（﹣1）＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即（x﹣1）（3x+2）＝3x2﹣3x+2x﹣2＝3x2﹣x﹣2，则3x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（3x+2）．像这样，通过十字交叉线把二次三项式因式分解的方法叫十字相乘法． 【问题解决】因式分解： （1）x2+5x+4＝_______________ ． （2）x2﹣6x+5＝_______________ ． （3）x2+7x﹣8＝_______________ ． （4）x2﹣6x﹣27＝_______________ ． 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝________________ ． （2）3x2﹣5x+2＝________________ ． 11．（2026春•郑州期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：（a+b）2+6（a+b）+9． 解：将“a+b”看成一个整体，令a+b＝m，则原式＝m2+6m+9＝（m+3）2． 再将“m”还原，得原式＝（a+b+3）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）试证明：无论n为何值，式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【考点2】分组分解法（第12-23题） · · 四项式优先二二分组或三一分组；含a2-b2结构的优先三一分组 · · 分组后两组间必有公因式，提取后继续分解 · · 双十字相乘：先对二次齐次部分十字相乘，再对一次项与常数项十字相乘 · · 高次多项式（如t4-4t2+4t-1）先分组凑完全平方再用平方差 12．（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 13．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 14．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝_______________ ． 15．（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ ____________________ ． 16．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝____________________ ． 17．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝_______________ 18．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝________________ ． 19．（2024秋•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 20．（2024秋•静安区期末）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 21．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 22．（2025秋•宝山区期末）因式分解：1﹣x2+2xy﹣y2． 23．（2024秋•松江区期末）因式分解：9a2﹣3a+b﹣b2． 【考点3】因式分解的应用（第24-35题） · · 密码题：先分解因式，再代入数值求各因式绝对值，排列组合取最大 · · 几何验证题：从两个角度计算面积/体积，等式即因式分解公式 · · 新定义题：作差后配方成完全平方加正数，判断符号或最值 · · 立方和差公式：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)，注意中间项符号 24．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 25．（2025秋•衡阳县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　） A．255025 B．255024 C．257048 D．257049 26．（2025秋•浦北县期末）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 27．（2023秋•镇海区校级期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0，a，b，c为实数）的“共同体数”，如：x2+2x﹣1＝0的“共同体数”为《1，2，﹣1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n﹣1》 D． 28．（2025秋•渝中区校级月考）在学习用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式时，老师给了每个学生一张边长为a的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，如图是3位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（2025秋•赣州期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝_____ 时，最小值是 ________ ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 30．（2025秋•四川期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：a2+6a+5． 原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+_______ ＝（x﹣_____ ）2； （2）将x2﹣16x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣16x+5的最小值； （3）若M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 31．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16_____ “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（_________ ）2﹣（_________ ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 32．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是_________ ，余式是_____ ． （2）材料二中，p＝_______ ，q＝_______ ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝_______ ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝____________________ ． 33．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ____________________ ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①__________ ；②____________________ ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ____________________ ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 _______ ． 34．（2025秋•普陀区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为a的正方形，B种卡片是长、宽分别为a、b（a＞b）的长方形，C种卡片是边长为b的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解：2a2+5ab+2b2＝ _________________ ． （2）如图3，已知线段EF将长方形ABCD分成左右两个长方形，BE＝2a，EC＝3b． （i）小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形ABCD内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为S1，右下角的阴影部分面积为S2．当AB＞a时，S1﹣S2的值始终保持不变，a与b应满足怎样的数量关系？ （ii）小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形ABCD，求此时长方形ABCD的边长AB（用含a、b的代数式表示），并画出一种长方形ABCD内的卡片放置图． 35．（2023秋•芝罘区期中）观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2 解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2 ＝（x2+2xy+y2）﹣4y2 ＝（x+y）2﹣（2y）2 ＝（x+y+2y）（x+y﹣2y） ＝（x+3y）（x﹣y） 像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方形式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果． （1）请你运用上述方法分解因式：x2+4xy﹣5y2； （2）若M＝2（3x2+3x+1），N＝4x2+2x﹣3，比较M、N的大小，并说明理由； （3）已知Rt△ABC中．∠C＝90°，三边长a，b，c满足c2+25＝8a+6b，求△ABC的周长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【练习 2】（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 【练习 3】（2025秋•安陆市期末）分解因式x2﹣5x+6，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）（x+1） B．（x﹣6）（x﹣1） C．（x+2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 【练习 4】（2025秋•上海期末）关于x的二次三项式x2+mx﹣6因式分解的结果为（x﹣3）（x+2），则m＝ _______ ． 【练习 5】（2026•盐亭县开学）若x2+mx﹣12＝（x﹣3）（x+4），则m＝_____ ． 【练习 6】（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣1﹣y2+2y． 【练习 7】（2024•海淀区校级开学）a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2＝____________________ ． 【练习 8】（2026春•菏泽期末）【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式x2+2x﹣3因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： x2+2x﹣3＝x2+2•x•1+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解； （2）【实践操作】 请用配方法对多项式x2+6x+5进行因式分解； （3）【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式x2+y2﹣4x+6y+19的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 【练习 9】（2025秋•浦东新区校级期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0所以（x﹣2）2+1≥1 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为_______ ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，求这两块菜地的面积S甲和S乙的差并比较两块菜地的大小，并说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · · 十字相乘先看二次项系数是否为1，不是1时画交叉线验算 · · 分组分解先观察项数：四项优先二二或三一，五项以上考虑换元 · · 配方法关键是凑(x+)2，添项后务必减回 · · 分解必须彻底：每个因式在有理数范围内不能再分为止 · · 压轴综合题先因式分解化简，再代入数值或配方判断符号 【作业 1】（2025秋•双清区期末）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【作业 2】（2026春•宿松县期末）若x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n），则m，n的值分别是（　　） A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7 【作业 3】（2024秋•云阳县期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【作业 4】（2026春•宿豫区期中）下列因式分解错误的是（　　） A．2a+4b＝2（a+2b） B．﹣12a3+9a2＝3a2（4a﹣3） C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ac+ad+bc+bd＝（a+b）（c+d） 【作业 5】（2025秋•浦东新区校级期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式x4﹣y4因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式变9x3﹣xy2，取x＝12，y＝12时，密码不可能为（　　） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【作业 6】（2025秋•普陀区期末）因式分解： （1）（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8； （2）x2﹣x﹣3y﹣9y2． 【作业 7】（2025秋•金山区校级期中）因式分解： （1）2x2y﹣8xy+8y； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； （3）a4﹣a2+4a﹣4； （4）（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 【作业 8】（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【作业 9】（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 【作业 10】（2024秋•海淀区校级期中）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的相关点，我们规定次数超过3次的整式没有相关点． 例如，若整式A＝2x2+3x﹣4，则a＝0，b＝2，c＝3，d＝﹣4，故A的相关点为（﹣2，1）． （1）若A＝2x3﹣4x2+x+3，则A的相关点坐标为___________ ； （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣3）（2x+1）的乘积，若整式C的相关点为（0，24），求整式B的表达式． 【作业 11】（2024秋•汝阳县期中）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“扩充数”． （1）若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“扩充数”c； （2）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“扩充数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【作业 12】（1）如图①，在边长为a的大正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①__________ ；方法②：__________________ ．由此可以验证的乘法公式为 ____________________ ． （2）类似地，在棱长为a的大正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①__________ ；方法②：____________________ ．由此可得某个多项式因式分解的等式为 ____________________ ，并用学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解因式：8x3﹣y3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴专题：因式分解拓展 优等生讲义(十字相乘、分组分解及应用) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握十字相乘法分解二次三项式ax2+bx+c，能熟练找两数使和为b、积为ac · · 掌握分组分解法，能根据多项式特征合理分组（二二分组、三一分组） · · 理解换元思想与整体思想，能把多项式视作整体再分解 · · 会用配方法分解因式并求多项式最值 · · 能运用因式分解解决密码、几何面积、新定义等综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 对于x2+px+q，找两数a、b使a+b=p且ab=q，则x2+px+q=(x+a)(x+b) 对于一般ax2+bx+c，用十字交叉线分解二次项系数与常数项，交叉相乘之和等于一次项系数 二次项系数为负时先提负号再分解；常数项为负时两数异号 整体换元：如(a2+3a)2-9(a2+3a)+20，把a2+3a视作整体t 概念辨析例题：分解因式：3x2-x-2 解析：二次项系数3=1×3，常数项-2=(-1)×2，交叉相乘之和1×2+3×(-1)=-1，等于一次项系数。故3x2-x-2=(x-1)(3x+2) ☆ 2.分组分解法 二二分组：如a3+a2b-ab2-b3=(a3+a2b)-(ab2+b3)=a2(a+b)-b2(a+b)=(a2-b2)(a+b) 三一分组：把三项配成完全平方，再与剩余项用平方差公式，如9x2-y2+2y-1=9x2-(y-1)2 分组后各组必须有公因式或能用公式继续分解 含多余字母的多项式（如双十字相乘）可先用十字相乘分解二次项，再对剩余项十字相乘 概念辨析例题：分解因式：ab-a-b+1 解析：二二分组：(ab-a)+(-b+1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) ☆ 3.配方法与试根法 配方法：先添项凑完全平方，再减回，最后用平方差分解，如x2+2x-3=(x+1)2-4=(x+3)(x-1) 配方法求最值：(x+m)2≥0，故(x+m)2+n的最小值为n 试根法：奇次项系数和=m，偶次项系数和=n；若m=n则x=-1时多项式为0，有因式(x+1)；若m=-n则x=1时为0，有因式(x-1) 长除法：用试根法找到一个一次因式后，用竖式除法求商式，再继续分解 概念辨析例题：用配方法分解：x2-6x-27，并求最小值 解析：x2-6x-27=(x2-6x+9)-36=(x-3)2-36=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)。当x=3时，(x-3)2=0，最小值为-36 ☆ 4.因式分解的综合应用 几何应用：等面积法验证平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；等体积法推导立方差a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 密码题：先因式分解，再代入数值求各因式绝对值，排列组合取最大数 新定义题：读懂定义后，通过因式分解作差比较大小或证明非负性 作差比较大小：M-N因式分解后判断符号，常用配方成完全平方加正数 概念辨析例题：已知a-b=1，ab=2，求a4b-ab4的值 解析：a4b-ab4=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)。由(a-b)2=a2-2ab+b2=1，得a2+b2=1+2ab=5。故原式=2×1×(5+2)=14 📋 知识总结表 核心方法 公式/模型 注意事项 十字相乘法 x2+px+q=(x+a)(x+b)，a+b=p，ab=q 先分解二次项系数与常数项，交叉验算 分组分解 二二分组提公因式；三一分组配完全平方 分组后必须能继续分解 换元法 把(a2+3a)等复杂部分视作整体t 分解后记得回代，再检查能否继续分 配方法 x2+bx=(x+)2- 添项后必须减回，保持值不变 试根法 奇次项系数和=偶次项系数和→x=-1为根 找到一个根后用长除法继续分 立方差公式 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 注意中间项是+ab不是+2ab ⚠️ 核心考点 【考点1】十字相乘法（第1-11题） · · 对x2+mx+n型，找两数和为m、积为n；对ax2+bx+c型，画十字交叉线分解 · · 整体换元：括号内二次式视作整体，用十字相乘分解后再回代 · · 已知一个因式求另一个：用待定系数法展开后比较系数 · · 阅读理解题：先读懂材料给的方法，再模仿应用到类似结构 1．（2025秋•鲤城区校级期末）若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣13． 【分析】由等式右边展开得 x2+（a+b）x+ab，与左边比较系数，得 ab＝12 和 a+b＝k．由于 a、b 为整数，枚举所有整数对 （a，b） 满足 ab＝12，计算 k＝a+b，即可确定 k 的可能值． 【解答】解：若x2+kx+12＝（x+a）（x+b），且a、b、k均为整数， ∵x2+kx+12＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴比较系数，得 ab＝12，a+b＝k， ∵a、b 为整数，且 ab＝12， ∴所有整数对 （a，b） 为： （1，12），k＝13； （2，6），k＝8； （3，4），k＝7； （﹣1，﹣12），k＝﹣13； （﹣2，﹣6），k＝﹣8； （﹣3，﹣4），k＝﹣7． （其余对为重复值，略）， ∴k 的可能值为 13，8，7，﹣13，﹣8，﹣7． 选项A.6不在可能值中，故不可能． 故选：A． 【点评】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键． 2．（2026春•和平区期末）用如图1中的若干个三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（　　） A．3a2+3ab+b2＝（a+b）（b+3a） B．3a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）（3a+b） C．3a2+4ab+3b2＝（a+b）（3a+b） D．3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b） 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：A、3a2+3ab+b2≠（a+b）（b+3a），故A错误； B、3a2﹣3ab+b2≠（a﹣b）（3a+b），故B错误； C、3a2+4ab+3b2≠（a+b）（3a+b），故C错误； D、3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 3．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 【分析】原式右边利用多项式乘多项式法则计算后与左边比较即可求解． 【解答】解：x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6， 解得：m＝﹣5． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 4．（2026春•电白区期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54 【分析】根据因式分解﹣十字相乘法解答即可． 【解答】解：∵（x+9）（x﹣6）＝x2+3x﹣54，且多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6）， ∴a＝3，b＝﹣54， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出m的值． 【解答】解：（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（3+n）x+3n， 又∵x2+mx+6＝（x+3）（x+n）， ∴， 解得n＝2， 代入得m＝3+2＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2024秋•长宁区校级期中）已知x2+mx+n＝（x﹣a）（x+b），那么下列因式分解错误的是（　　） A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by） B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b） C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by） D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1） 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：A．x2+mxy+ny＝（x﹣ay）（x+by）＝x2+（b﹣a）xy﹣aby2，故选项A错误； B．x2y2+mxy+n＝（xy﹣a）（xy+b）＝x2y2+（b﹣a）xy﹣ab，故选项B正确； C．x4+mx2y+ny2＝（x2﹣ay）（x2+by）＝x4+（b﹣a）x2y﹣aby2，故选项C正确； D．nx2+mx+1＝（﹣ax+1）（bx+1）＝﹣abx2+（b﹣a）x+1，故选项D正确． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘，多项式乘多项式的运算，熟练掌握因式分解的方法，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 7．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为x+1　 ． 【分析】设另一个因式为（x+n），整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），根据题意得： （x+5）（x+n）＝x2+（5+n）x+5n＝x2+6x+a； 所以5+n＝6， 解得n＝1， 故答案为：x+1． 【点评】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 8．（2025秋•怀化月考）因式分解：2x2﹣5x+2＝　（2x﹣1）（x﹣2）　 ． 【分析】使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【解答】解：由题意可得： 2x2 分解为 2x 和 x， 将 2 分解为﹣1 和﹣2， 交叉相乘后相加得﹣5x， 故2x2﹣5x+2（2x﹣1）（x﹣2）， 验证：（2x﹣1）（x﹣2）＝2x2﹣4x﹣x+2＝2x2﹣5x+2， 故答案为：（2x﹣1）（x﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 9．（2025秋•黄浦区校级期末）因式分解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20． 【分析】先将a2+3a看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【解答】解：（a2+3a）2﹣9（a2+3a）+20 ＝（a2+3a﹣4）（a2+3a﹣5） ＝（a+4）（a﹣1）（a2+3a﹣5）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 10．（2026春•同步）【阅读理解】用“十字相乘法”因式分解3x2﹣x﹣2的方法． （1）二次项系数3＝1×3； （2）常数项﹣2＝﹣1×2＝1×（﹣2），验算：“交叉相乘之和”； （3）发现①“交叉相乘之和”的结果1×2+3×（﹣1）＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即（x﹣1）（3x+2）＝3x2﹣3x+2x﹣2＝3x2﹣x﹣2，则3x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（3x+2）．像这样，通过十字交叉线把二次三项式因式分解的方法叫十字相乘法． 【问题解决】因式分解： （1）x2+5x+4＝　（x+4）（x+1）　 ． （2）x2﹣6x+5＝　（x﹣5）（x﹣1）　 ． （3）x2+7x﹣8＝　（x+8）（x﹣1）　 ． （4）x2﹣6x﹣27＝　（x﹣9）（x+3）　 ． 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝　（2x+1）（x+1）　 ． （2）3x2﹣5x+2＝　（3x﹣2）（x﹣1）　 ． 【分析】【问题解决】 （1）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成4＝1×4，进行分解因式即可； （2）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成5＝﹣5×（﹣1），进行分解因式即可； （3）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成﹣8＝8×（﹣1），进行分解因式即可； （4）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成﹣27＝﹣9×3，进行分解因式即可； 【拓展训练】 （1）把二次项的系数分成2＝2×1，常数项分成1＝×1，进行分解因式即可； （2）把二次项的系数分成3＝3×1，常数项分成2＝﹣2×（﹣1），进行分解因式即可． 【解答】解：【问题解决】 （1）x2+5x+4＝（x+1）（x+4）， 故答案为：（x+1）（x+4）； （2）x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）， 故答案为：（x﹣5）（x﹣1）； （3）x2+7x﹣8＝（x+8）（x﹣1）， 故答案为：（x+8）（x﹣1）； （4）x2﹣6x﹣27＝（x﹣9）（x+3）， 故答案为：（x﹣9）（x+3）； 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝（2x+1）（x+1）， 故答案为：（2x+1）（x+1）； （2）3x2﹣5x+2＝（3x﹣2）（x﹣1）， 故答案为：（3x﹣2）（x﹣1）． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 11．（2026春•郑州期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：（a+b）2+6（a+b）+9． 解：将“a+b”看成一个整体，令a+b＝m，则原式＝m2+6m+9＝（m+3）2． 再将“m”还原，得原式＝（a+b+3）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）试证明：无论n为何值，式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）将a﹣2b看作一个整体，根据完全平方公式进行计算即可； （2）将a2﹣4a看作一个整体，根据多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式进行计算即可； （3）将n2+4n看作一个整体，根据多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式以及偶次方的非负性进行解答即可． 【解答】（1）解：设m＝a﹣2b， ∴（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1 ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2 ＝（a﹣2b﹣1）2； （2）解：设n＝a2﹣4a， ∴（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1 ＝（n+3）（n+5）+1 ＝n2+8n+15+1 ＝n2+8n+16 ＝（n+4）2 ＝（a2﹣4a+4）2 ＝[（a﹣2）2]2 ＝（a﹣2）4； （3）证明：设p＝n2+4n， ∴（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38 ＝（p+10）（p﹣2）+38 ＝p2+8p﹣20+38 ＝p2+8p+18 ＝（p+4）2+2 ＝（n2+4n+4）2+2 ＝[（n+2）2]2+2 ＝（n+2）4+2， ∵无论n为何值，（n+2）4≥0， ∴（n+2）4+2≥2， 即式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【考点2】分组分解法（第12-23题） · · 四项式优先二二分组或三一分组；含a2-b2结构的优先三一分组 · · 分组后两组间必有公因式，提取后继续分解 · · 双十字相乘：先对二次齐次部分十字相乘，再对一次项与常数项十字相乘 · · 高次多项式（如t4-4t2+4t-1）先分组凑完全平方再用平方差 12．（2026春•裕华区校级期末）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3） ＝a2（a+b）﹣b2（a+b） ＝（a2﹣b2）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）（a+b） ＝（a﹣b）（a+b）2； 故选：B． 【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 13．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　） A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1 C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意； C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝　（a﹣1）（b﹣1）　 ． 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【解答】解：ab﹣a﹣b+1 ＝（ab﹣a）+（﹣b+1） ＝a（b﹣1）﹣（b﹣1） ＝（a﹣1）（b﹣1）． 故答案为：（a﹣1）（b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ 　（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）　 ． 【分析】先进行分组﹣三一结合，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【解答】解：m2+9n2﹣x6﹣6mn ＝（m2﹣6mn+9n2）﹣x6 ＝（m﹣3n）2﹣（x3）2 ＝（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）， 故答案为：（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）． 【点评】本题考查了分解因式﹣分组分解法，熟练掌握分组分解因式的方法以及完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 16．（2025秋•虹口区校级期中）因式分解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12＝　（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）　 ． 【分析】先把前三项用十字相乘法分解，再利用十字相乘法分解． 【解答】解：2x2+9xy﹣5y2﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y）（x+5y）﹣2x+23y﹣12 ＝（2x﹣y+4）（x+5y﹣3）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键． 17．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝　（m﹣1）（n+2）　 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：利用分组分解法分解因式可得： mn+2m﹣n﹣2 ＝m（n+2）﹣（n+2） ＝（m﹣1）（n+2）． 故答案为：（m﹣1）（n+2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键． 18．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝　（x+1）2（x﹣1）　 ． 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【解答】解：原式＝（x3﹣x）+（x2﹣1） ＝x（x2﹣1）+（x2﹣1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x+1）（x+1）（x﹣1） ＝（x+1）2（x﹣1）． 故答案为：（x+1）2（x﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2024秋•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 【分析】（1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把a2﹣2ab+b2分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再把ax﹣bx分成一组，利用提取公因式分解因式，再次提取公因式进行即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）•1 ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）原式＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx） ＝（a﹣b）2+x（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b+x）． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． 20．（2024秋•静安区期末）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 【分析】先进行分组，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝9x2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）． 【点评】本题考查因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（2025秋•崇明区校级期中）因式分解： ①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ②t4﹣4t2+4t﹣1． 【分析】①先运用完全平方公式进行因式分解，然后运用十字相乘法进行因式分解即可． ②分组后，先利用完全平方公式进行因式分解，然后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：①（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16； ＝（a2+3a﹣4）2 ＝（a+4）2（a﹣1）2． ②t4﹣4t2+4t﹣1 ＝t4﹣（4t2﹣4t+1） ＝t4﹣（2t﹣1）2 ＝（t2+2t﹣1）（t2﹣2t+1） ＝（t2+2t﹣1）（t﹣1）2． 【点评】本题主要考查了利用分组分解法进行因式分解，运用公式法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22．（2025秋•宝山区期末）因式分解：1﹣x2+2xy﹣y2． 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑﹣x2+2xy﹣y2为一组． 【解答】解：原式＝1﹣（x2﹣2xy+y2） ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1﹣x+y）（1+x﹣y）． 【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 23．（2024秋•松江区期末）因式分解：9a2﹣3a+b﹣b2． 【分析】利用分组分解法因式分解即可． 【解答】解：9a2﹣3a+b﹣b2 ＝（9a2﹣b2）﹣（3a﹣b） ＝（3a+b）（3a﹣b）﹣（3a﹣b） ＝（3a﹣b）（3a+b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． 【考点3】因式分解的应用（第24-35题） · · 密码题：先分解因式，再代入数值求各因式绝对值，排列组合取最大 · · 几何验证题：从两个角度计算面积/体积，等式即因式分解公式 · · 新定义题：作差后配方成完全平方加正数，判断符号或最值 · · 立方和差公式：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)，注意中间项符号 24．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【分析】先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【解答】解：先进行因式分解，再根据题干给定方法求解可知： x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x﹣y）（x+y）， 当x取12，y取14时，|x|＝12，|x﹣y|＝|12﹣14|＝2，|x+y|＝|12+14|＝26， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴密码为26212， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025秋•衡阳县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　） A．255025 B．255024 C．257048 D．257049 【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2024，解得n≤253，可得在不超过2024的正整数中，“和谐数”共有253个，依此列式计算即可求解，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 【解答】解：设相邻的两个奇数为2n+1，2n﹣1， 则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2024，解得：n≤253， ∴n＝253时，2n+1＝507，2n﹣1＝505， 则在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为： 32﹣12+52﹣32+…+5072﹣5052＝5072﹣12＝257048， 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 26．（2025秋•浦北县期末）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】先提公因式xy因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【解答】解：∵xy＝﹣2，x+y＝4， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣2×4＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 27．（2023秋•镇海区校级期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0，a，b，c为实数）的“共同体数”，如：x2+2x﹣1＝0的“共同体数”为《1，2，﹣1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n﹣1》 D． 【分析】根据根的判别式判断即可． 【解答】解：A、当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为3x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×3×1＝﹣10＜0， ∴方程3x2+2x+1＝0无实数根，故不符合题意； B、当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为3x2+4x+5＝0， ∵Δ＝42﹣4×3×5＝﹣44＜0， ∴方程3x2+4x+5＝0无实数根，故不符合题意； C、当“共同体数”为《n+1，2n，n﹣1》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为（n+1）x2+2nx+（n﹣1）＝0， ∵Δ＝（2n）2﹣4×（n+1）（n﹣1）＝4＞0， ∴方程（n+1）x2+2nx+（n﹣1）＝0有两个不相等实数根，故符合题意； D、当“共同体数”为《m，m，m》时，一元二次方程ax2+bx+c＝0为mx2+mx+（m）＝0， ∵Δ＝m2﹣4×m（m）＝﹣3m2﹣4＜0， ∴方程mx2+mx+（m）＝0无实数根，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 28．（2025秋•渝中区校级月考）在学习用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式时，老师给了每个学生一张边长为a的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，如图是3位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据题意，结合每一组图形，判断左图的阴影部分面积为a2﹣b2，右图的面积为（a+b）（a﹣b），即可得到结果． 【解答】解：如图1， 左图的阴影部分面积为a2﹣b2，右图的面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 如图2， 左图的阴影部分面积为a2﹣b2，右图的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 如图3， 左图的阴影部分面积为a2﹣b2，右图的面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 综上，能验证a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有3个， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的几何意义，正确理解图形的变换是解题的关键． 29．（2025秋•赣州期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27； （2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝　3　 时，最小值是 　﹣36　 ． （3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到a＝b＝c，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36 ＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6） ＝（x+3）（x﹣9）． （2）x2﹣6x﹣27 ＝（x2﹣6x+9）﹣36 ＝（x﹣3）2﹣36， 当x＝3时，x2﹣6x﹣27最小值为﹣36． 故答案为：3；﹣36； （3）△ABC的形状是等边三角形，理由如下： ∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0 ∴2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0， 利用拆项得：（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， 即：（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是a﹣b＝0，a﹣c＝0， 所以可以得到a＝b＝c，即：△ABC的形状是等边三角形． 【点评】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． 30．（2025秋•四川期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：a2+6a+5． 原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　36　 ＝（x﹣　6　 ）2； （2）将x2﹣16x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣16x+5的最小值； （3）若M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． （3）作差后配方比较大小． 【解答】解：（1）∵x2﹣12x+36＝（x﹣6）2 故答案为：36，6． （2）x2﹣16x+5＝x2﹣16x+64﹣59＝（x﹣8）2﹣59 ∵（x﹣8）2≥0， ∴当x＝8时，原式有最小值﹣59． （3）∵M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a， M﹣N＝7a2+18a+10﹣6a2﹣24a ＝a2﹣6a+9+1 ＝（a﹣3）2+1． ∵（a﹣3）2≥0， ∴M﹣N＞0． ∴M＞N． 【点评】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． 31．（2025秋•宝山区期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成a2﹣b2（a、b是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： 22﹣12＝3， 32﹣12＝8，32﹣22＝5， 42﹣12＝15；42﹣22＝12；42﹣32＝7， … 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设m为正整数且m≥1，因为（m+1）2﹣m2＝m2+2m+1﹣m2＝2m+1， 所以2m+1这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16　是　 “方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为2025＝（　1013　 ）2﹣（　1012　 ）2，所以2025是“方差数”； （2）已知M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k（x、y是正整数且x≥y，k是常数），请写出k的值，使得不论x、y取何值，M都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【分析】根据“方差数”的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）①∵52﹣32＝16， ∴16是“方差数”； ②∵2025＝10132﹣10122， ∴2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012； （2）当k＝7时，不论x、y取何值，M都是“方差数”，理由如下： ∵x、y是正整数且x≥y， ∴x+4和y+3都是正整数，且x+4＞y+3． ∵M＝x2﹣y2+8x﹣6y+k ＝（x2+8x+16）﹣（y2+6y+9）+k﹣16+9 ＝（x+4）2﹣（y+3）2+k﹣7， 若不论x、y取何值，M都是“方差数”，则k﹣7＝0，即k＝7． 此时，M＝（x+4）2﹣（y+3）2满足“方差数”的定义， ∴当k＝7时，无论不论x、y取何值，M都是“方差数”； （3）能． 设m为正整数且m≥1，则（m+2）2﹣m2＝m2+4m+4﹣m2＝4m+4＝4（m+1）， 所以4（m+1）这样的数都是“方差数”，即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”，所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 【点评】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算． 32．（2025秋•闵行区期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式，可以计算： 因此，商式是5x2+3x﹣5，余式是﹣x+1． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若m＝n，则当x＝﹣1时，M的值为0；若m＝﹣n，则当x＝1时，M的值为0． 例如，对于一元整式x3﹣5x2+4，由m＝1、n＝﹣5+4＝﹣1得m＝﹣n，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0． 由此可以确定整式x3﹣5x2+4有因式x﹣1，于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）．分别确定p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以因式分解整式x3﹣5x2+4，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： （1）整式4x2+8x+3除以整式2x+1，商式是　2x+3　 ，余式是　0　 ． （2）材料二中，p＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ． （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18，必定有当x＝　﹣1　 ，其值为0． （4）根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2﹣11x﹣18＝　（x+1）（x+9）（x﹣2）　 ． 【分析】（1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式x3﹣5x2+4除以整式x﹣1的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1，再利用长除法确定整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的商式，得到x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18），再利用十字相乘法因式分解x2+7x﹣18，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据长除法求解可得： 因此，商式是2x+3，余式是0． 故答案为：2x+3；0； （2）根据长除法求解可得： 因此，商式是x2﹣4x﹣4，余式是0． 则x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2﹣4x﹣4） 所以p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4；﹣4； （3）对于一元整式x3+8x2﹣11x﹣18， 由m＝1﹣11＝﹣10、n＝8﹣18＝﹣10得m＝n， 所以把x＝﹣1代入整式x3+8x2﹣11x﹣18，得其值为0． 故答案为：﹣1； （4）由（3）得整式x3+8x2﹣11x﹣18有因式x+1， 整式x3+8x2﹣11x﹣18除以整式x+1的长除法如下： 因此，商式是x2+7x﹣18，余式是0． 则x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x2+7x﹣18）， 又因为x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）， 所以x3+8x2﹣11x﹣18＝（x+1）（x+9）（x﹣2） 故答案为：（x+1）（x+9）（x﹣2）． 【点评】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 33．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①a3﹣b3 ；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）　 ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 　14　 ． 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解即可得出答案； （2）①根据图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积即可得出答案； ②根据图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和即可得出答案； （3）根据两种方法求出图1中的立体图形的体积即可得出答案； （3）根据x3﹣8＝x3﹣23，再利用（3）中的结论可得出答案； （4）利用（3）中的结果，将a4b﹣ab4因式分解得ab（a﹣b）（a2+ab+b2），再根据a﹣b＝1，ab＝2得a2+b2＝1+2ab＝5，然后在整体代入ab（a﹣b）（a2+ab+b2）之中进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）． （2）①∵图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积 ∴图1中的立体图形的体积＝a3﹣b3， ②∵图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和， ∴图1中的立体图形的体积＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 故答案为：①a3﹣b3；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）． 思考：根据图1中的立体图形的体积得：a3﹣b3＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 由（1）得：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）x3﹣8 ＝x3﹣23 ＝（x﹣2）（x2+2x+22） ＝（x﹣2）（x2+2x+4）， （4）a4b﹣ab4 ＝ab（a3﹣b3） ＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∵a﹣b＝1，ab＝2， ∴（a﹣b）2＝1， ∴a2﹣2ab+b2＝1， ∴a2+b2＝1+2ab＝5， ∴a4b﹣ab4＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）＝2×1×（5+2）＝14． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 34．（2025秋•普陀区期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为a的正方形，B种卡片是长、宽分别为a、b（a＞b）的长方形，C种卡片是边长为b的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解：2a2+5ab+2b2＝ 　（2a+b）（a+2b）　 ． （2）如图3，已知线段EF将长方形ABCD分成左右两个长方形，BE＝2a，EC＝3b． （i）小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形ABCD内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为S1，右下角的阴影部分面积为S2．当AB＞a时，S1﹣S2的值始终保持不变，a与b应满足怎样的数量关系？ （ii）小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形ABCD，求此时长方形ABCD的边长AB（用含a、b的代数式表示），并画出一种长方形ABCD内的卡片放置图． 【分析】（1）根据小部分的面积相加等于长方形整体面积来因式分解； （2）（i）根据面积公式表示S1﹣S2，由其值与x无关得x系数为 0，进而求解； （ii）设AB＝ma+nb，结合卡片数量列方程组求解． 【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）； 故答案为：（2a+b）（a+2b）； （2）设AB＝x， （i）由图4可知，，， ， 因为当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， 即x的系数为0， 所以2a﹣3b＝0； （ii）设AB＝ma+nb， AB•BC＝（ma+nb）（2a+3b）＝2ma2+（3m+2n）ab+3nb2， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． ， ∴AB＝a+2b， 作图如图所示：． 【点评】本题考查因式分解的应用，多项式运算与代数方程应用，解题关键是通过面积分析和方程组求解建立关系． 35．（2023秋•芝罘区期中）观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2 解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2 ＝（x2+2xy+y2）﹣4y2 ＝（x+y）2﹣（2y）2 ＝（x+y+2y）（x+y﹣2y） ＝（x+3y）（x﹣y） 像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方形式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果． （1）请你运用上述方法分解因式：x2+4xy﹣5y2； （2）若M＝2（3x2+3x+1），N＝4x2+2x﹣3，比较M、N的大小，并说明理由； （3）已知Rt△ABC中．∠C＝90°，三边长a，b，c满足c2+25＝8a+6b，求△ABC的周长． 【分析】（1）依据题意，由x2+4xy﹣5y2＝x2+4xy+4y2﹣9y2＝（x+2y）2﹣9y2再利用平方差公式进行计算可以得解； （2）由M＝2（3x2+3x+1），N＝4x2+2x﹣3，依据题意，M﹣N＝2x2+4x+5＝2（x+1）2+3≥3即可； （3）已知Rt△ABC中．∠C＝90°则a2+b2＝c2，再根据c2+25＝8a+6b，可得a2+b2+25＝8a+6b，移项并配方（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，求出a，b，再由三边可得周长的值． 【解答】解：（1）由x2+4xy﹣5y2 ＝x2+4xy+4y2﹣9y2 ＝（x+2y）2﹣9y2 ＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y） ＝（x﹣y）（x+5y）； （2）M＞N； 理由：∵M＝2（3x2+3x+1），N＝4x2+2x﹣3， ∴M﹣N＝2（3x2+3x+1）﹣（4x2+2x﹣3） ＝2x2+4x+5 ＝2（x+1）2+3≥3 故M﹣N＞0， ∴M＞N； （3）∵Rt△ABC中．∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∵c2+25＝8a+6b， ∴a2+b2+25＝8a+6b， ∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， ∴a＝4，b＝3， ∴c5， ∴a+b+c＝12． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能运用配方法是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【解答】解：原式＝x2（x+1）﹣（x+1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x﹣1）（x+1）2． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【练习 2】（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 【分析】首先进行分组分解因式，再提取公因式（2x﹣1），再分解因式即可． 【解答】解：∵2x3﹣3x2﹣3x+2 ＝2x3﹣x2﹣2x2﹣3x+2 ＝（2x3﹣x2）﹣（2x2+3x﹣2） ＝x2（2x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1） ＝（2x﹣1）（x2﹣x﹣2） ＝（2x﹣1）（x+1）（x﹣2）． ∴不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是x﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【练习 3】（2025秋•安陆市期末）分解因式x2﹣5x+6，结果正确的是（　　） A．（x﹣6）（x+1） B．（x﹣6）（x﹣1） C．（x+2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 【分析】利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【解答】解：根据十字相乘法分解二次三项式可知这两个数是﹣2和﹣3， ∴x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次三项式的因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【练习 4】（2025秋•上海期末）关于x的二次三项式x2+mx﹣6因式分解的结果为（x﹣3）（x+2），则m＝ 　﹣1　 ． 【分析】把（x﹣3）（x+2）展开得到x2+mx﹣6＝x2﹣x﹣6，从而可确定m的值． 【解答】解：∵x2+mx﹣6＝（x﹣3）（x+2）， ∴x2+mx﹣6＝x2﹣x﹣6， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，利用画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．熟练掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解是解决问题的关键． 【练习 5】（2026•盐亭县开学）若x2+mx﹣12＝（x﹣3）（x+4），则m＝　1　 ． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（x﹣3）（x+4），再根据因式分解与整式乘法的关系得结论． 【解答】解：∵（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12， 又∵x2+mx﹣12＝x2+x﹣12， ∴m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了整式的乘法，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键． 【练习 6】（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣1﹣y2+2y． 【分析】先进行分组，再利用完全平方公式，平方差公式因式分解即可． 【解答】解：x2﹣1﹣y2+2y ＝x2﹣（y2﹣2y+1） ＝x2﹣（y﹣1）2 ＝（x﹣y+1）（x+y﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解的运用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 【练习 7】（2024•海淀区校级开学）a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2＝　（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）　 ． 【分析】先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【解答】解：a4+b4+c4﹣2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2 ＝（a4+b4+c4+2a2b2﹣2b2c2﹣2c2a2）﹣4a2b2 ＝（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2 ＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab） ＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）． 故答案为：（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）． 【点评】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【练习 8】（2026春•菏泽期末）【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式x2+2x﹣3因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： x2+2x﹣3＝x2+2•x•1+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解； （2）【实践操作】 请用配方法对多项式x2+6x+5进行因式分解； （3）【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式x2+y2﹣4x+6y+19的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）在已有配方结果基础上，利用平方差公式继续分解即可； （2）按照示例方法，先配方再用平方差公式完成因式分解； （3）对多项式分组配方后，利用平方数的非负性即可求出最值及对应x，y的值． 【解答】解：（1）（x+1）2﹣22 ＝（x+1﹣2）（x+1+2） ＝（x﹣1）（x+3）； （2）x2+6x+5 ＝x2+2•x•3+32﹣32+5 ＝（x+3）2﹣4 ＝（x+3）2﹣22 ＝（x+3﹣2）（x+3+2） ＝（x+1）（x+5）； （3）x2+y2﹣4x+6y+19 ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+19﹣4﹣9 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+6， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴当（x﹣2）2＝0且（y+3）2＝0时，多项式取得最小值， 解得：x＝2，y＝﹣3， 此时多项式的最小值为0+0+6＝6． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，因式分解﹣公式法，因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【练习 9】（2025秋•浦东新区校级期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0所以（x﹣2）2+1≥1 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为　﹣5　 ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，求这两块菜地的面积S甲和S乙的差并比较两块菜地的大小，并说明理由． 【分析】（1）仿照材料的方法将代数式x2+10x+20变形为（x+5）2﹣5，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论． 【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝x2+10x+25﹣5＝（x+5）2﹣5， ∵（x+5）2≥0， ∴（x+5）2﹣5≥﹣5 当x＝﹣5时，（x+5）2﹣5＝﹣5， 因此（x+5）2﹣5有最小值，最小值为﹣5， 即x2+10x+20的最小值为﹣5， ∴A的最小值为﹣5； 故答案为：﹣5； （2）乙菜地的面积， 甲菜地的面积， ， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1＞0， 即S甲一S乙＞0， ∴S甲＞S乙． 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 十字相乘先看二次项系数是否为1，不是1时画交叉线验算 · · 分组分解先观察项数：四项优先二二或三一，五项以上考虑换元 · · 配方法关键是凑(x+)2，添项后务必减回 · · 分解必须彻底：每个因式在有理数范围内不能再分为止 · · 压轴综合题先因式分解化简，再代入数值或配方判断符号 【作业 1】（2025秋•双清区期末）下列各式因式分解正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不是因式分解，不符合题意； B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意； C、x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），不符合题意； D、x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法和公式法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【作业 2】（2026春•宿松县期末）若x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n），则m，n的值分别是（　　） A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7 【分析】将等式右边展开，即可得出m＝n﹣3，﹣3n＝﹣21，从而求出m、n的值． 【解答】解：x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n）， x2+mx﹣21＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴m＝n﹣3，﹣3n＝﹣21， ∴m＝4，n＝7， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•云阳县期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【分析】根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【解答】解：由题意得：x3+x2﹣7x﹣3＝（x2+nx﹣1）（x+3）＝x3+（n+3）x2+（3n﹣1）x﹣3， ∴n+3＝1且3n﹣1＝﹣7， 解得：n＝﹣2， ∴n3的值为：﹣8， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键． 【作业 4】（2026春•宿豫区期中）下列因式分解错误的是（　　） A．2a+4b＝2（a+2b） B．﹣12a3+9a2＝3a2（4a﹣3） C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ac+ad+bc+bd＝（a+b）（c+d） 【分析】根据因式分解的方法解答即可． 【解答】解：A.2a+4b＝2（a+2b），故选项A错误； B．﹣12a3+9a2＝﹣3a2（4a﹣3），故选项B错误； C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故选项C正确； D．ac+ad+bc+bd ＝（ac+ad）+（bc+bd） ＝a（c+d）+b（c+d） ＝（a+b）（c+d），故选项D正确． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•浦东新区校级期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式x4﹣y4因式分解的结果为（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，各因式的值是x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式变9x3﹣xy2，取x＝12，y＝12时，密码不可能为（　　） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【分析】因为9x3﹣xy2＝x（3x+y）（3x﹣y），因为x＝12，y＝12时，所以3x+y＝48，3x﹣y＝24，因此密码可以是124824，241248，122448． 【解答】解：9x3﹣xy2 ＝x（9x2﹣y2） ＝x（3x+y）（3x﹣y）， 因为x＝12，y＝12时， 所以3x+y＝3×12+12＝48， 3x﹣y＝3×12﹣12＝24， 密码就可以为：124824，241248，122448，不可能是482124． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用、代数式求值、因式分解的意义，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式． 【作业 6】（2025秋•普陀区期末）因式分解： （1）（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8； （2）x2﹣x﹣3y﹣9y2． 【分析】（1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【解答】解：（1）令t＝x2﹣3x，则t2﹣6t+8， t2﹣6t+8＝（t﹣4）（t﹣2）， ∴x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x﹣2）＝（x﹣4）（x+1）（x2﹣3x﹣2）， 故（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）+8＝（x﹣4）（x+1）（x2﹣3x﹣2）； （2）原式＝（x2﹣9y2）﹣（x+3y） ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣（x+3y） ＝（x+3y）（x﹣3y﹣1）． 【点评】本题主要考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 7】（2025秋•金山区校级期中）因式分解： （1）2x2y﹣8xy+8y； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； （3）a4﹣a2+4a﹣4； （4）（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24． 【分析】（1）先提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式x﹣y，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组a4﹣（a2﹣4a+4），再利用乘法公式分解因式即可； （4）把x2﹣2x当成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2； （2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（9a2﹣4b2）（x﹣y） ＝（3a+2b）（3a﹣2b）（x﹣y）； （3）原式＝a4﹣（a2﹣4a+4） ＝a4﹣（a﹣2）2 ＝[a2+（a﹣2）][a2﹣（a﹣2）] ＝（a2+a﹣2）（a2﹣a+2） ＝（a﹣1）（a+2）（a2﹣a+2）； （4）原式＝[（x2﹣2x）﹣3][（x2﹣2x）﹣8] ＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8） ＝（x+1）（x﹣3）（x+2）（x﹣4）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 【作业 8】（2025秋•普陀区期末）因式分解：x2+2x2y﹣9﹣18y． 【分析】将式子分成2组，提取公因式（x2﹣9），再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2+2x2y﹣9﹣18y ＝（x2﹣9）+2y（x2﹣9） ＝（1+2y）（x2﹣9） ＝（1+2y）（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． 【作业 9】（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 【分析】先分组利用平方差公式，再提取公因式． 【解答】解：x2﹣x﹣2y﹣4y2 ＝x2﹣4y2﹣x﹣2y ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y﹣1）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式和提公因式法是解决本题的关键． 【作业 10】（2024秋•海淀区校级期中）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的相关点，我们规定次数超过3次的整式没有相关点． 例如，若整式A＝2x2+3x﹣4，则a＝0，b＝2，c＝3，d＝﹣4，故A的相关点为（﹣2，1）． （1）若A＝2x3﹣4x2+x+3，则A的相关点坐标为　（﹣1，2）　 ； （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣3）（2x+1）的乘积，若整式C的相关点为（0，24），求整式B的表达式． 【分析】（1）根据相关点的定义即可求解； （2）设B＝mx+n，则整式C＝2mx3+（2n﹣5m）x2﹣（3m+5n）x﹣3n，又整式C的相关点为（0，24），然后代入解方程组即可． 【解答】解：（1）∵A＝2x3﹣4x2+x+3， 则a＝2，b＝﹣4，c＝1，d＝3， ∴b+d＝﹣4+3＝﹣1，a+b+c+d＝2+（﹣4）+1+3＝2， ∴A的相关点坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）； （2）设B＝mx+n（m≠0）， 由（x﹣3）（2x+1）＝2x2﹣5x﹣3， 整式C是B与（x﹣3）（2x+1）的乘积， ∴C＝（mx+n）（2x2﹣5x﹣3） ＝2mx3﹣5mx2﹣3mx+2nx2﹣5nx﹣3n ＝2mx3﹣5mx2﹣3mx+2nx2﹣5nx﹣3n ＝2mx3+（2n﹣5m）x2﹣（3m+5n）x﹣3n， ∵整式C的相关点为（0，24）， ∴， 解得：， ∴整式B的表达式为x﹣5． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【作业 11】（2024秋•汝阳县期中）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“扩充数”． （1）若a＝2，b＝﹣1，求出a，b的“扩充数”c； （2）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“扩充数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 【分析】（1）利用“扩充数”的定义可直接求得； （2）利用“扩充数”的定义表示出c，把a与c的值代入即可． 【解答】解：（1）由“扩充数”的定义可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1； （2）∵c＝ab+a+b， ∴（a+1）b＝c﹣a， ∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2， ∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2）， ∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∴b＝x2+2． 【点评】本题考查了新概念“扩充数”为背景，涉及因式分解，解题的关键是能根据定义表示出“扩充数”，然后利用因式分解解答． 【作业 12】（1）如图①，在边长为a的大正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①a2﹣b2 ；方法②：a（a﹣b）+b（a﹣b）　 ．由此可以验证的乘法公式为 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． （2）类似地，在棱长为a的大正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①a3﹣b3 ；方法②：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）　 ．由此可得某个多项式因式分解的等式为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ，并用学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解因式：8x3﹣y3． 【分析】（1）阴影部分面积可以由直接求，也可以间接求出，由此验证平方差公式即可； （2）仿照（1）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【解答】解：（1）①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）； 由此可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （2）①a3﹣b3；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）； 由此可以验证的乘法公式是a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 证明：等式右边＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3＝左边，得证． 故答案为：①a3﹣b3；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）由题意，由（2）可得，8x3﹣y3＝（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，弄清题中阴影部分面积求法是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $